周测01 一元二次方程的概念与解法 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 围绕一元二次方程核心概念与解法，整合多地区期中期末及中考真题，通过文化传承（如《几何原本》图解法）、社会热点（文创购物问题）等创新情境，实现基础巩固与能力提升的梯度考查，培养抽象能力、几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|概念、一般式、配方、根的判别式|第8题结合《几何原本》图解法，体现数学文化与几何直观| |填空题|6/18|方程根、判别式应用|第9题直接应用根的定义，源自中考真题，强化基础| |解答题|6/58|解法、根的判别式证明、换元法、实际应用|第19题文创购物问题培养应用意识，第20题坐标几何综合考查抽象能力与创新意识|

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册 周测 周测01 一元二次方程的概念与解法 （考试时间：45分钟，分值：60分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2．（2026·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 3．（2026·山东济南·中考真题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 4．（2026·广东广州·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 6．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 8．（25-26八年级下·北京昌平·期末）一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 9．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【答案】， 【分析】先根据一元二次方程的定义，列方程与不等式，解得，得到该一元二次方程为，再解该方程即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得， 该一元二次方程为， 整理，得， ， ，． 10．（25-26八年级下·山东威海·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________． 【答案】且 【分析】，一元二次方程的二次项系数不为，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于，据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得， 综上可得的取值范围是且． 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11．（12分）（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得；………………3分 （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得；………………3分 （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得；………………3分 （4）解：， ， ， 整理得，即或， 解得．………………3分 12．（8分）（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 【答案】(1)见详解 (2)整数的值为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【详解】（1）证明： ………………1分 ． 方程总有两个实数根………………3分 （2）解：方程可化为， 解得：，， ………………4分 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， ………………6分 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为．………………8分 13．（10分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见详解 (3) 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知： 是“勾系一元二次方程”．………………2分 （2）证明：由题意可知：， ，………………3分 ，………………5分 ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．………………6分 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，    ………………7分 ， ， ，即， ，………………9分 ， ．………………10分 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册周测 周测01一元二次方程的概念与解法 (考试时间：90分钟，分值：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.(25-26八年级下·安徽合肥期末)下列是一元二次方程的是()· A.3x+1=0 B.ax2+bx+c=0 C.3+t+1=0 D.2+=2 2.(25-26八年级下安徽六安期末)将一元二次方程3x2=-2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系 数、常数项分别是() A.3,-2,-1 B.3,-2,1 C.3,2,1 D.3,2,-1 3.(25-26八年级下·安徽安庆·期末)一元二次方程x2+8x+2=0,配方的结果是() A.(x+4)}'=18 B.(x+4)}=14 C.(r-4)}2=18 D.(（x-4)}2=14 2x2+V3x-1=0 4.(25-26八年级下山西大同期末)关于x的一元二次方程 的根的情况() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 5.(25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测)关于x的一元二次方程ax2+br+c=0满足4a-2b+c=0,且有 两个相等的实数根，则下列结论正确的是() A.2a-c=0 B.4a+b=0 C.b=c D.b=4 a b =ad-bc 6.(25-26九年级下山东烟台期中)对于任意4个实数a,b,c,d定义一种新的运算cd ,例如： 115 43=4x6-2x1=22 x 4 =0 16 则关于x的方程2x-4的根的情况为() A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无实数根 7.(25-26九年级上福建龙岩·阶段检测)若x=2025是关于x的方程ax2+bx+1=0的一个根，则关于x 的方程(x-2+x-26=-1必有一个根为《) A.2023 B.2024 C.2025 D.2027 8.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的 方程的图解法是：如图1，以和6为两直角边作1△1BC,再在斜边上截取BD-号，则AD的长就 是所求方程的正根.若关于x的一元二次方程x2+2=36,按照图1的图解法构造图2，在Rt△ABC SANCD.=1 中，∠ACB=90°，连接CD,若S△4cD2,则k的值是() B D B D 图1 图2 3v2 A.1 B.√2 C.5 D.2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.(2026广东中考真题)已知方程x2+3x+c=0的一个根是1，则c=一· 10.(2026广东肇庆·二模)若关于x的一元二次方程3x2-2x-m=0有实数根，则m的值可以是 215 (写出一个即可). 11.(2026西藏拉萨·模拟预测)关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为- 12.(25-26八年级下浙江杭州期末)若6≠0 是关于x的方程r+ar+56=0的一个根，则a+b的值 为 1B.（25-26八年级下陕西西安期末)已知关于x的一元二次方程（m-2列+2x+1=0 两个相等的实数 根，则的值为一· 4.(25-26九年级下山东烟台~期末)已知a是方程r2-2026r+1=0的-个根，则口-2026a'-2026 a2+1- 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15.(12分)(26-27九年级上山东聊城开学考试)用适当的方法解下列一元二次方程： 1)4(6x-5)}2=16 2)(3x-5)=6x-10 6)x2+4x+1=0 ④3r+2x-3=0 16。(（8分)(25-26八年级下安徽六安阶段检测)已知关于*的一元二次方程+(-3)r-2k+1=0, (I)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知x=1是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根. 17.(8分)(25-26九年级上·福建漳州·期中)阅读理解材料：已知实数m,n满足m-m-1=0, n m n2-n-1=0:且m≠n根据材料.求m+n的值. 315 解：由题意，可得：，n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：m+n=1,mn=-1, n+m_m2+n2_（m+n)2-2mn1+2 =-3 ..m n mn mn -1 解决以下问题： 1+1 1)若方程x2-4x-3=0的两个实数根为，五，则五一 ②)已知实数m,n满足m-3m+1=0,n-3n+1=0,且m≠n,求m-2n-2) 的值 9+p+1 3)已知实数p,q满足p2=3p+2,2g=1-39,且p9≠1，求 9的值. 18.(10分)(25-26八年级下·山东济南期末)换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数 称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原 来的式子，使问题易于解决， 例：把（r-2x0r-2x+2)+1 因式分解. 方法一：整体换元 解：把。-2x”看成一个整体，令 2-2x=y 原式=(0+2)+1=y+2y+1=(y+1}=(x2-2x+1 方法二：均值换元 解：把“x2-2x+1”看成一个整体，令x2-2x+1=t. 原式=(-+)+1=2-1+1=P=(x2-2x+1月 (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为 请利用“换元法”将多项式+6+2川r+6x+16)+49因式分解， 6③)当式子π+3训㎡+3n+4)+5取得最小值时，求n的值. 415 19.(10分)(25-26八年级下·山西晋中·期末)山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心 研发了一系列特色的文创产品，其中“卣06)，趣系列 （xiao） 卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛 绒玩具频受广大游客喜爱.某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售， 己知每个鹗卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鹗卣毛毡背包的数量 比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个. 鹗卣毛毡背包 鸟尊毛绒玩具 (I)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元： (2)该网店决定用1500元购进鹗卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鹗卣 毛毡背包数量的一半，则购进鹗卣毛毡背包至少多少个？ 20.(10分)(25-26八年级下四川成都期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=2x+6分别与 x轴，'轴交于A,B两点，点C坐标为mn)且m,n满足m-4+n-2=0 备用图 (1)求点A,B,C的坐标： (②)将线段AB沿y轴正方向平移1个单位长度到线段DE,连接CD,CE, ①当△CDE面积为24时，求直线DE的函数表达式： ②在移动过程中，∠CED能否等于45°？若能，求出此时CE的长；若不能，请说明理由. 5152026-2027学年度苏科版数学九年级上册周测 周测01一元二次方程的概念与解法 (考试时间：45分钟，分值：60分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1.(25-26八年级下·湖南长沙期末)下列方程中，是一元二次方程的是（) A.x+y=2 B.x-1- C.x2-13=0 D.2x+1=0 2。(2026四川雅交一模)若关于x的一元=次方程r+r+3=0(a≠0) 的一个根是x=2,则 2026-4a-2b=() A.2029 B.2023 C.-2029 D.2025 3.(2026山东济南中考真题)若关于x的方程x2-4x-m=0有实数根，则实数m的取值范围是() A.m≤4 B.m<4 C.m≥-4 D.m>-4 4.(2026广东广州中考真题)已知关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为 () A.-1 B.1 C.-4 D.4 5.(25-26八年级下浙江宁波期末)定义运算：a※b=a2-2ab,例如a=-1,b=2时， (-1)※2=(-1)-2×(-1)×2=5 若关于x的方程※2=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 () A.m>-4 B.m<-4 C.m>-1 D.m<-1 6.(2026四川宜宾中考真题)已知方程x2-9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的 面积是() A.4 B.5 C.6 D.7 113 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.(25-26八年级下安徽蚌埠期末)已知m是关于x的方程x2+2x-3=0的一个根，则2m2+4m+5= 8.(25-26八年级下·北京昌平·期末)一元二次方程x2-2x=0的解为 9.(2026山东济宁三模)关于￥的方程m+(m-1)r-2=0如果是一元二次方程，则其解为 10.(25-26八年级下·山东威海期末)若关于x的一元二次方程ax+2x-3=0有两个不相等的实数根， 则a的取值范围是 三、解答题：本题共3小题，共30分。 11.(12分)(26-27九年级上山东青岛开学考试)解方程： )+1)2-4=0 (直接开平方法) 2r-2x-8=0 (配方法) 6)2r2-3-1=0 公式法)· ④3(x-2》=(x-2）(因式分解法) 12.(8分)(26-27九年级上·北京海淀·开学考试)已知关于x的一元二次方程 mx2-(3m+1)x+2m+1=0(m≠0) (I)求证：对于任意非零实数m,该方程总有两个实数根： (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数m的值. 13.(10分)(25-26八年级下·山东烟台期末)【新定义】如图.四边形ACDE是证明勾股定理时用到的 一个图形.a、b、c是Rt△ABC和Rt△EDB的边长，易知AE=V2c.这时我们把关于x的形如 213 ax2+2cx+b=0 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”. E 2e A e b c C Bb D 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程” (一个即可)； ②求证：关于x的“勾系一元二次方程”ar+V20x+b=0 有实数根： O)若=-l是“勾系一元二次方程”ar+vbcr+h=0 一个根，且四边形 的周长是W2 ACDE ,求 △ABC的面积. 3/3 2026-2027学年度苏科版数学九年级上册 周测 周测01 一元二次方程的概念与解法 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为且二次项系数不为，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故不满足题意； 选项B：中，未说明，若则不是一元二次方程，故不满足题意； 选项D：中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故不满足题意； 选项C：中，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数，满足一元二次方程的所有条件，故满足题意． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 4．（25-26八年级下·山西大同·期末）关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 6．（25-26九年级下·山东烟台·期中）对于任意4个实数定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，先根据新定义运算整理出关于x的一元二次方程，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况即可. 【详解】解：根据新运算的定义，得 整理得 ∵ ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根； 7．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程，根据题意得到，从而得到． 【详解】解：关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程， 是关于x的方程的一个根， ， 解得， 关于x的方程必有一个根为． 故选：D． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1的图解法构造图2，在中，，连接，若，则的值是（     ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程系数确定直角三角形两直角边的长度，利用等高三角形面积比等于底边比，求出斜边与参数的关系，最后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ． ，且与等高， ， ， ． ， 在中，， ，即， 解得，，（不符合题意，舍去）， 的值是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 10．（2026·广东肇庆·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 11．（2026·西藏拉萨·模拟预测）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项，且方程有两个相等的实数根， ， 解得． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）若是关于x的方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入方程，对等式左边因式分解，结合的条件，即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴把代入方程得， 整理得：， ∵， ∴，即． 13．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． ，符合题意， 故m的值为． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 三、解答题：本题共6小题，共58分。 15．（12分）（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程． （2）利用因式分解法解一元二次方程． （3）利用配方法解一元二次方程． （4）利用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ，．………………3分 （2）解： 或 ，．………………3分 （3）解： ，．………………3分 （4）解： 根据题意可知，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 利用公式法解方程得 ，．………………3分 16．（8分）（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)见详解 (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）证明：由题意得：，………………2分 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．………………4分 （2）解：将代入方程可得，解得，………………6分 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为．………………10分 17．（8分）（25-26九年级上·福建漳州·期中） 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，，则______． (2)已知实数m，n满足，，且，求 的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，熟练掌握根与系数的关系． （1）根据根与系数得，，再将所求式子变形为，即可整体代入求值； （2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得到，，接着把利多项式乘多项式法则展开，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则p、可看作方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，，然后将所求式子变形为，利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：；………………2分 （2）解： ，，且， 、可看作方程的两个不等的实数根，   ，，………………4分 ；………………5分 （3）解：，即， ， ∴方程两边除以得：，………………6分 ，即，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ．………………8分 18．（10分）（25-26八年级下·山东济南·期末）换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使问题易于解决． 例：把因式分解． 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为_______； (2)请利用“换元法”将多项式因式分解； (3)当式子取得最小值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用完全平方公式继续进行因式分解即可； （2）令，依照材料提供的方法解答即可； （3）令，根据完全平方公式变形后进行解答即可． 【详解】（1）解：；………………2分 （2）解：令，则 原式………………4分 ．………………6分 （3）解：令，则原式，…………8分 当，即时原式取得最小值， 可得， 解得：，．………………10分 19．（10分）（25-26八年级下·山西晋中·期末）山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣”趣系列鸮卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个． (1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； (2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少个？ 【答案】(1)每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元 (2)购进鸮卣毛毡背包至少个 【分析】（1）设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元，根据“现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个”列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个，根据“购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半”列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元， 由题意可得：，………………2分 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意；………………4分 ∴， ∴每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元；………………5分 （2）解：设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个， 由题意可得：，………………8分 解得：， ∴购进鸮卣毛毡背包至少个．………………20分 20．（10分）（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点坐标为且m，n满足． (1)求点A，B，C的坐标； (2)将线段沿轴正方向平移个单位长度到线段，连接，． ①当面积为24时，求直线的函数表达式； ②在移动过程中，能否等于？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②见详解 【分析】（1）分别令，，可求出点A，B的坐标，再由非负数的性质，可求出m，n的值，可得到点C的坐标； （2）①设交y轴于点F，根据平移的性质可得，，再求出直线的解析式，可得，从而得到，再由面积为24，可求出t的值，即可求解； ②过点D作于点G，可得为等腰直角三角形， 再由，，可得， ，在中，利用勾股定理可得，可求出t的值，即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴；………………2分 （2）解：①如图，设交y轴于点F， ∵将线段沿轴正方向平移个单位长度到线段，点， ∴，， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：，………………4分 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴，………………5分 ∵面积为24， ∴，解得：， ∴将线段沿轴正方向平移4个单位长度到线段， ∴直线的函数表达式为；………………6分 ②能等于， 如图，过点D作于点G， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，………………8分 ∴， ∴， 在中，， ∴，………………9分 解得：（舍去）， ∴．………………10分 / 学科网（北京）股份有限公司 $