专题05 一元一次方程（期中真题汇编，山东专用）七年级数学上学期

**基本信息** 聚焦一元一次方程三大核心考点，精选山东多地期中真题，涵盖选择、填空、解答题型，注重基础巩固与实际应用结合，突出数学思维与创新能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约10题|等式性质、解方程、实际问题|结合月历框数、购物优惠等情境，考查方程应用| |填空|约8题|方程解、新定义运算|设计“相伴数对”“幸运点”等创新题型，培养抽象思维| |解答|约12题|解方程、实际问题、规律探究|包含数轴运动、经济问题、剪正方形规律等综合题，适配期中能力评估需求|

专题05 一元一次方程 考点01 等式的性质 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 等式的性质 1．C 考点02 解一元一次方程 1．C 2．C 3．A 4．【答案】 【分析】 本题考查一元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识，熟记一元一次方程解的定义是解决问题的关键． 将代入方程，解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】 解：将代入方程中得： ， 则， 解得：， 故答案为：． 5．【答案】4 【分析】 根据题意当是整数时，，，于是可将化为：，解方程即可． 【详解】 解：依题意，是整数， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：4． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键． 6．【答案】 【分析】 本题考查一元一次方程定义，熟记一元一次方程定义是解决问题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为零，列出方程求解即可得到答案． 【详解】 解：方程是关于的一元一次方程， ，且， 由得或， 由得， ， 故答案为：． 7．【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解．将代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】 解：把代入方程，得： ，即， 解得 ． 故答案为 2 8．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解法是解题的关键． （1）移项、合并同类项、再把系数化为1求解即可； （2）去括号、移项，合并同类项、系数化为1求解； （3）去分母，两边同乘12，再求解即可； （4）先把小数化分数，再求解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得； (2) 小问详解： 解：去括号， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得； (3) 小问详解： 解：去分母，两边同乘12得， 去括号得， 移项合并同类项得， 化系数为1得； (4) 小问详解： 解：， 小数化分数， 化简得， 去括号得， 移项合并同类项得， 化系数为1得． 9．【答案】（1）原方程正确的解为；（2），值为 【分析】 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据错误的结果，确定出a的值，进而求出正确的解即可． （2）先去括号，再合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】 解：（1）根据小明的错误解法得：， 把代入得：， 解得：， 正确方程为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得； （2） ， 当，时，原式． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． (1) 小问详解： 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 11．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了整式的加减和化简求值，弄清楚题中的新定义是解本题的关键． （1）利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出的值； （2）利用新定义“相伴数对”列出关系式，再把原式进行化简，最后代入进行计算即可． 【详解】 解：（1）根据题意得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为：． （2）由题意得：，即， 整理得：，即， ， 故答案为：． 12．【答案】（1）4，7，10，13，     （2） 解：不可能． 理由：∵， ∴， 没有整数解，不符合题意；     （3）①；；②      【分析】 本题考查剪纸问题，规律型：图形变化类，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）探究规律求解即可； （2）把问题转化为方程有没有整数解可得结论； （3）观察图形可知；；② 观察图形可知． (1) 小问详解： 解：时，正方形个数是， 时，正方形个数是， 时，正方形个数是． 时，正方形个数是， …… 时，正方形个数是． 故答案为：4，7，10，13，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ①；； 故答案为：； ② 观察图形可知． 故答案为： 13．【答案】2023 【分析】 本题考查绝对值与偶次方的非负性，一元一次方程，由非负数的性质求出a和b的值，代入方程后，利用裂项相消法求和，解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴且， 解得，， ∴ 即 解得：， 故答案为：． 考点03 实际问题与一元一次方程 1．C 2．A 3．B 4．A 5．【答案】船在静水中的平均速度为 【分析】 设船在静水中的平均速度为，则顺流速度为，逆流速度为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】 解：设船在静水中的平均速度为，则顺流速度为，逆流速度为， 依题意，得， 解得． 答：船在静水中的平均速度为． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 6．【答案】10 【分析】 根据题意可得，然后求解即可． 【详解】 解：由题及图可得： ， 解得：； 故答案为10． 【点睛】 本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 7．【答案】（1）     （2） 解：移动长方形框，被长方形框所框的个数之和不可能是，理由如下： 假设移动长方形框，被长方形框所框的个数之和可能是 由题意得，， 解得， ∵x是正整数， ∴不符合题意， ∴移动长方形框，被长方形框所框的个数之和不可能是．      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式： （1）根据日历的特点分别表示出另外三个数即可； （2）假设4个数的和可以为82，则可得方程，解方程，看x的值是否符合题意即可得到结论． (1) 小问详解： 解：由题意得，另外三个数从小到大依次是， 故答案为：． (2) 小问详解： 略 8．【答案】（1）     （2）框中4个数的和可能是124，最小的数为25．      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，以及数字规律的探索，解决本题关键是表示出字框中其他的3个数． （1）根据框中最小的数为，则其他3个数字表示为，，，根据加法列代数式即可； （2）假设和为124，根据（1）中得到的和的代数式列出一元一次方程，解方程判断即可． (1) 小问详解： 解：设框中最小的数为． 则其他3个数字为，，， ∴框中4个数的和为； (2) 小问详解： 解：假设框中4个数的和可能是124， ∴， 解得， ∴最小的数为25． 故框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 9．【答案】506 【分析】 此题考查了规律型：图形的变化类，一元一次方程的应用，解题的关键是培养学生通过观察、归纳、抽象出规律的能力．根据剪1刀，绳子变为5段，段，剪2刀，绳子变为9段，段，剪3刀，绳子变为13段，段，进而可以得出剪n刀，绳子变为段，根据想要剪得2025段绳子，列出方程，解方程即可． 【详解】 解：∵剪1刀，绳子变为5段，段； 剪2刀，绳子变为9段，段； 剪3刀，绳子变为13段，段； …， ∴剪n刀，绳子变为段， ∴想要剪得2025段绳子，则， 解得：． 故答案为：506． 10．【答案】（1）120     （2），     （3）相遇点所表示的数为22     （4）、两点运动的时间为秒或秒      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键． （1）用减去，即可求得、两点的距离； （2）根据运动方向和数轴的方向，路程等于速度乘以时间，即可求得秒后，点表示的数； （3）根据题意，可列方程，解得，进而可求得相遇点所表示的数； （3）设当、两点相距个单位长度时，、两点运动的时间为秒，分两种情况，① 点在点的左侧，② 点在点的右侧，分别根据题意列出一元一次方程即可解决． (1) 小问详解： 解：由题可知，， 故运动开始前，、两点的距离为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：它们按上述方式运动，秒后点表示的数为；点所表示的数为， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：由题意得，， 解得，， ∴ ∴相遇点所表示的数为； (4) 小问详解： 解：设当、两点相距个单位长度时，、两点运动的时间为秒， ① 当点在点的左侧时，根据题意得：， 解得； ② 当点在点的右侧时，根据题意得：， 解得， 答：当、两点运动的时间为秒或秒时，、两点相距个单位长度． 11．【答案】（1）一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元     （2） 解：方案一：（元）． 方案二：元， ， （元）．        方案三：（元）．              ， 按照方案二购买较为合算．      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和对应的算式是解题的关键． （1）设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元，根据买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元建立方程求解即可； （2）根据所给的优惠方案，分别计算出三种优惠方案下的费用，比较即可得到结论． (1) 小问详解： 解：设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元， 根据题意，得，        解得，        ∴． 答：一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元． (2) 小问详解： 略 12．【答案】（1）应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面     （2）应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓，再根据题意即可求解． (1) 小问详解： 解：设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 根据题意，得， 解得， 则， 答：应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面； (2) 小问详解： 解：由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓（个），还需制作（个）小鼓， ∴应再加入制作鼓身的人数为（名），剪鼓面的人数为（名）， 则新加入（名）， ∴综上所述，应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面． 13．【答案】（1）购买种书架个，种书架个     （2）     （3）元      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用以及代数式的化简与求值，熟练掌握根据题意列方程和代数式的方法是解题的关键． （1）设购买种书架个，则购买种书架个，根据买两种书架共花费元，列方程求解即可； （2）总费用买种书架的花费买种书架的花费运费，列式即可； （3）把代入（2）的结论求出线上购买的总费用，再计算购买6个种书架和14个种书架的线下总费用，最后将两者作差即可． (1) 小问详解： 解：设购买种书架个，则购买种书架个， 根据题意，得：， 解得：， ∴， 答：购买种书架个，种书架个； (2) 小问详解： 解：根据题意，得： 总费用； (3) 小问详解： 解：当时，， （元）， 即线上购买比线下购买节约元． 14．【答案】（1）① B； ② 证明：由数轴可知，，， ， 是【C，E】的幸运点； （2）① 7；② 6或2； （3）5或15或或 【分析】 本题考查一元一次方程的应用；能够理解题意，将所求问题转化为数轴与绝对值、数轴与一次方程的关系是解题的关键． （1）①由题意可知，点0到是到点距离的3倍；②由数轴可知，，，可得； （2）设【，】的幸运点为，表示的数为，由题意可得，求解即可；设点Q表示的数为q，由题意可得，求解即可； （3）由题意可得，，，分四种情况讨论：①当是【，】的幸运点时，②当是【，】的幸运点时，③当是【，】的幸运点时，，④当是【，】的幸运点时，． 【详解】 （1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍， 即，， 故答案为：B； ② 略 （2）①设【M，N】的幸运点为P，P表示的数为p， ， ， 或， 或， 幸运点表示的数为整数， 故答案为：7； ②设点Q表示的数为q， 点N是【M，Q】的幸运点， ， 或， 或2， 故答案为：6或2； （3）由题意可得，，，， ①当P是【A，B】的幸运点时，， ， ； ②当P是【B，A】的幸运点时，， ， ； ③当A是【B，P】的幸运点时，， ， ； ④当B是【A，P】的幸运点时，， ， ； 为5或15或或时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点． 15．【答案】（1）290；540     （2）元     （3）580元      【分析】 本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解优惠方案中的付费方式是解题的关键． （1）利用一次性购物超过200元但不超过400元的优惠方案和超过400元的优惠方案解析计算即可得出结论； （2）根据超过200元但不超过400元的优惠方案列出代数式即可； （3）利用相关优惠方式进行计算即可得出结论． (1) 小问详解： 解：（元）； ∵， ∴（元）， 故答案为：290；540； (2) 小问详解： 解：当时，实际付款为（元）， 答：当超过200元但不超过400元时，他实际付款元； (3) 小问详解： 解：当原价为400元时，实际付款为（元）， ∵， ∴原价超过400元， 设原价为元，根据题意得， ， 解得：， 答：他这次购买商品的原价是580元． 16．【答案】（1），10，50     （2）     （3）或      【分析】 （1）利用非负数的性质以及最小正整数很容易得解； （2）先将各点运动之后的数表示出来，再结合数轴上两点之间的距离即可求解； （3）先将各点运动之后的数用含t的式子表示出来，因为A和B大小不一定，所以需要分类讨论，然后不随t的变化而变化，实则是整式中无关项问题，令其系数为0即可得解． (1) 小问详解： 解：（1）由非负数的性质可得，，， 所以，， 因为最小正整数为1， 所以， 故答案为：，10，50； (2) 小问详解： 解：15秒后：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 当B为中点时，， ∴， 解得； (3) 小问详解： 解：t秒后：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵点A在点C左侧， ∴， ， ①时，， ∴， ∵值不随t的改变而改变， ∴； ②当时，， ∴， ∵值不随t的改变而改变， ∴； 综上，m和n的关系为或． 【点睛】 本题主要考查一元一次方程的实际应用、非负数的性质、整式加减、数轴动点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．【答案】（1）5；（2）万人；（3） 【分析】 （1）结合题意，根据有理数加减运算的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据（1）的结论，分别计算得10月1日至6日这六天相对于9月30日的游客人数增加量，根据有理数乘法和加法的性质计算，即可得到答案 （3）设表中“ ”表示的数为；结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】 解：（1）10月1日相比9月30日，游客人数共增加：1.2万人 10月2日相比9月30日，游客人数总共增加：万人 10月3日相比9月30日，游客人数总共增加：万人 10月4日相比9月30日，游客人数总共增加：万人 10月5日相比9月30日，游客人数总共增加：万人 ∴10月1日至5日这五天中，10月5日人数最多 故答案为：5 （2）结合题意，10月6日相比9月30日，总共增加：万人 ∴10月1日至6日这六天的游客总人数是：万人； （3）设表中“ ”表示的数为 根据题意，得10月7日相比9月30日，总共增加：万人 10月7日相比9月30日，总共增加：万人 ∵10月8日到该风景区的游客人数与9月30日的游客人数持平 ∴ ∴，即表中“ ”表示的数应该是． 【点睛】 本题考查了有理数和一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘法和加减运算、一元一次方程的性质，从而完成求解． 18．【答案】（1）是，     （2）3或9     （3）t的值为12或30．      【分析】 此题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用． （1）根据图形可直接解得； （2）由，点在，之间和点右侧，分别求出点表示的数是3或9； （3）秒后，点A和点B表示的数分别为和，由题意得，从而解得的值． (1) 小问详解： 解：由图可知：， 是的3倍点， ， 的3倍点是点， 故答案为：是，； (2) 小问详解： 解：， 当点在线段上时， 点是的3倍点， ， 此时点表示的数是3， 当点在点右侧时， 点是的3倍点， ， 点表示的数是9． 故答案为：3或9； (3) 小问详解： 解：秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9， 由题意得， 即或， 解得或， t的值为12或30． 19．【答案】（1）10，16；（2）①，；② 8或2；（3） 【分析】 本题考查有理数与数轴，列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）① 根据两点间的距离公式列出代数式即可；② 分两种情况进行讨论求解即可； （3）根据两点间的距离公式表示出和，根据整式加减中的无关型问题即可得出结果． 【详解】 解：（1）； 故答案为：10，16； （2）① 由题意，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：或； ② 由题意，或， 解得或； （3）由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵点D始终在A、C两点之间， ∴，， ∴ ， ∵的值始终是一个定值， ∴， ∴． 20．【答案】（1）8（2）（3）或7；（4）6，或6；（5）有，最小值是10．理由：表示的是一个数到和6的距离的和，而和6的距离为10，所以最小距离就是10． 【分析】 本题主要考查了列代数式，数轴，绝对值，正确列出含绝对值的代数式是基础，通过分类讨论去掉绝对值符号是解答本题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离代入值运用绝对值化简即可求得； （3）根据数轴上两点之间的距离列出等式，结合绝对值计算即可； （4）根据数轴上两点之间的距离判断出为的距离，再结合已知值和最小值分别求解即可； （5）根据x是动点，结合绝对值的意义和（3）最小值的取值可能，即可知由最小值且位于和6之间． 【详解】 解：（1）数轴上表示3和的两点之间的距离等于； （2）数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为； （3）若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则， ∴或； （4）∵P在点M，N之间，且点M表示的数为4，点N表示的数为， ∴ ∵， ∴点在线段外， 当P在N左边，即，， 解得，； 当P在M点右边时，即，， 解得，； ∴点表示的数为或6； （5）表示的是一个数到和6的距离的和，而和6的距离为10，所以当x位于和6时，取得最小距离就是10． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 3大高频考点概览 考点01 等式的性质 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 等式的性质 1．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）以下等式变形不正确的是（       ） A. 由，得到 B. 由，得到 C. 由，得到 D. 由，得到 【答案】C 【分析】 根据等式的基本性质1，等式两边同时加（或减）一个数，等式不变；等式的基本性质2，等式两边同时乘（或除）一个数，等式不变即可得出结果． 【详解】 解：A．利用等式的基本性质1，两边都减2即可得到，正确，不符合题意； B．利用等式的基本性质1，两边都加3即可得到，正确，不符合题意； C．当时，两边都除以a无意义，错误，符合题意； D．利用等式的基本性质2，两边都乘以2a即可得到，正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题关键． 考点02 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）已知（k-1）x|k|+3=0是关于x的一元一次方程．则此方程的解是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，得到|k|=1和k-1≠0，解之，代入原方程，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： |k|=1， 即k=1或k=-1， k-1≠0， k≠1， 综上可知：k=-1， 把k=-1代入原方程得： -2x+3=0， 解得：x=， 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确掌握一元一次方程的定义和绝对值的定义是解题的关键． 2．（25-26学年七上·山东德州·期中）下列在解方程的过程中，变形正确的是（　　） A. 将“”去分母，得“” B. 将“”去括号，得“” C. 将“”移项，得“” D. 将“”，系数化为1，得“” 【答案】C 【分析】 本题主要考查解一元一次方程．各方程整理得到结果，即可作出判断． 【详解】 解：A、，去分母，得，原计算错误，故本选项不符合题意； B、，去括号，得，原计算错误，故本选项不符合题意； C、将移项，得，正确，故本选项符合题意； D、，系数化为1，得，原计算错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26学年七上·山东德州·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值为．若输出的值为，则输入的值是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】A 【分析】 本题考查分段函数的应用，方程的解与检验，参数求解，理解流程图是解题关键． 先根据输入输出，算出参数，再分两种情况将代入表达式求出，最后检验解是否符合取值范围，进而得出答案． 【详解】 解：根据题意，当，， 解得， 则当时，；时，， 当，解得，满足条件； 当，解得，不满足条件． 故若输出的值为，输入的值为． 故选：． 4．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）已知方程的解是，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识，熟记一元一次方程解的定义是解决问题的关键． 将代入方程，解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】 解：将代入方程中得： ， 则， 解得：， 故答案为：． 5．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）规定：用表示大于的最小整数，例如，，等；用表示不大于的最大整数，例如，，，如果整数满足关系式：，则　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据题意当是整数时，，，于是可将化为：，解方程即可． 【详解】 解：依题意，是整数， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：4． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键． 6．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元一次方程定义，熟记一元一次方程定义是解决问题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为零，列出方程求解即可得到答案． 【详解】 解：方程是关于的一元一次方程， ，且， 由得或， 由得， ， 故答案为：． 7．（25-26学年七上·山东德州·期中）若是关于x的方程的解，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解．将代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】 解：把代入方程，得： ，即， 解得 ． 故答案为 2 8．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等解法是解题的关键． （1）移项、合并同类项、再把系数化为1求解即可； （2）去括号、移项，合并同类项、系数化为1求解； （3）去分母，两边同乘12，再求解即可； （4）先把小数化分数，再求解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得； (2) 小问详解： 解：去括号， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得； (3) 小问详解： 解：去分母，两边同乘12得， 去括号得， 移项合并同类项得， 化系数为1得； (4) 小问详解： 解：， 小数化分数， 化简得， 去括号得， 移项合并同类项得， 化系数为1得． 9．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）（1）小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，请你帮助小明求出原方程正确的解． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）原方程正确的解为；（2），值为 【分析】 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据错误的结果，确定出a的值，进而求出正确的解即可． （2）先去括号，再合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】 解：（1）根据小明的错误解法得：， 把代入得：， 解得：， 正确方程为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得； （2） ， 当，时，原式． 10．（25-26学年七上·山东德州·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． (1) 小问详解： 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 11．（25-26学年七上·山东德州·期中）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：时，我们称使得 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，则　　　　　　； （2）是“相伴数对”，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了整式的加减和化简求值，弄清楚题中的新定义是解本题的关键． （1）利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出的值； （2）利用新定义“相伴数对”列出关系式，再把原式进行化简，最后代入进行计算即可． 【详解】 解：（1）根据题意得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为：． （2）由题意得：，即， 整理得：，即， ， 故答案为：． 12．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后取其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再取其中的一个小正方形再剪成四个小正方形，如此循环进行下去． （1）填表： 剪的次数 1 2 3 4 … n 得到正方形的个数 ______ ______ ______ ______ … ______ （2）请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的正方形剪成个小正方形？为什么？ （3）若原正方形的面积为，设表示第次所剪出的小正方形的面积． ①______；______； ②根据以上信息，则______． 【答案】（1）4，7，10，13，     （2） 解：不可能． 理由：∵， ∴， 没有整数解，不符合题意；     （3）①；；②      【分析】 本题考查剪纸问题，规律型：图形变化类，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）探究规律求解即可； （2）把问题转化为方程有没有整数解可得结论； （3）观察图形可知；；② 观察图形可知． (1) 小问详解： 解：时，正方形个数是， 时，正方形个数是， 时，正方形个数是． 时，正方形个数是， …… 时，正方形个数是． 故答案为：4，7，10，13，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ①；； 故答案为：； ② 观察图形可知． 故答案为： 13．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）已知，则关于x的方程的解是　　　　　　． 【答案】2023 【分析】 本题考查绝对值与偶次方的非负性，一元一次方程，由非负数的性质求出a和b的值，代入方程后，利用裂项相消法求和，解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴且， 解得，， ∴ 即 解得：， 故答案为：． 考点03 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）下表是2025年8月的月历，用如图所示的“L”形框出4个数，若移动这个“L”形框，则这4个数的和不可能是（       ） A. 44 B. 56 C. 76 D. 88 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用， 先分别表示出四个数并求和，然后分别列出方程，求出解判断即可． 【详解】 解：设最上面的数为x，则下面的三个数依次为， 则这4个数的和为， 当时，，则这四个数为2,9,16,17，符合题意； 当时，，则这四个数为5,12,19,20，符合题意； 当时，，则这四个数为10,17,24,25，不符合题意； 当时，，则这四个数为13,20,27,28，符合题意． 故选：C． 2．（25-26学年七上·山东日照·期中）如图是某月的月历，现用“ ”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“ ”图形的大小，将“ ”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（       ） A. 110 B. 88 C. 107 D. 40 【答案】A 【分析】 设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，求出这5个数的和为，结合选项，列出方程即可解答． 【详解】 解：设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为． 这5个数的和为， A、，解得，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，符合题意 B、，解得，不是正整数，不符合题意； C、，解得，不是正整数，不符合题意； D、，解得，则左上的数为，不符合题意． 3．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（     ） A. 赚了40元 B. 赔了40元 C. 赔了60元 D. 不赚不赔 【答案】B 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了的商品进价为元，赔了的商品进价为元，根据卖价都是480元分别列方程求出进价，即可得到答案． 【详解】 解：设赚了的商品进价为元， 则，解得（元）； 设赔了的商品进价为元， 则，解得， ∴（元）， 即这次买卖过程中，商人赔了40元． 故选：B． 4．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），这7个数的和不可能是（     ） A. 42 B. 70 C. 98 D. 147 【答案】A 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，设最中间的数字为，分别表示出剩余的6个数字，求和后，使和分别等于各选项的数字，求出，进行判断即可． 【详解】 解：设最中间的数为x， 则， A、当时，解得，不能构成“”型，故此选项符合题意； B、当时，解得，能构成“”型，故此选项不符合题意； C、当时，解得，能构成“”型，故此选项不符合题意； D、当时，解得，能构成“”型，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了．已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度． 【答案】船在静水中的平均速度为 【分析】 设船在静水中的平均速度为，则顺流速度为，逆流速度为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】 解：设船在静水中的平均速度为，则顺流速度为，逆流速度为， 依题意，得， 解得． 答：船在静水中的平均速度为． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 6．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，那么如图的三阶幻方中x的值为　　　　　． 【答案】10 【分析】 根据题意可得，然后求解即可． 【详解】 解：由题及图可得： ， 解得：； 故答案为10． 【点睛】 本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 7．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）如表是年月日历，如图，用一长方形框在表中任意框个数． （1）若记长方形框左上角的一个数为，则另三个数用含的式子表示出来，从小到大依次是______，______，______． （2）移动长方形框，被长方形框所框的个数之和可能是吗？请说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：移动长方形框，被长方形框所框的个数之和不可能是，理由如下： 假设移动长方形框，被长方形框所框的个数之和可能是 由题意得，， 解得， ∵x是正整数， ∴不符合题意， ∴移动长方形框，被长方形框所框的个数之和不可能是．      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式： （1）根据日历的特点分别表示出另外三个数即可； （2）假设4个数的和可以为82，则可得方程，解方程，看x的值是否符合题意即可得到结论． (1) 小问详解： 解：由题意得，另外三个数从小到大依次是， 故答案为：． (2) 小问详解： 略 8．（25-26学年七上·山东聊城·期中）如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． （1）求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； （2）框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 【答案】（1）     （2）框中4个数的和可能是124，最小的数为25．      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，以及数字规律的探索，解决本题关键是表示出字框中其他的3个数． （1）根据框中最小的数为，则其他3个数字表示为，，，根据加法列代数式即可； （2）假设和为124，根据（1）中得到的和的代数式列出一元一次方程，解方程判断即可． (1) 小问详解： 解：设框中最小的数为． 则其他3个数字为，，， ∴框中4个数的和为； (2) 小问详解： 解：假设框中4个数的和可能是124， ∴， 解得， ∴最小的数为25． 故框中4个数的和可能是124，最小的数为25． 9．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）将一根绳子折成4段，按如图①所示方式，剪一刀，绳子变为5段；如图②，剪两刀，绳子变为9段；如图③，，按照这样的规律，若想要剪得2025段绳子，则需要剪　　　　　　　　　　　刀． 【答案】506 【分析】 此题考查了规律型：图形的变化类，一元一次方程的应用，解题的关键是培养学生通过观察、归纳、抽象出规律的能力．根据剪1刀，绳子变为5段，段，剪2刀，绳子变为9段，段，剪3刀，绳子变为13段，段，进而可以得出剪n刀，绳子变为段，根据想要剪得2025段绳子，列出方程，解方程即可． 【详解】 解：∵剪1刀，绳子变为5段，段； 剪2刀，绳子变为9段，段； 剪3刀，绳子变为13段，段； …， ∴剪n刀，绳子变为段， ∴想要剪得2025段绳子，则， 解得：． 故答案为：506． 10．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）如图数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒个单位长度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． （1）运动开始前，、两点的距离为            ； （2）它们按上述方式运动，秒后点表示的数为          ；点所表示的数为            ；（用含的式子表示） （3）它们按上述方式运动至两点相遇，则相遇点所表示的数是什么？ （4）若点以每秒个单位长度向右匀速运动．当、两点相距个单位长度时，求、两点运动了多长时间？ 【答案】（1）120     （2），     （3）相遇点所表示的数为22     （4）、两点运动的时间为秒或秒      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键． （1）用减去，即可求得、两点的距离； （2）根据运动方向和数轴的方向，路程等于速度乘以时间，即可求得秒后，点表示的数； （3）根据题意，可列方程，解得，进而可求得相遇点所表示的数； （3）设当、两点相距个单位长度时，、两点运动的时间为秒，分两种情况，① 点在点的左侧，② 点在点的右侧，分别根据题意列出一元一次方程即可解决． (1) 小问详解： 解：由题可知，， 故运动开始前，、两点的距离为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：它们按上述方式运动，秒后点表示的数为；点所表示的数为， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：由题意得，， 解得，， ∴ ∴相遇点所表示的数为； (4) 小问详解： 解：设当、两点相距个单位长度时，、两点运动的时间为秒， ① 当点在点的左侧时，根据题意得：， 解得； ② 当点在点的右侧时，根据题意得：， 解得， 答：当、两点运动的时间为秒或秒时，、两点相距个单位长度． 11．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）在巴黎奥运会上，中国体育健儿以为国而战的情怀，顽强拼搏的信念，团结协作的品质，为祖国和人民赢得了荣誉，生动地诠释了新时代中国精神，成为广大青少年的榜样，掀起了运动的热潮．某校七年级乒乓球社团人数增加，需购买一批乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍比一盒乒乓球贵20元，买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元． （1）求一副乒乓球拍和一盒乒乓球的价格各是多少元； （2）在“双12”促销活动中，某体育用品商店制订以下优惠方案： 方案一：商品按原价打9折优惠； 方案二：商品按原价出售，每满200元返30元； 方案三：商品按原价出售，超过800元的部分打7折优惠； 现计划购买23副乒乓球拍和20盒乒乓球，请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算． 【答案】（1）一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元     （2） 解：方案一：（元）． 方案二：元， ， （元）．        方案三：（元）．              ， 按照方案二购买较为合算．      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和对应的算式是解题的关键． （1）设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元，根据买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元建立方程求解即可； （2）根据所给的优惠方案，分别计算出三种优惠方案下的费用，比较即可得到结论． (1) 小问详解： 解：设一副乒乓球拍的价格是元，则一盒乒乓球的价格是元， 根据题意，得，        解得，        ∴． 答：一副乒乓球拍的价格为40元，一盒乒乓球的价格为20元． (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． （1）老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ （2）若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【答案】（1）应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面     （2）应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓，再根据题意即可求解． (1) 小问详解： 解：设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 根据题意，得， 解得， 则， 答：应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面； (2) 小问详解： 解：由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓（个），还需制作（个）小鼓， ∴应再加入制作鼓身的人数为（名），剪鼓面的人数为（名）， 则新加入（名）， ∴综上所述，应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面． 13．（25-26学年七上·山东日照·期中）某校为了改善读书条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如下表： 规格 线下 线上 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个） A 240 0 210 20 B 300 0 250 30 （1）如果在线下购买，两种书架共个，共花费元，求，两种书架各购买了多少个？ （2）如果在线上购买，两种书架共个，若设其中种书架购买个，则用含的式子表示在线上购买所需的总费用是多少元？（要求：列出式子后，再化简） （3）在（2）的条件下，若购买种书架个，请计算线上购买比线下购买节约多少钱？ 【答案】（1）购买种书架个，种书架个     （2）     （3）元      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用以及代数式的化简与求值，熟练掌握根据题意列方程和代数式的方法是解题的关键． （1）设购买种书架个，则购买种书架个，根据买两种书架共花费元，列方程求解即可； （2）总费用买种书架的花费买种书架的花费运费，列式即可； （3）把代入（2）的结论求出线上购买的总费用，再计算购买6个种书架和14个种书架的线下总费用，最后将两者作差即可． (1) 小问详解： 解：设购买种书架个，则购买种书架个， 根据题意，得：， 解得：， ∴， 答：购买种书架个，种书架个； (2) 小问详解： 解：根据题意，得： 总费用； (3) 小问详解： 解：当时，， （元）， 即线上购买比线下购买节约元． 14．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点． 【特例感知】 （1）如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点． ①【B，A】的幸运点表示的数是______； A.       B.0       C.1       D.2 ②试说明A是【C，E】的幸运点． （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． ①【M，N】的幸运点表示的整数为______； ②若数轴上存在一点Q，点N是【M，Q】的幸运点，点Q所表示的数为______． 【拓展应用】 （3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．直接写出当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？ 【答案】（1）① B； ② 证明：由数轴可知，，， ， 是【C，E】的幸运点； （2）① 7；② 6或2； （3）5或15或或 【分析】 本题考查一元一次方程的应用；能够理解题意，将所求问题转化为数轴与绝对值、数轴与一次方程的关系是解题的关键． （1）①由题意可知，点0到是到点距离的3倍；②由数轴可知，，，可得； （2）设【，】的幸运点为，表示的数为，由题意可得，求解即可；设点Q表示的数为q，由题意可得，求解即可； （3）由题意可得，，，分四种情况讨论：①当是【，】的幸运点时，②当是【，】的幸运点时，③当是【，】的幸运点时，，④当是【，】的幸运点时，． 【详解】 （1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍， 即，， 故答案为：B； ② 略 （2）①设【M，N】的幸运点为P，P表示的数为p， ， ， 或， 或， 幸运点表示的数为整数， 故答案为：7； ②设点Q表示的数为q， 点N是【M，Q】的幸运点， ， 或， 或2， 故答案为：6或2； （3）由题意可得，，，， ①当P是【A，B】的幸运点时，， ， ； ②当P是【B，A】的幸运点时，， ， ； ③当A是【B，P】的幸运点时，， ， ； ④当B是【A，P】的幸运点时，， ， ； 为5或15或或时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点． 15．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠超过400元的部分给予8折优惠 （1）若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价600元的商品，他实际付款________元； （2）若小亮在该超市一次购物元，当超过200元但不超过400元时，他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ （3）如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 【答案】（1）290；540     （2）元     （3）580元      【分析】 本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解优惠方案中的付费方式是解题的关键． （1）利用一次性购物超过200元但不超过400元的优惠方案和超过400元的优惠方案解析计算即可得出结论； （2）根据超过200元但不超过400元的优惠方案列出代数式即可； （3）利用相关优惠方式进行计算即可得出结论． (1) 小问详解： 解：（元）； ∵， ∴（元）， 故答案为：290；540； (2) 小问详解： 解：当时，实际付款为（元）， 答：当超过200元但不超过400元时，他实际付款元； (3) 小问详解： 解：当原价为400元时，实际付款为（元）， ∵， ∴原价超过400元， 设原价为元，根据题意得， ， 解得：， 答：他这次购买商品的原价是580元． 16．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）已知有理数在数轴上对应的点分别为，其中是最小的正整数的10倍，满足． （1）填空：___________，___________，___________； （2）现将点、、分别以每秒4个、个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，当运动时间为15秒时，点为中点，求出的值？ （3）现将点、、分别以每秒4个、1个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒．当点在点左侧时（不考虑点与点重合），是否存在常数，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），10，50     （2）     （3）或      【分析】 （1）利用非负数的性质以及最小正整数很容易得解； （2）先将各点运动之后的数表示出来，再结合数轴上两点之间的距离即可求解； （3）先将各点运动之后的数用含t的式子表示出来，因为A和B大小不一定，所以需要分类讨论，然后不随t的变化而变化，实则是整式中无关项问题，令其系数为0即可得解． (1) 小问详解： 解：（1）由非负数的性质可得，，， 所以，， 因为最小正整数为1， 所以， 故答案为：，10，50； (2) 小问详解： 解：15秒后：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 当B为中点时，， ∴， 解得； (3) 小问详解： 解：t秒后：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵点A在点C左侧， ∴， ， ①时，， ∴， ∵值不随t的改变而改变， ∴； ②当时，， ∴， ∵值不随t的改变而改变， ∴； 综上，m和n的关系为或． 【点睛】 本题主要考查一元一次方程的实际应用、非负数的性质、整式加减、数轴动点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）“十一”黄金周期间，某风景区在8天假期中每天旅游的人数变化如下表所示（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化（单位：万人） 1.2 0.8 0.6 0.2 （1）10月1日至5日这五天中每天到该风景区的游客人数最多的是10月                 日； （2）若9月30日的游客人数为2万人，求10月1日至6日这六天的游客总人数是多少？ （3）若9月30日的游客人数为2万人，10月8日到该风景区的游客人数与9月30日的游客人数持平，那么表中“ ”表示的数应该是多少？ 【答案】（1）5；（2）万人；（3） 【分析】 （1）结合题意，根据有理数加减运算的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据（1）的结论，分别计算得10月1日至6日这六天相对于9月30日的游客人数增加量，根据有理数乘法和加法的性质计算，即可得到答案 （3）设表中“ ”表示的数为；结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】 解：（1）10月1日相比9月30日，游客人数共增加：1.2万人 10月2日相比9月30日，游客人数总共增加：万人 10月3日相比9月30日，游客人数总共增加：万人 10月4日相比9月30日，游客人数总共增加：万人 10月5日相比9月30日，游客人数总共增加：万人 ∴10月1日至5日这五天中，10月5日人数最多 故答案为：5 （2）结合题意，10月6日相比9月30日，总共增加：万人 ∴10月1日至6日这六天的游客总人数是：万人； （3）设表中“ ”表示的数为 根据题意，得10月7日相比9月30日，总共增加：万人 10月7日相比9月30日，总共增加：万人 ∵10月8日到该风景区的游客人数与9月30日的游客人数持平 ∴ ∴，即表中“ ”表示的数应该是． 【点睛】 本题考查了有理数和一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘法和加减运算、一元一次方程的性质，从而完成求解． 18．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是的3倍点．例如：如图1，点是的3倍点，点不是的3倍点，但点是的3倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图1中，点_____的3倍点（填写“是”或“不是”）：的3倍点是点_____（填写或B或C或D）： （2）如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是的3倍点，则点表示的数是_____； （3）若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，若点A，点B分别以每秒1个单位长度，每秒2个单位长度同时在数轴上向右运动．秒后，点是的3倍点，求的值． 【答案】（1）是，     （2）3或9     （3）t的值为12或30．      【分析】 此题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用． （1）根据图形可直接解得； （2）由，点在，之间和点右侧，分别求出点表示的数是3或9； （3）秒后，点A和点B表示的数分别为和，由题意得，从而解得的值． (1) 小问详解： 解：由图可知：， 是的3倍点， ， 的3倍点是点， 故答案为：是，； (2) 小问详解： 解：， 当点在线段上时， 点是的3倍点， ， 此时点表示的数是3， 当点在点右侧时， 点是的3倍点， ， 点表示的数是9． 故答案为：3或9； (3) 小问详解： 解：秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9， 由题意得， 即或， 解得或， t的值为12或30． 19．（25-26学年七上·山东日照·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离可用AB表示，，若已知，则．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8． （1）填空：______，______； 【构建联系】 （2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是________，点Q表示的数是________（用含t的代数式表示）； ②若，求t的值； 【深入探究】 （3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间，且的值始终是一个定值，直接写出m的值． 【答案】（1）10，16；（2）①，；② 8或2；（3） 【分析】 本题考查有理数与数轴，列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）① 根据两点间的距离公式列出代数式即可；② 分两种情况进行讨论求解即可； （3）根据两点间的距离公式表示出和，根据整式加减中的无关型问题即可得出结果． 【详解】 解：（1）； 故答案为：10，16； （2）① 由题意，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：或； ② 由题意，或， 解得或； （3）由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵点D始终在A、C两点之间， ∴，， ∴ ， ∵的值始终是一个定值， ∴， ∴． 20．（25-26学年七上·山东临沂·期中）【问题背景】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，两点之间的距离表示为或，记为．例如，在数轴上，表示-4和-2的点的距离为． 【问题解决】 （1）数轴上表示3和的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______； （3）若数轴上有理数与1对应的两点之间的距离，则等于______； 【联系拓广】 （4）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为，若点在点两点之间，则______；若，则点表示的数为______； （5）对于任何有理数，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由． 【答案】（1）8（2）（3）或7；（4）6，或6；（5）有，最小值是10．理由：表示的是一个数到和6的距离的和，而和6的距离为10，所以最小距离就是10． 【分析】 本题主要考查了列代数式，数轴，绝对值，正确列出含绝对值的代数式是基础，通过分类讨论去掉绝对值符号是解答本题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离代入值运用绝对值化简即可求得； （3）根据数轴上两点之间的距离列出等式，结合绝对值计算即可； （4）根据数轴上两点之间的距离判断出为的距离，再结合已知值和最小值分别求解即可； （5）根据x是动点，结合绝对值的意义和（3）最小值的取值可能，即可知由最小值且位于和6之间． 【详解】 解：（1）数轴上表示3和的两点之间的距离等于； （2）数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为； （3）若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则， ∴或； （4）∵P在点M，N之间，且点M表示的数为4，点N表示的数为， ∴ ∵， ∴点在线段外， 当P在N左边，即，， 解得，； 当P在M点右边时，即，， 解得，； ∴点表示的数为或6； （5）表示的是一个数到和6的距离的和，而和6的距离为10，所以当x位于和6时，取得最小距离就是10． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 3大高频考点概览 考点01 等式的性质 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 等式的性质 1．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）以下等式变形不正确的是（       ） A. 由，得到 B. 由，得到 C. 由，得到 D. 由，得到 考点02 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）已知（k-1）x|k|+3=0是关于x的一元一次方程．则此方程的解是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·山东德州·期中）下列在解方程的过程中，变形正确的是（　　） A. 将“”去分母，得“” B. 将“”去括号，得“” C. 将“”移项，得“” D. 将“”，系数化为1，得“” 3．（25-26学年七上·山东德州·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值为．若输出的值为，则输入的值是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 4．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）已知方程的解是，则　　　　　　　． 5．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）规定：用表示大于的最小整数，例如，，等；用表示不大于的最大整数，例如，，，如果整数满足关系式：，则　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是　　　　　　． 7．（25-26学年七上·山东德州·期中）若是关于x的方程的解，则　　　　　　． 8．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 9．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）（1）小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，请你帮助小明求出原方程正确的解． （2）先化简，再求值：，其中，． 10．（25-26学年七上·山东德州·期中）解方程： （1） （2） 11．（25-26学年七上·山东德州·期中）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：时，我们称使得 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，则　　　　　　； （2）是“相伴数对”，则代数式的值为　　　　　　． 12．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后取其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再取其中的一个小正方形再剪成四个小正方形，如此循环进行下去． （1）填表： 剪的次数 1 2 3 4 … n 得到正方形的个数 ______ ______ ______ ______ … ______ （2）请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的正方形剪成个小正方形？为什么？ （3）若原正方形的面积为，设表示第次所剪出的小正方形的面积． ①______；______； ②根据以上信息，则______． 13．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）已知，则关于x的方程的解是　　　　　　． 考点03 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）下表是2025年8月的月历，用如图所示的“L”形框出4个数，若移动这个“L”形框，则这4个数的和不可能是（       ） A. 44 B. 56 C. 76 D. 88 2．（25-26学年七上·山东日照·期中）如图是某月的月历，现用“ ”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“ ”图形的大小，将“ ”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（       ） A. 110 B. 88 C. 107 D. 40 3．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（     ） A. 赚了40元 B. 赔了40元 C. 赔了60元 D. 不赚不赔 4．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），这7个数的和不可能是（     ） A. 42 B. 70 C. 98 D. 147 5．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了．已知水流的速度是，求船在静水中的平均速度． 6．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，那么如图的三阶幻方中x的值为　　　　　． 7．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）如表是年月日历，如图，用一长方形框在表中任意框个数． （1）若记长方形框左上角的一个数为，则另三个数用含的式子表示出来，从小到大依次是______，______，______． （2）移动长方形框，被长方形框所框的个数之和可能是吗？请说明理由． 8．（25-26学年七上·山东聊城·期中）如图，将这40个数按照下表进行排列，现用一个字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． （1）求出框中4个数的和（用含的代数式表示）； （2）框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 9．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）将一根绳子折成4段，按如图①所示方式，剪一刀，绳子变为5段；如图②，剪两刀，绳子变为9段；如图③，，按照这样的规律，若想要剪得2025段绳子，则需要剪　　　　　　　　　　　刀． 10．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）如图数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒个单位长度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． （1）运动开始前，、两点的距离为            ； （2）它们按上述方式运动，秒后点表示的数为          ；点所表示的数为            ；（用含的式子表示） （3）它们按上述方式运动至两点相遇，则相遇点所表示的数是什么？ （4）若点以每秒个单位长度向右匀速运动．当、两点相距个单位长度时，求、两点运动了多长时间？ 11．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）在巴黎奥运会上，中国体育健儿以为国而战的情怀，顽强拼搏的信念，团结协作的品质，为祖国和人民赢得了荣誉，生动地诠释了新时代中国精神，成为广大青少年的榜样，掀起了运动的热潮．某校七年级乒乓球社团人数增加，需购买一批乒乓球拍和乒乓球，已知一副乒乓球拍比一盒乒乓球贵20元，买12副乒乓球拍和8盒乒乓球共需640元． （1）求一副乒乓球拍和一盒乒乓球的价格各是多少元； （2）在“双12”促销活动中，某体育用品商店制订以下优惠方案： 方案一：商品按原价打9折优惠； 方案二：商品按原价出售，每满200元返30元； 方案三：商品按原价出售，超过800元的部分打7折优惠； 现计划购买23副乒乓球拍和20盒乒乓球，请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算． 12．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． （1）老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ （2）若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 13．（25-26学年七上·山东日照·期中）某校为了改善读书条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如下表： 规格 线下 线上 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个） A 240 0 210 20 B 300 0 250 30 （1）如果在线下购买，两种书架共个，共花费元，求，两种书架各购买了多少个？ （2）如果在线上购买，两种书架共个，若设其中种书架购买个，则用含的式子表示在线上购买所需的总费用是多少元？（要求：列出式子后，再化简） （3）在（2）的条件下，若购买种书架个，请计算线上购买比线下购买节约多少钱？ 14．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点． 【特例感知】 （1）如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点． ①【B，A】的幸运点表示的数是______； A.       B.0       C.1       D.2 ②试说明A是【C，E】的幸运点． （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． ①【M，N】的幸运点表示的整数为______； ②若数轴上存在一点Q，点N是【M，Q】的幸运点，点Q所表示的数为______． 【拓展应用】 （3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．直接写出当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？ 15．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠超过400元的部分给予8折优惠 （1）若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款________元；若一次购买原价600元的商品，他实际付款________元； （2）若小亮在该超市一次购物元，当超过200元但不超过400元时，他实际付款多少元（用含的代数式表示）？ （3）如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 16．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）已知有理数在数轴上对应的点分别为，其中是最小的正整数的10倍，满足． （1）填空：___________，___________，___________； （2）现将点、、分别以每秒4个、个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，当运动时间为15秒时，点为中点，求出的值？ （3）现将点、、分别以每秒4个、1个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒．当点在点左侧时（不考虑点与点重合），是否存在常数，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由． 17．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）“十一”黄金周期间，某风景区在8天假期中每天旅游的人数变化如下表所示（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化（单位：万人） 1.2 0.8 0.6 0.2 （1）10月1日至5日这五天中每天到该风景区的游客人数最多的是10月                 日； （2）若9月30日的游客人数为2万人，求10月1日至6日这六天的游客总人数是多少？ （3）若9月30日的游客人数为2万人，10月8日到该风景区的游客人数与9月30日的游客人数持平，那么表中“ ”表示的数应该是多少？ 18．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是的3倍点．例如：如图1，点是的3倍点，点不是的3倍点，但点是的3倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图1中，点_____的3倍点（填写“是”或“不是”）：的3倍点是点_____（填写或B或C或D）： （2）如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是的3倍点，则点表示的数是_____； （3）若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，若点A，点B分别以每秒1个单位长度，每秒2个单位长度同时在数轴上向右运动．秒后，点是的3倍点，求的值． 19．（25-26学年七上·山东日照·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离可用AB表示，，若已知，则．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8． （1）填空：______，______； 【构建联系】 （2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是________，点Q表示的数是________（用含t的代数式表示）； ②若，求t的值； 【深入探究】 （3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间，且的值始终是一个定值，直接写出m的值． 20．（25-26学年七上·山东临沂·期中）【问题背景】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，两点之间的距离表示为或，记为．例如，在数轴上，表示-4和-2的点的距离为． 【问题解决】 （1）数轴上表示3和的两点之间的距离是______； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______； （3）若数轴上有理数与1对应的两点之间的距离，则等于______； 【联系拓广】 （4）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为，若点在点两点之间，则______；若，则点表示的数为______； （5）对于任何有理数，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $