3.2探索三角形相似的条件新课预习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册数学“探索三角形相似的条件”新课预习同步练习，通过23题（选择10题、填空5题、解答8题）实现从相似判定基础到综合应用的梯度进阶，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|相似三角形判定（SSS/SAS/AA）、黄金分割概念|选择1-5直接考查判定条件辨析，填空11-13强化黄金比简单计算，夯实概念理解| |能力提升|相似性质应用、图形变换（翻折/网格）|选择6-8结合翻折情境分析相似关系，填空14-15通过正方形网格验证相似，培养空间观念| |综合应用|综合证明、实际建模（摩天轮/黄金矩形）|解答16-23涉及尺规作图、探究性分割证明，21题结合仰角构建相似模型，发展推理能力与模型意识|

· 3.2 探索三角形相似的条件 新课预习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．已知的三边长为1，，2，在下列给定条件中，与不一定相似的是（   ） A．，， B．， C．，， D．，， 2．如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点在的边上，添加一个条件可判断，下列不满足的条件是（ ） A． B． C． D． 4．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（    ）米． A． B． C． D． 5．已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 6．已知点P是线段的黄金分割点且，若，那么线段为（        ）． A． B． C． D． 7．生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（   ）． A． B． C． D． 8．如图所示，在中，，点P在边上（点P不与B，C重合，且，将沿翻折变为，交于点M，交于点N．则下列结论中，不一定正确的是（    ）    A．平分 B． C． D． 9．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的周长，表示长为，宽为的矩形的周长，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，AC=BC=8，∠C=90°，以A点为圆心，AC长为半径作圆弧交AB 于E，连接CE，再分别以C、E为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC与点D，连接DE，则下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是，则它的宽为________cm．（结果保留整数） 12．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，则的长为 _____． 13．如图，已知点、分别是的边、上的点，要使得，可添加的一个条件是________．（只写一个） 14．如图，已知点M、N分别在正方形的边上，，，．那么可以判断与______（选填“相似”或“不相似”）． 15．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16．已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法） 17．如图，在中，D为延长线上一点，，过点D作，交延长线于点E．求证：． 18．如下图，在中，的平分线BD交AC于点D．求证：D为线段AC的黄金分割点（）． 19．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，，，，，是边上的5个格点．请按要求解决下列各题： (1)求证：． (2)画一个三角形，它的三个顶点为，，，，中的3个格点，并且与相似． 20．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）． 21．徐州新区欢乐世界．摩天轮高约130米（最高点到地面的距离）．如图，点是摩天轮的圆心，是其垂直于地面的直径，小明在地面处用测角仪测得摩天轮最高点的仰角为，测得圆心的仰角为，求摩天轮的半径．（结果保留根号）    22．【例题呈现】化简：． 思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化． 解：将分子、分母同乘，得． 【类比应用】 (1)化简：_____； (2)宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，如图，已知黄金矩形的边，剪掉一个以为边的正方形后，得到新的矩形． ①求的长； ②通过计算说明矩形是否为黄金矩形． 23．“沪教版”九年级数学教材第一学期有一个这样的探究活动：和不相似，是否存在这样的直线分割，把和分别分割成两个三角形，分割得到的一个三角形与分割得到的一个三角形相似，同时分割得到的另一个三角形与分割得到的另一个三角形也相似． (1)如图，和中，，，点在边上，点在边上，是否存在这样的分割，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似？如果存在，请直接在图上画出符合要求的分割线（标出角度即可，不必写过程、结论） (2)如图，和中，，，（的度数标记为），是否存在这样的分割，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似？如果存在，请直接在图上画出符合要求的分割线（标出角度即可，不必写过程、结论） (3)如图，梯形中，；梯形中，是否存在这样的分割，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由． 试卷第6页（共7页） 试卷第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B C C B D D D 11． 12．1 13．（答案不唯一） 14．相似 15． 16．解：如图，直线BD即为所求． 证明：∵，， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠BCD=36°， ∴∠BCD=∠A， ∵∠C=∠A， ∴ 【分析】作∠ABC的角平分线，交AC于点D，再根据两角对应相等即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，以及三角形相似的判定，解题的关键是三角形相似的判定． 17． 证明∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】根据两直线平行内错角相等，相似三角形的判定：两组对应角分别相等的两个三角形相似；即可证明； 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定；掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 18．证明：在中，． BD平分， ， ，， ， ． ， ， ， 为线段的黄金分割点． 【分析】本题考查相似三角形，理解黄金分割点的含义是解题关键． 黄金分割点是线段之间的比例关系，可考虑证明. 【详解】略 19．(1) 解：证明：根据勾股定理，得： ，，， ，，， 即， ． (2) 解：如图所示，即为所求． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据勾股定理分别求出与各边的长，再根据三边对应成比例的两三角形相似即可判断； （2）根据三边对应成比例的两三角形相似即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 20． 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的判定和性质，理解黄金分割知识是解答关键． 根据正方形的性质和平行线的性质得到四边形是矩形，再利用矩形的性质和黄金分割来求解． 【详解】解：四边形是正方形， ． 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ． 21．半径为米 【分析】如图，延长与地面所在直线交于点，先求出得到米，再解直角三角形得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，延长与地面所在直线交于点，    根据题意可知：， ， ， ∴ 米， ， 在中，， ， ∴， 解得（米． 答：摩天轮的半径为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22．(1) (2)①； ②∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 【分析】本题考查了黄金分割，平方差公式，分母有理化，二次根式的混合运算，矩形的判定与性质，正方形的性质，准确熟练地进行计算是解题关键． （1）利用平方差公式，分母有理化进行计算，即可解答； （2）①根据黄金矩形的定义可得，然后进行计算即可解答； ②根据正方形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①∵四边形是黄金矩形，， ∴， 解得：， ∴的长为； ②略 23．(1) 如图，即为所求． (2) 如图，即为所求． (3) 解：如图，即为所求． 根据作图可得， ∵，， ∴，， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， 又， ∵，， ∴． 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确作图． （1）根据题意作即可． （2）作即可． （3）连接，作即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 根据作图可得， ∴． （2）解：根据题意可得， 根据作图可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）略 答案第6页（共7页） 答案第1页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $