辽宁大连市第八中学2026-2027学年高三上学期8月阶段测试数学试题

2026-2027学年度大连八中高三8月阶段测试 数学 考试时间：120分钟：满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.若集合A={xx=x},B={x0≤x≤，则AnB=（) A.(0) B.{ c.{0,} D.{0,-1,1} 2.已知命题p:3x∈R,x2+1<2x:命题9不等式x2-2x-1>0恒成立，那么命题（) A.P且9是真命题 B.P或9是假命题 C.g是真命题 D.一Pp是假命题 3.已知角α的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单 √2√2 位圆相交于点 2 2 则sinacosa=（) A.2 B.、2 c.2 D.2 4.函数y=f(2x-1)是R上的奇函数，函数y=∫(x)图像与函数y=g(x)关于y=-x对称， 则8(x)+g(-x)=() A.0 B.-1 C.2 D.1 5.已知复数z=0+列，则=() A.5-i B.-3+i c.5- 22 n+ 6.已知函数f(x)=x-x2+3下列区间中包含f(x)零点的是（) A.（-2,-) B.（-1,0) c.(0,) D.(1,2) 7、已知精圆C兰+茶=1(0>6>0)的左、右焦点分别为5,5M为椭圆上一点若 M匠=2M丽，M正-H正=0，则C的离心率的取值范围是（) 试卷第1页， 共5页 A别 c. ( 8.若不等式re-x-nx-a≥0恒成立，则实数a的取值范围为(). A.(0,] B.(0,e-l] c.（-o, D.(-oo,c-] 二、多选题本题共3小题，每小题6分 9.下列各式中正确的是() B.tan2<tan3 c.(2) D.(}水sn( 10.设点P(0,%)在圆0：x2+y2=1上，圆下方程为(x-x)+(y-y)2=1,直线1方程为 y=a,则() A.对任意实数k和点P,直线I和圆下有公共点 B.对任意点P,必存在实数k,使得直线I与圆T相切 C.对任意实数k,必存在点P,使得直线I与圆Γ相切 D.对任意实数k和点P,圆O和圆下上到直线I距离为1的点的个数相等 2an,n为奇数 11.己知am+1= ,记数列{a,}的前n项和为Sn,且S3=6,则下列说法正确的 an十1，n为偶数 是() A.a1=1 B.a9=2047 C.an=2"+1-2 D.S0=6108 第II卷（非选择题） 三、填空题本大题共3小题，每小题5分 12.写出同时满足下面两个条件的数列{a,}的一个通项公式a。=」 ①{a}是递增的等差数列：②4-4+2a,=4. 13.已知函数f(x)=a(a-(a>0且a≠1)在区间 上单调递减，则实数a的取值范 围是 l4.若函数f(x)=lnx-ae-lna有两个不同的零点，则a的取值范围是 试卷第2页，共5页 四、解答题本题共5小题，共77分 15。已知函数)=2sin(@r+p)0>0lp水引从下面的两个条件中任选其中-个：① f)=-2sin2x+25 Ssin.xcosx+1:②若f(x)=2,f(3)=0,且k-的最小值为号 f0)=1,求解下列问题： (1)化简f(x)的表达式并求f(x)的单调递增区间： Q已知aBe(凭引a)=A,sn(a-)=语，求eos月的值。 16.已知函数f(x)=xe+e. (1)求函数f(x)的单调区间和极值： (2)画出函数f(x)的大致图象，并说明理由： (3)求函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数 试卷第3页，共5页 17.如图在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,ABI‖CD, AB⊥AD,AB=3,AD=V5,AP=CD=2,∠PAB=60,M是CD中点，N是PB上一点. >D ()当PW=PB时，证明：MWI平面PAD: (2)平面PAD与平面AMN夹角的余弦值为飞， 的值. PB 18.甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定每一局比赛获胜方记1分，失败方记0分，谁先 获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是？· (1)求比赛结束时恰好打了7局的概率： (2)若现在的比分是3比1甲领先，记5表示结束比赛还需打的局数，求5的分布列及期 望。 试卷第4页，共5页 19.记各项均为正数的数列{a}的前n项和是Sn,己知a+a。=2S,n为正整数， (1)求{a}的通项公式： (2)设b.=tan(an)tan(an,求数列{bn}的前n项和T.: 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 2 8 9 10 答案 B A 0 D A C C BC ACD 题号 11 答案 ACD 1.c 【详解】因为x=x2,即x2-x=0,解得x=0,x2=1,=-1, 则A={0,1,-1},故AnB={0,. 2.B 【解析】判断出命题P、9的真假，然后利用复合命题的真假可判断各选项的正误。 【详解】对于命题P,:x2+1-2x=(x-)2≥0，即x2+1≥2x,命题P为假命题： 对于命题9，当x=0时，x2-2x-1=-1<0,命题9为假命题. 所以，P且9是假命题，P或9是假命题，一P是真命题， 故选：B, 【点晴】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键在于判断各简单命题的真假，考查推理 能力，属于基础题. 3.A 【分析】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可. 【详解】因为终边与单位圆交于点 2’ 则终边落在第二象限， 所以sina=2 √2 cosa=- sinacosa=- 故选：A 4.C 【分析】由函数y=∫(2x-)是R上的奇函数，可得函数y=∫(x)的图像关于点(-l,0)对称， 根据条件可得函数y=g(x)的图像关于(0，)对称，从而得出答案。 【详解】函数y=f(2x-1)是R上的奇函数，则-f(-2x-)=f(2x-) 设2x-1=t,则f()=-f(-2-),则函数y=f(x)的图像关于点(-l,0)对称 函数y=(x)图像与函数y=g(x)关于y=-x对称， 答案第1页，共13页 所以函数y=g(x)的图像关于(0,1)对称，所以g(x)+g(-x)=2 故选：C 5.D 【分析】先求出2=2，z=-√5-i,再利用复数的除法运算求解. 【详解】~z=+V5团列=-5+i, 2=2,z=-5-i, ☒-2 Z3+i 25-.夏+： 4 2 故选：D 6.A 【分析】对于A:根据零点存在性定理分析判断；对于BCD:根据函数值的符号分析判断. 【详解】函数fx)=x3-x2+3=x2(x-)+3, 对于选项A:因为f(-2)=-9<0,f(-1)=1>0, 所以∫(x)在(-2，-)内存在零点，故A正确： 对于选项B:因为-1<x<0,则0<x2<1,-2<x-1<-1, 可得x2(x-)>-2,可得fx)>0,可知f(x)在(-l,0)内无零点，故B错误： 对于选项C:因为0<x<1,则0<x2<1,-1<x-1<0, 可得x2(x-)>-l,可得fx)>0,可知f(x)在(0，)内无零点，故C错误： 对于选项D:因为1<x<2,则x2>0,x-1>0, 可得x2(x-)>0,可得f(x)>0,可知f(x)在(，2)内无零点，故D错误： 故选：A 7.C 【分折1设M(kX》.利用己知条件泉出川（气二兰，孕） 再联立椭圆方程结合x∈[-a,a即 可求出. 【详解】M匠=2M而，故点H位于线段M的中点，设M(x%),F(-c,0),F(c,0),则 答案第2页，共13页 m=(-丽（之，}又丽丽-0， (e-x2兰}+(-%受0，化简得云-2a+后=3c, 又w为椭圆上一成，芝+冷1，联立得名-2+-)3，即 三6-2a+6-x0)-0. 此方程有解，则(-2-4x号×-3c2）20,化简得a2≥-3c3,即d2a-4c2恒成立， 方程号名-2ax+6-2x2)-0→c2%-20c+e-4松82=0的两个根为心t20和 a2-2ac c 又∈[-a,d, 心+2ae_￠+2a>a,-as-2ac≤a,解得e2号 C 则C的离心率的取值范围是 6 F2 8.C 【分析】先化简转化为erx-(x+x)-a之0恒成立，再构造函数p(g)=e-t,结合函数单 调性求出最值解题， 【详解】因为xe2-x-lnx-a≥0，即ehrx-(nx+x)-a≥0， 令t=nx+x,则e-t-a≥0恒成立， 则a≤e'-t恒成立， 令p(0)=e-l,则p()=c-l, 当1e(-o,0)时，p()<0: 当1e(0,+o)时，p'()>0, 所以p(t)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增， 答案第3页，共13页 所以p()=p(0)=l,所以a≤1，故a的取值范围为(-o,小. 故选：C 9.BC 【分析】根据正切函数的函数值的正负以及单调性可判断A,B,利用诱导公式结合正余弦 函数的性质可判断C,D. 【详解】对于A,tan n3r =tan(- 5 2)=-ta n行<0<am子，A错误； 对于B受2<3<，由于函数y=nx在（传，网上单调递增， 故tan2<tan3,B正确： sπ2 对于C,cos-17乃)=cos17=c0s4m+=c0s 4 42 cos(co(cos <0，故m1>2） C正确： 51 5 对于D函数y=血x在受上是增函数，而后<居 D不正确： 故选：BC 10.ACD 【分析】利用直线与圆的位置关系判断。 【详解】由题意x+y=1，,因此圆Γ一定过原点0，而直线y=:总是过原点，A正确： 当圆下方程为(x-1)2+y2=1时，过原点且与圆下相切的直线是y轴，k不存在，B错误： 对任意实数k,作直线1：y=x的平行线与圆O相切，切点为P,此时P到直线1的距离为1， 即直线1与圆T相切，C正确； 易知对任意实数k,圆O上到直线I距离为1的点有两个，作与直线I平行且距离为1的两条 直线和42，（注意：4和2与圆O恒相切）， 当直线y=c过P点时，直线和I都与圆下相切，两个切点到直线I的距离为1， 当直线y=x不过P点时，直线！和l,中一条与圆Γ相交，一条相离，两个交点与直线/距离 为1，即只有2个点，D正确. 答案第4页，共13页 故选：ACD. 11.ACD 【分析】根据递推式及S,=6,求得a,=1,即可判断A:分n为奇数、n为偶数，求出通项 公式判断B,C;利用分组求和，求出So,判断D. 【详解】解：因为S3=6,即a+a2+a=6, 所以a,+2a1+a2+1=6,a+2a1+2a+1=6, 解得a=1,故A正确： 由此可得a2=2a=2,a3=a2+1=3,a4=2a=2×3=6,a,=a,+1=7, 所以当n为奇数时，n+1为偶数，n+2为奇数， 所以a1=2an,a2=a1+1=2an+1, 所以an2+1=2(an+1), 所以数列{an+1)是等比数列，首项为a,+1=2,公比为2， 所以a.+1=2x2号=2岩，所以0，=2岩-1 n+l 所以4。=22-1=20-1=1023，故B错误： 194 当n为偶数时，n+1为奇数，n+2为偶数， 则an+1=an+1,an2=2a1=2(a,+l)=2an+2, 所以an2+2=2(a。+2), 所以数列{an+2}是等比数列，首项为a2+2=4,公比为2， 答案第5页，共13页 n-2 所以a,+2=4×22， n-2 +2 所以a,=4×22-2=22-2: 所以2n=21-2,故C正确： 对于D,S0=a1+a2+…+a20 =(a1+a3+…+ag)+(a2+a4+…+a20) =(2-1+22-1+…+20-1)+(22-2+23-2+…+2"-2) -20-29-10+20-29-20 1-2 1-2 =21024-1)-10+41024-1)-20 =6108,故D正确. 故选：ACD 12.n-1(答案不唯一) 【分析】设等差数列{a}的公差为d,列举满足d>0,a,=2即可得到a,d,即得解. 【详解】设等差数列{a}的公差为d,由①可知d>0,取d=l, 由a-4+2a,=4,得-2d+2a+6d=4,∴.a+2d=2,则a=0, 所以数列{a}的一个通项公式a,=0+(n-1)=n-1. 故答案为：n-1(答案不唯一) 13.0<a≤亏或a26 【分析】先明确f(x)=aa-2(a>0且a≠1)可看作由函数y=a”,μ=x2-(a-2)x+1复合 而成，分类讨论a>1和0<a<1,根据复合函数的单调性的判断，即可求得实数a的取值范 围 【详解】由题意可知f(x)=ae-2r'(a>0且a≠)可看作由函数y=a",μ=x2-(a-2)x+1 复合而成， 当a>1时，y=a为R上的增函数， 若函数f(x)=a-a-2'(a>0且a≠)在区间 号2上单调递减。 答案第6页，共13页 需满足=-a-2r+1在（号2小上单调递减，即0,2之2a26: 当0<a<1时，y=a为R上的递减函数， 若高数(-aa>0且a)在区问（上单调递减， 爱演足=-e-21在司号小单深适嘴，即号-号 则0<as4, 故实数a的取值范围是0<a≤或a≥6. 4 故答案为：0<a≤ 或a≥26. 4(g 【分析】由题意将问题转化成lnr+e=c+(x+lna)有两个不同的零点，通过构造函数 h(x)=x+e,则h(lnx)=h(x+lna有两个不等实根，令g(x)=lnr-x,x∈(0，+o),利用导 数分析g(x)的性质，即可求出a的取值范围. 【详解】因为函数f(x)=lnx-ae-lna有两个不同的零点， 所以lnr=ae+lna有两个不等实根， 即lnr=e+lno+lna有两个不等实根， 所以nx+x=e+ia+(x+lna有两个不等实根， 即lnx+er=e++(x+lna有两个不等实根， 令函数h(x)=x+e, 则lnx+cr=c+i+(x+lna)即为h(nx)=h(x+lna有两个不等实根， 因为y=x,y=e在R上单调递增， 所以函数h(x)在R上单调递增， 所以nx=x+lna,即lna=lnx-x, g(x)=Inx-x,xE(0,+oo), 所以g(x)=1-1=1-x, 当0<x<1时，g(x)>0:当x>1时，g(x)<0: 答案第7页，共13页 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以g(x)mx=g(①=-1， 因此g(x)在(0，)的值域为(-o,-):当x→o,g(x)→-0，x→0，g(x)-→-o, 若na=lnx-x有两个根，必有a<-l,解得0<a<, 所以a的取值范围为 故答案为： (g 15.(1)f(x)=2sin a号 【分析】(1)由题意分别对①②进行化简得出函数解析式，再求函数的单调区间即可； (2)由(1)得出函数解析式，代入(，再由三角恒等变换即可得. 【详解】(1)解：若选择条件①f(x)=-2sin2x+2V5 sinxcosx+1: =(cos2x-1)+3sin 2x+1 =cos2x+3sin2x -22x+引 由-受+2kx≤2x+名≤+2k,keZ 62 得-号+krsx≤君+2kr,keZ 所以心)的单调递增区间为[子+k红，名+k:keZ 若选择条件②，若∫(x)=2,∫(x2)=0,即x是f(x)的最大值点，x2是f(x)的零点且x-x 的最小值为子， 设f(x)的周期为T, 由此可得三=子，即有T=元， 44 ∴.0= -2 由f0=l,可得0=2如0=l,即有s加p=方 答案第8页，共13页 可得p=若+2kx或-名+2xe0. 6 再结合1p水子，可得和=云， 综上可得：九因=2n2x+引 (2)解：fa)=2sin a+)5, 可得2如+引要， -ae 后引 2a+假) 从而可得2+-号 即有a=交 pe(后引 a-(} 由sin(a-=2, 10 可得cosa-m=75, 10 故cosB=cosa-(a-=(a-月+inasi(a-月=号 16.(1)答案见解析：(2)图象见解析，理由见解析：(3)答案见解析. 【分析】(1)由解析式得f(x)=(x+2)且定义域为R,根据f(x)的符号判断f(x)的单 调性，进而确定其极值情况。 (2)由函数解析式确定零点，判断区间函数值的符号及经过的特殊点，结合其图象的变化 趋势画出大致图象。 (3)将零点个数问题转化为y=f(x)与y=a的交点个数，由(1)(2)所得函数性质及其 图象，应用数形结合的思想，讨论α的范围判断零点个数. 【详解】(1)函数f(x)的定义域为R,且'(x)=(x+2)e, 令(x)=0得x=-2,则f'(x),(x)的变化情况如下表示 (-0,-2) -2 (-2,+oo) 答案第9页，共13页 (x) 0 f() 单调递减 1 单调递增 ∴.f(x)得单调递减区间是(-o,-2),单调递增区间是(-2，+∞). 当x=-2,(x)有极小值为(-2)=-，无极大值. (2)令f(x)=0有x=-1:当x<-l时，f(x)<0:当x>-1时，(x)>0,且f(x)经过 A-2-3)B-o叭.co, 当x→-“，与一次函数相比，指数函数)=e”增长更快，从而-牛→0： 当x→oo时，f(x)→o,f(x)-→to, 根据以上信息，画出大致图象： U f(x)=(x+1)e -2 0 2-) (3)函数g(x)=f(x)-a(aeR)的零点的个数为y=f(x)与y=a的交点个数， 由(1)及(2)的图象，当x=-2时，)有极小值-2)=-己 ∴关于函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点个数有如下结论： 当a<-专时，零点的个数为0个： 当a=己或020，零点的个数为1个 答安第 10页 共13页 当已<a<0时，零点的个数为2个 【点睛】关键点点睛： (1)利用导数研究函数单调性并确定其极值 (2)由函数解析式判断函数的性质，进而画出大致图象. (3)将问题转化为两个函数的交点个数，利用数形结合的方法，根据参数的范围判断零点 的个数. 17.(1) 如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过点A与平面ABCD垂 直的直线为z轴建立空间直角坐标系， 则由题意得B(3,0,,D0,5,0,P1,05),M5,0 P=(2,0-5),PM=(0,5,-5), 由w-,可0西-传a马}-m-m-作52） 证明：设平面PAD的法向量为m=(x,y,z,P=(1,0,V5,AD=(0,V5,0 AP.m=x+3z=0 ∫x=-5z 则D:m=5y=0,解特0清 令z=1,得m=（-5,0,1: 因为mi=-25+0+25-0, 3 3 所以MN⊥m 又MNE平面PAD,所以MNI/平面PAD @哈 【分析】(I)建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量以及直线MNW的方向向量，证 答案第11页，共13页 明其数量积为0即可证明线面平行： (2)利用空间向量求空间角即可求解. 【详解】(1)略 (2)AM=(15,0, 设Pm=P丽=(2,0，-√51,1e0,, 则A=AP+Pm=（1+2,0,5-31, 设平面AMN的法向量为i=(x,,), AM=y=0 则 .=(+2)x+5(-)z=0' 取x=3-),则方=(N5(-,1-1,21+, a4-0o0e可 3-31+21+1 4， 化简得：1002-201+1=0， 解得1石 所以PN、1 PB=10 ：2)分布列见解析， 18.(1)5, 7 【解析】(1)利用事件的独立性，分两种情况，恰好打了7局甲获胜和恰好打了7局乙获胜， 再将概率相加，即可得答案： (2)记5的可能取值为5=2,3,4,5，利用二项分布求出分布列，即可得答案： 【详解】解：D恰好打了7局甲获胜的概率是月=C)-品 怡好打77局乙获鞋的概*是？=c((侣)一品 放比美结束时价好打了7局的餐串P=月+月=只 (2)5的可能取值为5=2,3,4,5， P5=2==P5=)-c3 答案第12页，共13页 Ps=-c[发+c-P5=列-cx1- 故5的分布列为 2 3 4 5 4 1-4 1-4 4 则5的数学期望E(5)=2×+3x+4x+5x 4 4 421 【点睛】本题考查相互独立事件和二项分布的概率计算，考查运算求解能力，求解时注意识 别概率模型。 19.(I)a。=n(n∈N) (2)T.=tan(n+D-n-1 tanl 【分析】(1)项和转化可得a,=a1+l(n22),利用等差数列的通项公式即得解： 2)由aml=a+)-川"t,阅。裂项相消求和即可 【详解】(1)当n≥2时， G+a=2S.相减得c2-d2+a.-a=2a, a+a。=2Sn, 即(an-a1-)(an+a-)=0,各项均为正数，所以an=a1+1(n之2). 故{a}是以首项为1，公差以1的等差数列， 所以an=n(neN,): (2)tanl=tant(n+1tnDtan(tan(n+1)tann=an(tan()-1, tanl T=4+6,+么+…+b,=Itan(+D-an网+tan例--tan(n-少+…+tan2-tanl-n, tanl =dea+-小-n=aa-a-l. 答案第13页，共13页