专题04 用因式分解法解一元二次方程（6大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦因式分解法解一元二次方程，构建从基础方法到创新应用的系统训练，通过典例变式强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础因式分解法|1典例+3变式|提公因式法、平方差公式应用|从直接因式分解到符号处理，夯实基础运算| |十字相乘法|1典例+3变式|“拆两头，凑中间”步骤，系数与常数项分解技巧|特殊因式分解方法，提升快速解题能力| |错解还原|1典例+3变式|因式分解常见错误分析（漏根、符号错误）|通过纠错强化规范意识，深化推理严谨性| |方法选择|1典例+3变式|根据方程特征选最优解法（因式分解/公式法等）|综合应用能力，培养策略思维| |换元法|1典例+3变式|整体代换降次，多项式结构转化|拓展解题技巧，发展代数抽象能力| |新定义问题|1典例+3变式|关联方程、和谐二次根式等概念应用|创新情境下知识迁移，提升应用意识|

专题04 用因式分解法解一元二次方程 题型01 用因式分解法解一元二次方程 题型02 用十字相乘法解一元二次方程 题型03 用因式分解法解一元二次方程之错解还原问题 题型04 用合适的方法解一元二次方程 题型05 用换元法解一元二次方程 题型06 新定义问题 ▌题型01 用因式分解法解一元二次方程 【典例1】一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-1】方程的解是（） A． B． C． D． 【变式1-2】方程的根是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】方程的根是（     ） A． B． C． D． ▌题型02 用十字相乘法解一元二次方程 【典例1】阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式． 方法如下：拆两头，拆为，，拆为，， 然后排列如下：． 交叉相乘，积相加得，凑得中间项， 所以分解为． (1)用因式分解法解方程． 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (2)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【变式1-1】用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 【变式1-3】将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．所以方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为x1＝﹣7，x2＝5． 【解决问题】 （1）分解因式：x2+5x+4＝（x+　　 ）（x+　　 ）； （2）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2﹣10x+21＝0； ②2024x2+2019x﹣5＝0． ▌题型03 用因式分解法解一元二次方程中的错解还原问题 【典例1】某同学解一元二次方程的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 【变式1-1】嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解：  ……………第一步 或  ……………第二步 ，  …………………第三步 (1)嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） (2)请用正确的方法解方程． 【变式1-2】小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【变式1-3】解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． ▌题型04 选择合适的方法解一元二次方程 【典例1】用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 【变式1-1】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-2】解方程： (1)x2﹣2x﹣15＝0； (2)（x﹣3）2＝2（3﹣x）． 【变式1-3】解下列一元二次方程： (1)（x﹣4）2＝4； (2)（x+2）2＝5（x+2）； (3)x2﹣4x＝3； (4)3x2﹣7x+1＝0． ▌题型05 用换元法解一元二次方程 【典例1】阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-1】解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【变式1-2】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 【变式1-3】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使问题易于解决． 例：把因式分解． 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为 ； (2)请利用“换元法”将多项式因式分解； (3)当式子取得最小值时，求的值． ▌题型06 新定义问题 【典例1】定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 【变式1-1】规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”． (1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； (3)若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由． 【变式1-2】定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【变式1-3】新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）；②（ ）；③（ ）； (2)若数对是关于的分式方程的“友好数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“友好数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 用因式分解法解一元二次方程 题型01 用因式分解法解一元二次方程 题型02 用十字相乘法解一元二次方程 题型03 用因式分解法解一元二次方程之错解还原问题 题型04 用合适的方法解一元二次方程 题型05 用换元法解一元二次方程 题型06 新定义问题 ▌题型01 用因式分解法解一元二次方程 【典例1】一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意可得或，再求出解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 【变式1-1】方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 【变式1-2】方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 【变式1-3】方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将方程移项得， 提取公因式得， 或， 解得. ▌题型02 用十字相乘法解一元二次方程 【典例1】阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式． 方法如下：拆两头，拆为，，拆为，， 然后排列如下：． 交叉相乘，积相加得，凑得中间项， 所以分解为． (1)用因式分解法解方程． 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (2)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】(1)， ， 或， 所以，； (2) (3) 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）方程去分母转化成一元一次方程，然后求解检验即可； （3）首先解方程得到，然后得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为； （3）解：设原题中“◆”是， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 【变式1-1】用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． 【变式1-2】根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解； （3）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 【变式1-3】将x2+2x﹣35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0．所以方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0，所以原方程的解为x1＝﹣7，x2＝5． 【解决问题】 （1）分解因式：x2+5x+4＝（x+　1　 ）（x+　4　 ）； （2）试用上述方法和原理解下列方程： ①x2﹣10x+21＝0； ②2024x2+2019x﹣5＝0． 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【解答】解：（1）x2+5x+4＝（x+1）（x+4）， 故答案为：1，4； （2）①x2﹣10x+21＝0， ∴（x﹣7）（x﹣3）＝0， ∴原方程的解为x1＝7，x2＝3； ②2024x2+2019x﹣5＝0， ∴（2024x﹣5）（x+1）＝0， ∴，x2＝﹣1． ▌题型03 用因式分解法解一元二次方程中的错解还原问题 【典例1】某同学解一元二次方程的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)第②步 (2)或 【分析】不能在不确定的前提下，等式两边同时除以，否则会漏掉这个解，正确做法是移项后因式分解求解方程． 【详解】（1）第②步 （2）解：， ， 或． 【变式1-1】嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解：  ……………第一步 或  ……………第二步 ，  …………………第三步 (1)嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） (2)请用正确的方法解方程． 【答案】(1)一；因式分解法 (2)解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴或， 解得：，． 【分析】（1）对照第一步展开后的二次三项式与原方程左边不一致，即可判断出错误发生在第一步；根据 “化为两个一次因式乘积等于零” 的形式即可确定所用方法为因式分解法； （2）将原方程转化为，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，与原方程左边不相等， ∴嘉嘉的解法从第一步开始出现错误； 又∵嘉嘉将原方程转化为“两个一次因式的乘积等于零” 的形式， ∴嘉嘉所用方法为因式分解法； （2）略． 【变式1-2】小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【变式1-3】解决下列问题： (1)已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)； (2)小明的解答有错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 【分析】（1）利用根的判别式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得， ∴m的取值范围是； （2）略 ▌题型04 选择合适的方法解一元二次方程 【典例1】用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ， ， ， ，；                                         （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， 或， ，．       （3）解：， ， ， ， ， 解得，；     （4）解：， ， ， 或， 解得，． 【变式1-1】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2) 【详解】（1）解： ， ， 故原方程无实数根； （2）解： ， ， ， 或， 解得． 【变式1-2】解方程： （1）x2﹣2x﹣15＝0； （2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0， （x+3）（x﹣5）＝0， 则x+3＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝5； （2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）， （x﹣3）2+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝3，x2＝1． 【变式1-3】解下列一元二次方程： （1）（x﹣4）2＝4； （2）（x+2）2＝5（x+2）； （3）x2﹣4x＝3； （4）3x2﹣7x+1＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （4）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣4）2＝4， 则x﹣4＝±2， 所以x1＝2，x2＝6； （2）（x+2）2＝5（x+2）， （x+2）2﹣5（x+2）＝0， （x+2）（x﹣3）＝0， 则x+2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝﹣2，x2＝3； （3）x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， （x﹣2）2＝7， 则x﹣2， 所以； （4）3x2﹣7x+1＝0， Δ＝（﹣7）2﹣4×3×1＝37＞0， 则x， 所以． ▌题型05 用换元法解一元二次方程 【典例1】阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答； （2）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答． 【详解】（1）解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． （2）解：设， 原方程可化为 ，， ， ， 舍去， 当时，，， 故原方程解为． 【变式1-1】解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设 ， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 【变式1-2】阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，，， (2)，， 【分析】（1）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解； （2）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 【变式1-3】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使问题易于解决． 例：把因式分解． 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为 ； (2)请利用“换元法”将多项式因式分解； (3)当式子取得最小值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用完全平方公式继续进行因式分解即可； （2）令，依照材料提供的方法解答即可； （3）令，根据完全平方公式变形后进行解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：令，则 原式 ． （3）解：令，则原式， 当，即时原式取得最小值， 可得， 解得：，． ▌题型06 新定义问题 【典例1】定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)证明：∵ 一元二次方程为“关联方程” ， ∴，即， 把代入方程左边，得左边， ∴ 左边右边， ∴为“关联方程”的根； (2)或 【分析】由定义得，再把代入方程左边可得左边右边，即可求证； 由定义得，由是该“关联方程”的一个根得，进而得到，再解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是关于的“关联方程”， ∴， ∴， ∵是该方程的一个根， ∴， 整理得， 把代入，得， 因式分解，得， 解得或． 【变式1-1】规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”． (1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； (3)若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)能，理由如下： 由“和谐二次根式”的定义得， 整理得， 由题意得， 解得， ∴， 对于方程， ∴，，即， 符合根的判别式的要求； 当时，方程为， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 也符合根的判别式的要求； ∴与是关于x的一元二次方程的两个根． 【分析】（1）根据定义，两个代数式乘积需等于9，据此分别计算即可判断； （2）根据定义，整理得到，则，求得； （3）根据定义，整理得到，求得，得到，再利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：①，符合题意； ②，不符合题意； ③，符合题意； （2）解：由定义得：， 整理得：， 由题意得， 解得； （3）解：略 【变式1-2】定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 【变式1-3】新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）；②（ ）；③（ ）； (2)若数对是关于的分式方程的“友好数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“友好数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√；③× (2) (3)或 【分析】（1）根据定义逐一验证数对； （2）根据定义列方程求解； （3）先根据定义得到与的关系，代入目标方程化简后，结合整数解的限制条件求出整数． 【详解】（1）解：①对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴不是“友好数对”； ②对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴是“友好数对”； ③对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴不是“友好数对”； （2）∵数对是“友好数对”， ∴，， 根据定义得， 将代入分式方程，得 ， 整理得， 解得，即； （3）∵数对是“友好数对”， ∴，， 根据定义得， 将代入分式方程，得 ， 整理得， 即， 将代入方程，得， 两边同乘得， 整理得， ∵， ∴， ∴，即， ∵方程有整数解，为整数， ∴为整数，即是2的整数约数， ∴或， 解得，，，， ∵，且时，不符合的条件， ∴或． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $