专题01 有理数（期中真题汇编，山东专用）七年级数学上学期

**基本信息** 聚焦有理数6大高频考点，汇编山东多地期中真题，融合抗战阅兵步数、算筹记数等时代与文化情境，设基础选择、综合解答题，适配七年级期中复习。 **题型特征** |题型|知识覆盖|命题特色| |----|----------|----------| |选择/填空|正数和负数、相反数、绝对值|正数和负数题结合2025抗战阅兵步数记法，绝对值题关联《九章算术》负数记载| |解答题|数轴、有理数大小比较|数轴题融入牛顿摆抽象建模（铁球位置对应数轴点），动点问题结合行程情境|

专题01 有理数 6大高频考点概览 考点01 正数和负数 考点02 有理数的概念 考点03 数轴 考点04 相反数 考点05 绝对值 考点06 有理数的大小比较 考点01 正数和负数 1．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果支出70元记作元，那么收入80元记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2．（25-26学年七上·山东临沂·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在京隆重举行．在此次阅兵仪式中，徒步方队的官兵以每分钟112步的节奏，从东华表向西华表行进128步正步，用时1分08秒的时间，精准铿锵地经过检阅区．如果向西华表行进112步记作步，那么向东华表行进100步，记作（       ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 3．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）有下列各数：3，，，0，，其中负数有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）小明妈妈早上给了小明元零花钱，记作元，晚上放学时他买了一支笔花费元，记作（     ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 5．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　） A. 50.0千克 B. 50.3千克 C. 49.7千克 D. 49.1千克 6．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）若收入80元记作元，则支出65元记作　　　　　　　　元． 7．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）算筹是我国古代的记数工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人用横式与纵式交替表示每个数位上的数，用空位来代替“0”，在个位数上划上斜线来表示负数，如“ ”表示．则“ ”所表示的数是　　　　　　　　． 考点02 有理数的概念 1．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）下列说法正确的个数是（       ） ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中），，，，0，，6，， 分数集合：　　　　　　　　　　 …； 非负整数集合：　　　　　　　　　　 …； 非正数集合：　　　　　　　　　　 …； 正有理数集合：　　　　　　　　　　 …； 自然数集合：　　　　　　　　　　 … 3．（25-26学年七上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则　　　　　　． 考点03 数轴 1．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，4，． （1）在数轴上画出原点和表示有理数的点； （2）若点和点之间的距离为5，求代数式的值． 2．（25-26学年七上·山东临沂·期中）数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为　　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和7，则刻度尺上对应数轴上的点表示的数是　　　　　　． 4．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点B表示的数是______，当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 5．（25-26学年七上·山东聊城·期中）综合与探究 问题情境：如图①是牛顿摆的示意图，它由7根等距离的细线分别连接一颗相同的小铁球组成．在牛顿摆静止状态下，可将每个小铁球的最低处抽象成点．同学们利用牛顿摆和数轴进行探究． 初步分析： （1）如图②，将牛顿摆放在数轴的上方，此时铁球④的最低点在数轴上对应的数为0，铁球⑥的最低点在数轴上对应的数为4，则铁球①的最低点在数轴上对应的数为___________； 深入探究： （2）如图③，将牛顿摆放在数轴的上方，铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上对应的数分别为．勤学小组提出如下问题，请你解答． 问题1：当时，铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为___________； 问题2：铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为___________；（用含的代数式表示） 问题3：如果铁球①、⑤、⑦最低点对应的数，在数轴上分别为点，且数轴上一点到点的距离是两点距离的2倍，求点在数轴上对应的数．（用含的代数式表示） 6．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知数轴上有从左到右排列的三个点A，B，C，它们对应的数分别为a，b，c且满足．小明将刻度尺的零刻度线与数轴上的点A对齐，发现点B对应的刻度值为1.8cm，点C对应的刻度值为5.4cm． （1）试求a，c的值： （2）在数轴上， ___________个单位长度，数轴上的1单位长度对应刻度尺上的___________cm．数轴上点B所对应的数b为___________； （3）若点M在数轴上以2个单位长度/秒的速度，从A向C运动，当运动时间为t秒时点M所表示的数为___________．（用含t的式子表示） 考点04 相反数 1．（25-26学年七上·山东聊城·期中）的相反数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）的相反数是（       ） A. 2025 B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·山东临沂·期中）下列选项中正确的是（       ） A. 与3互为相反数 B. 与互为相反数 C.  D.  考点05 绝对值 1．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C.  D.  2．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）的相反数是（       ） A. 2025 B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·山东聊城·期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，则最接近标准质量的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）如果为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（     ） A. 2025 B. 2026 C. 2024 D. 2023 5．（25-26学年七上·山东聊城·期中）[新考向 数学文化]中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（     ） A.  B. 2025 C.  D.  6．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）的绝对值是（     ） A. 2025 B.  C.  D.  7．（25-26学年七上·山东日照·期中）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 考点06 有理数的大小比较 1．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）已知：有理数a、b、c满足，，，则将a、b、c在数轴上可以表示为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 是相反数 B. 0是绝对值最小的有理数 C. 数轴上原点两侧的点表示的数互为相反数 D. 数轴上距离原点越远的点表示的数越大 3．（25-26学年七上·山东聊城·期中）实数，在数轴上表示的位置如图所示，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）　　　　　（用“>”或“<”填空）． 5．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）比较大小：　　　　　　　　．（填“”、“”或“”号） 6．（25-26学年七上·山东聊城·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）根据下面要求去做： （1）在数轴上表示下列各数：； （2）将这些数用“”号顺次连接起来． 8．（25-26学年七上·山东临沂·期中）比较大小：　　　　　　（填“”、“”或“”）． 9．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）把下列各数表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． ，，0，． 10．（25-26学年七上·山东聊城·期中）画出数轴并在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来 ，，0，，． 11．（25-26学年七上·山东德州·期中）比较大小：　　　　　．（填“”或“＞”或“＝”） 12．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）用“>”，“<”或“=”填空：　　　　　　；　　　　　　． 13．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，若A是实数在数轴上对应的点，请比较，，1的大小关系（用“<”连接）：　　　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）比较大小：　　　　　　．（填“”、“”或“”） 15．（25-26学年七上·山东临沂·期中）已知5个数分别为，，，0，4． （1）画出数轴并在数轴上标出表示以上各数的点； （2）用“”号把这些数连接起来． 16．（25-26学年七上·山东聊城·期中）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序排列．（用“”号连接起来）：． 17．（25-26学年七上·山东聊城·期中）比较大小：　　　　　　．(填“”“”或“”) 18．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）比较大小：　　　　　　　　　　（填“”“”或“”）． 19．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）在数轴上表示下列各数，．并用“＜”把这些数连接起来． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 考点01 正数和负数 考点02 有理数的概念 考点03 数轴 考点04 相反数 考点05 绝对值 考点06 有理数的大小比较 考点01 正数和负数 1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了正负数的意义，根据正负数的意义，收入记作正数，则支出记作负数． 【详解】 解：∵收入80元记作元， ∴支出65元记作元． 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查了正负数的认识， 根据摆法可知是个四位的负数，再根据每一个摆法得出答案即可． 【详解】 解：图中的摆法是个四位负数，千位数字是6，百位数字是2，十位数字是0，个位数是8，所表示的数是． 故答案为：． 考点02 有理数的概念 1．B 2．【答案】① ，，，    ②     ③     ④     ⑤ 【分析】 根据有理数的分类标准，分数指非整数的有理数，非负整数指大于等于零的整数，非正数指小于等于零的数，正有理数指正数且有理数，自然数指非负整数（包括零）．对每个数进行化简和判断，归类到相应集合． 【详解】 解：，， 分数集合． 非负整数集合． 非正数集合． 正有理数集合． 自然数集合． 故答案为：；；；； 3．【答案】13 【分析】 本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】 解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 考点03 数轴 1．【答案】（1） 如图取的中点，即为原点O，点E如图所示；      （2）      【分析】 本题主要考查了数轴上的点表示有理数，两点之间的距离，求代数式的值， 对于（1），根据原点到点A，C的距离相等，取的中点得出点O，再根据和y互为相反数，则点D和点E到原点的距离相等，且位于两侧可得答案； 对于（2），根据两点之间的距离得，再整体代入求出答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为点B表示的数是x，点D表示的数是y， 所以， 所以． 2．【答案】或 【分析】 本题考查了数轴上两点之间的距离，设该点表示的数为，根据题意得，进而即可求解． 【详解】 解：设该点表示的数为， 根据题意得：， 或， 解得：或， 故答案为：或． 3．【答案】 【分析】 本题考查数轴的概念．由数轴的概念即可求解． 【详解】 解：∵0cm和5cm对应数轴上的点表示的数分别为和7， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度对齐的点表示的数是， 故答案为：． 4．【答案】（1）；1     （2）①5秒；②1秒或9秒      【分析】 本题考查了数轴两点间的距离、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）先根据数轴上两点间的距离公式得到点B表示的数，再根据中点公式求解即可； （2）① 由题意得，点P表示的数是，点Q表示的数是，根据题意列出方程，求出的值即可解答；② 根据两点间的距离公式得到，再根据题意列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，数轴上点B表示的数是； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是； 故答案为：；1； (2) 小问详解： 解：① 由题意得，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵点P追上点Q， ∴， 解得， ∴当点P运动5秒时，点P追上点Q； ②， ∵点P与点Q间的距离为8个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， ∴当点P运动1秒或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 5．【答案】（1）；（2）问题1：；问题2：；问题3：或． 【分析】 本题考查了用数轴表示有理数，列代数式，解决本题的关键是理解题意，并列代数式表示出相邻两个铁球之间的距离． （1）根据铁球④ 与铁球⑥ 对应的点计算出相邻两个铁球之间的距离，由此可表示铁球① 的最低点在数轴上对应的数； （2）问题1：先计算出相邻两个铁球之间的距离，由此可求解铁球⑦ 的最低点在数轴上对应的数； 问题2：根据铁球⑤ 的最低点在数轴上对应的数及相邻两个铁球之间的距离计算即可； 问题3：设点P在数轴上对应的数为x，根据数轴上两点之间的距离公式列关于x的绝对值方程并求解即可． 【详解】 解：（1）∵铁球④ 的最低点在数轴上对应的数为0，铁球⑥ 的最低点在数轴上对应的数为4， ∴，即相邻两个铁球之间的距离为2， ∴铁球① 的最低点在数轴上对应的数为； 故答案为：； （2）问题1：当时， 则，即相邻两个铁球之间的距离为2， ∴铁球⑦ 的最低点在数轴上对应的数为； 故答案为：； 问题2：∵铁球① 与铁球⑤ 的最低点在数轴上对应的数分别为， ∴，即相邻两个铁球之间的距离为， ∴铁球⑦ 的最低点在数轴上对应的数为； 故答案为：； 问题3：设点P在数轴上对应的数为x， 由问题2可知点对应的数为， ∴点到点的距离是，两点距离为， ∵点到点的距离是两点距离的2倍， ∴， 即或， 解得或， ∴点在数轴上对应的数为或． 6．【答案】（1），     （2）9，0.6，0     （3）      【分析】 （1）根据非负数的性质计算a，c的值即可； （2）根据两点间的距离计算AC的值即可，结合题意计算数轴上的1单位长度对应刻度尺上的厘米数；根据题意即对应关系，可得方程，求解即可确定点B所对应的数b的值； （3）根据“点M在数轴上以2个单位长度/秒的速度，从A向C运动”列出代数式即可． (1) 小问详解： 解：∵， 又∵，， ∴， 解得； (2) 小问详解： ∵， ∴； ∵， ∴数轴上的1单位长度对应刻度尺上的0.6cm； ∵刻度尺的零刻度线与数轴上的点A对齐，点B对应的刻度值为1.8cm， ∴， ∴，解得． 故答案为：9，0.6，0； (3) 小问详解： 若点M在数轴上以2个单位长度/秒的速度，从A向C运动， 当运动时间为t秒时点M所表示的数为：． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了数轴以及列代数式等知识，理解题意，找到有用信息以及等量关系是解题关键． 考点04 相反数 1．C 2．A 3．D 考点05 绝对值 1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．A 7．B 考点06 有理数的大小比较 1．C 2．B 3．C 4．【答案】< 【分析】 本题考查有理数的大小比较，掌握正数负数、两个负数相比较时，绝对值大的反而小是解题关键．根据两个负数相比较时，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】 解：因为，，且， 所以． 故答案为：<． 5．【答案】 【分析】 本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】 解：，， ∵，， ， ∴ ， 即 ． 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，即可得出答案． 【详解】 解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 7．【答案】（1） 在数轴上表示如下：      （2）      【分析】 本题考查了数轴与有理数的关系，解决此题的关键是掌握数轴三要素画出数轴并表示出相关的有理数． （1）画出数轴三要素：原点，正方向，单位长度，再在数轴上表示出题目中要求的数字； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数，将这些数用“”号顺次连接起来． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据（1）中数轴所示，将这些数用“”号顺次连接起来为： ． 8．【答案】 【分析】 本题考查负数比较大小，熟记负数比较大小：绝对值大的反而小是解决问题的关键． 根据有理数大小比较的法则，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得到答案． 【详解】 解： 又， ， 故答案为：． 9．【答案】如图所示： ， 【分析】 此题考查数轴、有理数大小比较，解题关键在于运用数轴进行有理数的大小比较． 先画出数轴并在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点从左到右用“＜”号将这些数连接起来． 【详解】 解：用“”把它们连接起来为：． 10．【答案】，在数轴上表示各数，如图所示： 【分析】 本题考查了用数轴上的点表示有理数，以及利用数轴比较有理数的大小，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据数轴的三要素画出数轴，并将题干中的有理数在数轴上表示出来，然后根据数轴特点比较大小即可． 【详解】 解：略． 11．【答案】 【分析】 先化简，再比较数值大小． 本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握比较的原则是解题的关键． 【详解】 解：， 根据正数大于负数，得， 故， 故答案为：． 12．【答案】①     ② 【分析】 先化简各数，再根据有理数大小比较的法则：① 正数都大于0；② 负数都小于0；③ 正数大于一切负数；④ 两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】 解：， ，， 故答案为： 【点睛】 本题考查了理数大小比较，化简绝对值，相反数的意义，掌握有理数的大小比较是解题的关键． 13．【答案】 【分析】先根据数轴的定义得出a的大小，再求出的大小，然后根据有理数的大小比较法则即可得． 【详解】由数轴的定义可得： 则 有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，负数绝对值大的反而小 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴的定义、有理数的大小比较法则，掌握理解数轴的定义是解题关键． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了比较有理数的大小，比较有理数大小的法则：1．在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2．正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3．两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进而得出大小关系． 【详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：． 15．【答案】（1） 在数轴上表示各数如下： ；     （2）      【分析】 本题考查用数轴上的点表示有理数、用数轴比较有理数大小，熟记数轴上点表示有理数的方法及数轴性质是解决问题的关键． （1）由有理数与数轴上点的对应关系，在数轴上表示出各个有理数即可得到答案； （2）由数轴性质比较大小即可得到答案． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解：由数轴可得：． 16．【答案】在数轴上表示下列各数如下： 【分析】 本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简绝对值，并在数轴上表示各数，最后根据数轴上右边的数总比左边的大进行排序即可． 【详解】 解：， 由数轴得：． 17．【答案】 【分析】 本题考查了有理数的大小比较；根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较大小即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．掌握有理数的比较大小方法是解题的关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小判断即可． 【详解】 ∵， ∵ ∴． 故答案为：． 19．【答案】如图所示： 【分析】 将各数标记在数轴上，利用“在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数”即可找出各数间的大小关系． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了有理数大小比较以及数轴，牢记“在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数”是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 6大高频考点概览 考点01 正数和负数 考点02 有理数的概念 考点03 数轴 考点04 相反数 考点05 绝对值 考点06 有理数的大小比较 考点01 正数和负数 1．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果支出70元记作元，那么收入80元记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【分析】 本题主要考查正负数，相反意义的量的运用，解题的关键是掌握相反意义的量．根据支出为负，则收入为正，由此即可求解． 【详解】 解：如果支出70元记作元，那么收入80元记作元， 故选B 2．（25-26学年七上·山东临沂·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在京隆重举行．在此次阅兵仪式中，徒步方队的官兵以每分钟112步的节奏，从东华表向西华表行进128步正步，用时1分08秒的时间，精准铿锵地经过检阅区．如果向西华表行进112步记作步，那么向东华表行进100步，记作（       ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 【答案】D 【分析】 该题考查了正负数的应用，根据题意解答即可． 【详解】 解：如果向西华表行进112步记作步，那么向东华表行进100步，记作步， 故选：D． 3．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）有下列各数：3，，，0，，其中负数有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了对正数和负数定义，掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键． 根据正数和负数的定义逐个判断即可． 【详解】 解：，是正数；，是负数；，是负数；0既不是正数，也不是负数；，是负数；负数共有3个． 故选：C． 4．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）小明妈妈早上给了小明元零花钱，记作元，晚上放学时他买了一支笔花费元，记作（     ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【分析】 本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量，根据相反意义的量即可求解，正确理解正、负数的意义是解题的关键． 【详解】 解：∵小明妈妈早上给了小明元零花钱，记作元， ∴晚上放学时他买了一支笔花费元，记作元， 故选：． 5．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　） A. 50.0千克 B. 50.3千克 C. 49.7千克 D. 49.1千克 【答案】D 【详解】“50±0.5千克”表示最多为50+0.5=50.5千克，最少为50-0.5=49.5千克． 故选D． 6．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）若收入80元记作元，则支出65元记作　　　　　　　　元． 【答案】 【分析】 本题主要考查了正负数的意义，根据正负数的意义，收入记作正数，则支出记作负数． 【详解】 解：∵收入80元记作元， ∴支出65元记作元． 故答案为：． 7．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）算筹是我国古代的记数工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人用横式与纵式交替表示每个数位上的数，用空位来代替“0”，在个位数上划上斜线来表示负数，如“ ”表示．则“ ”所表示的数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了正负数的认识， 根据摆法可知是个四位的负数，再根据每一个摆法得出答案即可． 【详解】 解：图中的摆法是个四位负数，千位数字是6，百位数字是2，十位数字是0，个位数是8，所表示的数是． 故答案为：． 考点02 有理数的概念 1．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）下列说法正确的个数是（       ） ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 此题考查了有理数，根据有理数的分类、有理数的意义分别进行解答即可． 【详解】 解：① 一个有理数不是整数就是分数，故① 正确； ②0既不是正数，也不是负数，故② 错误； ③ 一个整数不是正的，就是负的，还有一个0，故③ 错误； ④ 分数只有正、负两种情况，故④ 正确， 则正确的是① ④ ，共2个； 故选：B． 【详解】 2．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中），，，，0，，6，， 分数集合：　　　　　　　　　　 …； 非负整数集合：　　　　　　　　　　 …； 非正数集合：　　　　　　　　　　 …； 正有理数集合：　　　　　　　　　　 …； 自然数集合：　　　　　　　　　　 … 【答案】① ，，，    ②     ③     ④     ⑤ 【分析】 根据有理数的分类标准，分数指非整数的有理数，非负整数指大于等于零的整数，非正数指小于等于零的数，正有理数指正数且有理数，自然数指非负整数（包括零）．对每个数进行化简和判断，归类到相应集合． 【详解】 解：，， 分数集合． 非负整数集合． 非正数集合． 正有理数集合． 自然数集合． 故答案为：；；；； 3．（25-26学年七上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则　　　　　　． 【答案】13 【分析】 本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】 解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 考点03 数轴 1．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，4，． （1）在数轴上画出原点和表示有理数的点； （2）若点和点之间的距离为5，求代数式的值． 【答案】（1） 如图取的中点，即为原点O，点E如图所示；      （2）      【分析】 本题主要考查了数轴上的点表示有理数，两点之间的距离，求代数式的值， 对于（1），根据原点到点A，C的距离相等，取的中点得出点O，再根据和y互为相反数，则点D和点E到原点的距离相等，且位于两侧可得答案； 对于（2），根据两点之间的距离得，再整体代入求出答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为点B表示的数是x，点D表示的数是y， 所以， 所以． 2．（25-26学年七上·山东临沂·期中）数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了数轴上两点之间的距离，设该点表示的数为，根据题意得，进而即可求解． 【详解】 解：设该点表示的数为， 根据题意得：， 或， 解得：或， 故答案为：或． 3．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和7，则刻度尺上对应数轴上的点表示的数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查数轴的概念．由数轴的概念即可求解． 【详解】 解：∵0cm和5cm对应数轴上的点表示的数分别为和7， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度对齐的点表示的数是， 故答案为：． 4．（25-26学年七上·山东日照东港区田家炳实验中学·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点B表示的数是______，当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】（1）；1     （2）①5秒；②1秒或9秒      【分析】 本题考查了数轴两点间的距离、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）先根据数轴上两点间的距离公式得到点B表示的数，再根据中点公式求解即可； （2）① 由题意得，点P表示的数是，点Q表示的数是，根据题意列出方程，求出的值即可解答；② 根据两点间的距离公式得到，再根据题意列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，数轴上点B表示的数是； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是； 故答案为：；1； (2) 小问详解： 解：① 由题意得，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵点P追上点Q， ∴， 解得， ∴当点P运动5秒时，点P追上点Q； ②， ∵点P与点Q间的距离为8个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， ∴当点P运动1秒或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 5．（25-26学年七上·山东聊城·期中）综合与探究 问题情境：如图①是牛顿摆的示意图，它由7根等距离的细线分别连接一颗相同的小铁球组成．在牛顿摆静止状态下，可将每个小铁球的最低处抽象成点．同学们利用牛顿摆和数轴进行探究． 初步分析： （1）如图②，将牛顿摆放在数轴的上方，此时铁球④的最低点在数轴上对应的数为0，铁球⑥的最低点在数轴上对应的数为4，则铁球①的最低点在数轴上对应的数为___________； 深入探究： （2）如图③，将牛顿摆放在数轴的上方，铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上对应的数分别为．勤学小组提出如下问题，请你解答． 问题1：当时，铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为___________； 问题2：铁球⑦的最低点在数轴上对应的数为___________；（用含的代数式表示） 问题3：如果铁球①、⑤、⑦最低点对应的数，在数轴上分别为点，且数轴上一点到点的距离是两点距离的2倍，求点在数轴上对应的数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）问题1：；问题2：；问题3：或． 【分析】 本题考查了用数轴表示有理数，列代数式，解决本题的关键是理解题意，并列代数式表示出相邻两个铁球之间的距离． （1）根据铁球④ 与铁球⑥ 对应的点计算出相邻两个铁球之间的距离，由此可表示铁球① 的最低点在数轴上对应的数； （2）问题1：先计算出相邻两个铁球之间的距离，由此可求解铁球⑦ 的最低点在数轴上对应的数； 问题2：根据铁球⑤ 的最低点在数轴上对应的数及相邻两个铁球之间的距离计算即可； 问题3：设点P在数轴上对应的数为x，根据数轴上两点之间的距离公式列关于x的绝对值方程并求解即可． 【详解】 解：（1）∵铁球④ 的最低点在数轴上对应的数为0，铁球⑥ 的最低点在数轴上对应的数为4， ∴，即相邻两个铁球之间的距离为2， ∴铁球① 的最低点在数轴上对应的数为； 故答案为：； （2）问题1：当时， 则，即相邻两个铁球之间的距离为2， ∴铁球⑦ 的最低点在数轴上对应的数为； 故答案为：； 问题2：∵铁球① 与铁球⑤ 的最低点在数轴上对应的数分别为， ∴，即相邻两个铁球之间的距离为， ∴铁球⑦ 的最低点在数轴上对应的数为； 故答案为：； 问题3：设点P在数轴上对应的数为x， 由问题2可知点对应的数为， ∴点到点的距离是，两点距离为， ∵点到点的距离是两点距离的2倍， ∴， 即或， 解得或， ∴点在数轴上对应的数为或． 6．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知数轴上有从左到右排列的三个点A，B，C，它们对应的数分别为a，b，c且满足．小明将刻度尺的零刻度线与数轴上的点A对齐，发现点B对应的刻度值为1.8cm，点C对应的刻度值为5.4cm． （1）试求a，c的值： （2）在数轴上， ___________个单位长度，数轴上的1单位长度对应刻度尺上的___________cm．数轴上点B所对应的数b为___________； （3）若点M在数轴上以2个单位长度/秒的速度，从A向C运动，当运动时间为t秒时点M所表示的数为___________．（用含t的式子表示） 【答案】（1），     （2）9，0.6，0     （3）      【分析】 （1）根据非负数的性质计算a，c的值即可； （2）根据两点间的距离计算AC的值即可，结合题意计算数轴上的1单位长度对应刻度尺上的厘米数；根据题意即对应关系，可得方程，求解即可确定点B所对应的数b的值； （3）根据“点M在数轴上以2个单位长度/秒的速度，从A向C运动”列出代数式即可． (1) 小问详解： 解：∵， 又∵，， ∴， 解得； (2) 小问详解： ∵， ∴； ∵， ∴数轴上的1单位长度对应刻度尺上的0.6cm； ∵刻度尺的零刻度线与数轴上的点A对齐，点B对应的刻度值为1.8cm， ∴， ∴，解得． 故答案为：9，0.6，0； (3) 小问详解： 若点M在数轴上以2个单位长度/秒的速度，从A向C运动， 当运动时间为t秒时点M所表示的数为：． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了数轴以及列代数式等知识，理解题意，找到有用信息以及等量关系是解题关键． 考点04 相反数 1．（25-26学年七上·山东聊城·期中）的相反数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：的相反数是． 2．（25-26学年七上·山东日照东港区新营中学·期中）的相反数是（       ） A. 2025 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】 解：的相反数是2025， 故选：A． 3．（25-26学年七上·山东临沂·期中）下列选项中正确的是（       ） A. 与3互为相反数 B. 与互为相反数 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查相反数和绝对值的概念，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解判断即可． 【详解】 解：A、与3不互为相反数，原说法错误，不符合题意； B、与不互为相反数，原说法错误，不符合题意； C、，原说法错误，不符合题意； D、，原说法正确，符合题意； 故选：D． 考点05 绝对值 1．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】 解：|﹣5|=5． 故选A． 【详解】 2．（25-26学年七上·山东潍坊·期中）的相反数是（       ） A. 2025 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相反数的定义，求一个数的绝对值． 先求绝对值，再求其相反数即可． 【详解】 ，的相反数是． 故选：B． 3．（25-26学年七上·山东聊城·期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，则最接近标准质量的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】 解：依题意，得，，， ∵， ∴最接近标准质量的是“”， 故选：C． 4．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）如果为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（     ） A. 2025 B. 2026 C. 2024 D. 2023 【答案】A 【分析】 本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．根据绝对值的非负性，可得当取最小值0时，式子存在最大值，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴取最小值0时，式子存在最大值，最大值为2025， 故选：A． 5．（25-26学年七上·山东聊城·期中）[新考向 数学文化]中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（     ） A.  B. 2025 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了求一个数的绝对值与相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键． 根据绝对值意义与相反数的定义进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴的相反数是， 故选：D． 6．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）的绝对值是（     ） A. 2025 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】 解：的绝对值是2025， 故选：A． 7．（25-26学年七上·山东日照·期中）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题主要考查负数的定义、有理数乘方、去括号、绝对值等知识点，熟记相关概念是解题的关键． 先运用有理数乘方、去括号、绝对值化简相关数据，然后再根据负数的定义解答即可． 【详解】 解：，，，，， 所以在，、、、、、0中，负数有、、共3个． 故选B． 考点06 有理数的大小比较 1．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）已知：有理数a、b、c满足，，，则将a、b、c在数轴上可以表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据选项中数轴上点的位置，看看是否符合条件a+b＞0，bc＞0，b＞c即可． 【详解】 解：∵，，， ∴A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、符合，，，故本选项正确； D、，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】 本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 2．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 是相反数 B. 0是绝对值最小的有理数 C. 数轴上原点两侧的点表示的数互为相反数 D. 数轴上距离原点越远的点表示的数越大 【答案】B 【分析】 本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，数轴的相关概念． 根据相反数的定义，绝对值的定义，数轴的相关概念分别判断即可． 【详解】 解：A． 符号相反的两个数是互为相反数，是单独一个数，不是相反数，原说法错误； B． 0是绝对值最小的有理数，原说法正确； C． 数轴上原点两侧与原点等距离的点表示的数互为相反数，原说法错误； D． 数轴上距离原点越远的点表示的数的绝对值越大，原说法错误； 故选：B． 3．（25-26学年七上·山东聊城·期中）实数，在数轴上表示的位置如图所示，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了实数与数轴的关系，绝对值的定义，根据数轴的特点确定出，的正负以及绝对值的性质对各选项分析判断可可，准确识图是解题的关键． 【详解】 解：由图可知，，，， ，故A不符合题意，C符合题意； ，故B不符合题意； ，故D不符合题意． 故选：． 4．（25-26学年七上·山东淄博博山区第一中学·期中）　　　　　（用“>”或“<”填空）． 【答案】< 【分析】 本题考查有理数的大小比较，掌握正数负数、两个负数相比较时，绝对值大的反而小是解题关键．根据两个负数相比较时，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】 解：因为，，且， 所以． 故答案为：<． 5．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）比较大小：　　　　　　　　．（填“”、“”或“”号） 【答案】 【分析】 本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】 解：，， ∵，， ， ∴ ， 即 ． 故答案为：． 6．（25-26学年七上·山东聊城·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，即可得出答案． 【详解】 解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 7．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）根据下面要求去做： （1）在数轴上表示下列各数：； （2）将这些数用“”号顺次连接起来． 【答案】（1） 在数轴上表示如下：      （2）      【分析】 本题考查了数轴与有理数的关系，解决此题的关键是掌握数轴三要素画出数轴并表示出相关的有理数． （1）画出数轴三要素：原点，正方向，单位长度，再在数轴上表示出题目中要求的数字； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数，将这些数用“”号顺次连接起来． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据（1）中数轴所示，将这些数用“”号顺次连接起来为： ． 8．（25-26学年七上·山东临沂·期中）比较大小：　　　　　　（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】 本题考查负数比较大小，熟记负数比较大小：绝对值大的反而小是解决问题的关键． 根据有理数大小比较的法则，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得到答案． 【详解】 解： 又， ， 故答案为：． 9．（25-26学年七上·山东济南高新区·期中）把下列各数表示在数轴上，并用“”把它们连接起来． ，，0，． 【答案】如图所示： ， 【分析】 此题考查数轴、有理数大小比较，解题关键在于运用数轴进行有理数的大小比较． 先画出数轴并在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点从左到右用“＜”号将这些数连接起来． 【详解】 解：用“”把它们连接起来为：． 10．（25-26学年七上·山东聊城·期中）画出数轴并在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来 ，，0，，． 【答案】，在数轴上表示各数，如图所示： 【分析】 本题考查了用数轴上的点表示有理数，以及利用数轴比较有理数的大小，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据数轴的三要素画出数轴，并将题干中的有理数在数轴上表示出来，然后根据数轴特点比较大小即可． 【详解】 解：略． 11．（25-26学年七上·山东德州·期中）比较大小：　　　　　．（填“”或“＞”或“＝”） 【答案】 【分析】 先化简，再比较数值大小． 本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握比较的原则是解题的关键． 【详解】 解：， 根据正数大于负数，得， 故， 故答案为：． 12．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）用“>”，“<”或“=”填空：　　　　　　；　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 先化简各数，再根据有理数大小比较的法则：① 正数都大于0；② 负数都小于0；③ 正数大于一切负数；④ 两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】 解：， ，， 故答案为： 【点睛】 本题考查了理数大小比较，化简绝对值，相反数的意义，掌握有理数的大小比较是解题的关键． 13．（25-26学年七上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，若A是实数在数轴上对应的点，请比较，，1的大小关系（用“<”连接）：　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】先根据数轴的定义得出a的大小，再求出的大小，然后根据有理数的大小比较法则即可得． 【详解】由数轴的定义可得： 则 有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，负数绝对值大的反而小 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴的定义、有理数的大小比较法则，掌握理解数轴的定义是解题关键． 14．（25-26学年七上·山东德州天衢新区·期中）比较大小：　　　　　　．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】 本题主要考查了比较有理数的大小，比较有理数大小的法则：1．在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2．正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3．两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进而得出大小关系． 【详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年七上·山东临沂·期中）已知5个数分别为，，，0，4． （1）画出数轴并在数轴上标出表示以上各数的点； （2）用“”号把这些数连接起来． 【答案】（1） 在数轴上表示各数如下： ；     （2）      【分析】 本题考查用数轴上的点表示有理数、用数轴比较有理数大小，熟记数轴上点表示有理数的方法及数轴性质是解决问题的关键． （1）由有理数与数轴上点的对应关系，在数轴上表示出各个有理数即可得到答案； （2）由数轴性质比较大小即可得到答案． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解：由数轴可得：． 16．（25-26学年七上·山东聊城·期中）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序排列．（用“”号连接起来）：． 【答案】在数轴上表示下列各数如下： 【分析】 本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简绝对值，并在数轴上表示各数，最后根据数轴上右边的数总比左边的大进行排序即可． 【详解】 解：， 由数轴得：． 17．（25-26学年七上·山东聊城·期中）比较大小：　　　　　　．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的大小比较；根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较大小即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：． 18．（25-26学年七上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）比较大小：　　　　　　　　　　（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．掌握有理数的比较大小方法是解题的关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小判断即可． 【详解】 ∵， ∵ ∴． 故答案为：． 19．（25-26学年七上·山东济南历城区济南稼轩学校·期中）在数轴上表示下列各数，．并用“＜”把这些数连接起来． 【答案】如图所示： 【分析】 将各数标记在数轴上，利用“在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数”即可找出各数间的大小关系． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了有理数大小比较以及数轴，牢记“在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数”是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $