26.4 实际问题与二次函数（第2课时）—— 销售利润问题 （分层同步练习·反思性作业单） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数利润问题，通过三级分层设计（基础巩固12题、能力提升5题、拓展探究3题），构建从公式应用到综合实践的知识巩固路径，培养数学建模与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|利润公式直接应用、函数关系式建立|以选择、简单解答为主，强化“售价-进价-销量”关系建模| |能力提升|成本限制、多变量关系|引入物价部门规定、其他费用等实际约束条件| |拓展探究|复杂情境综合应用|结合多步推理与实际决策，如“投资少而获利大”的优化问题|

26.4 实际问题与二次函数（第2课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①总利润=每件利润×销售量=(售价-进价)×销售量。 ②价格变动影响销量，建立利润y关于价格x的二次函数。 ③利用顶点求最大利润，注意x的实际取值范围和取舍。 2. 与本节课相关的旧知识：二次函数最值、一次函数式销量、利润公式。 3. 预习时遇到的疑问：为什么销售利润问题的二次函数开口向下？顶点一定对应最大利润吗？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①每件利润和销量的代数式列错。 ②求出最大利润后不检验价格是否符合实际（如不亏本）。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 进价40元售价x元，每件利润____。 2. 售价50元卖500件，涨x元少卖10x件，销量为____。 3. 总利润=____×____。 4. y=(10+x)(500-10x)展开后二次项系数为____。 5. 利润函数y=-10x²+400x+5000的最大值在x=__时。 6. 利润问题中x的取值要保证售价____进价。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 某商品进价为每件40元，售价为每件50元，每天可卖100件。售价每涨1元日销量减少10件。设涨价x元，日利润为y元，则y与x的关系式为（　）A.y=(10+x)(100-10x)　B.y=(10+x)(100+10x)　C.y=(10-x)(100-10x)　D.y=(40+x)(100-10x) 2. 某商店购进一批单价为20元的日用品。若按每件30元销售，半月能卖400件；销售单价每提高1元，销售量减少20件。如何定价才能在半月内获得最大利润？ 3. 某商品进价40元，售价50元时月销500件。售价每涨1元月销减少10件。设涨价x元。(1)求月利润y与x的关系式；(2)售价定为多少元时月利润最大？ 4. 某商场购进一种单价为40元的篮球。若以50元出售，每月可卖500个；售价每提高1元，销售量减少10个。(1)设售价提高x元，求月利润y与x的关系式；(2)当售价定为多少元时月利润最大？最大利润是多少？ 5. 某商店经营一种小商品，进价为2.5元。据市场调查：当销售单价为13.5元时，平均每天可销售500件；而销售单价每降低1元，平均每天可多销售100件。当销售单价为多少元时，商场每天的利润最大？最大利润是多少？ 6. 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每天可卖出500件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件。(1)求每天利润y与涨价x元的关系式；(2)每件涨价多少元时每天利润最大？ 7. 某商店进了一批服装，每件成本50元。如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价1元，销售量减少20件。现要获利12000元，且成本不超过24000元，问应提价多少元？ 8. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。若按每千克50元销售，一个月能售500千克；销售单价每涨1元，月销售量减少10千克。(1)当销售单价定为55元时，月销售量和月利润各是多少？(2)商店想在月成本不超过10000元的情况下，使月利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 9. 某商品的进价为每件40元。售价为每件50元时，每天可卖500件。调查发现：售价每涨1元，日销量减少10件。(1)求日利润y与涨价x的关系式；(2)售价定为多少时日利润最大？最大利润是多少？ 10. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售20件，每件盈利40元。为扩大销售减少库存，决定降价。经调查：每件衬衫每降价1元，每天可多售2件。每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？ 11. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售500千克。经调查：每千克涨价1元，日销量减少20千克。现要保证每天盈利6000元，同时让顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？ 12. 某商店以每件21元的价格购进一批商品。若每件售价a元，每天可卖(350-10a)件。计划每天盈利400元，物价局限定加价不能超过进价的20%，求每件售价。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 某公司推出一种新产品，每件产品的成本为3万元，售价为x万元。销售量y件与售价x满足y=-x+15。(1)求每件产品的利润；(2)求总利润W与售价x的关系式；(3)售价定为多少万元时利润最大？ 解： 2. 某商店购进一种商品，单价30元。试销中发现：这种商品每天销售量p(件)与每件售价x(元)满足p=100-2x。若商店每天要获得200元利润，每件售价应定为多少元？每天销售多少件？ 3. 某化工材料经销公司购进一种化工原料共7000千克，进价为每千克30元。物价部门规定销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元。设销售单价为x元，求日利润y与x的关系式，并求最大日利润。 解： 4. 某商场销售某种品牌的纯牛奶，进价为每箱40元，售价在40～70元之间。市场调查：若每箱以50元销售，每天可售90箱；价格每降低1元，每天多售3箱；价格每升高1元，每天少售3箱。(1)写出售价x元与每天利润w元的关系式；(2)当每箱售价为多少元时每天利润最大？ 5. 某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时床位全满。若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；再提高2元，再减少10张。为投资少而获利大，每床每晚应提高多少元？ ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 某商店经销一种成本为每千克40元的水产品。若按每千克50元销售，一个月能售500千克；售价每涨1元，月销售量减少10千克。(1)求月利润y与涨价x的关系式；(2)商店想在月成本不超过10000元的情况下，使月利润达到8000元，求销售单价。 解： 2. 某商店试销一种成本为每件60元的服装。规定试销期间销售单价不低于成本，且获利不得高于40元。经试销发现：销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=-x+120。(1)求利润W与x的关系式；(2)销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解： 3. 某商场将进价为40元的商品按50元出售时，能卖500个。已知该商品每涨价1元，其销量就减少10个。为了赚8000元利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？ 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 某商店购进一批单价为16元的日用品。销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格。经试验发现：若按每件20元销售，每月能卖360件；若按每件25元销售，每月能卖210件。假定每月销售件数y是价格x的一次函数。(1)求y与x的关系式；(2)在不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月利润最大？最大利润是多少？ 解： 2. 某商场销售某种商品，每件进价为40元。经过调查发现：若每件售价为50元，每天可卖100件；售价每涨1元，日销量减少5件。(1)求日利润y与涨价x的关系式；(2)售价定为多少元时日利润最大？ 解： 3. 某商店销售一种进价为40元的商品。经调查：当售价为50元时，每天能卖500件；售价每提高1元，日销量就减少10件。设每件商品售价为x元。(1)求每天的销售利润w与x的函数关系式；(2)每件商品售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 26.4 实际问题与二次函数（第2课时）参考答案 一、自习前置速忆 利润=(售价-进价)×销量；二次函数开口向下，顶点取最大。 二、基础随堂自检 1.x-40　2.500-10x　3.每件利润，销量　4.-10　5.20　6.≥ 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.A　2.35元　3.(1)y=-10x²+400x+5000；(2)70元　4.(1)y=-10x²+400x+5000；(2)70元，9000元　5.8.5元，4900元　6.(1)y=-10x²+400x+5000；(2)20元　7.提价10元　8.(1)450千克，6750元；(2)80元　9.(1)y=-10x²+400x+5000；(2)70元，9000元　10.降价20元　11.涨价5元　12.25元 ★★ 能力提升 1.(1)x-3；(2)W=-x²+18x-45；(3)9万元　2.50元，0件（实际p=0）　3.y=-2x²+260x-6500，最大1950元　4.(1)w=-3x²+480x-18000；(2)80元　5.提高6元 ★★★ 拓展探究 1.(1)y=-10x²+400x+5000；(2)80元　2.(1)W=-x²+180x-7200；(2)90元，900元　3.60元进400个或80元进200个 五、学以致用 1.(1)y=-30x+960；(2)24元，1920元　2.(1)y=-5x²+50x+1000；(2)55元　3.(1)w=-10x²+1400x-40000；(2)70元，9000元 学科网（北京）股份有限公司 $