5.2二次函数的图象与性质-第2课时 二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质 课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象及性质，通过回顾y=x²和y=-x²的性质作为学习支架，引导学生从已知过渡到新知探究，构建完整知识脉络。 其亮点在于采用探究活动（列表描点画图象）、对比分析（不同a、c值图象异同）及动态演示（点击查看变化图象），结合数学眼光观察特征、数学思维推理规律、数学语言表格总结性质，帮助学生直观理解，教师教学更高效。

九年级上│BS 5.2 二次函数的图象 第2课时 二次函数y＝ax²与y＝ax²+c的图象与性质 第五章 二次函数 1. 经历探索二次函数图象画法的过程，能用描点法画出二次函数y＝ax²与 y＝ax²+c的图象. 2. 能根据图象理解并掌握二次函数 y＝ax²与 y＝ax²+c的性质，能独立说出对应图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3. 比较 y＝ax²与y＝ax²+c的图象与y＝x²图象的异同，理解二次项系数a和常数项c对二次函数图象的影响. 学习目标 抛物线 y＝x2 y＝－x2 图象 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 （0，0） y轴 当x＝0时，y最小值＝0 当x＝ 0时，y最大值＝0 在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而增大 在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而减小 回 顾 二次函数y＝x²与y＝－x² 的图象和性质： 新课引入 探 究1 (1)在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x²， y＝2x²的图象． 解：列表： x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... y＝x² ... ... x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y＝2x² ... ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 点击查看：会变化的二次函数y＝ax2+k的图象 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 新知学习 描点； 连线. y＝x² y＝2x² 新知学习 探 究1 (2)指出二次函数y＝x²， y＝x²， y＝2x²图象的形状、开口方向、对称轴 和顶点． y＝x² y＝2x² 形状 开口方向 对称轴 顶点 y ＝ x² y ＝ x² y ＝ 2x² 向上 y轴 (0，0) 向上 y轴 (0，0) 向上 y轴 (0，0) 抛物线 抛物线 抛物线 新知学习 思 考1 观察图象，比较三个函数的图象有何异同？ y＝x² y＝2x² 1.相同点： ❖开口方向相同(向上)； ❖对称轴相同(y 轴)； ❖顶点坐标相同(原点). 2.不同点： ❖开口大小不同. a越大，抛物线的开口越小. 新知学习 当a＞0时，二次函数 y＝ax2的图象的特点. 二次函数 a的符号 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y＝ax2(a≠0) a＞0 向上 原点（0，0） y轴 在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而减小 在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而增大 当x＝0时， a越大，抛物线 的开口越小. 抛物线的最低点. 归纳总结 新知学习 探 究2 (1)在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝－x²， y＝－2x²的图象． 解：列表： x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... y＝－x² ... ... x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y＝－2x² ... ... -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 -8 -4.5 -2 -0.5 -0 -0.5 -2 -4.5 -8 新知学习 y＝－x² 描点； 连线. y＝－2x² 新知学习 探 究2 (2)指出二次函数y＝－x²， y＝－x²， y＝－2x²图象的形状、开口方向、对称轴 和顶点． 形状 开口方向 对称轴 顶点 y ＝－ x² y ＝－ x² y ＝－ 2x² 向下 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0) 抛物线 抛物线 抛物线 y＝－x² y＝－2x² y＝－x² 新知学习 思 考2 观察图象，比较三个函数的图象有何异同？ 1.相同点： ❖开口方向相同(向下)； ❖对称轴相同(y 轴)； ❖顶点坐标相同(原点). 2.不同点： ❖开口大小不同. a越小，抛物线的开口越小. y＝－x² y＝－2x² y＝－x² 新知学习 当a＜0时，二次函数 y＝ax2的图象的特点. 归纳总结 二次函数 a的符号 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y＝ax2(a≠0) a＜0 向下 原点（0，0） y轴 在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而增大 在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而减小 当x＝0时， a越小，抛物线的开口越小. 抛物线的最高点. 新知学习 问 题1 观察右边图象，抛物线y ＝ax2与 y ＝－ax2 （a＞0） 的图象有什么特点？ 二次项系数互为相反数时，开口方向相反，开口大小相同，它们关于x轴对称. |a|越大，抛物线的开口越小. y＝－x² y＝－2x² y＝－x² y＝x² y＝2x² y＝x² 新知学习 例1 下列说法错误的是( ) A.二次函数y＝－2x2中，当x＝0时，y有最大值是0 B.二次函数y＝4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大 C.在三条抛物线y＝2x2，y＝－0.5x2，y＝－x2中，y＝2x2的图象开口最大，y＝－x2的图象开口最小 D.不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点 C 新知学习 探 究3 (1)在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x²， y＝x²＋2， y＝x²－2 的图象． 解：列表： x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... y＝x² ... ... y＝x²＋2 ... ... y＝x²－2 ... ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 点击查看：会变化的二次函数y=ax2+c的图象 新知学习 y＝x² y＝x²＋2 y＝x²－2 描点； 连线. 新知学习 探 究3 (2)指出二次函数y＝x²， y＝x²＋2，y＝x²－2 图象的开口方向、对称轴 和顶点． y＝x² y＝x²＋2 y＝x²－2 开口方向 对称轴 顶点 y ＝ x²＋0 y ＝ x²＋2 y ＝ x²－2 向上 y轴 (0，0) 向上 y轴 (0，2) 向上 y轴 (0，－2) 二次函数解析式中的常数项就是顶点的纵坐标. 新知学习 思 考3 观察图象，比较三个函数的图象有何异同？ y＝x² y＝x²＋2 y＝x²－2 1.相同点： ❖开口方向和大小相同； ❖对称轴相同； ❖对称轴两侧增减性相同. ❖顶点坐标不同. 2.不同点： 新知学习 当a＞0时，二次函数 y＝ax2＋c 的图象与性质： 函数 y=ax2+c(a＞0) a>0 c>0 c=0 c<0 大致图象 开口 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 O y x O y x O y x 向上 y轴(直线 x=0) (0，c) 当x<0时，y 随 x 的增大而减小； 当x＞0时，y 随 x的增大而增大 x=0时，y最小值=c 注意c前面的符号. 归纳总结 新知学习 探 究4 (1)在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝－x²， y＝－x²＋2， y＝－x²－2 的图象． 解：列表： x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... y＝－x² ... ... y＝－x²＋2 ... ... y＝－x²－2 ... ... -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 -6 -2.5 0 1.5 2 1.5 0 -2.5 -6 -10 -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 -10 新知学习 y＝x² y＝－x²＋2 y＝－x²－2 描点； 连线. 新知学习 探 究4 (2)指出二次函数y＝－x²， y＝－x²＋2，y＝－x²－2 图象的开口方向、对称轴 和顶点． y＝x² y＝－x²＋2 y＝－x²－2 开口方向 对称轴 顶点 y ＝－ x² y ＝－ x²＋2 y ＝－ x²－2 向下 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，2) 向下 y轴 (0，－2) 新知学习 思 考4 观察图象，比较三个函数的图象有何异同？ y＝x² y＝－x²＋2 y＝－x²－2 1.相同点： ❖开口方向和大小相同； ❖对称轴相同； ❖对称轴两侧增减性相同. ❖顶点坐标不同. 2.不同点： 新知学习 函数 y=ax2+c(a＜0) a＜0 c>0 c=0 c<0 大致图象 开口 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 向下 y轴(直线 x=0) (0，c) x=0时，y最大值=c O y x O y x O y x 当x＜0时，y 随 x 的增大而增大； 当x＞0时，y 随 x的增大而减小 当a＜0时，二次函数 y＝ax2＋c 的图象与性质： 归纳总结 新知学习 例2 对于二次函数y＝－x2＋2， ①最小值为2； ②图象与x轴没有公共点； ③当x<0时，y随x的增大而增大； ④图象的对称轴是y轴； ⑤图象的顶点坐标是(0，2) 以上结论中说法正确的是_____________. ③④⑤ 新知学习 探 究5 (1)抛物线 y＝x²＋2，y＝x²－2 与抛物线y＝x²有什么关系？ y＝x² y＝x²＋2 y＝x²－2 可以发现，把抛物线y＝x²(右图中的虚线图形)向上平移2个单位长度 ，就得到抛物线 y＝x²＋2； 把抛物线y＝x²向下平移2个单位长度，就得到抛物线y＝x²－2 ． 新知学习 可以发现，把抛物线y＝－x²(右图中的虚线图形)向上平移2个单位长度 ，就得到抛物线 y＝－x²＋2； 把抛物线y＝－x²向下平移2个单位长度，就得到抛物线y＝－x²－2 ． 温馨提示：点击查看源文件 探 究5 (2)抛物线 y＝－x²＋2，y＝－x²－2 与抛物线－y＝x²有什么关系？ y＝x² y＝－x²＋2 y＝－x²－2 新知学习 归纳总结 抛物线 y＝ax2+c与抛物线y＝ax2之间的关系： y＝ax2+c y＝ax2 （简记为“上加下减”） 当c＞0时，向上平移c个单位长度得到 当c＜0时，向下平移|c|个单位长度得到 新知学习 例3 将抛物线y＝2x2+3平移后得到抛物线y＝2x2，平移的方法可以是( ) A. 向下平移3个单位长度 B. 向上平移3个单位长度 C. 向上平移2个单位长度 D. 向下平移2个单位长度 A 新知学习 (1)a的正负决定抛物线的开口方向； (2)|a|的大小决定抛物线的开口大小； (3)c的正负决定抛物线与 y 轴的交点位置. 思 考5 二次函数y=ax2+c中a，c对于函数图象有什么影响？ 新知学习 D 1. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： 下列各选项中，正确的是( ) x ... 0 1 2 3 4 ... y ... －1 m 3 2 －1 ... A．抛物线开口向上 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．顶点坐标为(3，2) D．m＝2 随堂练习 2.在同一坐标系中，一次函数y＝ax－1与二次函数y＝x2+a的图象可能是( ) A. B. x y O y x O C. D. y x O y x O B 随堂练习 3.将抛物线y＝2x2向上平移m个单位长度后经过点(1，4)，则m的值为_____. 2 4.(结论开放)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是___________.（只需写一个） 解析：∵抛物线的顶点坐标为（0，－1）， ∴该抛物线的解析式为y＝ax2－1， 又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0， ∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2－1. y＝2x2－1 随堂练习 5.已知二次函数y=3x²+1, 点A(a，y1)，B(b，y2)，C(c，y3)为该函数图象上的点. ①当－4<x<2时，则y的取值范围是多少？ 解：∵函数开口向上，顶点坐标为(0，1)， ∴当x＝0时，y最小值＝1，当x＝－ 4时，y=49， ∵y＝3x²＋1关于 y 轴对称， ∴x＝－4的函数值和 x＝4的函数值相等， ∵在对称轴右侧，此函数值随x的增大而增大， ∴y最大值＝49，1＜y＜49. 随堂练习 ②若a=-3，b=2，c=-1，试比较y1，y2，y3的大小关系. 解法1 代数法：∵ 将-3，2，-1分别代入函数解析式 y=3x²+1，求出 y1=28，y2=13，y3= 4，∴ y1>y2>y3 . 解法2 增减性： ∵3＞0，∴图象开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线x=0， ∴x>0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小， ∵函数的图象过 (2， y2) ，也即过它关于y轴的对称点(-2，y2)， ∵ -3< -2 < -1< 0 ， ∴ y1>y2>y3 . 随堂练习 ②若a=-3，b=2，c=-1，试比较y1，y2，y3的大小关系. 解法3 数形结合法： 因为 y＝3x²＋1，所以a＝3＞0， 所以图象开口朝上，由三点的横坐标可以知道三点与对称轴的距离，明确三点的大致位置，从而画出草图： 2 x -1 y O -3 y2 y1 所以y1＞y2＞y3 y3 随堂练习 函数 y＝ax2+c(a≠0) a>0 a<0 c>0 c＝0 c<0 c>0 c＝0 c<0 图象 开口方向 开口大小 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 1.二次函数 y＝ax2+c(a≠0) 的图象和性质： O y x O y x O y x O y x O y x O y x 向上 向下 y轴(直线 x＝0) (0，c) x<0 时，y 随 x 的增大而减小； x>0 时，y 随 x的增大而增大 x<0 时，y 随 x的增大而增大； x> 0时，y 随 x的增大而减小 x＝0时，y最小值＝c x＝0时，y最大值＝c |a|越大开口越小 课堂小结 2.抛物线 y＝ax2+c与抛物线y＝ax2之间的关系： y＝ax2+c y＝ax2 （简记为“上加下减”） 当c＞0时，向上平移c个单位长度得到 当c＜0时，向下平移|c|个单位长度得到 课堂小结 $