26.4 实际问题与二次函数 课后作业2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层梯度清晰，覆盖二次函数实际应用全场景，从基础建模到综合探究，适配新授课巩固与能力提升，培养数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（函数关系式、最值计算）|选择填空为主，如求销售利润最大值（单选2）、矩形面积关系式（填空11），夯实概念理解| |中档层|综合应用（动态问题、多结论判断）|结合图形与推理，如矩形菜园面积结论辨析（单选1）、动点面积函数图像（单选8），发展逻辑思维| |综合层|复杂情境（运动问题、优化决策）|融入实际情境与探究，如矩形运动面积最值（解答16）、销售利润优化（解答20），提升数学建模与问题解决能力|

26.4 实际问题与二次函数 课后作业2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 3．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了 ． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 4．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看做是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度（米）与水平距离（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（    ） A．y=x+m B．y=m（x-1） C．y=m（1+x） D．y=m（1-x） 6．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆至停下来共滑行（    ） A．20米 B．40米 C．400米 D．600米 7．用的绳子围成一个的矩形，则矩形面积与一边长为之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是边长为2的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且,连接,．设，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 9．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（  ） A．柱子的高度为 B．喷出的水流距柱子处达到最大高度 C．喷出的水流距水平面的最大高度是 D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外 10．一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．把一根长为 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式为_______（写出自变量取值范围）． 12．掷实心球是我市初中学业水平体育考试项目之一，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作抛物线．在一次模拟测试中，小明掷出的实心球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，则该次测试小明的成绩为_______m． 13．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为_______．（不要求写定义域） 14．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．若设有x个房间空闲，则宾馆利润为y元．请你写出y与x的函数关系式____________________． 15．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 三、解答题 16．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 17．一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，车从隧道正中通过，为保证安全行车，在车顶到隧道顶部的距离至少要米，若卡车宽米，则卡车限高为多少米？ 18．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 19．掷实心球是某市中考体育选考项目．小西（男生）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知小西掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)下表为某市中考体育投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少？说明理由． 项目 评分表（成绩） 20分 19分 18分 17分 16分 原地掷实心球 米 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 20．清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A C D C B C C 1．【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，矩形菜园的面积为，根据题意得： ， ∵的长不能超过， ∴， ∴， ∴的长不可以为，故①错误； 当时，， 解得：， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵， ∴菜园面积的最大值为，故③正确． 故选：B 2．【答案】B 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值，即60，据此可得答案． 【详解】解：∵某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，， ∴当时，y有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 3．【答案】C 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 4．【答案】A 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用（投球问题），把化成顶点式，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 将函数解析式化为顶点式，再求二次函数的最值即可． 【详解】解：， ∵， 当时，取得最大值， ∴羽毛球飞出的最大高度为米， 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意列出函数关系式即可，先求得第一年的利润m（1+x），再求得第二年的利润为m（1+x） 【详解】根据题意，某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，每年增长的百分数都是x，则, 故选C 【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意、掌握增长率问题是解题的关键． 6．【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】将函数解析式配方成顶点式，根据抛物线的性质求出y的最大值即可． 【详解】解：∵， ∴当t＝20时，y取得最大值600， 即飞机着陆至停下来共滑行600米． 故选D 【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为y的最大值是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意求出矩形的另一边长，即可求解． 【详解】解：由题意得：矩形的另一边长， ∴， 故选：C． 8．【答案】B 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】分两种情况进行讨论，当点在之间时，即，， 当点在上方时，即，，根据图象的开口方向的类项即可判断． 【详解】解：当点在之间时，即， ，则， ， 图象是开口向下，对称为：的抛物线， 当点在上方时，即， ，则， ， 图象是开口向上的抛物线， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是求出函数的解析式． 9．【答案】C 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题． 【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确， 当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误 当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 10．【答案】C 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、一次函数与几何综合 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q，则，求解二次函数解析式为，FG所在直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：C． 11．【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式，弄清题意，找出题中的等量关系是解答此类题目的关键．根据矩形的面积长宽列出函数关系式即可． 【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为， 则面积，x 需满足 ． 故答案为：． 12．【答案】10 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．求出当时，x的值即可． 【详解】解：把代入得：， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：10． 13．【答案】y＝10(1+x)2 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】利用该厂九月份的产值=该厂七月份的产值×（1+增长率）2，即可得出结论． 【详解】解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x， ∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元， ∴y＝10（1+x）2． 故答案为：y＝10（1+x）2． 【点睛】本题考查了由根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键，根据题意表示出每间房间的利润以及住满的房间数，进而得出答案． 【详解】解：当有x个房间空闲时，每个房间每天的定价为元，入住了个房间， 根据题意得：． 故答案为：． 15．【答案】6 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解： ，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 16．【答案】(1)， (2)①是，；② 【知识点】列代数式、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 17．【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先求出对应的抛物线解析式，进而求出当时，的值即可得到答案， 【详解】解：如图所示，建立坐标系，则可设抛物线解析式为， 把代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ， ∴卡车限高为． 18．【答案】圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用．求出函数解析式中时x的值，结合可得最终的x的值，从而得出的长． 【详解】解：当时，， 解得，， ∵， ∴，即． 答：圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 19．【答案】(1) (2) 解：该生得分为19分，理由如下： 在中，当时，则， 解得，（不合题意，舍去）， （米）， ∵， 根据上表可得该生得分为19分． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令解析式中的，求出自变量的值，对照表格即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：函数的顶点的坐标为，且函数的图象经过点， 设函数解析式为， 则， 解得； ∴函数表达式为； （2）略 20．【答案】(1) (2)销售单价为15元或21元 (3)当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据单束花的利润与销售量的乘积等于利润列一元二次方程求解即可； （3）设日销售利润为W元，列二次函数解析式，并根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意列方程：， 解得，， 答：当销售单价为15元或21元时，日销售利润为182元． （3）解：设日销售利润为W元， 则由题意知 ， ， 抛物线开口向下 当时，W有最大值200， 答：当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $