专题05 一元二次方程72道计算题专项训练（12大题型）-2026-2027学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

**基本信息** 72道计算题分12大题型系统覆盖一元二次方程解法及应用，以题载法构建从基础到综合的方法体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |12大题型|72题12题型|涵盖直接开方法等四种基本解法、错解纠正、换元法、韦达定理应用、构造方程及新定义运算|从解法原理到综合应用递进，衔接概念生成、方法迁移与拓展创新|

第05讲 一元二次方程72道计算题专项训练（12大题型） 目录 计算题型・夯实基础 题型一、直接开方法解一元二次方程 1 题型二、配方法解一元二次方程 2 题型三、公式法解一元二次方程 3 题型四、因式分解法解一元二次方程 5 题型五、指定方法解一元二次方程 6 题型六、一元二次方程错解纠正计算 11 题型七、由一元二次方程的解求代数式值 8 题型八、配方法的应用 9 题型九、换元法解一元二次方程 11 题型十、一元二次方程根与系数的关系计算 11 题型十一、构造一元二次方程的计算题 11 题型十二、一元二次方程的新定义运算 11 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】本题考查用直接开方法解一元二次方程，直接开方法适用于形如或的方程，核心是将方程转化为完全平方等于非负数的形式，再利用平方根的定义求解． （1）先利用平方差公式展开方程左边，将方程转化为的形式，再直接开平方求解； （2）方程两边都是完全平方的形式，直接对两边开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 原方程化为， 移项，合并同类项，得， 直接开平方得； 所以原方程的根为：或． （2）解：， 两边直接开平方得， ①当时，解得； ②当时，解得； 所以原方程的根为：或． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法解一元二次方程． （1）（2）（3）利用直接开平方法求解可得； （4）先整理成，再开方即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则，即，； （2）解：∵， ∴， 则，； （3）解：∵， ∴， 则， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 3．（专题22.2一元二次方程的解法【八大题型】-2026-2026学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版））解下列方程：（直接开方法） 【答案】 【分析】直接利用开方法进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）用直接开方法解方程： 【答案】， 【分析】两边直接开平方即可． 【详解】两边直接开平方得：或 解得：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），. 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤求解即可. 【详解】解：（1）， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ，； （4）， ， ，. 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 6．（24-25八年级下·北京·课后作业）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 7．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理后即可判断正确选项． 【详解】解：原方程为， 移项得， ∴方程两边同时加 ，得， 整理得． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 10．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 11．（25-26九年级上·北京·阶段检测）用配方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． （2）解： 移项得 二次项系数化为1得 配方，方程两边同时加得 整理得 解得． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：移项，得：． 配方，得． 即． ∴，即，． ∴，． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 14．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 15．（25-26九年级上·山东临沂·开学考试）用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【答案】 ；；；；；；； 【分析】利用公式法解方程即可. 【详解】略 16．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 17．（25-26八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 18．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 【答案】，． 【分析】设，则原方程可化为，然后求出的值，再代入解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴，解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴， ∴，． 21．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， ， 或， ，． 22．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）左边为完全平方式，因式分解后即可得解； （2）移项后，根据因式分解法求一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴， 解得：． （2）解：， 移项得， 提取公因式得， ∴或， 解得，． 23．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】， ， 或， 解得：，． 24．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【详解】（1）解： ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，； （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 25．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； （2）解：， ∵，，， ∴， ， ，； （3）解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，， 即， 直接开方得，， ，． 26．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）先求出根的判别式，再用公式法计算即可； （2）将常数项移到方程右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即得，直接开方求解即可； （3）将所有项移到方程左边，然后提公因式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解： ，； （3）解： 或 ，． 27．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 28．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程． （1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式的值，继而求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， ， ， 或 解得． 29．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)．（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）根据指定的直接开平方法解方程即可； （2）根据指定的配方法解方程即可． 【详解】（1）解：开方，得 即或 ∴，； （2）解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 30．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解：方程整理得， ∴，，， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴ ∴，； （4）解： 或 ∴，． 【经典计算题六 一元二次方程错解纠正计算】 31．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得， ． 小芳： 解：， ， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是________________（填“正确”或“错误”）． 小芳的解法是________________（填“正确”或“错误”）． (2)如果小华或小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程； 如果小华和小芳的解法都错误，请写出原方程正确的解答过程． 【答案】(1)错误；错误 (2) 解：， 移项得：， 提公因式得：， 即：或， 解得：或． 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据题意可知小华没有考虑的情况，即错误，小芳在提公因式时没有变号，即错误； （2）根据解一元二次方程知识可知，利用提公因式解方程即可． 【详解】（1）解：∵小华没有考虑的情况， ∴小华计算错误， ∵小芳在提公因式时没有变号，应为， ∴小芳的解法错误， 故答案为：错误；错误； （2）略 32．（2026·浙江杭州·二模）下图是某同学解方程的过程： (1)你认为他解方程的过程正确吗？若不正确，请说明理由． (2)用适当的方法解此方程． 【答案】(1)不正确，若，则方程两边不能同时除以 (2)解：， ， 即， ∴或， ，． 【分析】（1）若，则方程两边不能同时除以，因此他解方程的过程是错误的； （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 33．（25-26八年级下·浙江丽水·阶段检测）小明同学解方程：的过程如下： 小明：两边同除以，得，第一步 则．第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程． 【答案】解：小明的解法不正确，从第一步开始出错． 正确解答过程如下： 原方程为， 移项，得， 提取公因式，得， 整理得， 则 或 ， 解得，． 【分析】小明的错误是忽略了可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以会漏掉这个根，正确方法为移项后用因式分解法求解． 【详解】略． 34．（2026·河北保定·二模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确；不正确 (2) 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解法分析即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或不正确； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法不正确； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 35．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程：文文与明明两位同学解方程的过程如下： 文文： 两边同除以，得 则． 明明： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． 文文的解法 ；明明的解法 ；（填“正确”或“不正确”） 请你写出解一元二次方程的正确过程： 【答案】 解：文文的解法：当时，不满足等式的性质，故文文的解法不正确； 明明的解法，在提取公因式时错误，正确应为， 正确过程如下： ∴或， ∴． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键； 先根据解一元二次方程的解法判断，然后再根据因式分解法解方程即可． 【详解】略 36．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)， (2)解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【分析】（1）小明：没有考虑的情况；小强：提取公因式时出现了错误；所以他们的解法都不正确； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：小明：没有考虑的情况，所以解法不正确； 小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确． （2）略 【经典计算题七 由一元二次方程的解求代数式值】 37．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2026 B．2026 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 38．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 39．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 40．（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）若关于的一元二次方程有一根为．则关于的一元二次方程必有一根为___________． 【答案】 【分析】利用已知根得到满足原方程的等式，对等式变形后即可推导出所求方程的根． 【详解】解：将代入一元二次方程，得， ， ∴， 若，代入原方程可得，与矛盾， 将两边同时除以，得， 整理得， 当时，方程成立， 方程必有一根为． 41．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 42．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 【经典计算题八 配方法的应用】 43．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 44．（25-26九年级上·浙江嘉兴·开学考试）代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先将原式变形为，再分解因式，然后根据配方法得到，然后利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式有最小值， 此时最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，配方法的应用，以及非负数的性质，得出是解题的关键． 45．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 46．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】依据题意，先化成材料中的例子的形式，再仿照材料中的例子，即可求得答案． 【详解】解：， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 47．（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，多项式取得最大值为 (2)当，时，多项式的最小值为 【分析】（1）对进行配方，即可得出结果； （2）对进行配方，即可得出结果． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为； （2）解： ， ∵，， ∴，当且仅当且时等号成立， 由可得，， 将代入可得， 故当，时，多项式的最小值为． 48．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2) ，理由如下： ， ． 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）略 【经典计算题九 换元法解一元二次方程】 49．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 【答案】（1）② （2） （3） 【分析】考查一元二次方程解法（因式分解、换元法）及降次思想．关键是因式分解降次、换元简化方程，易错点是漏项和忽略判别式． （1）解一元二次方程的基本思想是“降次”，选②． （2）提取公因式并因式分解，降次求解得三个根． （3）换元后解方程，结合判别式得． 【详解】（1）② （2）提取公因式x，得． ∴或， 方程，因式分解可得． ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为： （3）设，则． ， 解得，． 当时，，即， ，∴无实数根． 当时，，即，有实数根． 因为a是方程的根， ． 50．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出y的值即可得到答案； （2）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． 51．（2026九年级下·广东茂名·竞赛）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 先把原方程变为，设，则，解出方程可得或，即可求解． 【详解】解：原方程变为， 设，则， 解得：或，         由 即， 解得， 由 即，此方程无解； 经检验：是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 52．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 【答案】(1)， (2)当时，，；当时，原方程无实数根． 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和配方法是解题的关键． （1）设，则原方程变形，解得，则，或，即可求出方程的解； （2）设，则，，得到，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解： 设，则， ，或 ， （2）解： 设，则， 当时，， ，或 ，， 当时，原方程无实数根． 53．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，解得． 所以，原方程的解为． （2）， ， 设，则原方程化为， 解得， 当当时，，解得． 当时，，此方程无实数根． 所以，原方程的解为． 54．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 【答案】(1)5或 (2)5 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． （2）仿照例题，将看作整体，因式分解后得出，再求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴， 故答案为：5或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 【经典计算题十 一元二次方程根与系数的关系计算】 55．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 56．（26-27九年级上·全国·单元复习）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 57．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 58．（25-26八年级下·北京通州·期末）已知，关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ． ∵ ∴． ∴取任意实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先根据根与系数的关系求出和，再整理，代入和列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵方程有两个实数根，， ∴根据根与系数的关系得，，， ∵， ∴，整理得：，即， 解得：，． 59．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 【答案】(1)解：该一元二次方程不存在实数根，理由如下： 由题意得，， ∴该一元二次方程不存在实数根； (2) (3) 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，由方程的解的定义得到，，则可推出，，可推出，据此代入求值即可； （3）由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 60．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知为方程的两个实数根． (1)若，，则___________，___________； (2)若，，求的值； (3)求证：分解因式的结果可以是． 【答案】(1)0， (2) (3)证明：为方程的两个实数根， ， ， ， 即分解因式的结果可以是． 【分析】（1）利用因式分解法得到，据此求解即可； （2）原方程可化为，利用根与系数的关系求解即可； （3）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：若， ∴原方程可化为，即， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 原方程可化为． ， ． 为方程的两个实数根， ， ； （3）略 【经典计算题十一 构造一元二次方程的计算题】 61．（25-26九年级下·四川宜宾·期末）已知，，且，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据已知得出，，得出，是方程的两根，进而利用根与系数的关系代入求出即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，是方程的两根， 则，， 故 ． 62．（2026·河北唐山·二模）若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】把看作一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】∵ ， ，， ∴可以把看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ． 63．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，满足同一个一元二次方程，因此，可看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ． 64．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b满足等式，，则________． 【答案】 或或 【分析】先由a、b满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程的根，同时将变形为代入待求式降次，把式子转化为含与的形式，再分两种情况讨论，①时用一元二次方程根与系数关系 求出、后代入计算，时先解出方程的根，再分别代入求值． 【详解】解：∵实数a，b满足等式，， ∴a，b可看作方程的根， ∵， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①： 由一元二次方程根与系数关系得 ，， 原式； ②： 解方程， 因式分解，得， 解得，， 当时，原式； 当时，原式； 综上，或或． 65．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】（1）分两种情况分析：当时，当时，分别解一元二次方程即可； （2）分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （2）∵， ①当时，， ②当时，m、n是方程的两根， ∴，， ∴原式． ∴的值为2或． 66．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 【经典计算题十二 一元二次方程的新定义运算】 67．（2026·河北沧州·三模）定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算规则整理出一元二次方程，再利用方程有实数根可得判别式，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 整理得 ， ∵该一元二次方程有实数根， ∴ ， 解得 . 68．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 即， 有两个不相等的实数根， ， 即， 解得． 69．（25-26八年级下·福建厦门·期末）定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)证明：∵ 一元二次方程为“关联方程” ， ∴，即， 把代入方程左边，得左边， ∴ 左边右边， ∴为“关联方程”的根； (2)或 【分析】由定义得，再把代入方程左边可得左边右边，即可求证； 由定义得，由是该“关联方程”的一个根得，进而得到，再解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是关于的“关联方程”， ∴， ∴， ∵是该方程的一个根， ∴， 整理得， 把代入，得， 因式分解，得， 解得或． 70．（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【答案】(1)①③ (2) 证明：∵该方程为和谐方程， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴和谐方程总有实数根； (3) 【分析】（1）根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出，根据平方的非负性作答即可； （3）根据“该方程有两个相等的实数根”得到，进而根据“和谐方程”的定义得到，根据完全平方公式得到，即可得到a，c的数量关系． 【详解】（1）解：①，是“和谐方程”； ②，不是“和谐方程”； ③，是“和谐方程”； ∴属于“和谐方程”的是①③； （2）略 （3）解：∵该方程有两个相等的实数根 ∴， 即． ∵方程为和谐方程， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴a，c的数量关系为． 71．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)是 (2)a的值为3或 【分析】本题是阅读理解类题目，主要考查了解一元二次方程，解题的关键是读懂题意． （1）通过解方程得到根，判断是否满足倍根关系． （2）根据因式分解形式直接得到根，结合有两个不等根和倍根条件求a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， 该方程是“倍根方程”， 故答案为：是． （2）解：方程的根为， 原方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 又 ∵该方程是“倍根方程”， ∴有两种情况：情况一：， ∴， ∴， 情况二：， ， ， ， 经检验，和均满足， a的值为3或． 72．（25-26九年级上·广西玉林·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“完美方程”，并说明理由． (2)已知是关于x的“完美方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】(1) 方程 是“完美方程”，理由如下： ，，， ， 一元二次方程 是“完美方程”； (2)或 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． （1）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，代入判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，求出，的关系式，然后把化成，代入方程，得到关于的方程，进行解答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解： 是关于的“完美方程”， ，，， ， ， ， 原方程可化为， 是此方程的一个根， ，即， 解得或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一元二次方程72道计算题专项训练（12大题型） 目录 计算题型・夯实基础 题型一、直接开方法解一元二次方程 1 题型二、配方法解一元二次方程 2 题型三、公式法解一元二次方程 3 题型四、因式分解法解一元二次方程 5 题型五、指定方法解一元二次方程 6 题型六、一元二次方程错解纠正计算 11 题型七、由一元二次方程的解求代数式值 8 题型八、配方法的应用 9 题型九、换元法解一元二次方程 11 题型十、一元二次方程根与系数的关系计算 11 题型十一、构造一元二次方程的计算题 11 题型十二、一元二次方程的新定义运算 11 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开方法解下列方程： (1)； (2)． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（专题22.2一元二次方程的解法【八大题型】-2026-2026学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版））解下列方程：（直接开方法） 4．（25-26八年级下·全国·单元测试）用直接开方法解方程： 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 6．（24-25八年级下·北京·课后作业）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 7．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)． (2)． 10．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）解方程： 11．（25-26九年级上·北京·阶段检测）用配方法解下列方程 (1) (2) 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 14．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 15．（25-26九年级上·山东临沂·开学考试）用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 16．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 17．（25-26八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 18．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）用公式法解方程：． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 21．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解方程：． 22．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）解方程： (1)． (2)． 23．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：． 24．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程： (1) (2) (3) (4)． 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 25．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 26．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 27．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 28．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 29．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)．（用配方法） 30．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 【经典计算题六 一元二次方程错解纠正计算】 31．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得， ． 小芳： 解：， ， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是________________（填“正确”或“错误”）． 小芳的解法是________________（填“正确”或“错误”）． (2)如果小华或小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程； 如果小华和小芳的解法都错误，请写出原方程正确的解答过程． 32．（2026·浙江杭州·二模）下图是某同学解方程的过程： (1)你认为他解方程的过程正确吗？若不正确，请说明理由． (2)用适当的方法解此方程． 33．（25-26八年级下·浙江丽水·阶段检测）小明同学解方程：的过程如下： 小明：两边同除以，得，第一步 则．第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程． 34．（2026·河北保定·二模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 35．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程：文文与明明两位同学解方程的过程如下： 文文： 两边同除以，得 则． 明明： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． 文文的解法 ；明明的解法 ；（填“正确”或“不正确”） 请你写出解一元二次方程的正确过程： 36．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 【经典计算题七 由一元二次方程的解求代数式值】 37．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2026 B．2026 C．2025 D．2026 38．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 40．（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）若关于的一元二次方程有一根为．则关于的一元二次方程必有一根为___________． 41．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知，都是方程的根，试求代数式的值． 42．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【经典计算题八 配方法的应用】 43．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 44．（25-26九年级上·浙江嘉兴·开学考试）代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 45．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 46．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则的最小值为_____． 47．（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 48．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【经典计算题九 换元法解一元二次方程】 49．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 50．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 51．（2026九年级下·广东茂名·竞赛）解方程： 52．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 53．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）【阅读材料】解方程：． 解∶设，则原方程变为， 解得，． 当时，，解得． 当，解得． 所以，原方程的解为． 【问题解决】 (1)利用上述方法，解方程：； (2)利用上述方法，解方程：． 54．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： (1)解方程，则______； (2)若，求______． 【经典计算题十 一元二次方程根与系数的关系计算】 55．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 56．（26-27九年级上·全国·单元复习）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 57．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 58．（25-26八年级下·北京通州·期末）已知，关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 59．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 60．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知为方程的两个实数根． (1)若，，则___________，___________； (2)若，，求的值； (3)求证：分解因式的结果可以是． 【经典计算题十一 构造一元二次方程的计算题】 61．（25-26九年级下·四川宜宾·期末）已知，，且，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 62．（2026·河北唐山·二模）若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 63．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 64．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b满足等式，，则________． 65．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 66．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【经典计算题十二 一元二次方程的新定义运算】 67．（2026·河北沧州·三模）定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 68．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________． 69．（25-26八年级下·福建厦门·期末）定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 70．（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 71．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 72．（25-26九年级上·广西玉林·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“完美方程”，并说明理由． (2)已知是关于x的“完美方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $