辽宁省锦州市某校2025-2026学年高三上学期第二次阶段性考试数学试题

2026届高三第一学期第二次阶段性考试 数学试题 命题教师：高三备课组 考生请注意：I考试时间120分钟。满分150分： Ⅱ只交答题纸，在卷上作答无效。 一、单选题（每小题5分，共40分.) 1.双曲线x2-15y2=15的焦点坐标为() A.(0,±4) B.(±4,0) C.(0,±14) D.（14,0 2.已知条件p:2x-4>0,条件g:x2-5x+6<0,则P是9的（) A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知复数z=(3+i(2-ai),aeR,i为虚数单位，若z为纯虚数，则国=（) A.-20 B.6 C.12 D.20 4.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆 台的表面积为() A.12W5π B.24π C.44π D.20π+12V5x 5已知椭圆C花+1a>b>0的左，右焦点分别为，，点P在C上，且P5的最大 值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（) A.椭圆C的离心率为 B.△PF,F的周长为6 C.椭圆上存在点P,使得∠FPR=90°D.若∠F,PF=60°，则△PF,E的面积为√5 6.甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还 款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款， 从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比 乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：1.004"≈1.045,1.0042≈1.049,1.004≈1.053） 高三数学第二次阶段性考试试题第1页共4页 （)A.2 B.4 C.6 D.8 7已知球0是三棱锥P-ABC的外接球，AB=2AC=2,∠CAB=号若三棱锥P-ABC体积的 最大值为5，则球O的体积为() 3 B.25x 25π 125π C. D. 16 12 48 8.已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C为圆心，1为半径的圆上，则2MB+MD的最 小值为（) A.√5 B.5 C.7 D. √17 2 二、多选题（每小题6分，共18分，全选对得6分，部分对部分得分，有选错 的得0分.) 9.下列命题正确的有() A.0∈中 B.函数∫(x)=x与g(x)=Vx是同一个函数 C.若函数∫(x)=Vax2-ax+1的定义域为R,则0sa≤4 D.命题“x>1,x2>1”的否定为“3x≤1，有x2≤1” 10.已知点P是直线：x-y+6=0上一动点，过点P作圆C:（x-1)2+(y+1)2=4的切线， 切点分别为M,N,则下列说法正确的是（) A.若P的坐标为(-1,5)，则PM,PN的方程为x=-1和4x+3y-11=0 B.线段PM的长度的最小值为4√2 C.四边形PMCN的面积的最小值为4√万 D.直线NN过定点[行-司》 高三数学第二次阶段性考试试题第2页共4页 1 8 1.设函数()-司十e心S,则下列说法正确的有（） A了（因）的图象关于直线x=牙对称 .的定义域为{中±受ke C.f(x)的最小值为5√5 D.方程∫(x)=12在(0,2x)上所有根的和为8m 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知直线经过A(-3,2),B(1,m)两点，直线，的倾斜角为45，若4与2平行，则m=一 13.已知向量ā在向量6方向上的投影狗量为5，同=4，=2，则a-= 14.已知函数f(x)=e-e-x+(x-1)°，若实数a,b满足f(a2)+f(2b2-1)=0,则aN+b 的最大值为一 四、解答题（共5题满分77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(满分13分)如图所示四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别 为BC、PD的中点， (I)证明：MN//平面PAB: (2)若PA=PB=√5，平面PAB⊥平面ABCD,求平面AMN与平面MD夹角的正切值. 16.(满分15分)已知f(x)=- sinxcosx+cos2x- 2 (1)求f(x)的值域： 高三数学第二次阶段性考试试题第3页共.4页 B倒已知△ABC中，角太、R、C所对的边分别为a、、c,若f(山-寻，a=5,be=2, 求△ABC的BC边上的中线AD长 17.(满分15分)已知函数f(x)=ax1血x(a>0),g(x)=xe. (1)当a=1时，求曲线y=∫(x)在x=1处的切线方程； a设a(=g()-2g-之x2+bx,(b>0,求A()的单调区间： (3)若f(x)≤g(x)对于任意的x>1都成立，求实数a的最大值. 18清分17分)已知糖圆号+长=a>6>0搭圆的离心*：=宁· 左顶点为A,下顶点为 BC是线段0B的中点，其中Sc=35 2 (1)求椭圆方程； 口过点Q,-)的动宜线与椭圆有丙个文点RQ.点T在)轴上使得示.亚≤0.求点r纵坐 标的取值范围. 19.(满分17分)在数列{an}中，对于任意的n≥2，n∈N,都有a1=p0n+90（p,9为非 零常数)，则称数列{an}为“(p,9)一数列”.已知数列{an}是“(2,3)一数列”，且a=1,a=3. (1)证明：数列{a1-3a}是常数列； (2)若数列{也，}是“(2，-l)-数列”，且b=a,b2=a2· ()求数列{-1)”b}的前2n项的和S2n; (创若c,=上 a L,是否存在非零常数，5，使得数列{c}为（化，）一数列”？若存在，求出t, s的值；若不存在，说明理由。 高三数学第二次阶段性考试试题第4页共4页 2026届高三第一学期第二次阶段性考试参考答案 一、单选题 1．双曲线的焦点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由，可化为，可得，，则，所以焦点为. 2．已知条件，条件，则是的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】由，得，即，由，得，即.推不出，但能推出，是的必要不充分条件. 3．已知复数，，为虚数单位，若z为纯虚数，则（    ） A． B．6 C．12 D．20 【答案】D【详解】，为纯虚数，且，，，，. 4.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D.【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的上下底边长分别为，底角的正切值为2，因此圆台的高，即该等腰梯形的高，则母线， 所以圆台的表面积. 5.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为6 C．椭圆上存在点，使得 D．若，则的面积为 【答案】C【详解】由题意得，的最大值为3，最小值为1，，解得， 椭圆的离心率为，正确. 点在上，根据椭圆的定义可得的周长为，正确 设，椭圆的左，右焦点分别为，，， 若，则，即，点在上，，联立得，即，无实数解，因此椭圆上不存在这样的点，不正确. 若，根据焦点三角形的面积公式，可得的面积为，正确. 6．甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月，在第5个月的还款额为元，设学生乙每个月的还款额均为元，故元，学生乙每个月的还款额均为元，所以甲比乙将多还元． 7． 已知球是三棱锥的外接球，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】D【详解】，，， ，，，的外接圆的圆心是斜边的中点，过且垂直于平面的直线一定过球心，连接并延长与球相交的点就是使得三棱锥体积取得最大值的点， ，，，三棱锥体积的最大值为，，，， 设球的半径为，，，，，，球的体积为 8．已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，如图，   取点，设，当时，， 化简整理得，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而点在以为圆心，1为半径的圆上，因此，显然点在圆：外， 则，当且仅当为线段与圆的交点时取等号， 而，所以的最小值为. 二、多选题 9．下列命题正确的有（　　） A． B．函数与是同一个函数 C．若函数的定义域为，则 D．命题“”的否定为“，有” 【答案】BC【详解】对于A，错误，对于B，正确，对于C，若函数的定义域为， 则在上恒成立，当时，得到，符合题意， 当时，可得，解得，综上可得，故C正确. 对于D，由命题的否定规则得，原命题的否定为“，有”，故D错误， 10．已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B．线段PM的长度的最小值为 C．四边形PMCN的面积的最小值为 D．直线MN过定点 【答案】ACD【详解】选项A，圆C：的圆心为，半径为， 当过的直线无斜率时，此直线方程为，圆心到的距离为2， 故直线与圆相切；当过的直线有斜率时，设此直线方程为， ，圆心到的距离为，直线方程为与圆相切，，，，过的切线方程为，即， 综上可知，若P的坐标为，则PM，PN的方程为和，故选项A正确； 选项B，，求的最小值转化为求的最小值， 点P是直线l：上一动点，的最小值为圆心到直线的距离， ，故选项B错误； 选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成， 则四边形PMCN的面积，当最小时，最小，由选项B中可知，，即则四边形PMCN的面积的最小值为，故选项C正确； 选项D，点P是直线l：上一动点，设，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为，即， 整理得，，解得，则直线MN过定点，故选项D正确. 11．设函数，则下列说法正确的有（   ） A.的图象关于直线对称 B．的定义域为 C．的最小值为 D．方程在上所有根的和为8π 【答案】BCD【详解】A：故的图象不关于对称，故A错误； B：由 ，故B正确；， C：，故的一个周期为， 又， 故关于对称，由A知，定义域为，故只需研究时的最小值即可， 此时，则 ，其中恒成立， 故令得，此时单调递增，令得，此时单调递减， 故在时，取得最小值，此时， 故的最小值为，故C正确； D：画出在上的图象，如下： 其中，则与共有8个交点，由对称性可知，， 则方程在上所有根的和为，故D正确. 三、填空题 12．已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则 【答案】6【详解】直线的斜率，直线的斜率．，即，解得． 13．已知向量在向量方向上的投影向量为，则 【答案】4【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以，又， 所以，所以. 14．已知函数，若实数，满足，则的最大值为 . 【答案】/【详解】 ，易知， 令，而，为定义在上的奇函数； 与均在上单调递增，在上单调递增；由得：，由为定义在上的奇函数可得：， ，故 （当且仅当，即，时取等号），，即的最大值为. 四、解答题 15．如图所示四棱锥，底面是边长为的正方形，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求平面与平面夹角的正切值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）取中点，连接、， 由、分别为、中点，故且， …1分 又为中点，底面是正方形，故且， 则且，则四边形为平行四边形， …3分 则， …4分 又平面，平面，故平面； …5分 （2）取中点，中点，连接、，由，则，又平面平面， 平面平面，平面，故平面， 又平面，故， 由底面是正方形，故， …7分 则、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 由，则，即，则，则，， 设平面的法向量为，则有， 取，则，，即， …9分 由轴平面，故平面的法向量可为， …10分 设平面与平面夹角为， 则， …12分 则. …13分 16.已知. (1)求的值域； (2)若,，求; (3)已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求△ABC的边上的中线AD长. 【答案】(1),，(2)(3) 【详解】（1）因为； …2分 所以值域为; …3分 （2）因为，可得，即， …4分 又，则，所以， …5分 所以. …7分 （3）因为，所以， 又，所以，所以，则， …9分 由余弦定理，又，， 所以 …11分 设的边上的中线为，则，所以 …12分 ， …14分 所以，所以的边上的中线长为； …15分 17．已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)设，，求的单调区间； (3)若对于任意的都成立，求的最大值. 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【详解】（1）当时，，得， …1分 则，， …2分 所以在处的切线方程为. …4分 （2）由， 则， …5分 令，得或， 当，即时，，则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； …6分 当，即时，令，得，令，得或， 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； …7分 当，即时，令，得，令，得或， 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. …8分 综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. …9分 （3）由，，， 则，即， …10分 而，，设，，则， …11分 而，所以函数在上单调递增， 则对于任意的都成立，即对于任意的都成立， …12分 令，，则，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，则， …14分 所以的最大值为. …15分 18．已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上存在点使得．求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故 …2分 所以，，故椭圆方程为：. …4分 （2）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， …5分 设， 由，可得， 故且 …7分 而， 故 …9分 ， …12分 因为恒成立，故，解得. …14分 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. …16分 综上，，使得恒成立. …17分 19．在数列中，对于任意的，都有（，为非零常数），则称数列为“－数列”．已知数列是“－数列”，且，． (1)证明：数列是常数列． (2)若数列是“－数列”，且，． （i）求数列的前项的和． （ii）若，是否存在非零常数，，使得数列为“－数列”？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由数列是“－数列”，得当时，， 整理得， …2分 而，，即， …3分 因此，所以数列是常数列. …4分 （2）（i）由数列是“－数列”，得当时，， 即，又，因此是首项为1，公差为2的等差数列则，…6分 令， 于是， …8分 所以. …10分 （ii）由（1）知，而，则数列是首项为1，公比为3的等比数列，， …11分 ，即， 则， 两式相减，得 …12分 ， …13分 因此， …14分 假设存在非零常数，使得数列为“－数列”，即当时，， 即，恒成立， …15分 则，且对恒成立， 即，恒成立，于是，而此方程组无解， …16分 所以不存在非零常数，使得数列为“－数列”. …17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $