第26章专题01 二次函数的概念与图象性质【基础】2026-2027学年九年级上册数学人教版

**基本信息** 以二次函数概念为起点，通过性质对比与变换规律构建系统方法体系，培养抽象能力与推理意识，实现概念理解到综合应用的逻辑进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念（26.1）|4题型（识别、一般形式等）|关键限定（a≠0）、特殊形式分类|定义→系数特征→实际建模| |图象性质（26.2）|10题型（互化、性质应用等）|配方法互化、平移（左加右减）/对称规律、性质表格对比|形式转化→性质解析→图象应用|

专题01 二次函数的概念及图象性质 26.1二次函数的概念 知识点1.二次函数的定义 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，y是x的函数. 二次项：ax²，二次项系数：a；一次项：bx，一次项系数：b；常数项：c. 【关键限定】a≠0（若a=0，式子变为y=bx+c，即为一次函数，不再是二次函数）；b、c可以为0. 【特殊形式】 当b=0、c=0时，y=ax²（最简二次函数）； 当b=0时，y=ax²+c； 当c=0时，y=ax²+bx. 【题型练习】 题型01 二次函数的识别 ①； ②； ③； ④； ⑤（为常数）． 【变式1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型02 二次函数的一般形式 【例题】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的二次项系数是______，常数项是_____． 题型03 由二次函数的定义求参数 【例题】若是二次函数，则________． 【变式1】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·新疆哈密·期中）已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 题型04 二次函数关系式 【例题】某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 26.2 二次函数图象和性质 知识点1.二次函数的性质与图像 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为。若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴。 ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。 知识点2.二次函数的平移 ①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。 ②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。 (1)沿轴平移:向上（下）平移m个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，变成（或） 知识点3.二次函数的对称变换 ①若二次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。 ②若二次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。 ③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。 【题型练习】 题型01 一般是与顶点式互化 【例题】用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x+4）2+7 C．y=（x﹣4）2﹣25 D．y=（x+4）2﹣25 【变式1】把二次函数用配方法化成的形式应为（    ） A． B． C． D． 【变式2】学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式化成的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数化成的形式如下： 甲： 乙： 两位同学做法正确的是（   ） A． 甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 题型02 待定系数法求二次函数的解析式 【例题】(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的表达式． 【变式1】(24-25九上·广东广州第九十七中学·期中)已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】(23-24九上·广东珠海香洲区第十一中学·期中)若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 题型03 二次函数的基本性质（顶点坐标、对称轴、最值等） 【例题1】(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)关于抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)二次函数的图象的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2】(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)抛物线的对称轴是直线，则的值为 ． 【例题3】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【变式3】(24-25九上·广东惠州惠阳区星湖中学·期中)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)当时，的最小值是________，最大值是________． 题型04 二次函数的增减性及比较大小 【例题】(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)函数，当 时，函数值随的增大而增大． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25九上·广东江门新会区尚雅学校·期中)点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 题型05 二次函数的基本性质（顶点坐标、对称轴、最值、增减性等综合） 【例题6】(24-25九上·广东中山小榄镇·期中)探究二次函数及其图象的性质，请填空： (1)图象的开口方向是________； (2)图象的对称轴为直线________； (3)图象与y轴的交点坐标为________； (4)当x为何值时，函数y有最小值，并出求最小值． 【变式1】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，y随x的增大而减小；⑤抛物线与y轴的交点坐标为．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 二次函数图象的平移/对称 【例题1】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是( ) A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·广东江门蓬江区楼山初级中学·期中)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026•碑林区校级模拟）将抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（　　） A．b＝﹣1，c＝6 B．b＝﹣1，c＝﹣2 C．b＝1，c＝﹣2 D．b＝1，c＝6 【变式3】（2026·广东广州·一模）已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 题型07 二次函数区间最值问题 【例题】(23-24九上·广东韶关翁源县·期中)已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【变式2】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．当b＝4，c＝3时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围． 题型08二次函数与一次函数图象共存问题 【例题】（2026•广州校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+bc的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【变式2】（2025秋•游仙区期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A．B． C． D． 题型09 二次函数图像与系数的关系 【例题】(23-24九上·广东汕头金平区飞厦中学·期中)已知，抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·广东茂名化州丽岗中学·期中)二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 题型10 二次函数的图象与性质综合基础 【例题】已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【变式1】(24-25九上·广东珠海斗门实验中学·期中)如图、抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C．且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式： (2)左右平移该二次函数的图象，使其经过原点，写出平移后二次函数表达式． 【变式2】(23-24九上·广东广州海珠区绿翠现代实验学校·期中)抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： … … … … (1)求该抛物线的解析式． (2)根据上表填空： 抛物线与x轴的交点坐标是______和______； 抛物线经过点（，______），对称轴为______； 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的概念及图象性质（解析） 26.1二次函数的概念 知识点1.二次函数的定义 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，y是x的函数. 二次项：ax²，二次项系数：a；一次项：bx，一次项系数：b；常数项：c. 【关键限定】a≠0（若a=0，式子变为y=bx+c，即为一次函数，不再是二次函数）；b、c可以为0. 【特殊形式】 当b=0、c=0时，y=ax²（最简二次函数）； 当b=0时，y=ax²+c； 当c=0时，y=ax²+bx. 【题型练习】 题型01 二次函数的识别 ①； ②； ③； ④； ⑤（为常数）． 【答案】②，③是二次函数 【详解】解：①是一次函数，不是二次函数； ②，符合的形式，是二次函数； ③，符合的形式，是二次函数； ④，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； ⑤中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 【变式1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 【变式2】（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 题型02 二次函数的一般形式 【例题】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的二次项系数是______，常数项是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式．通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵变形为， 二次项系数为，常数项是． 故答案为：，． 题型03 由二次函数的定义求参数 【例题】若是二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 【变式1】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【变式2】（25-26九年级上·新疆哈密·期中）已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 题型04 二次函数关系式 【例题】某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 【变式1】公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃兰州·月考）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 26.2 二次函数图象和性质 知识点1.二次函数的性质与图像 形式 一般式： 顶点式 的符号 开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 对称轴 ，若同号，则对称轴在轴左边；若异号，则对称轴在轴右边。简称左同右异。 ，若，对称轴在轴右边；若，对称轴在轴左边， 最值 当时取得最小值 当时取得最大值 当时取得最小值 当时取得最大值 顶点坐标 增减性 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； 图像在对称轴左边随的增大而减小；图像在对称轴右边随的增大而增大； 图像在对称轴左边随的增大而增大；图像在对称轴右边随的增大而减小； ①若二次函数是一般形式时，则二次函数与轴的交点坐标为。若，则二次函数与轴交于正半轴；若，则二次函数与轴交于负半轴。 ②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 ③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 ④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。 知识点2.二次函数的平移 ①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。 ②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。 (1)沿轴平移:向上（下）平移m个单位，变成（或） (2)沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，变成（或） 知识点3.二次函数的对称变换 ①若二次函数关于轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。 ②若二次函数关于轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。 ③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。 【题型练习】 题型01 一般是与顶点式互化 【例题】用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x+4）2+7 C．y=（x﹣4）2﹣25 D．y=（x+4）2﹣25 【答案】C 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【详解】y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25． 故选C． 【变式1】把二次函数用配方法化成的形式应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．利用配方法把二次函数一般式化为顶点式． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式2】学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式化成的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数化成的形式如下： 甲： 乙： 两位同学做法正确的是（   ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】C 【分析】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般．此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可． 【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确； 故答案选：C． 题型02 待定系数法求二次函数的解析式 【例题】(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．代入到得到二元一次方程组，求解方程组得出b、c的值即可解答． 【详解】解：代入到，得， 解得：， 二次函数的表达式为． 【变式1】(24-25九上·广东广州第九十七中学·期中)已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，由给定点的坐标，利用待定系数法，即可求出这个二次函数的表达式． 【详解】解：将和代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故选：C． 【变式2】(23-24九上·广东珠海香洲区第十一中学·期中)若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将已知点的坐标代入求解即可； 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将点代入得， 解得， 所以该二次函数的解析式为． 故选：A； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型03 二次函数的基本性质（顶点坐标、对称轴、最值等） 【例题1】(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)关于抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，根据抛物线的顶点式直接确定顶点坐标． 【详解】题目中的抛物线方程为，顶点坐标为，对应选项A． 故选：A． 【变式1】(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)二次函数的图象的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是 故选：A． 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 【变式2】(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)抛物线的对称轴是直线，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键．根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：的对称轴是直线， ， 解得． 故答案为：． 【例题3】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 【变式3】(24-25九上·广东惠州惠阳区星湖中学·期中)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)当时，的最小值是________，最大值是________． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式，二次函数的性质． （1）根据二次函数的顶点式，进行配方即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，找出的范围对应的函数值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴改写形式为； （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为，如图所示， ∴当时，二次函数与轴的交点坐标为； 当时，二次函数； 当时，二次函数； ∴当时，，有最小值；，有最大值， 故答案为：，． 题型04 二次函数的增减性及比较大小 【例题】(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)函数，当 时，函数值随的增大而增大． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知：函数图象的对称轴是直线， ， 函数图象开口向下， 当时，函数值随的增大而增大， 故答案为：． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， . 【变式2】(24-25九上·广东江门新会区尚雅学校·期中)点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：A． 题型05 二次函数的基本性质（顶点坐标、对称轴、最值、增减性等综合） 【例题】(24-25九上·广东中山小榄镇·期中)探究二次函数及其图象的性质，请填空： (1)图象的开口方向是________； (2)图象的对称轴为直线________； (3)图象与y轴的交点坐标为________； (4)当x为何值时，函数y有最小值，并出求最小值． 【答案】(1)开口向上 (2)直线 (3) (4)当时，有最小值 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据解析式可得，即可求解； （2）根据顶点式，即可求解； （3）令，得出，即可求解； （4）根据解析式求得顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴抛物线开口向上； （2）解：， ∴对称轴为直线； （3）解：， 当时， ∴图象与y轴的交点坐标为； （4）解：， 顶点坐标为， 当时，有最小值． 【变式1】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，y随x的增大而减小；⑤抛物线与y轴的交点坐标为．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①∵， ∴抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线，正确； ③顶点坐标为，正确； ④∵时，y随x的增大而减小， ∴时，y随x的增大而减小一定正确； ⑤当时，，故本小题不正确； 综上所述，结论正确的个数是①②③④共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性，解题的关键是熟记二次函数的性质． 【变式2】对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 题型06 二次函数图象的平移/对称 【例题1】将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 【变式1】(24-25九上·广东江门蓬江区楼山初级中学·期中)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为， 故选：D． 【变式2】（2026•碑林区校级模拟）将抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（　　） A．b＝﹣1，c＝6 B．b＝﹣1，c＝﹣2 C．b＝1，c＝﹣2 D．b＝1，c＝6 【解析】抛物线关于y轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线y＝ax2+bx+c向下平移2个单位， ∴平移后解析式为y＝ax2+bx+c﹣2， 又∵平移后抛物线与上述关于y轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴b＝﹣1，c﹣2＝﹣4， 解得b＝﹣1，c＝﹣2， 故选：B． 【变式3】（2026·广东广州·一模）已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】抛物线与x轴的两个交点纵坐标相等，可知两个交点关于抛物线对称轴对称，根据交点横坐标即可计算出对称轴． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 和 ， ∴ 两个交点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线对称轴为直线 ． 题型07 二次函数区间最值问题 【例题】(23-24九上·广东韶关翁源县·期中)已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质和数形结合是解题的关键． 【详解】解：由， 当时，随的增大而减小， ∴在时，当时，有最大值， 最大值为：， 故选：． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 【变式2】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．当b＝4，c＝3时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围． 【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点； （2）根据函数的增减性求解； 【解答】解：①∵b＝4，c＝3 时， ∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7， ∴顶点坐标为（2，7）． ②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7）， ∴当 x＝2 时，y有最大值7， ∵2﹣（﹣1）＞3﹣2， ∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2， ∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 题型08二次函数与一次函数图象共存问题 【例题】（2026•广州校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+bc的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据二次函数图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴c＞0， ∴bc＞0， ∴一次函数y＝ax+bc的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象和性质，掌握它们的性质是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 先求出的顶点坐标， 再分情况讨论即可． 【详解】解：当时，， 即函数的顶点为，B、D不符合要求； 当时，函数经过一、三象限，函数开口向上，C符合； 当时，函数经过二、四象限，函数开口向下，无符合选项； 故选：C． 【变式2】（2025秋•游仙区期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＜0，b＞0，c＞0，由此即可得出：二次函数y＝a2x+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x0，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x0，与y轴的交点在y轴正半轴． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键． 题型09 二次函数图像与系数的关系 【例题】(23-24九上·广东汕头金平区飞厦中学·期中)已知，抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是数形结合，根据二次函数的性质，结合图象逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵抛物线开口向上， ∴，所以A选项错误； B、∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴， ∴，所以B选项错误； C、由图象可知当时，， ∴，所以C选项错误； D、当时，， ∴，所以D选项正确． 故选：D． 【变式1】(24-25九上·广东茂名化州丽岗中学·期中)二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：，，然后根据图象判断其值． 根据和时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断①和②，由抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点可以判断③、④、从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∴，故①正确； 当时，， 由图象可知，当时，，故②正确； ∵图象开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴的交点在y轴的上半轴， ∴， ∴，故③错误； ∵，，， 当， 则，产生矛盾，故④错误； ∴正确的有2个． 故选：C． 【变式2】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 题型10 二次函数的图象与性质综合基础 【例题】已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)3；函数图象，如图所示： (2) (3)或 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据函数图象可得：当时，； （3）解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． 【变式1】(24-25九上·广东珠海斗门实验中学·期中)如图、抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C．且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式： (2)左右平移该二次函数的图象，使其经过原点，写出平移后二次函数表达式． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移； （1）根据直线解析式求得的坐标，根据对称轴求得点的坐标，进而待定系数法求解析，即可求解； （2）抛物线左右平移个单位过原点，此时抛物线为，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C． ∴当时，，当时， ∴ ∵抛物线的对称轴为直线．关于直线对称， ∴ 将，代入得， 解得： ∴抛物线的解析式为 （2）解： 设抛物线左右平移个单位过原点，此时抛物线为 ∴ 解得：或 ∴平移后的抛物线为：或 【变式2】(23-24九上·广东广州海珠区绿翠现代实验学校·期中)抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： … … … … (1)求该抛物线的解析式． (2)根据上表填空： 抛物线与x轴的交点坐标是______和______； 抛物线经过点（，______），对称轴为______； 【答案】(1) (2)，直线 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及的图象和性质，解题的关键在于从表格中获取需要的信息． （1）由表格可知抛物线过点，，，再结合待定系数法求解，即可解题； （2）①直接根据表格信息求解，即可解题； ②利用抛物线与x轴的交点坐标求出对称轴，再结合二次函数的对称性求解，即可解题． 【详解】（1）解：由表格可知抛物线过点，，， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：①由表格可知抛物线与x轴的交点坐标是和； 故答案为：，； ②由表格可知抛物线对称轴为直线， 与关于直线对称，且抛物线过点 抛物线经过点； 故答案为： ，直线． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $