3.3 相似三角形判定定理的证明-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

高效同步练习3相似 第1课时 平行 知识点①平行线分线段成比例的基本事实 1.(3分)如图，AD∥BE∥CF,若AB=3,BC=6, EF=4,则DE的长度是() 3 2 2 C.3 D.2 A/AD 04M C 6123 第1题图 第2题图 2.(3分)如图，数轴的原点0对应刻度尺的0 刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的 数是 知识点②平行线分线段成比例的基本事实的 第三章 推论 3.(3分)如图，△ABC中，点D,E分别在边AB, AC的反向延长线上，且DE∥BC。若AE=2, AC=4,AD=3,则AB为() 3 A.9 B.6 C.3 D. 2 D B4 第3题图 第4题图 4.(3分)如图，已知△ABC中，点D在AB上，点 E在AC上，DEBC。AD=2,AB=5,AE=4,则 AC= 0 5.(9分)如图，已知在△ABC中，DE∥BC,EF∥ AB,AE=2CE,AB=6,BC=9。求BF和BD的 长度。 32 15分钟同步练习，精炼高效 三角形判定定理的证明 线分线段成比例 易错点)因图形的不唯一导致漏解 6.(3分)在△ABC中，AB=6,AC=12,点D在直 线AB上，且AD=2,过点D作DE∥BC交边 AC所在直线于点E,则CE的长为 0 7.(3分)如图，五线谱是由等距离、等长度的五 条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 A,B,C都在横线上。若线段AC=9,则线段 AB的长是() A.3 B.4 C.5 D.6 A/D B E入B-L, 第7题图 第8题图 8.(3分)如图，已知11儿2∥亿3，DE=6,DF=9,那 么下列结论正确的是() A.BC EF=1:1 B.BC:AB=1:2 C.AD:CF=2:3 D.BE CF=2:3 9.(9分)如图，在△ABC中，点D为BC上一点， 点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点 M,作PN∥AB交AC于点N。 (1)若点D是BC的中点，且AP:PD=2:1,求 AM:AB的值； (2)若点D是BC上任意一点，试证明：MM AB AN AP ACAD° M 考点BS九年级数学上册 第2课时 相似三有 知识点相似三角形的判定定理的证明 1.(9分)如图，点D是Rt△ABC斜边AB上的中 点，点E位于AC边上，且∠ADE=∠B-∠A。 (1)求证：△ABC∽△CED; (2)若AD=√6，AE=1,求CE的长。 B 2.(9分)如图，在△ABC和△ADE中，DE的延 长线经过点C,且C伦41=2. (1)求证：△ABC∽△ADE; (2)若AD=4,AB=6,AC=5,求AE的长。 D B 15分钟同步练习，精炼高效扔 角形判定定理的证明 3.(9分)如图，在△ABC和△EDC 6,DE=3,BC=8,DC=4。 (1)求证：△ABC∽△EDC; (2)求AC与EC的长。 第三章 4.(9分)如图，正方形ABCD中，点F是BC边 上一点，连接AF,以AF为对角线作正方形 AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相 交于点H,连接DG。 (1)填空： 若∠BAF=18°，则∠DAG= (2)证明：△AFC∽△AGD; 《)若8影请求 行的值。 考点BS九年级数学上册 33(2)【解析1：矩形MGH∽矩形ABCD,N-阳， AB BC BC MH MH AB-NMRC=240cm,4B=120cm,MM2,由图可得，Mh =120-2a,WM=240-56.120-2 4… 240-5b 2,解得a=5 b49 第2课时比例的等比性质 1.B2.D 39 【解析小 432设=2 x y z 4=3=2=(k≠0)，则x= 4k,y=3k,z=2k,. ,2x-y+2z2×4k-3h+2×2k9 x 4k 4 4.12 5解：(1)：a=&=e a+cte 6=a=于=2，且6+d4f0,6+d42: (2)由a=ce 6=a=f=2得a=2b,c=2d,e=2f,b-5d+6f=3, a-5c+6e=2b-10d+12f=2(b-5d+6f)=2x3=6。 6.解：①当a+b+c≠0时，： 20-2b-2e 2a+2b+2c bte ate atbhbtctatetatb k心2gtkk三1：②当a+bc=0时，则a+6=-c。 -20-2c-2。综上所述，k值为1或-2。 a+b -c 7.A 3 8.解：（设a三6=6=t(t≠0），a=3t,6=4t,c=6t,代入 3c得2a+b6t+45 3c18t=9 （2)由题意知，a+b+c=91,则3t+4t+6t=91,解得t=7,∴a=21, b=28,c=42。 9.解：设-牛=+y=k(k≠0)，则yt:=x,+x=y,x+y=他， (x+y)+(x+z)+(y+z)=k(x+y+z),∴.2x+2y+2z=k(x+y+z)。. k=2,yta=2x,ztx=2y,xty=2 x+y+z 3o 高效同步练习2探索三角形相似的条件 第1课时利用两角判定三角形相似 1.D2.93.A4.相似 5.B【解析】由题意，得AP=2tcm,BQ=4tcm,:AB=8cm,BC= 16cm,∴.BP=(8-2t)cm。(1)当∠BPQ=∠C,.·∠B=∠B,∴. △0a△Mc院器若-专期将： 5(2)当 BP BQ ∠BPQ=∠A,∠B=LB,△PBQ△ABC,ABBC, 名解得1=2，除上所运的值为子表2。故选 6.证明：(1).∠ACB=90°，.∠BCD+∠ACD=90°，.CD⊥AB, .∠A+∠ACD=90°，∴.∠BCD=LA; (2).·∠ACB=90°，∴.∠BMC+∠CBE=90°，MN⊥BM,. ∠AMN+∠BMC=90°，.∠CBE=∠AMN,又由(1)可知：∠BCD =∠A,.'.△AMN∽△CBE。 7.解：(1)在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC=√6+82=10(m), ∠PCQ=∠ACB,当∠POC=LB时，△CQP∽△CBM,则P AC g即90日 108,解得=40. 13;当∠PQC=LBAC时，△CQ 的810解得=25 4c4B,则Cr=g,即10-2t 6为40 25 39 或7 时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似： (2)四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等。理由如下：作 PH⊥BC于H,则∠PHC=∠ABC,.·∠PCH=∠ACB,∴.△CPH ∽△CAB,∴. uc 6 1O-,..PH=(—)cm,当四 边形ABQP与△CPQ的面积相等时，S△Bc-S△cPw=S△cPo,即 Se=28ac. 2·t.30-6i1 =2×6×8,整理得2-5t+20 =0,此时方程无实数解，.四边形ABQP与△CPQ的面积不能 相等。 同步练习，精炼高效抓考 第2课时利用两边及夹角判定三角形相似 1.C2.C AE 1 AD 3.证明：AB=2,AD=3,AC=4,AB=6,·AC2=AB,又✉ ∠DAE=∠BAC,.△ADE∽△ABC。 4.B5.△ECA(答案不唯一) 6.(1)解：四边形ABCD是菱形，.CB=CD,:∠C=60°， △CDB是等边三角形，.DB=DC=BC=AB=4,,BE=EC,∴. DE LBC,..DE=DC2-CE2=42-22=23 (2)证明：四边形ABCD是菱形，∴.ADBC,·DE⊥BC,AF⊥ EF,∴.∠DEC=90°，∠AFE=90°，∴.∠ADG=∠DEC=∠GFE= 90°，又：LAGD=LEGF,△AGDn△EGF,EGFG,六DG AG DG AG FC,∠AGE=LDGF,△AGE△DGF. E 第3课时利用三边判定三角形相似 1.C2.A3.B4.DE 5.6 【方法指导】在网络中利用三边长判定两个三角形是否相似的 步骤：“一排二算三 判” 一排：将三角形的三边长按长短顺序 排列；二算：分别计算它们对应边（长边对长边，短边对短边）的 比值；三判：根据比值是否相等来判断两个三角形是否相似。 6.证明：D,E,F分别是0A,0B,0C的中点，DE= 2 AB,EF= BC,DF= 1 2AC,即E=EFDF1 7.(1)CD=AC AD AB BC AC2.△DEF△ABC. CD'A'C'A'D' ∠A=∠A' (2)解：△ABC与△A'B'C相似，理由如下：D-4D AB AB, AB-AD A'B'-A'D'BD B'D'BD AB CD AB -,即 AB A'B' BA'B心B'DAB。又 C'D'A'B BC CD BD BC BrC心CD BD-B'C△BDC△B'DC,LDBC= ∠D'B'C, B'CA'B△MBC∽△A'B'C。 BC AB 第4课时黄金分割 1.B2.5-13.C4B 5.25+2【解析】小四边形ABCD是正方形，.BC=CD=AB=4, 0是BC的中点，.OB=OC= 2BC=2,0D=√0C+CD =√22+42=2W5,.0E=0D=2√5，.BE=0B+0E=2+25。 6.C 7.解：(1)点D是AB边上的黄金分割点。理由如下：，·AB=AC, ∠A=36°，.∠B=∠ACB=72°。CD平分∠ACB,.∠ACD= ∠BCD=36°，∴.∠A=∠ACD,∴.AD=CD。.:∠CDB=180°-∠B -∠BCD=72°，.∠CDB=∠B,∴.BC=CD。∴.BC=AD。在 △BCD与△BCA中，LB=∠B,LBCD=∠A=36°，.△BCDM BC BD AD BD △BAC,BA-BCAB-AD点D是MB边上的黄金分 割点。 (2)直线CD是△ABC的黄金分割线。理由如下：设△ABC中， MB边上的高为h,则Saac=2AB·h,Sa4cw-2AD·h,Sancn =2BD·h。六C=AD:AB,SAcn:SAan=BD:AD.由 ),S△AcD= （1)知，点D是AB边上的黄金分割点，=ADS SACD是△ABC的黄金分剂线。 S AACD 高效同步练习3相似三角形判定定理的证明 第1课时平行线分线段成比例 1.D2.63. AD AE .10【解析DE/BC,AD=2,AB=5,AE=4,·ABAG,即5 AC,解得：4C=10。 4 CE 1 AE 2 CE 1 5.解：AB=2CE,AE2心AC3,AC3·EF/AB,BC= BS九年级数学上册 73 9g能子即=6E/acA8=60% AB AC 1 3…BD=2。 6.8或16【解析】如图1，当点D在边AB上时，.AB=6,AC= BD_CE,即 12.,AD=2,.BD=AB-AD=6-2=4,DE//BC,AB=AC 621CB=8:如图2，当点D在边AB的延长线上时，AB 4 CE 6,4C=12,AD=2,BD=AB+AD=6+2=8,DE/BC,80 记，8C =CE 6=12心CE=16CE的长为8或16。 A E、 D D E B 图1 图2 【易错提醒】解题的关键是注意分类讨论思想与数形结合思想 的应用，注意点D在边AB所在的直线上可以分为当点D在边 AB上与当点D在边AB的延长线上，小心别漏解。 7.D8.B 9.(1)解：过点D作DE∥PM交AB于E,PM∥AC,.DE∥AC, AB_CD BEBD点D为BC中点，点E是AB中点，且MA地 AE AD' AM AM 1 AB 2AE3 (2)证明：过点D作DEPM交AB于E,MM_A AE AD' 又PM∥ ACc侣C微0治0品同里可得： AN AP BD AM AN AP x(CD BD s AP AC AD BC ABAC AD BCBCAD 第2课时相似三角形判定定理的证明 1.(1)证明：·点D是斜边AB上的中点，.CD=AD=BD= 4, ∠ACB=90°，∴.∠A=∠DCE,∴.∠BDC=∠DCE+∠A=2∠A,.: LADE=LB-∠A,.∠BDC+∠ADE=2LA+∠B-∠A=∠A+ ∠B=90°，∴.∠CDE=180°-（∠BDC+∠ADE)=90°，∴.∠ACB= LCDE,·.△ABCn△CED。 (2)解：，△ABC∽△CED,∴. CD-CECE·AC=AB·CD, AC AB CD=AD=BD=√6，AE=1,∴.AB=2AD=26,AC=CE+1,.CE (CE+1)=2W6×W√6，整理得CE2+CE-12=0,解得CE=3或CE -4(不符合题意，舍去)，∴.CE的长为3。 2.(1)证明：∠1=∠2，.∠1+∠ACD=∠2+∠ACD,:∠ACB= AC ∠I+∠ACD,∠AED=L2+LACD,.LACB=∠AED,·AE DE.△ABC△ADE。 B 2》解：△16 DE.-0:A0=4,4AB=6,AC-5. AB=D·AC_4x5.10 AB 63 3.(①证明DB=3,BG=8,DC=4,AB=6,期-C2。设每 小格的长度为a,则AC=√(4a)+(6a)了=2√3a,EC= AB BC AC C2a30=3a,=0=2,000 ·EC√13a .△ABC∽△EDC: (2)解：设每小格的长度为a,则AB2=(4a)2+(2a)2=20a2,又 A8=62=36202=36,解得a=35由(1)知40=26a BC=Ba,4C=2VB×35_6v6⑤ 5 5;Bc=V13x3,5 5 3√65 5 4.解：(1)27 74 同步练习，精炼高效抓考 (2)四边形ABCD,AEFG是正方形，AC=F=2,·∠DAG +∠GAC=∠FAC+∠GAC=45°，∴.∠DAG=∠CAF,∴.△AFC ∽△AGD: BF (3)=7,设BF=k,CF=2k,则AB=BC=3k,AF √AB2+BF2=√(3k)2+k2=√10k,AC=3√2k,.·四边形AB CD,AEFG是正方形，∴.∠AFH=∠ACF,∠FAH=∠CAF,. △AFH~△ACF,Ag=FHFC_32A5 ACCF·FH/1Ok5 高效同步练习4相似三角形的性质 第1课时相似三角形中对应线段的性质 1.B2.A3.44.65.5.66.3cm 7.125【解析】设眼睛到目标的距离为xm,OE=0.5m,AB= 0.2cm=0.002m,CD=50cm=0.5m,AB∥CD,∴.△0BA 45-0E即0002_0.5 △0DC,∴CDOF' 0.5x 解得x=125。 0C20A2 8.(1)证明：0C=80cm,0D=120cm,0D=3,0B=3 OA OC OB-OD,:LA0C=∠B0D,.△A0C△B0D,.∠A= ∠OBD,∴.AC∥BD; (2)解：小红的连衣裙会碰到地面，理由如下：·EFBD,∴ OH OE △0EF△0BD,OGOB20E=BB,0B=0E+EB0B= OH OE 1 30B,心0C0B30G=30H=72cm,设点0到AC的距离 h OA 2 ,由(1)可知：△A0C∞△B0D,0G0B=3.h= =48cm,.·72+48=120<126,.小红的连衣裙会碰到地面。 第2课时相似三角形的周长和面积的性质 1.D2.C3.B 4.4【解析】SABc:Sg边形Dsc=1:3,∴.SABc:SA4DE=1:4, 22 1 △ABC∽△ADE,BC=2,.AAC=DE )=DE)= 二4。 1 5.9 6.解：(1)：△ABC△ABC,A5=1,Cac 1 C△A'g'c,=20cm×2=40cm; AB 1 (2).△ABC∽△A'B'C' A'B=2,△A'B'C'的面积是64cm2, SABC=（2 )2= 4 SAARC=64÷4=16(cm2),△4BC的 面积是16cm2。 CF CE 2 CF BD CE BD AE 7.解：(1)BF/AB,BFAE3,BF-AD AE-AD'心AC =AD 3 DE 3 AB5LA=LA,△MDE△ABC,BC亏DE= BC=9; 3 (2)由题可知Sac=2×15x8=60,:△ADE∽△ABC,且相似 9 4 比为3：5，Sa0e=25SaMc,同理可得S6car=25Sac, 2523523×60=14。 94 12 S四边形BDEr=(1 5 o 8.(I)证明：AB=AC,∴.LABC=∠ACB,:EC LBD,BC=CD, BE=DE,∴.∠EBD=∠EDB,∴.△ABD∽△FCB; AB AD BD (2)解：作ALBC于H,:△ABD∽△FCB,FC-FB-CB /BC)21 DC=BC=6S= DB=4,SAnCr=9,.SAAm=36, BD=12,∴.AH=6,,AB=AC,AH⊥BC,∴.BH=CH=3,∴.DH= 9,:EC⊥DB,.EC/AH,△DEC△DAH,AaDH6 CE DC CE 9.CE=4,.DE=√4+6=2√13。 BS九年级数学上册