第1章《特殊平行四边形》单元自测卷- 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦《特殊平行四边形》单元复习，通过选择、填空、解答题系统考查矩形、菱形、正方形的性质与判定，注重几何直观与推理能力培养，适配初中数学单元巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|矩形与菱形性质对比（第1题）、矩形判定条件（第3题）|基础巩固，突出概念辨析| |填空题|4/12|菱形周长计算（第11题）、菱形变正方形条件（第12题）|强化性质应用，关注易错点| |解答题|7/58|矩形判定综合（第17题）、新定义“圆满四边形”探究（第21题）|分层设计，融合推理意识与创新意识，贴合核心素养要求|

第1章《特殊平行四边形》单元自测卷 一.单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1.下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是() A.四边相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 2.菱形的两条对角线长分别为6cm、8cm,则它的周长为() A.14cm B.20cm C.28cm D.40cm 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以 是() A.AC⊥BD B.AB=BC C.∠ABC=90D.∠ABD=45 4.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若AO=3cm,则BD的长为() A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，且CD=4,则AB的长是 B A.4 B.6 C.8 D.10 6.下列性质中，矩形和菱形都具有的性质是() A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线长度相等 D.每一条对角线平分一组对角 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=10cm,BD=6cm,菱形的面积是 B D A.60cm2 B.30cm2 C.26cm2 D.10cm2 8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是BO,BC的中点，连 接EF.若BD=10,则EF的长为() D E A.2.5 B.3 C.4 D.5 9.如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF.若BC=10,则正 方形ADEF的面积为() A.10 B.15 C.25 D.100 10.如图，在正方形ABCD中，G是边BC上一点，且BG=3GC,DE⊥AG于点E,BF‖DE, 交AG于点F,若AB=43,则EF的长为() E B GC A.43 B.1 C.V3 D.2 5 二.填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分.） 11.已知菱形的两条对角线长分别为6和4，则菱形的周长为 12.对于菱形ABCD,当满足 时，它可成为正方形 13.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，已知∠EAF=50°，则∠CEF的度数 为 G A .D B E C 14.已知正方形ABCD,连接AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则∠ACE=· D E 三.解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分.） 15.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,AD上的点，连接DE,CF,若∠1=∠2，求 证：AE=DF, 2 C 16.如图，在菱形ABCD中，BD=4,∠A:∠ABC=1:2.求△ABD的周长. 17.如图，△ABC是等腰三角形，AC=BC,点DE分别是AB、AC的中点，连接DE并延长 至点F,使EF=DE,连接CD、CF、AF. E A B (1)求证：四边形ADCF是矩形； (2)若∠B=60°，AC=6,求矩形ADCF的周长. 18.已知：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O,∠AOD=120°，AB=4. O (1)求∠ADB的度数； (2)求矩形ABCD的面积. 19.如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O,过点C作CE‖DB,过点B作BE‖AC,CE 与BE相交于点E. D O C B E (1)求证：四边形OBEC是矩形； (2)若CD=10,OD=6,求四边形OBEC的面积. 20.如图，四边形ABCD是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D,点B与点C重合， 得到折痕F后再把纸片展平；在CD上选一点P,沿AP折叠△ADP,使点D恰好落在折痕EF 上的点M处.求证：PM=PA. P D 0 E --M F A 21.综合与实践 【定义学习】 若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180°），则称这个四边形为“圆满四边 形”. G E B D C D H F C 图1 图2 (1)【概念理解】 在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是一；（请填写序号） (2)【性质探究】 如图1，已知四边形ABCD是“圆满四边形”，若AB=AD=3,CB=CD,对角线AC=5, 求四边形ABCD的周长. (3)【判定探究】 如图2，已知OD平分∠AOB,点C在射线OD上，CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,点G 在射线EA上，点H在线段OF上，EG=FH,连接CG,CH.求证：四边形GOHC为“圆 满四边形”. 参考答案 一，单项选择题 1.C 解：选项A:菱形四边相等，矩形四边不一定相等； 选项B:菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定互相垂直； 选项C:矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等； 选项D:菱形的每条对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分对角. 2.B 解：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且AC=6cm,BD=8cm, B AB=BG=CD=AD,OA-AC=3cm,OB=BD=4cm,AC BD, 在Rt△AOB中，AB=OA2+0B=32+4=5cm, ∴.菱形的周长为4AB=4×5=20cm. 3.C 解：：四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD, ∴.平行四边形ABCD是菱形， ∴.A项不符合题意， .四边形ABCD是平行四边形，AB=BC, ∴.平行四边形ABCD是菱形， ∴B项不符合题意， ,四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°， .平行四边形ABCD是矩形， .C项符合题意， ,∠ABD=45°，无法判定平行四边形ABCD是矩形， D项不符合题意. 4.D 解：如图， A D ○ ABCD 四边形 是矩形， AC=BD,A0=号AC, 2 又AO=3cm, ∴.BD=2AO=2×3=6cm 5.C 解：：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， .'.AB=2CD. .CD=4, ∴.AB=2×4=8 6.B 解：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，逐一分析各选项： A对角线互相垂直是菱形特有的性质，矩形对角线不互相垂直，故A不符合题意； B平行四边形对角线互相平分，矩形和菱形都属于平行四边形，因此都具有对角线互相平 分的性质，故B符合题意； C对角线相等是矩形特有的性质，菱形对角线不相等，故C不符合题意； D每条对角线平分一组对角是菱形特有的性质，矩形不具备该性质，故D不符合题意. 7.B 解：，四边形ABCD是菱形， S发AC~BD. ..AC=10cm,BD=6cm, 1 .S菱5×10×6=30(cm). 8.A 解：在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, ∴AC=BD,OC=号AC, 0C=2BD=5, ,点E,F分别是BO,BC的中点， .EF是△BOC的中位线， EF=10C=2.5. 9.C 解：，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，BC=10, .'AD=-BC=5, :.正方形ADEF的面积为53=25 10.A 解：：'四边形ABCD是正方形，AB=43, ∴.AD=BC=4V3,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90, BG=3GC' BG=2BC=33, 4 ∴.AG=VAB+BG=53' DE⊥AG'BF‖DE? .∴.BF⊥AG' ·}×AB×BC=x BFxAG, 2 解得BF=123 5 FG=BG-BF293 5, .∠ABF+∠BAE=90,∠DAE+∠BAE=90°， ∴.∠ABF=∠DAE, :在△DAE和△ABF中， ∠ABF=∠DAE ∠BFA=∠DEA AD=AB .△DAE≌△ABFAAS: ·BF=AE=123 5, ·EF=AG-AE-FG=43 · 二.填空题 11.4V13 B 解：如图，设菱形的两条对角线AC=6,BD=4,对角线交于点0 ··菱形的对角线互相垂直平分， AC1B0,A0x6-3.B0×4=2 在Rt△AOB中，由勾股定理得： AB=A02+B02 .AB=V32+2=V13, ·菱形四条边长度相等， :.菱形周长为4×/13=413 12.有一个内角为直角（答案不唯一） 解：，菱形已经满足四条边相等，属于平行四边形， ∴.要使菱形成为正方形，只需要添加正方形相对于菱形的额外判定条件： 若菱形有一个内角是直角，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质，可得四个内角 均为直角，符合正方形的定义，此时菱形是正方形； 若菱形对角线相等，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，可判定该菱形满足正方形的 判定要求，此时菱形也是正方形. 因此本题可填写的条件为有一个内角为直角或对角线相等. 13.65° 解：在矩形ABCD中，AD‖BC, .∴.∠AEB=∠EAF=50, .∴.∠AEC=180°-∠AEB=130°， 根据折叠可得∠CEF=∠AEF=方∠AEC=65, 14.22.5° 解：，四边形ABCD是正方形， .∴.AD=CD,∠ADC=90°， ∠ACD=∠CAD=180-∠ADC=45°， 又.CE平分∠ACD, ∠ACE=ACDx45=25 三.解答题 15.证明：：四边形ABCD是正方形， .∴.∠EAD=∠FDG=90,AD=DC' 在△EAD和△FDC中， ∠1=∠2 AD=DC ∠EAD=∠FDC .'.△EAD≌△FDC ASA ∴.AE=DF: 16.解：在菱形ABCD中，AB=AD,ADBC, .∠A+∠ABC=180o, .∠A:∠ABC=1:2' .∠A=60°， AB=AD' ∴△ABD是等边三角形， .∴.AB=AD=BD=4' .CAABD=AB+AD+BD=12. 17.(1)证明：，点E是AC的中点， ∴.AE=CE, .EF=DE' :.四边形ADCF是平行四边形， :点D为等腰△ABC的底边AB的中点， CD⊥AB,即∠ADC=90, :.四边形ADCF是矩形 (2)解：△ABC是等腰三角形，AC=BC,∠B=60°， △ABC是等边三角形， ∴.AB=AC=6 点D是AB的中点， .'.AD=-AB=3, .∠ADC=90, .CD=AC2-AD2=33' :.矩形ADCF的周长=2AD+CD=6+63 18.(1)解：根据矩形性质，AC=BD,且对角线互相平分， 即0A=0D2AC=BD, :∠A0D=120,在△A0D中，0A=0D, ∠0DA=∠0AD=180°120°=300 2 ∴.∠ADB=30 (2)解：在Rt△ABD中，∠ADB=30°， .BD=2AB=2×4=8, 根据勾股定理得：AD=VBD2-AB=V82-4=43. :.矩形面积为：AB×AD=4×43=163 19.(1) 证明：由题意得：AC⊥BD,即∠BOC=90°； CE‖DB,BE‖AC, ∴四边形OBEC是平行四边形； .∠B0C=90°： ∴.四边形OBEC是矩形； (2)解：由题意得：BO=OD=6, .CD=10,OD=6, .C0=CD2-0D2=8, ∴.四边形0BEC的面积=BO×CO=48; 20. 证明：连接DM,如图： :对折矩形纸片ABCD,EF为折痕， :.AE=DE=号AD,∠AEF=∠g=90, :.EF垂直平分AD ∴.DM=AM :沿AP折叠△ADP, 使点D落在矩形内部点M处， ∴.AD=AM ∴.AD=AM=DM .△ADM为等边三角形 .∠DAM=60° ·∠DAP=∠PAM=)2DAM=300 .∠PMA=∠ADP=90° PM-DA. 21.(1)解：.矩形的四个内角都是90°， .矩形的两组对角的和为180， :矩形是“圆满四边形”； 菱形的对角相等，若内角不是90°，则对角和不为180°，故菱形不一定是“圆满四边形”， 因此选①： (2)解：.AB=AD,CB=CD,AC=AC, ∴.△ABC≌△ADCSSS ∴.∠B=∠D :四边形ABCD是“圆满四边形”， .∴.∠B+∠D=180o, .∠B=∠D=90, AB=AD=3'AC=5' ∴.CB=CD=AC2-AB2=4? :.四边形ABCD的周长=2AB+2BC=6+8=14 (3)证明：，OD平分∠AOB,CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F, .∴.CE=CF’∠CEG=∠CFH=90, .EG=FH' .∴.△CEG≌△CFH SAS: .∠CGE=∠CHF, .·∠CHF+∠OHC=180°， .∠CGE+∠OHC=180°， :.四边形GOHC为“圆满四边形”.