第1章 特殊平行四边形 单元检测 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为北师大版九年级上册“特殊平行四边形”提高性单元检测，聚焦菱形、矩形、正方形性质与判定，通过基础巩固、能力提升及创新应用题，发展几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|菱形角度计算、矩形对角线性质、特殊平行四边形关系转化|基础题考查概念辨析，如第3题判断转化条件；中档题结合性质与计算，如第6题正方形动态点结论判断| |填空题|5/15|菱形坐标求解、中点性质应用、正方形阴影面积计算|第12题以中点四边形为载体，考查空间观念；第13题结合折叠与相似，提升推理能力| |解答题|7/61|矩形证明、尺规作图与菱形判定、正方形动态问题、折叠综合实践|第15题融合尺规作图与菱形证明，体现数学语言表达；第20题折叠实践题，通过分层设问（角度、长度、多情况计算），培养创新意识与问题解决能力|

2026年北师大版数学九年级上册 特殊平行四边形 单元检测（提高） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（   ） A．①有一组对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 4．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 5．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，使点A，B分别落在点E，F处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四个结论：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 7．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　）    A． B． C． D． 8．如图，矩形中，E是的中点，将沿直线折叠后得到．延长交于点F，若，，则的长为（    ）    A．1.8 B．2 C． D．2.2 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，点D在y轴的正半轴上，则点D的坐标是_____． 10．如图，O是菱形的对角线、的交点，E是的中点，连接．若，则_____．    11．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 12．如图，E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，若，则四边形是_________（填特殊形状）． 13．如图，四边形是正方形，点E是边的中点，连接和相交于F，将沿着翻折得到，连接交于H，则______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 15．如图，已知四边形是平行四边形．    (1)实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 16．如图，E，F是正方形的对角线上的两点． (1)请从下列条件：①；②；③；④中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程． 我选择条件_____________（填序号），证明如下． (2)若正方形和菱形的面积分别为10，6，求的值． 17．我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的衣帽架变化为不同的形状．如图2，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）变化成四边形．解决下列问题． (1)四边形的形状是_______，理由是_______． (2)若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂，，则橡皮筋会不会断裂？请说明理由．（参考数据：） 18．如图，，轴于点B，轴于点D，为的中点，直线交x轴于点F． (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作且交x轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值为 （请直接写出答案）． 19．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点的速度都是，连接，设点运动的时间为． (1)当四边形是矩形时，为___________； (2)当四边形是菱形时，为___________． (3)当为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？ 20．综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，分别将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图，若点F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°；△AEF的周长＝_____； _____． (2)如图，若点F为矩形的边的中点，平分，，，求的度数及的长． (3)如图，当，时，若F为边的三等分点，请直接写出的长． 试卷第2页（共6页） 试卷第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北师大版数学九年级上册 特殊平行四边形 单元检测（提高） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以在菱形中，，即，在中，因为，三角形内角和为，所以，因为菱形的对边平行，即，根据两直线平行，内错角相等，所以． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 3．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（   ） A．①有一组对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．根据矩形、菱形、正方形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、有一组对角相等的平行四边形不一定是矩形， ∴此选项填写错误，故A符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴此选项填写正确，故B不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形， ∴此选项填写正确，故C不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形， ∴此选项填写正确，故D不符合题意． 故选：A． 4．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【详解】解：∵菱形，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 5．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，使点A，B分别落在点E，F处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形及折叠性质，解题关键在于能够得到的角度． 先由折叠性质得到，再由平行线性质得到与，进而得到，从而得到． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠性质可知，， ． ∵， ． 又由折叠性质可得， ． 故选：A． 6．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四个结论：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据条件先证出四边形是矩形，再证出，得到；根据条件证明即可证明，根据等量关系得 即可得到的值为定值，最后根据得到最小时，最小，求出即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ∴（） ∴ ∴，②正确； ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴ ∴ ， ∴的定值为，③正确； ∵, ∴当最小时，最小， ∴当 时，最小， 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴线段的最小值为，④正确． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段的最值问题，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 7．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可知，过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据的面积求解即可． 【详解】解：连接，   菱形中，，， ， 是等边三角形， 对角线， ， ， 过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ， ， 的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 8．如图，矩形中，E是的中点，将沿直线折叠后得到．延长交于点F，若，，则的长为（    ）    A．1.8 B．2 C． D．2.2 【答案】B 【分析】连接，根据点E是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可证得；设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，    ∵E是的中点， ∴， ∵沿折叠后得到， ∴，， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得：， 即； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质；熟记矩形的性质和翻折变换的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，点D在y轴的正半轴上，则点D的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，根据题意可得，，由菱形的性质可得，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∵点D在y轴的正半轴上， ∴， 故答案为：． 10．如图，O是菱形的对角线、的交点，E是的中点，连接．若，则_____．    【答案】2 【分析】由菱形的性质得，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 11．如图，正方形的对角线交点为O，点E、F分别在边上，且．若，则图中阴影四边形的面积为________ 【答案】 【分析】先根据正方形的性质，得出，，，从而可利用证明，得出，求得结果； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ， ∴， ∴， ， 在与中， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ∵， ∴ ． 12．如图，E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，若，则四边形是_________（填特殊形状）． 【答案】矩形 【分析】由三角形中位线定理可得，，，，，从而得出，，进而可得四边形是平行四边形，结合题意得出，即可得证． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是四边形四条边的中点， ∴为的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 13．如图，四边形是正方形，点E是边的中点，连接和相交于F，将沿着翻折得到，连接交于H，则______． 【答案】 【分析】以点A为原点建立直角坐标系，且设正方形的边长为2． 则，，，，，通过设一次函数的解析式，分别求出直线，的解析式，然后即可求出点F的坐标，再根据翻转的性质得出点G的坐标，然后同理求出点H的坐标，然后再根据两点之间的距离公式分别求出和，最后比较即可得出答案． 【详解】解：如下图以点A为原点建立直角坐标系，且设正方形的边长为2． 则，，，， ∵点E是边的中点， ∴， 设的解析式为：，的解析式为：， 则，， 解得：，， 则的解析式为：，的解析式为：， 联立直线，的解析式， 解得：， ∴， ∵将沿着翻折得到， ∴， 设的解析式为： 则， 解得： 则的解析式为： 联立直线，的解析式， 解得：， ∴． ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的应用，两点之间的距离公式，正方形的性质，建立直角坐标系是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得 ，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， 由（1）得：是的中位线， ∴，   ∵， ∴， ∴在中， ， ∵是的中点， ∴． 15．如图，已知四边形是平行四边形．    (1)实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求： (2)①证明：如图，设与相交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ② 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）①设与相交于点O，先根据垂直平分线的性质得到，，，再证明得到，进而有，然后利用菱形的判定可证得结论； ②过A作交延长线于H，由已知和含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程求得x值即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②如图，过A作交延长线于H，则， ∵， ∴，又， ∴，， ∵， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 故，即菱形的边长为． 16．如图，E，F是正方形的对角线上的两点． (1)请从下列条件：①；②；③；④中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程． 我选择条件_____________（填序号），证明如下． (2)若正方形和菱形的面积分别为10，6，求的值． 【答案】(1) 我选择条件①，证明如下： 如图，连接交于点， 四边形为正方形， ，，． ， ， 即． ， 四边形为平行四边形． 又 ，即， 四边形是菱形； 我选择条件②，证明如下： 如图，连接交于点， 四边形为正方形， ，，， ． ，， ， ． 又 ， 四边形为平行四边形， 又 ，即， 四边形是菱形； 我选择条件④，证明如下： 如图，连接交于点， 四边形为正方形， ，，，，， ，，， ， ， ， 即． 又 ， 四边形为平行四边形． 又 ，即， 四边形是菱形． (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质与判定，正方形和菱形的面积，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据正方形的性质和菱形的判定定理即可证明； （2）根据正方形和菱形的面积即可求值． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点， 正方形的面积为10， 正方形的边长为， 对角线， ． 菱形的面积为6， ， ， ， ， ． 答：的值为． 17．我们知道，四边形具有不稳定性，利用这个性质我们可以把如图1所示的衣帽架变化为不同的形状．如图2，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）变化成四边形．解决下列问题． (1)四边形的形状是_______，理由是_______． (2)若正方形的对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂，，则橡皮筋会不会断裂？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)菱形；四条边相等的四边形是菱形； (2) 不会断裂，理由如下： 设扭动后对角线的交点为，如下图： ，， 为等边三角形， ， ∵四边形是菱形是菱形 ，， ， ∴， ， 不会断裂． 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质． （1）根据正方形的性质可得，则可根据四条边相等的四边形是菱形证明四边形是菱形； （2）设扭动后对角线的交点为，利用菱形的性质及条件，得出为等边三角形，利用勾股定理算出，从而得到，再比较即可判断． 【详解】（1）解；∵原来的框架是正方形， ∴， ∴四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形）， 故答案为：菱形；四条边相等的四边形是菱形； （2）略 18．如图，，轴于点B，轴于点D，为的中点，直线交x轴于点F． (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作且交x轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值为 （请直接写出答案）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“，轴于点B，轴于点D”得到点D坐标，利用待定系数法即可得到直线的函数关系式； （2）利用证得，得到，利用，得到，进而得到； （3）连接交直线于点P，由点D与点F关于直线对称，可得，则的最小值为的长． 【详解】（1）解：∵，轴，轴， ∴，四边形是正方形，， 设直线解析式为， 将和代入，得：， 解得 ， ∴； （2）解：∵C是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交直线于点P， ∵垂直平分， ∴点D与点F关于直线对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质以及轴对称﹣最短距离等，解题的关键是能够确定出P点的位置． 19．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点的速度都是，连接，设点运动的时间为． (1)当四边形是矩形时，为___________； (2)当四边形是菱形时，为___________． (3)当为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．通过矩形，菱形，等腰三角形的判定和性质列方程求解是解题的关键． （1）通过列方程求解； （2）通过列方程求解； （3）分两种情况讨论：或求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 四边形是矩形，， ， ， 解得，， 故答案为：4； （2）， ， 当四边形为菱形时，， ， 解得，， 故答案为：3； （3）当时，四边形为菱形， 由（2）知，； 当时，过点作于， 则， ， ， ， ， 综上所述，当为或时，是以为一条腰的等腰三角形． 20．综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，分别将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图，若点F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°；△AEF的周长＝_____； _____． (2)如图，若点F为矩形的边的中点，平分，，，求的度数及的长． (3)如图，当，时，若F为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】(1)45，12，2 (2)， (3)或 【分析】（1）证明四边形是正方形，由正方形的性质得出，，由勾股定理及折叠的性质可得出答案； （2）延长，交于点M，证明和均为等腰直角三角形，得出，，则可求出的长，由折叠的性质得出，∠DCF=∠GCF，则可得出答案； （3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，证明，由全等三角形的性质得出，设，，，得出，则可得出答案；②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，设，，，由勾股定理得出，求出b则可得出答案． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴的周长； ∵将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：45；12；2； （2）解：如图2，延长，交于点M， ∵平分， ∴∠2=∠4． 由折叠的性质可知，，． ∴， ∴． ∵，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 解得． （3）解：分两种情况：①当时， 如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，，， ∴， 解得， ∴． ②当时， 如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴． 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为4或． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 试卷第26页（共26页） 试卷第25页（共26页） 学科网（北京）股份有限公司 $