专题02 有理数的运算（期中真题汇编，山东专用）七年级数学上学期

**基本信息** 汇集山东多地期中真题，聚焦有理数运算7大考点，以实际情境题（如微信账单、外卖送餐）和创新题型（新定义运算、幻方）为主，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|有理数加减乘除、乘方、科学记数法|结合数轴比较大小、新定义运算（如※运算）| |填空|约10题|近似数、绝对值、倒数|实际应用（海拔高度、数轴折叠距离）| |解答|约20题|混合运算、科学记数法、综合应用|情境化问题（新能源汽车费用、快递邮费计算）、跨学科融合（二进制转换、幻方）|

专题02 有理数的运算 7大高频考点概览 考点01 有理数的加法 考点02 有理数的减法 考点03 有理数的乘法 考点04 有理数的除法 考点05 乘方 考点06 科学记数法 考点07 近似数 考点01 有理数的加法 1．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）绝对值小于4的所有负整数的和是（       ） A. 0 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了绝对值的意义，负整数的定义，有理数的加法． 先找出绝对值小于4的所有负整数，再求和即可． 【详解】 绝对值小于4的所有负整数有，和是 故选：D 2．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）星期六上午，小涵与同学相约去玩．已知她当日微信钱包的初始余额为35元，当日微信钱包的账单如表所示： 交易种类 金额（元） 红包——来自爸爸 全鸡汉堡支付 品牌零食支付 转账——来自哥哥 零食屋支付 出行支付 （1）从实际角度看，账单中支出最少的交易种类是                 ； （2）求小涵当日微信钱包的最后余额． 【答案】（1）出行支付     （2）637（元）      【分析】 本题主要考查了有理数大小比较、正数和负数、有理数的加减运算等知识点，熟练掌握相反意义的量用正数和负数表示是解题的关键． （1）先比较各项目金额的大小，据此即可解答； （2）将图中得数据相加即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴账单中支出最少的交易种类是出行支付． 故答案为：出行支付． (2) 小问详解： 解：（元）． 答：小涵当日微信钱包的最后余额637元． 3．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）阅读下列内容，并完成相关问题： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，                                   ． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，                                   ． （2）计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？ 请分别给出你的判断，并举例验证．（每个运算律举一个例子即可） 【答案】（1）同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值     （2）     （3） 交换律仍然适用， 例如：， 所以， 故交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：， ， 所以结合律不适用．      【分析】 本题考查了新定义，有理数的加法运算，加法运算法，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可； （3）可选择加法交换律，根据运算法则举例计算，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：同号得正、异号得负，并把绝对值相加； 都得这个数的绝对值． (2) 小问详解： 解；原式； (3) 小问详解： 略 考点02 有理数的减法 1．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 依题意，依据数轴的性质，可得与的大小关系，然后进行选项验证，即可； 【详解】 由题知：依据数轴的性质：原点左侧的数小于原点右侧的数；可得，，；； ∴D选项不正确； ∴ ，可得：，A选项不正确； 又，∴，可得：，B选项不正确； 又，∴ ，C选项正确； 故选：C 【点睛】 本题考查数轴、绝对值的性质，有理数的减法法则的应用，关键在理解数轴上表示的数的意义； 2．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（     ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【分析】 本题考查的是新定义运算，理解新定义，按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 3．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）把写成省略括号的和的形式是　　　　　　  ． 【答案】 【分析】 本题考查有理数的加减运算，理解运算法则是解答关键. 根据有理数的运算法则，减去一个数等于加上它的相反数，将原式中的括号省略，写成和的形式. 【详解】 解： = . 故答案为 . 4．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知A地海拔高度为，而B地比A地低32米，则B地海拔高度为　　　　　　　　　　． 【答案】米 【分析】 本题考查正负数的意义和有理数的减法，正确理解题意是解题的关键． 根据正负数的意义和有理数减法法则计算即可． 【详解】 解：海拔为米，B地比A地低32米， 则海拔高为米 故答案为：米． 5．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）计算： 【答案】2 【分析】 本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的加减运算进行求解即可 【详解】 解：原式  ． 6．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）已知|m|＝17，|n|＝29，且m+n＞0，则m﹣n＝　　　． 【答案】-12或-46 【分析】 根据m+n＞0，求出m、n的值各是多少，即可求出m-n的值等于多少． 【详解】 解：∵|m|=17，|n|=29，m+n＞0 ∴m=17，n=29或m=-17，n=29， ∴m-n=17-29=-12或m-n=-17-29=-46． 【点睛】 此题主要考查了有理数的加减法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握． 7．（25-26学年七上·山东聊城·期中）点A、B在数轴上，且A与B的距离是5，如果点A对应的数为，那么点B所对应的数为　　　　　． 【答案】或3 【分析】 此题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键．根据题意，结合数轴，求出B对应的数即可． 【详解】 解：如图，点A，B在数轴上，且A与B的距离是5，点A对应的数为，则点B所对应的数为或， 即点B对应的数为或3 故答案为：或3 8．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： （1）应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为__________， （2）应用二：若点表示的整数为，则当为_________时，与的值相等； （3）应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为________，此时所有符合条件的整数的和为__________． （4）应用四：如图，将数轴沿着点折叠，若数轴上，两点折叠后重合，且点在点的左侧，，两点之间距离为12，，两点之间距离为4，则点表示的数是_______；点表示的数是__________；点表示的数是__________． 【答案】（1）     （2）     （3）7，     （4）；；或      【分析】 本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示x的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可； （4）根据题意可得点M和点N到点A的距离都为6，据此根据数轴上两点距离计算公式求出点M和点N表示的数，进而求出点C表示的数即可． (1) 小问详解： 解：由题意得， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． (3) 小问详解： 解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；； (4) 小问详解： 解：∵将数轴沿着点折叠，数轴上，两点折叠后重合，且，两点之间距离为12， ∴点M和点N到点A的距离都为6， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵，两点之间距离为4， ∴当点C在点M左侧时，点C表示的数为， 当点C在点M右侧时，点C表示的数为， ∴点C表示的数为或， 故答案为：；；或． 9．（25-26学年七上·山东德州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是______． （2）当取最小值时，x可以取整数______． （3）的最大值为______． （4）当x取何值时，的值最小？最小值为？ （5）【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是多少？ 【答案】（1）数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离     （2），，，，     （3）     （4）时取最小值为     （5）便民服务点P建在点B或点C之间包括点B和点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是      【分析】 本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关绝对值的几何意义是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小为数轴上到的距离，即可得出结果； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最大为数轴上到的距离，进行求解即可； （4）根据绝对值的意义，得到当时，的值最小为数轴上到的距离，进行求解即可； （5）设点距离市民广场的距离为，得到，根据绝对值的意义，得到当时，服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； (2) 小问详解： 表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离， ∴x可以取整数，，，，； (3) 小问详解： 表示数轴上数到数的距离之差， ∴当时，的值最大为数轴上到的距离，即：； (4) 小问详解： 表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离，即：； (5) 小问详解： 设点距离市民广场的距离为， 由题意，服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程为， 即数轴上数到的距离之和， ∴当，最小为数轴上到的距离之和加上到的距离之和，即； 故当便民服务点P建在点B和点C之间包括点B和点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 考点03 有理数的乘法 1．（25-26学年七上·山东德州·期中）的倒数是（       ） A. 2025 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，由此可解． 【详解】 解：∵， ∴的倒数是． 故选：C． 2．（25-26学年七上·山东聊城·期中）已知，，且，则的值为（     ） A. 1或 B. 9或 C. 9或 D. 或 【答案】A 【分析】 先计算绝对值，结合，确定x，y的值，计算即可． 本题考查了绝对值的计算，有理数的乘法，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴或；或， ∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 3．（25-26学年七上·山东德州·期中）在下列说法：①如果，则有；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若，则m、n互为相反数．其中错误的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题考查了绝对值，相反数的定义及有理数的乘法法则．根据相反数的定义，有理数的乘法法则，绝对值的定义解答即可． 【详解】 解：① 如果，则有；若，则有，故① 说法错误； ② 若干个有理数相乘（0除外），如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故② 说法错误； ③ 一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或0，故③ 说法错误； ④ 若，则m、n互为相反数。故④ 说法正确． 所以，错误结论的个数只有3个， 故选：B． 4．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知m、n互为相反数，c、d互为倒数，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据相反数的定义得出，根据倒数的定义得出，即可求解． 【详解】 解：∵m、n互为相反数，c、d互为倒数， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是掌握相反数相加的0，乘积为1的两个数互为倒数． 5．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）绝对值大于2而小于5的所有负整数的积是　　　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 先列举出所有符合条件的数，再求出其积即可． 【详解】 解：∵绝对值大于2且小于5的所有负整数是：-3，-4， ∴（-3）×（-4）=12． 故答案为：12． 【点睛】 本题考查的是有理数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键． 6．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）某学习小组调查了一名外卖员一周的送餐情况，规定每天送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记作正数，低于40单的部分记作负数，下表是该外卖员一周的送餐情况： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 超过（低于）40单 （1）该外卖员这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）求该外卖员这一周一共送餐多少单？ （3）外卖员送单补贴的方案如下：每天送单量不超过40单时，每单补贴4元；超过40单时，超过部分每单补贴6元．该外卖员这一周收入多少元？ 【答案】（1）23单     （2）302单     （3）1280元      【分析】 本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据工资的计算方法列式计算即可． (1) 小问详解： 解： （单）， 即该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多23单； (2) 小问详解： 解： （单）， 即该外卖小哥这一周一共送餐302单． (3) 小问详解： 解：负值之和，正值之和， 收入（元）， 答：该外卖员这一周收入1280元． 考点04 有理数的除法 1．（25-26学年七上·山东临沂·期中）若为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查由数轴上有理数的位置确定式子符号，数形结合是解决问题的关键． 由在数轴上的位置得到，且，逐项验证即可得到答案． 【详解】 解：如图所示： ，且， A、则，选项中的式子错误，不符合题意； B、则，选项中的式子正确，符合题意； C、则，选项中的式子错误，不符合题意； D、则，选项中的式子错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）有理数在数轴上所对应的点的位置如图所示，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了数轴与有理数，理解数轴的特点，掌握数轴上有理数符号的确定是解题的关键． 根据数轴的特点可得，，由此进行判定即可求解． 【详解】 解：根据数轴的特点可得，， ∴A、，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 3．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，正确从数轴得到的大小以及正负是解题的关键． 由数轴可得，，再分别判断各选项即可． 【详解】 解：由数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 4．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则对各式计算，即可作出判断，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 【详解】 解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意． 故选：C． 5．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了数轴上的点表示有理数，有理数的加减运算，有理数乘法运算， 先根据题意可得，且，进而得出各式的值判断即可． 【详解】 解：根据数轴可知，且， ∴． 故选：D． 6．（25-26学年七上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，根据数轴得到，再根据有理数四则运算法则求解即可． 【详解】 解：由数轴可知， ∴，，， ∴四个选项中只有A选项正确，符合题意， 故选：A． 7．（25-26学年七上·山东德州·期中）德胜中学初一年级举办“悦跑”活动，小博同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，如表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）． 时间强度方案 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 1250 1100 1000 750 800 高强度 1700 2000 2250 2000 1250 休息 0 0 0 0 0 小博定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不能休息且不能连续两天及以上时间都休息．小博根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（       ） A. 若小博每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步4900m B. 若小博第2天休息，则他这5天最多共跑步5500m C. 小博这5天最少共跑步3050m D. 小博这5天最多共跑步5600m 【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的应用，解题的关键是根据跑步计划方案，选择合适的方案． 【详解】 解：A、若每天都选择“低强度”方案， 5天共跑步：，此选项正确，故不符合题意； B、若第2天休息，要使5天跑步距离最多，所以选择第1，3天“高强度”，第4，5天“低强度”，共跑步：，此选项正确，故不符合题意； C、要使5天跑步距离最少，需尽量选择低强度和休息，但需满足第1天不能休息且不能连续两天及以上休息。需考虑不同休息组合，计算总距离并比较： 情况一：第2天休息，第4天休息， 情况二： 第2天休息，第5天休息， 因为，所以最少跑步距离为， 此选项错误，故符合题意； D、要使5天跑步距离最多，需尽量选择高强度方案，第1天选择高强度方案，第3天休息，第4天选择高强度方案，第2 天和第5天选择低强度方案，，此选项正确，故不符合题意； 故选：C． 8．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 （1）这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ （2）根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管是运进还是运出，每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ 【答案】（1）这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨     （2） 解：方案一：费用为（元），    方案二：费用为（元）， 由于， 所以从节约运费的角度考虑，选用方案二比较合适．      【分析】 本题考查了有理数的混合运算的应用： （1）根据计算这天冷库冷冻食品进出的总和的符号可确定此题结果． （2）分别求出两种方案总费用，可比较出哪种方案更好． (1) 小问详解： 解：．    故这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨． (2) 小问详解： 略 9．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）计算：． 【答案】 【分析】 按照有理数的乘除运算顺序进行即可． 【详解】 解： 【点睛】 本题考查了有理数的乘除混合运算，注意运算顺序，也可把除法转化为乘法进行． 10．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）请将“，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除混合运算，使运算结果为24（可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式：　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据有理数的混合运算求解即可． 【详解】 解：由题意知，， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 11．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）有8筐白菜，以每筐20千克为标准，超过的千克数记作正数，称重后的记录如下： ，，2，，1，，2， 回答下列问题： （1）这8筐白菜中最接近标准重量时这筐白菜重_____千克． （2）这8筐白菜中最重的重_____千克；最轻的重_____千克． （3）若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【答案】（1）千克     （2），     （3）出售这8筐白菜可卖317元．      【分析】 本题考查了有理数的加减法和乘法运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）纪录中绝对值最小的数，就是最接近标准重量的数； （2）找到记录中最大的数和最小的数，然后根据标准求解即可； （3）计算出8筐白菜的实际重量，然后乘以每千克售价可得答案． (1) 小问详解： 解：最接近标准重量的是纪录中绝对值最小的数， ， ∴这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重（千克）， (2) 小问详解： 解：记录中最大的数为2，最小的数为 （千克），（千克） 这8筐白菜中最重的重22克；最轻的17千克， (3) 小问详解： 解：（千克） （元， 答：出售这8筐白菜可卖317元． 12．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可； （3）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可； （4）先算乘方，再算乘除法，然后算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 13．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： （1）小王师傅在处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地处什么方向？距处多远？ （2）公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】（1）他此时在出发地A处东边，距A处7千米；     （2）小王师傅接送8次乘客共收车费102元；      【分析】 本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正负数的实际应用： （1）把所给的行程计算相加，若结果为正数，则在A地东边，距离为计算的结果，若结果为负数，则在A地西边，距离为计算的结果的绝对值，若为0，则回到A地．； （2）先求出8次起步价的总车费，再求出超过3千米加收的费用，二者求和即可得到答案； (1) 小问详解： 解：由题意可得， 千米， ∴他此时在出发地A处东边，距A处7千米； (2) 小问详解： 解：（元）， ∴小王师傅接送8次乘客共收车费102元． 14．（25-26学年七上·山东聊城·期中）“双减”政策实施后，同学们作业负担大大减少，下面是小明记录的本周写家庭作业的用时情况（以分钟为标准，时间多于分钟的部分用正数表示，时间少于分钟的部分用负数表示）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准时间的差（分钟） （1）小明这一周内写家庭作业用时最少的是星期_____________； （2）小明这一周内写家庭作业用时最多比用时最少的多多少分钟? （3）求小明这一周每天写家庭作业的平均时间． 【答案】（1）五     （2）小明这一周内写家庭作业用时最多比用时最少的多分钟     （3）小明这一周每天写家庭作业的平均时间为分钟      【分析】 （1）由，判断作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据计算求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：正数越大，所用时间越多，负数越小，所用时间越小， ∵， ∴用时最少的是周五． 故答案为：五； (2) 小问详解： 解：由题意知，（分钟）， ∴小明这一周内写家庭作业用时最多比用时最少的多分钟； (3) 小问详解： 解：由题意知，（分钟）， ∴小明这一周每天写家庭作业的平均时间为分钟． 【点睛】 本题考查了有理数的大小比较，正负数的实际应用，有理数的减法运算的应用，有理数混合运算的应用．熟练掌握有理数的大小比较，正负数的实际应用，有理数的减法运算的应用，有理数混合运算的应用是解题的关键． 15．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） （1）本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； （2）通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ （3）该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 【答案】（1）315；29     （2）本周实际销售总量达到了计划量     （3）该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元      【分析】 本题考查有理数混合运算的实际应用； （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 理解题意并列出式子是解题的关键． (1) 小问详解： 解：本周前三天销售儿童滑板车：（辆）， 根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为： （辆）； 故答案为：315；29． (2) 小问详解： 解：， ∵ ∴本周实际销售总量达到了计划量． (3) 小问详解： 解： （元）， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元． 16．（25-26学年七上·山东德州·期中） 怎样邮寄瓯柑更经济？瓯柑是温州的特产，每年秋冬季是其盛产期．小温家的瓯柑每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小温家定了10箱瓯柑，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值（单位：千克） 箱数 1 4 3 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，瓯柑受损率越高．一个包裹在20千克以内，瓯柑几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，瓯柑的受损率估计为，破损部分由小温家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 任务1 计算这10箱瓯柑的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹；方案二：10箱打成一个大包裹邮寄．请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 今年瓯柑的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．结合任务2，邮寄10箱瓯柑哪种方案利润更高？ 【答案】任务1：100千克； 任务2：选方案二邮寄，小温家支付的邮费更省，省34元； 任务3：方案一利润更高． 【分析】 此题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是正确分析题意并列出算式． 任务1：根据表格中的数据列出算式求解即可； 任务2：根据方案一和方案二的计算方法分别求解判断即可； 任务3：根据题意分别求出方案一和方案二利润，进而判断求解即可． 【详解】 任务1：（千克）， ∴这10箱瓯柑的总质量为100千克； 任务2：由表格可得， ，，，， ∴10箱瓯柑中重量为的有1箱，重量为的有4箱，重量为的有3箱，重量为的有2箱， 方案一：； 方案二： ∵这10箱瓯柑的总质量为100千克， ∴， ∵，（元）， ∴选方案二邮寄，小温家支付的邮费更省，省34元； 任务3：方案一：邮寄10箱瓯柑的利润为（元）， 方案二：邮寄10箱瓯柑的利润为（元）， ∵ ∴方案一利润更高． 17．（25-26学年七上·山东德州·期中）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具150个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为“+”、减产记为“-”，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 增减产值 （1）根据记录的数据可知，小明妈妈星期三生产玩具________个； （2）根据记录的数据，求小明妈妈本周实际生产玩具多少个？ （3）该厂实行每日计件工资制，每生产一个玩具可得工资8元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，求小明妈妈这一周的工资总额是多少？ （4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，那么小明妈妈这一周的工资与原来相比________（填“增加了”、“减少了”或“不变”）． 【答案】（1）26     （2）本周实际生产玩具157个；     （3）小明妈妈这一周的工资总额是1288元；     （4）减少了      【分析】 （1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具个； （2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可； （3）用完成任务的工资加上超出的工资，再减去倒扣的工资即可求解； （4）先计算超额完成几个玩具，然后再求算工资，再比较即可． (1) 小问详解： 解：个， ∴小明妈妈星期三生产玩具26个； (2) 小问详解： 解：∵， ∴（个）． 故本周实际生产玩具157个； (3) 小问详解： 解：元， ∴小明妈妈这一周的工资总额是1288元； (4) 小问详解： 解：（元）， ， ∴小明妈妈这一周的工资与原来相比减少了． 18．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，正方形中每一横行、一竖行及对角线的几个数之和都相等，称为“幻方”．图1幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都是15．    （1）图1中9个数之和是15的___________倍，15是9格的中心数5的___________倍； （2）请在图2的幻方中将，，，，0，1，2，3，4这9个数分别填入； （3）在图3、图4的幻方中，请填上合适的数． 【答案】（1）3，3     （2） 如图所示（答案不唯一）：             （3） 如图所示（答案不唯一）： 【分析】 （1）求出9个数字的和即可求解； （2）先找到中间数字0，最大的数与最小的数的和加上中间的数0组成一列，三数和为0，然后填上其它数字使得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都是0即可； （3）图3中，根据第一行三个数的和为12，确定中间的数，比如4，进而根据规则可求解；图4中，在第一列的最下方填上一个数，比如1，进而根据规则可求解． (1) 小问详解： 解：9个数字的和为， 则，又， ∴9个数之和是15的3倍，15是9格的中心数5的3倍， 故答案为：3，3； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查有理数的加法和除法，解答的关键是理解题中幻方规则． 19．（25-26学年七上·山东临沂·期中）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） （1）这天里路程最多的一天比最少的一天多走多少？ （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ （3）已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】（1）多走；     （2）这七天平均每天行驶了；     （3）这天的行驶费用比原来节省元．      【分析】 本题主要考查了正负数的意义、平均数的计算以及费用的计算，熟练掌握正负数的运算和相关公式是解题的关键． （1）找出表格中最大和最小的数，求差得到最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）先计算七天与标准路程差值的平均数，再加上标准路程得到平均每天行驶的路程； （3）分别计算汽油车和新能源车七天的行驶费用，再求差值得到节省的费用． (1) 小问详解： 解：， 答：多走； (2) 小问详解： 解： ， ， 答：这七天平均每天行驶了； (3) 小问详解： 解：七天总路程： 汽油车费用：（元） 新能源车费用：（元） （元） 答：这天的行驶费用比原来节省元． 20．（25-26学年七上·山东临沂·期中）根据背景素材，探索解决问题． 周末小明一家打算去露营基地野餐 素材1 野餐准备计划路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 【答案】任务1：露营基地在家的西边处；任务2：14元；任务3：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费57.8元 【分析】 此题考查了有理数混合运算的应用．根据题意正确列式是解题的关键． 任务1：根据题意列出算式计算即可； 任务2：根据题意列出算式计算即可； 任务3：先求出水果店到奶茶店的原价费用和奶茶店到露营基地的原价费用，再根据水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券进行计算即可． 【详解】 解：任务1：由题意可得：， 答：露营基地在家的西边处； 任务2：由题意可得：（元）， 答：炸鸡店到面包店所需费用14元； 任务3：由题意可得水果店到奶茶店的原价费用为（元），奶茶店到露营基地的原价费用为（元），， 则水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券， （元） 答：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费元． 21．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 （1）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （2）已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】（1）小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米     （2）估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元      【分析】 本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键； （1）用标准乘以天数，再加上表格中的数据之和，进行求解即可； （2）求出油车和电车所需的费用，作差即可． (1) 小问详解： 解：； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米； (2) 小问详解： （元）； 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 考点05 乘方 1．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是（　　） A. 16 B. 26 C. ﹣16 D. ﹣26 【答案】D 【分析】 将x的值代入程序图中的程序按要求计算即可． 【详解】 解：当x＝2时，10﹣x2＝10﹣4＝6＞0，不输出； 当x＝6时，10﹣x2＝10﹣36＝﹣26＜0，符合题意，输出结果， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是操作型题目，按程序图的要求运算是解题的关键． 2．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果应为（       ） A.  B.  C. 1.5 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了计算器的使用， 根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可．解题的关键是理解计算器的按键顺序，写出计算的式子． 【详解】 解： 故选：A． 3．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）下列各数中，负数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查有理数的分类，先化简多重符号，去绝对值，进行有理数乘方的运算，然后根据小于0的数为负数，进行判断即可． 【详解】 解：A、，是正数，不符合题意； B、，是正数，不符合题意； C、，是正数，不符合题意； D、，是负数，符合题意； 故选D． 4．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查流程图与有理数的计算．解题的关键是按照流程图的计算规则，正确的计算．根据流程图的顺序，列式计算即可． 【详解】 解：当时，， 当时，， 输出的值为， 故选：C． 5．（25-26学年七上·山东聊城·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据有理数的运算法则可进行求解． 【详解】 解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算正确； D、，原计算错误； 故选C． 【点睛】 本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 6．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）下列计算中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了有理数的乘方，有理数的除法， 通过直接计算每个选项，注意运算顺序和符号，判断计算结果是否正确． 【详解】 解： 对于选项A：∵，∴A错误； 对于选项B：∵，∴B错误； 对于选项C：∵，∴C错误； 对于选项D：∵，∴D正确. 故选：D． 7．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）计算的结果是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了有理数的乘法和乘方，根据有理数的乘法和乘方的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：， 故选：． 8．（25-26学年七上·山东临沂·期中）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．将二进制数化为三进制数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二进制数与十进制数、三进制数与十进制数的转换，先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数即可得到答案． 【详解】 解：， ∵， ∴， 故选：B． 9．（25-26学年七上·山东聊城·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为15，则第一次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，则第2024次输出的结果为（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次输出的结果，从而得出从第四次开始，每两次输出为一个循环，再由，即可得到答案，弄清题中的规律是解此题的关键． 【详解】 解：第一次输出结果：把代入得：， 第二次输出结果：把代入得：， 第三次输出结果：把代入得：， 第四次输出结果：把代入得：， 第五次输出结果：把代入得：， 第六次输出结果：把代入得：， 第七次输出结果：把代入得：， ……， 从第四次开始，每两次输出为一个循环， ， 第2024次输出的结果为6， 故选：C． 10．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）如图是一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果应是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查代数式求值及有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】 解：若输入a的值为3， 则， 故选：B． 11．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）下列语句正确的是（     ） ①绝对值最小的数是0；②立方等于它倒数的数只有1；③一个有理数在数轴上表示的点离开原点越远，这个有理数就越大；④两数相加，和可能小于任何一个加数． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【分析】 本题考查绝对值、立方与倒数、有理数与数轴的关系、有理数加法的性质。根据绝对值的非负性判断①；通过解方程分析立方与倒数的关系判断②；根据有理数的正负与数轴距离的关系判断③；通过实例验证有理数加法的性质判断④． 【详解】 解：① 因正负数的绝对值都为正，0的绝对值为0，则绝对值最小的数是0，故说法正确； ② 立方等于它倒数的数有，故说法错误； ③ 一个有理数在数轴上表示的点离开原点越远，这个有理数的绝对值越大，负数离开原点越远值越小，故说法错误； ④ 两负数相加，和可能小于任何一个加数，故说法正确， 综上所述，正确的是① ④ ， 故选：C． 12．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算出的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握题干中的求和方法，令所求的和为，将其乘以6后相减，消去中间项，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】 解：令， 两边乘以6，得： ， 将两式相减： ， 右边除首项和末项外，其余项均抵消， 得：， 解得：， 故选：C． 13．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）计算： （1） ； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）先计算乘法和除法，再计算加减即可； （2）先计算乘方、除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 14．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）若有理数，互为倒数，，互为相反数，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了倒数，相反数，有理数乘方，根据有理数，互为倒数，，互为相反数，所以，，代入原式即可求解，掌握相关知识点的运用是解题的关键． 【详解】 解：∵有理数，互为倒数，，互为相反数， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年七上·山东聊城·期中）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 ．．． 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ．．． 十六进制 0 1 2 ．．． 8 9 A 10 11 ．．． 例如：将十六进制数转换为十进制数为：．则将十进制数111转换为十六进制数为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式． 根据题意列出算式，再进一步写出答案即可． 【详解】 解：∵……15． ∴将十进制数111转换为十六进制数为． 故答案为：． 16．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 17．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，d 是数轴上到原点的距离为 2 的数． （1）求 a、b、c、d 的值； （2）求的值． 【答案】（1），     （2）2或      【分析】 本题考查了有理数的分类，相反数，数轴，绝对值的意义及有理数的混合运算，分别求得的值是解题的关键． （1）根据题意求得，即可； （2）把（1）中的值分两种情况代入求值即可． (1) 小问详解： 解：因为a是最大的负整数，所以， 因为b是绝对值最小的有理数，所以， 因为c是倒数等于它本身的自然数，所以， 因为d是数轴上到原点的距离为 2 的数，所以； (2) 小问详解： 解：当时， 当时， 所以原式的值为2或． 18．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）对于实数，，定义一种运算“@”为，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键．根据新定义的运算法则将式子展开，再根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 19．（25-26学年七上·山东日照·期中）计算，能简算的要简算： （1） （2） 【答案】（1）25     （2）      【分析】 本题考查了有理数的乘法运算律，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）先运算乘方，再化简绝对值以及运算括号内，然后运算乘法，最后运算减法，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 20．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）计算：． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则：“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】 解： ． 21．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745；八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字；八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME—14的举办年份.则将八进制数2026换算成十进制数是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查新定义问题，读懂题意，按照材料中的方法换算是解决问题的关键． 根据八进制与十进制的换算规则进行换算，然后计算即可． 【详解】 解：根据换算规则，2026换算为． 故答案为：． 22．（25-26学年七上·山东临沂·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查有理数混合运算，熟记有理数相关运算法则及运算律是解决问题的关键． （1）先化简符号，再由有理数加法运算计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算计算即可得到答案； （3）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法分配律展开，然后由有理数乘法运算计算，最后由有理数加减运算计算即可得到答案； （4）先计算乘方运算，再将除法转化为乘法，再由有理数乘法分配律展开，然后由有理数乘法运算计算，去括号后由有理数加减运算计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 23．（25-26学年七上·山东聊城·期中）计算： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，再计算加减即可； （2）根据先乘方，再乘除，最后计算加减，有括号的先进行括号内计算的运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 24．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； （3）将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 【答案】（1）；     （2）；     （3）[5-(-1)]× [1-(-3)]（答案不唯一）      【分析】 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意可知，当抽到数字5和1时，和最大，然后列出算式求值即可； （2）根据题意可知，当取到数字5和1时，乘积最大，然后列出算式求值即可； （3）根据题意，写出一个结果为24的算式即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得， 当抽到数字5和1时，和最大，此时和为； (2) 小问详解： 解：由题意可得， 乘积最大时，这两个同号， 当取到数字5和1时，乘积最大，此时乘积为； (3) 小问详解： 解； ； 运算结果为24的算式为（答案不唯一）. 25．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）5     （2）5      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除的混合运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再利用乘法分配律进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 26．（25-26学年七上·山东日照·期中）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是　　　　　　　　　　． 【答案】2或7或37 【分析】 本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【详解】 解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 27．（25-26学年七上·山东聊城·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）3     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）先去括号，再根据有理数的加减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除法运算法则求解即可； （3）根据乘法分配律求解即可； （4）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 28．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色小正方形代表1，白色小正方形代表0）．二进制是逢2进1的计数制，有别于我们常用的逢10进1的十进制，如十进制数，二进制数11000转化成十进制数为：．（注：任意不为0的有理数，） 图是某次考试中三位同学的准考证二维码．图1是小亮的准考证二维码，其中第一行至第五行代表的二进制数分别为11000、1100、111、11100、1101，转化成十进制分别为24、12、07、28、13，将五行编码组合到一起就是小亮的准考证号2412072813． （1）若图2是本次考试小莹的准考证二维码，其中第四行表示考场号，那么其代表的二进制数字是________，转化成十进制后可得到她的考场号是________； （2）若本次考试中，小刚的准考证号是2921051510，图3是小刚自己绘制的二维码，但少涂黑了几个小正方形．请你通过计算或推理说明第几行漏涂了小正方形，并帮他在图中补充完整； （3）除了二进制，在计算机系统中，八进制表示法也很常见，比如系统中“文件权限”（读、写、执行）常用八进制数字表示，八进制是逢8进1的计数制． ①参考二进制的计算方法，请你将八进制数字2617转化成十进制数字； ②将十进制数字376转化为八进制为________． 【答案】（1）10101,21     （2） 小亮的准考证号为：2921051510， 根据图3可知二进制数分别为： ； ；； ； ， 补充完整如图所示：      （3）①1423 ②570      【分析】 本题主要考查了代数式表示，数字变化规律， 对于（1），根据二进制的表示方法“黑色代表1，白色代表0”解答，再根据转化十进制的例子解答； 对于（2），分别将二进制写成十进制，再根据不符合情况推理得出答案； 对于（3），① 由题意得，再计算可得答案； ② 分别用376除以8根据余数得出答案． (1) 小问详解： 解：第四行代表二进制的数字是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：①； ②余0 余7， 余5， 从下向上写出答案570． 故答案为：570． 29．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）8     （2）6      【分析】 本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式先计算乘方和乘法运算，再进行加减运算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 30．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算； （1）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： . 31．（25-26学年七上·山东德州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练运用运算法则是解题的关键． （1）按照有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）按照含乘方有理数的混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 32．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图所示为一个数值运算程序，当输入正整数x时，输出结果为63，则输入x的值为　　　　　　． 【答案】或3或2 【分析】 根据已知程序，结合输出结果为63进行逆运算即可得出结果． 【详解】 解：∵输出结果为63， ∴， 解得：，(舍去)， ， 解得：，(舍去)， ， 解得：，(舍去)， ， 解得：(非正整数，舍去)， ∴的值为：或3或2； 故答案为：或3或2． 【点睛】 本题主要考查实数的运算，根据一直程序进行逆运算是解题的关键． 33．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：                               ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】 解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 34．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，若第一次输入的值是113，然后将结果作为新的数据再次输入，如此重复下去，则第三次输出的结果是　　　　　　． 【答案】120 【分析】 本题考查了程序流程图，有理数的混合运算，根据流程图计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：若第一次输入的值是113， 则第1次输出：； 第2次输出：； 第3次输出：， 故答案为：120． 35．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）小王有5张写着不同数的卡片，卡片上分别写有数，，0，，．请你按要求选取卡片，解答下列问题： （1）从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大，应选取______最大的乘积是______； （2）从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数相除所得的商最小，应选取______最小的商是______； （3）从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后，能得到一个最大的数，应如何选取（乘方的指数只考虑正整数的情况）______？最大的数是多少？ 【答案】（1），；15     （2），；     （3）应选取，，并进行乘方运算；625      【分析】 本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数乘法运算法则，选取数字并计算即可； （2）根据有理数除法运算法则，选取数字并计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则，选取数字并计算即可． (1) 小问详解： 解：从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大， 应选取，，最大的乘积是． 故答案为：，；15； (2) 小问详解： 从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数相除所得的商最小， 应选取，，最小的商是． 故答案为：，；； (3) 小问详解： 从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后，能得到一个最大的数， 应选取，，并进行乘方运算，最大的数是． 故答案为：应选取，，并进行乘方运算． 36．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合计算： （1）先计算乘法，再计算减法即可得到答案； （2）根据有理数的加减计算法则求解即可； （3）根据乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，再去中括号，接着计算除法，最后计算减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解； ； (4) 小问详解： 解： ． 37．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）3      (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：原式 ； (4) 小问详解： 解：原式 ． 【点睛】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． 38．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”；写作，读作“的4次商”，一般地，把（）这样n个a相除，写作，读作“a的n次商”． 初步探究： （1）请直接写出计算结果：          ，          ； （2）下列关于除方说法中，错误的是（       ）（单选） A.当时， B.当时， C.正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D.n次商等于它本身的数是1 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数a的n次商（，），写成乘方（幂）的形式为：          ； （4）计算： 【答案】（1）1，；（2）C；（3）；（4） 【分析】 本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）先根据（3）的结论把除方转化为乘方，再按有理数运算法则计算． 【详解】 解：（1）由题意得：， ， 故答案为：1，； （2）A.当时，，故本选项不符合题意； B.当时，，故本选项不符合题意； C. 当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正，该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是，该说法正确，故选项不符合题意； 故选：C； （3）由题知： ， 故答案为：； （4） ． 39．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）在高等数学中存在运算（极限），如的意思为当非常非常大的时候，可以趋近于0，故可以认为，那么的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了有理数的乘方运算和新定义问题，理解定义，通过构造图形表示是解题的关键． 构造面积为1的正方形，表示出即可求解． 【详解】 解：如图，构造面积为1的正方形， 由图可知：， ∵， ∴， 故答案为1． 考点06 科学记数法 1．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）我国国土面积约960万，用科学记数法表示我国国土面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】 解：960万， 故选：A． 2．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）2025年九三阅兵东风—射程超过11000公里，11000用科学记数法表示正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：11000用科学记数法表示为， 故选：B． 3．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）截至2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】 解：依题意，2000万， 即数据“2000万”用科学记数法表示为， 故选：C 4．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）年某品牌的新能源车在月份的月销量约辆，将用科学记数法可表示为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可． 【详解】 解：． 故选：B ． 5．（25-26学年七上·山东临沂·期中）著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】 解：218000000用科学记数法表示为． 故选：B． 6．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）电影《熊猫计划》国庆假期七天票房元，夺得档期票房第二名，数据用科学记数法表示为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：． 故选：A． 7．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）文化和旅游部月日公布年“五一”假期文化和旅游市场情况．经文化和旅游部数据中心测算，假期天，全国国内出游约人次，数据用科学记数法表示为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】 解：， 故选：． 8．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）为推动国家重大战略稳步实施，加快发展新质生产力，国家财政安排2025年中央本级科技经费支出3981.19亿元，将“3981.19亿”用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】 解：3981.19亿， 故选：B． 9．（25-26学年七上·山东日照·期中）古运河扬州段是整个运河中最古老的一段．现在扬州境内的运河与2000多年前的古邗沟路线大部分吻合，与隋炀帝开凿的运河则完全契合，从瓜洲至宝应全长为125公里，125公里=125000米，数据125000用科学记数法可以表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】 解：125000=1.25×105， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 10．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）据央视网年月日消息，我国成功研制出半导体电荷存储器“破晓”，“破晓”存储器将一次擦或写的速度提升至皮秒．一秒相当于一万亿皮秒，则该存储器一秒可以擦或写的次数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了科学记数法，有理数除法的运算，计算一秒内擦或写的次数，需用总时间（一秒对应的皮秒数）除以每次操作所需时间皮秒即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵ 1秒皮秒（一万亿皮秒）， ∴一秒可以擦或写的次数为， 故选：C． 11．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）2025年前三季度，中国经济稳步向好，全国GDP（国内生产总值）总量突破101万亿元人民币．将数据“101万亿”用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】 解：将数据“101万亿”用科学记数法表示为； 故选C． 12．（25-26学年七上·山东聊城·期中）中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】 数据万亿用科学记数法表示为． 故选：B． 13．（25-26学年七上·山东聊城·期中）根据规划，中国倡导的“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000，请用科学记数法表示这个数（       ） A. 44× B. 4.4× C. 4.4× D. 4.4× 【答案】B 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数． 【详解】 解：4 400 000 000用科学记数法表示为：4.4×109， 故选：B． 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 14．（25-26学年七上·山东德州·期中）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位，目前，北斗定位服务日均使用量已超过24900亿次．24900亿用科学记数法表示为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】 24900亿． 故答案为：． 考点07 近似数 1．（25-26学年七上·山东聊城·期中）下列说法正确的是（     ） A. 35800用科学记数法可表示为 B. 0.0156（用四舍五入法精确到0.001） C. 近似数，精确到了百分位 D. 取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 【答案】D 【分析】 本题主要考查了科学记数法，精确度和求一个数的近似数，近似数的最后一位在什么位上，则精确到什么位，精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入，据此求解判断即可． 【详解】 解：A、35800用科学记数法可表示为，原说法错误，该选项不符合题意； B、（用四舍五入法精确到），原说法错误，该选项不符合题意； C、近似数，精确到百位，原说法错误，该选项不符合题意； D、π取，身高约，其中和165都是近似数，原说法正确，该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）近似数的准确数m的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了由近似数求准确数的范围，由四舍五入即可求解；理解近似数和准确数的关系是解题的关键． 【详解】 解：由题意得 ； 故答案：． 3．（25-26学年七上·山东临沂·期中）约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家——祖冲之计算出圆周率应在和之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的人．用四舍五入法将精确到千分位，所得到的近似数为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是掌握“四舍五入”的方法求近似数．根据“四舍五入”求解即可． 【详解】 解：将圆周率精确到千分位，所得到的近似数为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 考点01 有理数的加法 考点02 有理数的减法 考点03 有理数的乘法 考点04 有理数的除法 考点05 乘方 考点06 科学记数法 考点07 近似数 考点01 有理数的加法 1．D 2．【答案】（1）出行支付     （2）637（元）      【分析】 本题主要考查了有理数大小比较、正数和负数、有理数的加减运算等知识点，熟练掌握相反意义的量用正数和负数表示是解题的关键． （1）先比较各项目金额的大小，据此即可解答； （2）将图中得数据相加即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴账单中支出最少的交易种类是出行支付． 故答案为：出行支付． (2) 小问详解： 解：（元）． 答：小涵当日微信钱包的最后余额637元． 3．【答案】（1）同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值     （2）     （3） 交换律仍然适用， 例如：， 所以， 故交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：， ， 所以结合律不适用．      【分析】 本题考查了新定义，有理数的加法运算，加法运算法，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可； （3）可选择加法交换律，根据运算法则举例计算，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：同号得正、异号得负，并把绝对值相加； 都得这个数的绝对值． (2) 小问详解： 解；原式； (3) 小问详解： 略 考点02 有理数的减法 1．C 2．C 3．【答案】 【分析】 本题考查有理数的加减运算，理解运算法则是解答关键. 根据有理数的运算法则，减去一个数等于加上它的相反数，将原式中的括号省略，写成和的形式. 【详解】 解： = . 故答案为 . 4．【答案】米 【分析】 本题考查正负数的意义和有理数的减法，正确理解题意是解题的关键． 根据正负数的意义和有理数减法法则计算即可． 【详解】 解：海拔为米，B地比A地低32米， 则海拔高为米 故答案为：米． 5．【答案】2 【分析】 本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的加减运算进行求解即可 【详解】 解：原式  ． 6．【答案】-12或-46 【分析】 根据m+n＞0，求出m、n的值各是多少，即可求出m-n的值等于多少． 【详解】 解：∵|m|=17，|n|=29，m+n＞0 ∴m=17，n=29或m=-17，n=29， ∴m-n=17-29=-12或m-n=-17-29=-46． 【点睛】 此题主要考查了有理数的加减法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握． 7．【答案】或3 【分析】 此题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键．根据题意，结合数轴，求出B对应的数即可． 【详解】 解：如图，点A，B在数轴上，且A与B的距离是5，点A对应的数为，则点B所对应的数为或， 即点B对应的数为或3 故答案为：或3 8．【答案】（1）     （2）     （3）7，     （4）；；或      【分析】 本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示x的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可； （4）根据题意可得点M和点N到点A的距离都为6，据此根据数轴上两点距离计算公式求出点M和点N表示的数，进而求出点C表示的数即可． (1) 小问详解： 解：由题意得， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． (3) 小问详解： 解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；； (4) 小问详解： 解：∵将数轴沿着点折叠，数轴上，两点折叠后重合，且，两点之间距离为12， ∴点M和点N到点A的距离都为6， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵，两点之间距离为4， ∴当点C在点M左侧时，点C表示的数为， 当点C在点M右侧时，点C表示的数为， ∴点C表示的数为或， 故答案为：；；或． 9．【答案】（1）数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离     （2），，，，     （3）     （4）时取最小值为     （5）便民服务点P建在点B或点C之间包括点B和点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是      【分析】 本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关绝对值的几何意义是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小为数轴上到的距离，即可得出结果； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最大为数轴上到的距离，进行求解即可； （4）根据绝对值的意义，得到当时，的值最小为数轴上到的距离，进行求解即可； （5）设点距离市民广场的距离为，得到，根据绝对值的意义，得到当时，服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； (2) 小问详解： 表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离， ∴x可以取整数，，，，； (3) 小问详解： 表示数轴上数到数的距离之差， ∴当时，的值最大为数轴上到的距离，即：； (4) 小问详解： 表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离，即：； (5) 小问详解： 设点距离市民广场的距离为， 由题意，服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程为， 即数轴上数到的距离之和， ∴当，最小为数轴上到的距离之和加上到的距离之和，即； 故当便民服务点P建在点B和点C之间包括点B和点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 考点03 有理数的乘法 1．C 2．A 3．B 4．【答案】 【分析】 根据相反数的定义得出，根据倒数的定义得出，即可求解． 【详解】 解：∵m、n互为相反数，c、d互为倒数， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是掌握相反数相加的0，乘积为1的两个数互为倒数． 5．【答案】12 【分析】 先列举出所有符合条件的数，再求出其积即可． 【详解】 解：∵绝对值大于2且小于5的所有负整数是：-3，-4， ∴（-3）×（-4）=12． 故答案为：12． 【点睛】 本题考查的是有理数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键． 6．【答案】（1）23单     （2）302单     （3）1280元      【分析】 本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据工资的计算方法列式计算即可． (1) 小问详解： 解： （单）， 即该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多23单； (2) 小问详解： 解： （单）， 即该外卖小哥这一周一共送餐302单． (3) 小问详解： 解：负值之和，正值之和， 收入（元）， 答：该外卖员这一周收入1280元． 考点04 有理数的除法 1．B 2．D 3．B 4．C 5．D 6．A 7．C 8．【答案】（1）这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨     （2） 解：方案一：费用为（元），    方案二：费用为（元）， 由于， 所以从节约运费的角度考虑，选用方案二比较合适．      【分析】 本题考查了有理数的混合运算的应用： （1）根据计算这天冷库冷冻食品进出的总和的符号可确定此题结果． （2）分别求出两种方案总费用，可比较出哪种方案更好． (1) 小问详解： 解：．    故这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨． (2) 小问详解： 略 9．【答案】 【分析】 按照有理数的乘除运算顺序进行即可． 【详解】 解： 【点睛】 本题考查了有理数的乘除混合运算，注意运算顺序，也可把除法转化为乘法进行． 10．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据有理数的混合运算求解即可． 【详解】 解：由题意知，， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 11．【答案】（1）千克     （2），     （3）出售这8筐白菜可卖317元．      【分析】 本题考查了有理数的加减法和乘法运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）纪录中绝对值最小的数，就是最接近标准重量的数； （2）找到记录中最大的数和最小的数，然后根据标准求解即可； （3）计算出8筐白菜的实际重量，然后乘以每千克售价可得答案． (1) 小问详解： 解：最接近标准重量的是纪录中绝对值最小的数， ， ∴这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重（千克）， (2) 小问详解： 解：记录中最大的数为2，最小的数为 （千克），（千克） 这8筐白菜中最重的重22克；最轻的17千克， (3) 小问详解： 解：（千克） （元， 答：出售这8筐白菜可卖317元． 12．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可； （3）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可； （4）先算乘方，再算乘除法，然后算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 13．【答案】（1）他此时在出发地A处东边，距A处7千米；     （2）小王师傅接送8次乘客共收车费102元；      【分析】 本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正负数的实际应用： （1）把所给的行程计算相加，若结果为正数，则在A地东边，距离为计算的结果，若结果为负数，则在A地西边，距离为计算的结果的绝对值，若为0，则回到A地．； （2）先求出8次起步价的总车费，再求出超过3千米加收的费用，二者求和即可得到答案； (1) 小问详解： 解：由题意可得， 千米， ∴他此时在出发地A处东边，距A处7千米； (2) 小问详解： 解：（元）， ∴小王师傅接送8次乘客共收车费102元． 14．【答案】（1）五     （2）小明这一周内写家庭作业用时最多比用时最少的多分钟     （3）小明这一周每天写家庭作业的平均时间为分钟      【分析】 （1）由，判断作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据计算求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：正数越大，所用时间越多，负数越小，所用时间越小， ∵， ∴用时最少的是周五． 故答案为：五； (2) 小问详解： 解：由题意知，（分钟）， ∴小明这一周内写家庭作业用时最多比用时最少的多分钟； (3) 小问详解： 解：由题意知，（分钟）， ∴小明这一周每天写家庭作业的平均时间为分钟． 【点睛】 本题考查了有理数的大小比较，正负数的实际应用，有理数的减法运算的应用，有理数混合运算的应用．熟练掌握有理数的大小比较，正负数的实际应用，有理数的减法运算的应用，有理数混合运算的应用是解题的关键． 15．【答案】（1）315；29     （2）本周实际销售总量达到了计划量     （3）该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元      【分析】 本题考查有理数混合运算的实际应用； （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 理解题意并列出式子是解题的关键． (1) 小问详解： 解：本周前三天销售儿童滑板车：（辆）， 根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为： （辆）； 故答案为：315；29． (2) 小问详解： 解：， ∵ ∴本周实际销售总量达到了计划量． (3) 小问详解： 解： （元）， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元． 16．【答案】任务1：100千克； 任务2：选方案二邮寄，小温家支付的邮费更省，省34元； 任务3：方案一利润更高． 【分析】 此题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是正确分析题意并列出算式． 任务1：根据表格中的数据列出算式求解即可； 任务2：根据方案一和方案二的计算方法分别求解判断即可； 任务3：根据题意分别求出方案一和方案二利润，进而判断求解即可． 【详解】 任务1：（千克）， ∴这10箱瓯柑的总质量为100千克； 任务2：由表格可得， ，，，， ∴10箱瓯柑中重量为的有1箱，重量为的有4箱，重量为的有3箱，重量为的有2箱， 方案一：； 方案二： ∵这10箱瓯柑的总质量为100千克， ∴， ∵，（元）， ∴选方案二邮寄，小温家支付的邮费更省，省34元； 任务3：方案一：邮寄10箱瓯柑的利润为（元）， 方案二：邮寄10箱瓯柑的利润为（元）， ∵ ∴方案一利润更高． 17．【答案】（1）26     （2）本周实际生产玩具157个；     （3）小明妈妈这一周的工资总额是1288元；     （4）减少了      【分析】 （1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具个； （2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可； （3）用完成任务的工资加上超出的工资，再减去倒扣的工资即可求解； （4）先计算超额完成几个玩具，然后再求算工资，再比较即可． (1) 小问详解： 解：个， ∴小明妈妈星期三生产玩具26个； (2) 小问详解： 解：∵， ∴（个）． 故本周实际生产玩具157个； (3) 小问详解： 解：元， ∴小明妈妈这一周的工资总额是1288元； (4) 小问详解： 解：（元）， ， ∴小明妈妈这一周的工资与原来相比减少了． 18．【答案】（1）3，3     （2） 如图所示（答案不唯一）：             （3） 如图所示（答案不唯一）： 【分析】 （1）求出9个数字的和即可求解； （2）先找到中间数字0，最大的数与最小的数的和加上中间的数0组成一列，三数和为0，然后填上其它数字使得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都是0即可； （3）图3中，根据第一行三个数的和为12，确定中间的数，比如4，进而根据规则可求解；图4中，在第一列的最下方填上一个数，比如1，进而根据规则可求解． (1) 小问详解： 解：9个数字的和为， 则，又， ∴9个数之和是15的3倍，15是9格的中心数5的3倍， 故答案为：3，3； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查有理数的加法和除法，解答的关键是理解题中幻方规则． 19．【答案】（1）多走；     （2）这七天平均每天行驶了；     （3）这天的行驶费用比原来节省元．      【分析】 本题主要考查了正负数的意义、平均数的计算以及费用的计算，熟练掌握正负数的运算和相关公式是解题的关键． （1）找出表格中最大和最小的数，求差得到最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）先计算七天与标准路程差值的平均数，再加上标准路程得到平均每天行驶的路程； （3）分别计算汽油车和新能源车七天的行驶费用，再求差值得到节省的费用． (1) 小问详解： 解：， 答：多走； (2) 小问详解： 解： ， ， 答：这七天平均每天行驶了； (3) 小问详解： 解：七天总路程： 汽油车费用：（元） 新能源车费用：（元） （元） 答：这天的行驶费用比原来节省元． 20．【答案】任务1：露营基地在家的西边处；任务2：14元；任务3：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费57.8元 【分析】 此题考查了有理数混合运算的应用．根据题意正确列式是解题的关键． 任务1：根据题意列出算式计算即可； 任务2：根据题意列出算式计算即可； 任务3：先求出水果店到奶茶店的原价费用和奶茶店到露营基地的原价费用，再根据水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券进行计算即可． 【详解】 解：任务1：由题意可得：， 答：露营基地在家的西边处； 任务2：由题意可得：（元）， 答：炸鸡店到面包店所需费用14元； 任务3：由题意可得水果店到奶茶店的原价费用为（元），奶茶店到露营基地的原价费用为（元），， 则水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券， （元） 答：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费元． 21．【答案】（1）小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米     （2）估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元      【分析】 本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键； （1）用标准乘以天数，再加上表格中的数据之和，进行求解即可； （2）求出油车和电车所需的费用，作差即可． (1) 小问详解： 解：； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米； (2) 小问详解： （元）； 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 考点05 乘方 1．D 2．A 3．D 4．C 5．C 6．D 7．D 8．B 9．C 10．B 11．C 12．C 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）先计算乘法和除法，再计算加减即可； （2）先计算乘方、除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 14．【答案】 【分析】 本题考查了倒数，相反数，有理数乘方，根据有理数，互为倒数，，互为相反数，所以，，代入原式即可求解，掌握相关知识点的运用是解题的关键． 【详解】 解：∵有理数，互为倒数，，互为相反数， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式． 根据题意列出算式，再进一步写出答案即可． 【详解】 解：∵……15． ∴将十进制数111转换为十六进制数为． 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 17．【答案】（1），     （2）2或      【分析】 本题考查了有理数的分类，相反数，数轴，绝对值的意义及有理数的混合运算，分别求得的值是解题的关键． （1）根据题意求得，即可； （2）把（1）中的值分两种情况代入求值即可． (1) 小问详解： 解：因为a是最大的负整数，所以， 因为b是绝对值最小的有理数，所以， 因为c是倒数等于它本身的自然数，所以， 因为d是数轴上到原点的距离为 2 的数，所以； (2) 小问详解： 解：当时， 当时， 所以原式的值为2或． 18．【答案】 【分析】 本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键．根据新定义的运算法则将式子展开，再根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 19．【答案】（1）25     （2）      【分析】 本题考查了有理数的乘法运算律，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）先运算乘方，再化简绝对值以及运算括号内，然后运算乘法，最后运算减法，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 20．【答案】4 【分析】 本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则：“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】 解： ． 21．【答案】 【分析】 本题考查新定义问题，读懂题意，按照材料中的方法换算是解决问题的关键． 根据八进制与十进制的换算规则进行换算，然后计算即可． 【详解】 解：根据换算规则，2026换算为． 故答案为：． 22．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查有理数混合运算，熟记有理数相关运算法则及运算律是解决问题的关键． （1）先化简符号，再由有理数加法运算计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算计算即可得到答案； （3）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法分配律展开，然后由有理数乘法运算计算，最后由有理数加减运算计算即可得到答案； （4）先计算乘方运算，再将除法转化为乘法，再由有理数乘法分配律展开，然后由有理数乘法运算计算，去括号后由有理数加减运算计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，再计算加减即可； （2）根据先乘方，再乘除，最后计算加减，有括号的先进行括号内计算的运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 24．【答案】（1）；     （2）；     （3）[5-(-1)]× [1-(-3)]（答案不唯一）      【分析】 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意可知，当抽到数字5和1时，和最大，然后列出算式求值即可； （2）根据题意可知，当取到数字5和1时，乘积最大，然后列出算式求值即可； （3）根据题意，写出一个结果为24的算式即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得， 当抽到数字5和1时，和最大，此时和为； (2) 小问详解： 解：由题意可得， 乘积最大时，这两个同号， 当取到数字5和1时，乘积最大，此时乘积为； (3) 小问详解： 解； ； 运算结果为24的算式为（答案不唯一）. 25．【答案】（1）5     （2）5      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除的混合运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再利用乘法分配律进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 26．【答案】2或7或37 【分析】 本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【详解】 解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 27．【答案】（1）3     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）先去括号，再根据有理数的加减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除法运算法则求解即可； （3）根据乘法分配律求解即可； （4）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 28．【答案】（1）10101,21     （2） 小亮的准考证号为：2921051510， 根据图3可知二进制数分别为： ； ；； ； ， 补充完整如图所示：      （3）①1423 ②570      【分析】 本题主要考查了代数式表示，数字变化规律， 对于（1），根据二进制的表示方法“黑色代表1，白色代表0”解答，再根据转化十进制的例子解答； 对于（2），分别将二进制写成十进制，再根据不符合情况推理得出答案； 对于（3），① 由题意得，再计算可得答案； ② 分别用376除以8根据余数得出答案． (1) 小问详解： 解：第四行代表二进制的数字是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：①； ②余0 余7， 余5， 从下向上写出答案570． 故答案为：570． 29．【答案】（1）8     （2）6      【分析】 本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式先计算乘方和乘法运算，再进行加减运算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算； （1）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： . 31．【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练运用运算法则是解题的关键． （1）按照有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）按照含乘方有理数的混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 32．【答案】或3或2 【分析】 根据已知程序，结合输出结果为63进行逆运算即可得出结果． 【详解】 解：∵输出结果为63， ∴， 解得：，(舍去)， ， 解得：，(舍去)， ， 解得：，(舍去)， ， 解得：(非正整数，舍去)， ∴的值为：或3或2； 故答案为：或3或2． 【点睛】 本题主要考查实数的运算，根据一直程序进行逆运算是解题的关键． 33．【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】 解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 34．【答案】120 【分析】 本题考查了程序流程图，有理数的混合运算，根据流程图计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：若第一次输入的值是113， 则第1次输出：； 第2次输出：； 第3次输出：， 故答案为：120． 35．【答案】（1），；15     （2），；     （3）应选取，，并进行乘方运算；625      【分析】 本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数乘法运算法则，选取数字并计算即可； （2）根据有理数除法运算法则，选取数字并计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则，选取数字并计算即可． (1) 小问详解： 解：从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大， 应选取，，最大的乘积是． 故答案为：，；15； (2) 小问详解： 从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数相除所得的商最小， 应选取，，最小的商是． 故答案为：，；； (3) 小问详解： 从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后，能得到一个最大的数， 应选取，，并进行乘方运算，最大的数是． 故答案为：应选取，，并进行乘方运算． 36．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合计算： （1）先计算乘法，再计算减法即可得到答案； （2）根据有理数的加减计算法则求解即可； （3）根据乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，再去中括号，接着计算除法，最后计算减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解； ； (4) 小问详解： 解： ． 37．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）3      (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：原式 ； (4) 小问详解： 解：原式 ． 【点睛】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． 38．【答案】（1）1，；（2）C；（3）；（4） 【分析】 本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）先根据（3）的结论把除方转化为乘方，再按有理数运算法则计算． 【详解】 解：（1）由题意得：， ， 故答案为：1，； （2）A.当时，，故本选项不符合题意； B.当时，，故本选项不符合题意； C. 当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正，该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是，该说法正确，故选项不符合题意； 故选：C； （3）由题知： ， 故答案为：； （4） ． 39．【答案】1 【分析】 本题考查了有理数的乘方运算和新定义问题，理解定义，通过构造图形表示是解题的关键． 构造面积为1的正方形，表示出即可求解． 【详解】 解：如图，构造面积为1的正方形， 由图可知：， ∵， ∴， 故答案为1． 考点06 科学记数法 1．A 2．B 3．C 4．B 5．B 6．A 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C 12．B 13．B 14．【答案】 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】 24900亿． 故答案为：． 考点07 近似数 1．D 2．【答案】 【分析】 本题考查了由近似数求准确数的范围，由四舍五入即可求解；理解近似数和准确数的关系是解题的关键． 【详解】 解：由题意得 ； 故答案：． 3．【答案】 【分析】 本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是掌握“四舍五入”的方法求近似数．根据“四舍五入”求解即可． 【详解】 解：将圆周率精确到千分位，所得到的近似数为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 7大高频考点概览 考点01 有理数的加法 考点02 有理数的减法 考点03 有理数的乘法 考点04 有理数的除法 考点05 乘方 考点06 科学记数法 考点07 近似数 考点01 有理数的加法 1．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）绝对值小于4的所有负整数的和是（       ） A. 0 B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）星期六上午，小涵与同学相约去玩．已知她当日微信钱包的初始余额为35元，当日微信钱包的账单如表所示： 交易种类 金额（元） 红包——来自爸爸 全鸡汉堡支付 品牌零食支付 转账——来自哥哥 零食屋支付 出行支付 （1）从实际角度看，账单中支出最少的交易种类是                 ； （2）求小涵当日微信钱包的最后余额． 3．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）阅读下列内容，并完成相关问题： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，                                   ． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，                                   ． （2）计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？ 请分别给出你的判断，并举例验证．（每个运算律举一个例子即可） 考点02 有理数的减法 1．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（       ）． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（     ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）把写成省略括号的和的形式是　　　　　　  ． 4．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知A地海拔高度为，而B地比A地低32米，则B地海拔高度为　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）计算： 6．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）已知|m|＝17，|n|＝29，且m+n＞0，则m﹣n＝　　　． 7．（25-26学年七上·山东聊城·期中）点A、B在数轴上，且A与B的距离是5，如果点A对应的数为，那么点B所对应的数为　　　　　． 8．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： （1）应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为__________， （2）应用二：若点表示的整数为，则当为_________时，与的值相等； （3）应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为________，此时所有符合条件的整数的和为__________． （4）应用四：如图，将数轴沿着点折叠，若数轴上，两点折叠后重合，且点在点的左侧，，两点之间距离为12，，两点之间距离为4，则点表示的数是_______；点表示的数是__________；点表示的数是__________． 9．（25-26学年七上·山东德州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是______． （2）当取最小值时，x可以取整数______． （3）的最大值为______． （4）当x取何值时，的值最小？最小值为？ （5）【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是多少？ 考点03 有理数的乘法 1．（25-26学年七上·山东德州·期中）的倒数是（       ） A. 2025 B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·山东聊城·期中）已知，，且，则的值为（     ） A. 1或 B. 9或 C. 9或 D. 或 3．（25-26学年七上·山东德州·期中）在下列说法：①如果，则有；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若，则m、n互为相反数．其中错误的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知m、n互为相反数，c、d互为倒数，则的值为　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）绝对值大于2而小于5的所有负整数的积是　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）某学习小组调查了一名外卖员一周的送餐情况，规定每天送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记作正数，低于40单的部分记作负数，下表是该外卖员一周的送餐情况： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 超过（低于）40单 （1）该外卖员这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）求该外卖员这一周一共送餐多少单？ （3）外卖员送单补贴的方案如下：每天送单量不超过40单时，每单补贴4元；超过40单时，超过部分每单补贴6元．该外卖员这一周收入多少元？ 考点04 有理数的除法 1．（25-26学年七上·山东临沂·期中）若为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）有理数在数轴上所对应的点的位置如图所示，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年七上·山东德州·期中）德胜中学初一年级举办“悦跑”活动，小博同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，如表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）． 时间强度方案 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 1250 1100 1000 750 800 高强度 1700 2000 2250 2000 1250 休息 0 0 0 0 0 小博定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不能休息且不能连续两天及以上时间都休息．小博根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（       ） A. 若小博每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步4900m B. 若小博第2天休息，则他这5天最多共跑步5500m C. 小博这5天最少共跑步3050m D. 小博这5天最多共跑步5600m 8．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 （1）这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ （2）根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管是运进还是运出，每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ 9．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）计算：． 10．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）请将“，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除混合运算，使运算结果为24（可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式：　　　　　　　　． 11．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）有8筐白菜，以每筐20千克为标准，超过的千克数记作正数，称重后的记录如下： ，，2，，1，，2， 回答下列问题： （1）这8筐白菜中最接近标准重量时这筐白菜重_____千克． （2）这8筐白菜中最重的重_____千克；最轻的重_____千克． （3）若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 12．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 13．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： （1）小王师傅在处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地处什么方向？距处多远？ （2）公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 14．（25-26学年七上·山东聊城·期中）“双减”政策实施后，同学们作业负担大大减少，下面是小明记录的本周写家庭作业的用时情况（以分钟为标准，时间多于分钟的部分用正数表示，时间少于分钟的部分用负数表示）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准时间的差（分钟） （1）小明这一周内写家庭作业用时最少的是星期_____________； （2）小明这一周内写家庭作业用时最多比用时最少的多多少分钟? （3）求小明这一周每天写家庭作业的平均时间． 15．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） （1）本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； （2）通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ （3）该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 16．（25-26学年七上·山东德州·期中） 怎样邮寄瓯柑更经济？瓯柑是温州的特产，每年秋冬季是其盛产期．小温家的瓯柑每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小温家定了10箱瓯柑，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值（单位：千克） 箱数 1 4 3 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，瓯柑受损率越高．一个包裹在20千克以内，瓯柑几乎无受损；一个包裹质量在80千克至120千克之间，瓯柑的受损率估计为，破损部分由小温家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 任务1 计算这10箱瓯柑的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹；方案二：10箱打成一个大包裹邮寄．请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 今年瓯柑的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．结合任务2，邮寄10箱瓯柑哪种方案利润更高？ 17．（25-26学年七上·山东德州·期中）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具150个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为“+”、减产记为“-”，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 增减产值 （1）根据记录的数据可知，小明妈妈星期三生产玩具________个； （2）根据记录的数据，求小明妈妈本周实际生产玩具多少个？ （3）该厂实行每日计件工资制，每生产一个玩具可得工资8元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣2元，求小明妈妈这一周的工资总额是多少？ （4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，那么小明妈妈这一周的工资与原来相比________（填“增加了”、“减少了”或“不变”）． 18．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，正方形中每一横行、一竖行及对角线的几个数之和都相等，称为“幻方”．图1幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都是15．    （1）图1中9个数之和是15的___________倍，15是9格的中心数5的___________倍； （2）请在图2的幻方中将，，，，0，1，2，3，4这9个数分别填入； （3）在图3、图4的幻方中，请填上合适的数． 19．（25-26学年七上·山东临沂·期中）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） （1）这天里路程最多的一天比最少的一天多走多少？ （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ （3）已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 20．（25-26学年七上·山东临沂·期中）根据背景素材，探索解决问题． 周末小明一家打算去露营基地野餐 素材1 野餐准备计划路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 21．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 （1）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （2）已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 考点05 乘方 1．（25-26学年七上·山东滨州滨州经济技术开发区·期中）按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是（　　） A. 16 B. 26 C. ﹣16 D. ﹣26 2．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果应为（       ） A.  B.  C. 1.5 D.  3．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）下列各数中，负数是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·山东聊城·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）下列计算中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）计算的结果是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年七上·山东临沂·期中）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．将二进制数化为三进制数为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年七上·山东聊城·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为15，则第一次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，则第2024次输出的结果为（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 10．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）如图是一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果应是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）下列语句正确的是（     ） ①绝对值最小的数是0；②立方等于它倒数的数只有1；③一个有理数在数轴上表示的点离开原点越远，这个有理数就越大；④两数相加，和可能小于任何一个加数． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 12．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算出的值是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）计算： （1） ； （2）． 14．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）若有理数，互为倒数，，互为相反数，则　　　　　　． 15．（25-26学年七上·山东聊城·期中）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 ．．． 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ．．． 十六进制 0 1 2 ．．． 8 9 A 10 11 ．．． 例如：将十六进制数转换为十进制数为：．则将十进制数111转换为十六进制数为　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 　　　　　　　． 17．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，d 是数轴上到原点的距离为 2 的数． （1）求 a、b、c、d 的值； （2）求的值． 18．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）对于实数，，定义一种运算“@”为，则　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年七上·山东日照·期中）计算，能简算的要简算： （1） （2） 20．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）计算：． 21．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745；八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字；八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME—14的举办年份.则将八进制数2026换算成十进制数是　　　　　　　　　． 22．（25-26学年七上·山东临沂·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 23．（25-26学年七上·山东聊城·期中）计算： （1）； （2） 24．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； （3）将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 25．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）计算： （1） （2） 26．（25-26学年七上·山东日照·期中）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年七上·山东聊城·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 28．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色小正方形代表1，白色小正方形代表0）．二进制是逢2进1的计数制，有别于我们常用的逢10进1的十进制，如十进制数，二进制数11000转化成十进制数为：．（注：任意不为0的有理数，） 图是某次考试中三位同学的准考证二维码．图1是小亮的准考证二维码，其中第一行至第五行代表的二进制数分别为11000、1100、111、11100、1101，转化成十进制分别为24、12、07、28、13，将五行编码组合到一起就是小亮的准考证号2412072813． （1）若图2是本次考试小莹的准考证二维码，其中第四行表示考场号，那么其代表的二进制数字是________，转化成十进制后可得到她的考场号是________； （2）若本次考试中，小刚的准考证号是2921051510，图3是小刚自己绘制的二维码，但少涂黑了几个小正方形．请你通过计算或推理说明第几行漏涂了小正方形，并帮他在图中补充完整； （3）除了二进制，在计算机系统中，八进制表示法也很常见，比如系统中“文件权限”（读、写、执行）常用八进制数字表示，八进制是逢8进1的计数制． ①参考二进制的计算方法，请你将八进制数字2617转化成十进制数字； ②将十进制数字376转化为八进制为________． 29．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）计算： （1）； （2）． 30．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）计算： （1）； （2）． 31．（25-26学年七上·山东德州·期中）计算： （1） （2） 32．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图所示为一个数值运算程序，当输入正整数x时，输出结果为63，则输入x的值为　　　　　　． 33．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：                               ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 34．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，若第一次输入的值是113，然后将结果作为新的数据再次输入，如此重复下去，则第三次输出的结果是　　　　　　． 35．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）小王有5张写着不同数的卡片，卡片上分别写有数，，0，，．请你按要求选取卡片，解答下列问题： （1）从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大，应选取______最大的乘积是______； （2）从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数相除所得的商最小，应选取______最小的商是______； （3）从中选取2张卡片，使这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后，能得到一个最大的数，应如何选取（乘方的指数只考虑正整数的情况）______？最大的数是多少？ 36．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 37．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 38．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”；写作，读作“的4次商”，一般地，把（）这样n个a相除，写作，读作“a的n次商”． 初步探究： （1）请直接写出计算结果：          ，          ； （2）下列关于除方说法中，错误的是（       ）（单选） A.当时， B.当时， C.正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D.n次商等于它本身的数是1 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数a的n次商（，），写成乘方（幂）的形式为：          ； （4）计算： 39．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）在高等数学中存在运算（极限），如的意思为当非常非常大的时候，可以趋近于0，故可以认为，那么的值为　　　　　　　　　　　． 考点06 科学记数法 1．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）我国国土面积约960万，用科学记数法表示我国国土面积为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）2025年九三阅兵东风—射程超过11000公里，11000用科学记数法表示正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）截至2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）年某品牌的新能源车在月份的月销量约辆，将用科学记数法可表示为（     ）． A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·山东临沂·期中）著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）电影《熊猫计划》国庆假期七天票房元，夺得档期票房第二名，数据用科学记数法表示为（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）文化和旅游部月日公布年“五一”假期文化和旅游市场情况．经文化和旅游部数据中心测算，假期天，全国国内出游约人次，数据用科学记数法表示为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）为推动国家重大战略稳步实施，加快发展新质生产力，国家财政安排2025年中央本级科技经费支出3981.19亿元，将“3981.19亿”用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年七上·山东日照·期中）古运河扬州段是整个运河中最古老的一段．现在扬州境内的运河与2000多年前的古邗沟路线大部分吻合，与隋炀帝开凿的运河则完全契合，从瓜洲至宝应全长为125公里，125公里=125000米，数据125000用科学记数法可以表示为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）据央视网年月日消息，我国成功研制出半导体电荷存储器“破晓”，“破晓”存储器将一次擦或写的速度提升至皮秒．一秒相当于一万亿皮秒，则该存储器一秒可以擦或写的次数为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）2025年前三季度，中国经济稳步向好，全国GDP（国内生产总值）总量突破101万亿元人民币．将数据“101万亿”用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年七上·山东聊城·期中）中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年七上·山东聊城·期中）根据规划，中国倡导的“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000，请用科学记数法表示这个数（       ） A. 44× B. 4.4× C. 4.4× D. 4.4× 14．（25-26学年七上·山东德州·期中）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位，目前，北斗定位服务日均使用量已超过24900亿次．24900亿用科学记数法表示为　　　　　　　　　　　　． 考点07 近似数 1．（25-26学年七上·山东聊城·期中）下列说法正确的是（     ） A. 35800用科学记数法可表示为 B. 0.0156（用四舍五入法精确到0.001） C. 近似数，精确到了百分位 D. 取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 2．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）近似数的准确数m的取值范围是　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年七上·山东临沂·期中）约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家——祖冲之计算出圆周率应在和之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的人．用四舍五入法将精确到千分位，所得到的近似数为　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $