2026-2027学年北师大版数学九年级上册中秋节作业（二）第一、二章测试卷

**基本信息** 北师大版九年级上册中秋作业测试卷，聚焦一元二次方程与特殊四边形，通过方程概念判断、“爱心头盔”增长率计算、菱形动点中点问题等，实现知识巩固与模型意识、几何直观的培养，适配周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程概念、根的判别式、矩形性质|第5题考二次项系数取值，强化抽象能力| |填空题|5/15|方程求解、根与系数关系、菱形周长|第14题结合新定义运算，培养数学思维| |解答题|8/75|方程应用、几何证明、旋转综合|第19题停车场规划体现应用意识；第23题旋转综合提升推理能力|

· 中秋节作业（二）第一、二章测试卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 3．设一元二次方程2x2﹣4x﹣3＝0两个实根为x1和x2，则下列结论正确的是（　　） A．x1x2＝3 B．x1+x2＝﹣4 C．x1+x2＝2 D．x1x2＝ 4．如图，增加下列一个条件可以使平行四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 5． 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个解为x=0,则m的值是(　　) A.-1　 　 B.0　 　 C.1　 　 D.1或-1 6．如图，已知某菱形花坛的周长是24m，，则花坛对角线的长是（    ） A．3m B．6m C． D． 7．已知2是关于x的方程3x2﹣2a＝0的一个解，则a的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．关于x的方程kx2+2x－1=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥1 B．k≥－1 C．k≥1且k≠0 D．k≥－1且k≠0 9．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．12 B．24 C．27 D．54 10．如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．方程的解为　 　. 12．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝　 　． 13．如图，菱形的对角线，，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为 ． 14．对于实数a,b,定义运算“*”:a*b=例如:4*2,因为4>2,所以4*2=42-4×2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根,则x1*x2=　　　　.  15．如图，在矩形中，，的垂直平分线交的延长线于点E，连接交于点H，若H是的中点，则的长为 ． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 16．解方程：(1)x2-2x-3=0; (2)2x2-1=2x. 17．已知关于x的一元二次方程mx2-(3m+2)x+6=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)如果方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值. 18．如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ，且 ， ，连接 .求证： . 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19．我市在开展“一盔一带”安全守护行动中，联合“爱心头盔”厂家在多个地点开展免费领取头盔活动，据统计，某领取点六月份发放“爱心头盔”100个，八月份发放144个，且从六月份到八月份月增长率相同． (1)求该领取点“爱心头盔”发放量的月增长率； (2)为解决暑期海边音乐节的电动车停放问题，计划将一个长为，宽为的矩形空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为a的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽a应为多少？ 20．如图，在菱形中，过点A作于点E，延长至，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 21．某旅游景点9月30日接待游客1.2万人次，10月2日接待游客2.7万人次． （1）求今年9月30日到10月2日，该景点接待游客的日平均增长率； （2）由于暴雨天气，该景点10月3日接待游客人次比10月2日减少了 ，10月4日天气放晴，接待游客人次比10月3日增加了6a%，又因假期即将结束，10月5日接待游客人次比10月4日减少了 a%，即使这样，10月5日接待游客人次还是比9月30日增加了50%，求a的值． 五、解答题（三）（第 22 题 13 分，第 22 题 14 分） 22．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 23. 矩形绕点A逆时针旋转得到矩形（B与E，C与F对应） (1)如图1，经过点D，若，，求； (2)如图2，连接相交于点H，求证：； (3)如图3，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形的位置，的延长交于点H，若点G恰好为的中点，，，直接写出的长度． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共4页） ◎ 第4页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C A B D D C D 11．， 12．2019 13．16 14．-3或3 15． 16．(1)∵x2-2x-3=0, ∴(x-3)(x+1)=0,∴x-3=0或x+1=0, ∴x1=3,x2=-1. (2)2x2-1=2x, 整理得2x2-2x-1=0, ∵Δ=(-2)2-4×2×(-1)=4+8=12>0, ∴x===, ∴x1=,x2=. 17．(1)证明:∵Δ=[-(3m+2)]2-4m×6=9m2+12m+4-24m=9m2-12m+4=(3m-2)2≥0, ∴此方程总有两个实数根. (2)x==, ∴x1=3,x2=. ∵方程的两个实数根都是整数,且m是正整数, ∴m=1或m=2. 18．证明： ， 四边形 是平行四边形， 四边形 是矩形， ， 平行四边形 是菱形， . 19．(1)“爱心头盔”发放量的月增长率为． (2)道路宽a应为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设“爱心头盔”发放量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）根据题意可得方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设“爱心头盔”发放量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：“爱心头盔”发放量的月增长率为． （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽a应为． 20．（1）证明：四边形是菱形， ∴，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，在矩形中，， ∴在直角中，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴矩形的面积． 21．【答案】（1）解：设景点接待游客的日平均增长率为x，根据题意得： ， 解得 ， （舍去）， 答：景点接待游客的日平均增长率为50%； （2）解：根据题意得： ， 解得： ， （舍去） 答：a的值是10． 【解析】【分析】（1）先求出 ， 再计算求解即可； （2）根据题意求出 ， 再解方程即可。 22. (1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 23. （1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可得， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）证明：如图所示，过点F作交于T， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；    （3）解：如图所示，过点F作交延长线于T，过点C作于Q，连接， 设，则， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵点G恰好为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    答案第6页（共8页） 答案第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $