山东省滕州市鲍沟中学2026-2027学年上学期北师大版九年级数学周清试题（1.1-1.3）

**基本信息** 聚焦九年级数学1.1-1.3四边形内容，通过矩形、菱形、正方形的性质判定及折叠、动态问题，考查几何直观与推理能力，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|10|矩形性质（1）、菱形判定（2）、折叠计算（5）|结合图形变换，基础与能力并重| |填空题|6|实践裁剪（12）、动态最值（14）|联系生活情境，体现应用意识| |解答题|5|菱形与矩形综合（20）、正方形迁移菱形（21）|分层设问，培养推理与创新意识|

1. 2026-2027学年山东省滕州市鲍沟中学周清试题 1. 北师版九年级数学试题（1.1-1.3） 一、单选题 1．如图，在矩形中，，，点 E 是的中点，连接，则的长度为(     ) A．5 B．4 C．3 D． 2．如图，下列关于的叙述，正确的是（     ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是菱形 3．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的长为（     ） A． B． C．8 D．10 4．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点分别作于点，于点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 9．如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交于点M，N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．图①是某可伸缩书架，其示意图如图②所示，连杆，连杆的交点M为，中点，N为，中点，P为，中点，Q为，中点，当的长由缩短至时，书架两侧的挡板与之间的距离（     ）    A．伸长了 B．伸长了 C．伸长了 D．伸长了 二、填空题 11．如图，矩形中，O，E分别为的中点，，，则四边形的周长为__________． 12．综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图），则矩形的周长为______． 13．两张全等的矩形纸片、按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的周长为________． 14．如图，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，，连接，则的最大值是_______． 15．如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为______． 16．如图，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长均为2，正方形可绕点转动且始终保持点在正方形内部，则四边形的面积为_________，、和的数量关系为_________． 三、解答题 17．已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 18．如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的周长． 19．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为F，连接、． (1)求证：． (2)若D是中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 20．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中，，求矩形的面积 (3)连接，交于点F，连接，若，，的长为 ． 21．【问题背景】如图1，在正方形中，P是上一点，点E在的延长线上，且，与交于点F，连接． (1)【初步认识】猜想线段和的数量关系　　　　　． (2)【深入思考】请求出的度数． (3)【延伸迁移】如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 试卷第6页（共6页） 试卷第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B A A A B D B 1．A 【分析】由于点E为中点，故，在中，利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图， 四边形为矩形， ， 为中点，， ， 在中，，， ． 2．C 【分析】根据菱形的判定和性质一一判断即可得出答案． 【详解】解：．若，则是矩形，则原说法错误，故该选项不符合题意； ．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是菱形，故该选项不符合题意； ．若，则是矩形，说法正确，故该选项符合题意； ．∵， ∴，， ∵， ∴， 则是矩形，则原说法错误，故该选项不符合题意； 3．B 【分析】连接、，令交于点，由矩形的性质可得，，，证明，得出，结合线段垂直平分线的性质可得，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、，令交于点， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线分别交，于点E，F， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 4．B 【分析】连接交于点，先根据菱形的性质可得，，，，，再根据勾股定理和含度角的直角三角形的性质求出和的长，然后利用菱形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形的周长为， ∴，，，， ， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 5．A 【分析】设，则，根据题意求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形 ∴，， 设，则， 由折叠可得，，， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，， ∴点E的坐标为． 6．A 【分析】由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 7．A 【分析】根据折叠性质和矩形性质，将阴影部分周长转化为矩形周长计算解题． 【详解】∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ． 8．B 【分析】过点C作于点H，根据勾股定理求出，再由的面积求出．连接，证明四边形是矩形，得到，因此当取得最小值时，取得最小值，根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：过点C作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∵，或， ∴，即， ∴． 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵根据垂线段最短可得，当时，取得最小值，此时点D与点H重合，， ∴的最小值为． 9．D 【分析】过作于点，于点，证明，利用四边形的面积等于正方形的面积求解． 【详解】解：过作于点，于点， ∵四边形是正方形，边长为a， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．B 【详解】解：连接，，，    ∵点M为，中点，， ∴四边形是矩形， ∴，， 当时，； 当时，； ∴当的长由缩短至时，与之间的距离的长度伸长， 同理，当的长由缩短至时，，，各伸长， ∴当的长由缩短至时，书架两侧的挡板与之间的距离． 11．9 【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，再利用三角形的中位线定理、中点的定义、直角三角形的性质求出，即可求出四边形的周长． 【详解】解：在矩形中，，，， ∴ ∵O，E分别为的中点， ∴，，， ∴四边形的周长． 12． 【分析】当点G，H分别是的中点时，可以拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形，从而，则；延长交于K，则四边形是矩形，，再由三角形面积求出高，从而得，即可求得结果． 【详解】解：如图，当点G，H分别是的中点时，可以拼成一个无缝隙、无重叠的矩形， ∴，， ∴，； ∴； 延长交于K， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长为． 13．20 【分析】利用矩形的性质和全等三角形，证明四边形是菱形，再设，利用勾股定理列方程求出，即可得解． 【详解】解：如图，令与的交点为，令与的交点为， 两张全等的矩形纸片、， ，，， ，即， ， ，，， ， ，， 同理可证，，， ， 四边形是菱形， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， 图中重叠（阴影）部分的周长为． 14． 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而利用勾股定理求得，根据即可求解； 【详解】解：如图，取的中点，连接， 顶点分别在轴，轴正半轴上滑动， ， 是的中点，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 在中，， ， ， ， 的最大值为． 15．3或6 【分析】当时，证明三点共线，设，则，根据勾股定理，得，求解得到一个解；当时，证明四边形是正方形，得到；当时，不可能；分类求解即可； 【详解】解：当时， 在矩形中，， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 三点共线， ， 设，则， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 此时； 当时， 在矩形中，， ，， ， 四边形是矩形， ， 根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得重合， 根据折叠的在，得， 四边形是正方形， ， 此时； 当时，不可能； 16． 1 【分析】由题可证，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形的面积；连接，由勾股定理得到，再根据得到，，即可得出结论． 【详解】∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积； 如图，连接， ∵四边形、四边形均为正方形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，即． 17．(1)证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． (2) 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可． （2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)． 【分析】（1）利用“平行四边形的对边平行且相等”证明,再利用“等量代换”得到,同时由“两直线平行，同位角相等”证明,再由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明结论． （2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得,再由勾股定理计算的长，进而求出结论． 【详解】（1）略． （2）∵，， ∴, 在中，, ∴由勾股定理得 ∴的周长为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些性质是解决问题的关键． 19．(1)证明：， ， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ． (2)解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵D为中点， ． ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，D为中点， ， ，四边形是菱形， 当时，， ， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）证明，然后结合证明四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明四边形是平行四边形，然后得到，证明四边形是菱形，当时，求出，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形； （2）根据菱形的性质得出，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式求出结果即可； （3）根据菱形的性质得出，，根据矩形的性质得出，，，根据勾股定理得出，证明，得出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为菱形，，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为直角三角形， ∴． 21．(1) (2) (3)，理由如下： 连接，如图， 在菱形中，， ，． 又∵， ， ，． ， ，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 又∵， 是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）由正方形的性质证明，得到，等量代换即可得到； （2）由全等三角形的性质得到，推出，然后结合等边对等角推出，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）连接，证明，得到，，同（2）得到，证明是等边三角形，得到，即可推出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得，， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ． ， ， 又， ； （3）略 答案第16页（共16页） 答案第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $