26.4实际问题与二次函数 同步作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础应用到综合探究，覆盖二次函数实际问题全场景，强化模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|二次函数最值基础模型（面积、利润）|选择填空为主，如矩形面积最值、简单利润计算，巩固概念理解| |能力提升|几何与函数结合、多情境综合应用|解答题为主，如菱形动态面积、销售利润优化，培养推理能力| |拓展延伸|复杂情境下函数建模与最值探究|综合解答题，如双仓库面积设计、水位变化抛物线，发展创新意识|

第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数 作业1 基础过关 1.如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16m，则靠墙(墙足够长)所围成矩形ABCD 的最大面积是( ) A.60 m² B.63 m² C.64m² D.66 m² 2.如图,▱ABCD的周长为8cm,∠B=30°,若边长AB= xcm. (1)□ABCD的面积y(cm²)与x(cm)之间的函数解析式为 ,自变量x的取值范围为 ； (2)当x= 时,y的值最大,最大值为 . 3.(2025·连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB 为 m. 能力提升 4.(2025·齐齐哈尔)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,动点E从点A 出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD 的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形(即阴影部分)的面积为 y，点E 运动的路程为x(x>0).下列图象能反映y与x之间函数关系的是( ) 5.如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数 的图象来刻画，斜坡可以用一次函数 的图象来刻画，下列结论错误的是( ) A.当小球抛出高度达到7.5米时，小球距O点的水平距离为3米 B.小球距O点水平距离超过4米时呈下降趋势 C.小球落地点距O点水平距离为7米 D.小球的最大高度为8米 6.飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是 在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是 m. 7.(2025·高邮期末)为充分利用现有资源，学校计划用一块矩形地种植两种花卉.如图，矩形地ABCD一面靠墙(墙的长度为12m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏EF把它分成两个面积相等的矩形.已知栅栏的总长度为27 m. (1)若矩形地ABCD的面积为42m²,求AB的长; (2)当AB边长为多少米时，矩形地ABCD的面积最大，最大面积是多少平方米? 拓展延伸 8.某建筑工程队借助一段废弃的墙体CD(CD长为18米)，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.现有如图所示的两种设计方案(如图①，点A 在线段DC 的延长线上，如图②，点A在线段DC上)，设AB=x米，图①，图②中仓库的总面积分别为y₁平方米，y₂ 平方米. (1)分别写出y₁，y₂与x的函数解析式； (2)小红说：“y₁的最大值为384，y₂的最大值为507.”你同意吗?请说明理由. 作业2 基础过关 1.一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元，每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价( ) A.5元 B.10元 C.0元 D.3.6元 2.某商品的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式为 则当销售单价定为 元时，获得最大利润 元. 3.(2025·广陵区期末)某商场以每件30元的进价购进一批商品.当商品售价为60元时，月销量达到40件，现决定降价促销，提高利润，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加2件. (1)求出月销售量y(件)与售价x(元)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当售价定为何值时，该商品月销售利润最大，并求最大利润. 能力提升 4.某快餐店销售A，B两种快餐，每份的利润分别为12元，8元，每天卖出的份数分别为40份，80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐的利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐的利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元. 5.(2025·阜阳模拟)某专卖店准备代销进价为10元/瓶的牛奶，根据品牌方要求，销售价不低于进价，且不高于进价的2倍.试销期间的数据显示：若以进价出售，日销量为60瓶，当价格每提升1元时，日销量则下降2瓶. (1)直接写出日销量 y与单价x的函数解析式； (2)牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大?最大利润是多少元? (3)为培养客户习惯，该店购入价值不等的四种小礼品，每日随机选一款随牛奶赠送给顾客，每瓶牛奶赠送一件.若该款牛奶日最大利润在160~280元之间浮动(包括160元和280元)，求赠送小礼品成本的取值范围. 6.(2025·通州区模拟)某超市以每件20元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 22 23 24 每天销售数量y/件 56 54 52 (1)求 y关于x的函数解析式； (2)设销售这种文具每天获利ω(元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大?最大利润是多少元? (3)文具厂家进行了提价，该超市发现该文具每件的进价提高了a元.若每天销售量与销售单价仍满足(1)中的函数关系，当销售单价不超过38元时，销售这种文具每天的利润随着x的增大而增大，直接写出a的最小值. 拓展延伸 7.星星服装厂生产A品牌服装，每件成本为68元，零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装x(x≥100)件，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系. (1)求y与x的函数解析式； (2)零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装x(100≤x≤360)件，服装厂的利润为ω元，问x为何值时，ω最大?最大值是多少? (3)零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装x件，若星星服装厂欲获利不低于4320元，请直接写出x的取值范围. 作业3 基础过关 1.(2025·海安期中)如图，某大桥桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为 当水面宽度AB为20m时，水面与拱顶的高度CO的长为( ) A.2m B.4m C.10m D.16 m 2.(2025·海门区月考)如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米，则当水面的宽度为2\sqrt{3}米时，水位上升 米. 3.(2025·陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L₁，左、右门洞L₂，L₃均呈抛物线型,水平横梁AC=16m,L₁ 的最高点B到AC的距离BO=4m,L₂,L₃关于BO所在直线对称. MN,MP,NQ为框架,点M,N在L₁上,点P,Q分别在L₂,L₃上,MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC.以O为原点，AC所在直线为x轴，BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L₁的函数解析式； (2)已知抛物线L₃的函数解析式为 求 MN的长. 能力提升 4.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m 的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式. 已知球与点O的水平距离为6m 时，达到最高2.6m，球网BC与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m，则下列判断正确的是( ) A.球不会过网 B.球会过网且不会出界 C.球会过网并会出界 D.无法确定 5.(2025·姑苏区月考)如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化.“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图②,已知其底部宽度AB为80m,高度为200m,则离地面150m处的水平宽度(即CD的长)为 m. 6.(2025·武江区模拟)为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道.抛物线的最高点 P 离路面OM 的距离为6m，宽度OM为12m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数解析式； (2)一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m，如果该隧道内设双向行车道(正中间是一条宽1m 的隔离带)，那么这辆货车能否安全通过? 拓展延伸 7.(2025·鼓楼区期中)如图是抛物线形拱桥.某日，水文站观测到河水匀速上涨，记录两次数据如下： 时刻 水面宽 水位变化 6:00 AB=20m / 18:00 CD=10m 上涨3m(相比6:00的水位) (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的函数解析式. (2)当日时刻为多少时，水面将经过拱顶? (3)设自当日6：00开始至水面经过拱顶，当水位上涨 hm时，水面宽为d m. ①d h的二次函数;(填“是”或“不是”) ②画出d随h 变化而变化的大致图象，标出必要的数据. 作业1 1. C 0<x<4(2)223.8 4. A 5. A 6.24 7.解:(1)设AB的长为xm,则BC的长为(27-3x)m,根据题意,得(27-3x)x=42,解得x=2或x=7, 当x=2时,27-3x=21>12,不合题意,舍去,当x=7时,27-3x=6<12,符合题意,∴x=7. 答:AB的长为7m. (2)设矩形的面积为 S m², 则 ∵0<27-3x≤12,∴5≤x<9, ∵-3<0,∴当x=5时,S有最大值,最大值为60,∴当AB边长为5m 时，矩形地ABCD 的面积最大，最大面积是60m². 8.解:(1)题图①中, 题图②中,AD=76+1-(3x-1)=78-3x, (2)不同意小红的说法，理由如下： ∴y₁有最大值， 当x=16时, 符合题意，此时y₁ 有最大值,是384. ∵0<78-3x≤18,∴20≤x<26. ∵-3<0,∴当x=20时,y₂有最大值,是360,∴y₂的最大值不能是507，∴不同意小红的说法. 作业2 1. A 2.40 2500 3.解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=-2x+b,当商品售价为60元时，月销量达到40件， ∴40=-2×60+b,∴b=160,故y=-2x+160. ∵y>0,∴-2x+160>0,∴x<80. ∵某商场以每件30元的进价购进一批商品，∴30≤x<80, ∴月销售量y(件)与售价x(元)之间的函数解析式为y=-2x+160(30≤x<80). (2)设该商品月销售利润为w元， ∵-2<0,∴x=55时,ω取得最大值,最大值为1250. 答：当售价定为55元时，利润最大，最大利润为1250元. 4.1264 5.解:(1)单价为x元时,日销量下降了2(x-10)瓶, ∴日销量y与单价x的函数解析式为y=60-2(x-10)=-2x+80(10≤x≤20). (2)设日销售利润为w,依题意,得w=(x-10)(-2x+ 当x<25时，w随x的增大而增大， 故当x=20时，w有最大值，最大值是400. 答：牛奶销售单价定为20元时，所获日销售利润最大，最大利润是400元. (3)设小礼品成本为m元/件，利润为w元. 依题意，得 (100+2m)x-800-80m, ∵对称轴为直线 且m>0, 故当 时，w'随x的增大而增大， 故当x=20时，日销售利润最大，此时w'=40(10-m), 由题意,得160≤40(10-m)≤280,解得3≤m≤6. 6.解:(1)设y关于x的函数解析式为y= kx+b(k≠0), 则 解得 ∴y关于x的函数解析式为y=-2x+100. (2)由题意,得· ∵-2<0,∴当x=35时,ω有最大值为450. 答：当销售单价为35 元时，每天获利最大，最大利润是450元. (3)由题意，得 (140+2a)x-2000-100a, 二次函数图象的对称轴为直线 根据题意，得 解得a≥6,∴a的最小值为6. 7.解:(1)当100≤x≤300时,设 y与x的函数解析式为y= kx+b, 根据题意，得 解得 当x>300时,由图象可知y=80, ∴y与x的函数解析式为 (2)分两种情况： ①当100≤x≤300时, ∴当x=210时,w最大,最大值为4410; ②当300<x≤360时,ω=(80-68)x=12x, ∵12>0,∴w随x的增大而增大, ∴当x=360时,ω最大,ω最大=12×360=4320. ∵4410>4320, ∴当x为210时,w最大,最大值是4410. (3)①当100≤x≤300时,w=-\frac{1}{10}x²+42x, 整理,得(x-180)(x-240)=0, 解得x=180或x=240, ∴函数图象开口向下， ∵获利不低于4320元,∴180≤x≤240; ②当x>300时,ω=12x, ∴12x≥4320,解得x≥360. 综上,x的取值范围为180≤x≤240或x≥360. 作业3 1. B 2. 3.解:(1)∵BO=4m, ∴抛物线L₁的顶点 B的坐标为(0,4). 设抛物线L₁的函数解析式为 ∵AC=16 m,由二次函数图象的对称性得 A(-8,0),C(8,0), 将C(8,0)代入 得0=64a+4, 则 (2)由(1)得抛物线L₁的函数解析式为 ∵MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC, 且抛物线L₃的函数解析式为 整理，得 解得x₁=x₂=6,∴MN=2×6=12(m). 4. C 5.40 6.解:(1)根据题意,得顶点 P 的坐标为(6,6), 设抛物线的函数解析式为 把点O(0,0)代入,得 ∴36a+6=0, ∴所求抛物线的函数解析式为x≤12). (2)当.x=6-0.5-3.5=2时, ∴这辆货车不能安全通过. 7.(1)解：以 AB的中点为原点，AB 所在直线为x轴，过原点且垂直于AB 的直线为y轴，建立平面直角坐标系，此时,A(-10,0),B(10,0). 18:00时,水位上涨3m ,CD=10 m,i，故CD的端点为C(-5,3),D(5,3). 设抛物线的函数解析式为 把点 A，C的坐标代入，得 解得 ∴抛物线的函数解析式为 (2)解：拱顶是抛物线的顶点，在 中,当x=0时,y=4,从6:00到18:00,经过12 h,水位上涨3m , 因此每小时水位上涨速度为 (m/h),要使水面到达拱顶(水位需从0 m上涨到4m )，所需时间为 从6:00开始,经过16 h后是22:00,因此,当日22：00时，水面将经过拱顶. (3)①不是 ②解:当h=0时(6:00时),d=20,对应点为(0,20),当h=3时,d=10,对应点为(3,10),当h=4时(水面过拱顶时),d=0,对应点为(0,4), ∴用平滑曲线连接点(0,20),(3,10),(4,0),所得图象如答图所示. 学科网（北京）股份有限公司 $