2.2一元二次方程的解法（第6课时根的判别式）同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本练习围绕一元二次方程根的判别式，通过基础巩固、知识综合到跨情境探究的三层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|判别式计算与根的情况判断|如单选题1-2直接考查判别式值及根的个数，填空题7-10强化概念理解| |中档|知识综合应用|如单选题3-5结合一次函数、方程解的定义，填空题11-14涉及参数取值与根的关系| |综合|跨情境综合探究|如解答题20-21结合勾股定理、几何证明，培养推理能力与模型意识|

2.2一元二次方程的解法（第6课时 根的判别式）同步练习 一、单选题 1．下列关于一元二次方程的说法正确的是（  ） A．该方程只有一个实数根 B．该方程只有一个实数根 C．该方程的实数根为， D．该方程的实数根为， 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 4．在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了，有两个相等的实数根，则原方程（  ） A．没有实数根 B．无法判断根的情况 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．已知三个实数a，b，c满足a＋b﹣c＝0，3a＋b﹣c＞0，则关于x的方程ax2﹣cx＋b＝0的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有且只有一个实数根 C．两个实数根 D．无数个实数根 6．定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 7．一元二次方程的判别式的值为______． 8．若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 9．若一元二次方程的两根分别为，，则_________．（填“＝”或“≠”） 10．写一个关于x的一元二次方程，使得这个方程有两个相等的实数根，你写的方程是______．（写出一个即可） 11．关于x的一元二次方程有实数根，则c的最小整数值是___________． 12．已知关于x的方程①与②，若方程①的一个根是方程②的一个根的2倍，则________． 13．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 14．小刚在解关于x的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的值小2，则原方程的根的情况是______． 三、解答题 15．解下列方程． (1) (2) 16．不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)； (2)； (3)． 17． 已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 19．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 20．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当，时，写出该“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 21．已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.2一元二次方程的解法（第6课时 根的判别式）同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D D D C C 1．D 【分析】用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：， ， 故原方程有两个不相等的实数根， 解得，． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉一元二次方程根的判别式，以及学会解一元二次方程． 2．D 【分析】计算一元二次方程根的判别式的值，根据与的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 3．D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 4．D 【分析】本题考查用判别式法判断一元二次方程的根，由一元二次方程根的判别式求出，代入原方程，再利用判别式判定即可得到答案，熟练掌握用判别式法判断一元二次方程的根的情况是解决问题的关键． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴原方程为， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 5．C 【分析】利用，得到，，由于△，则根据判别式的意义可判断方程根的情况． 【详解】解：，， ，， 即， 方程ax2﹣cx＋b＝0为一元二次方程， △， 方程有两个实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 6．C 【分析】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果． 【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为． ① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误； ② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确； ③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④ 若是的根，则， ， ，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确； ⑤ 原的“倒方程”为， 是“倒方程”的根， ， 对所求式变形：，故⑤正确． 综上，正确结论共4个，故选C． 7．16 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：16． 8．（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查根据判别式判断根的情况，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴原方程有两个不相等的实数根，即， 故答案为：． 10．（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ∴符合题意的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 11．-2 【分析】由方程有实数根可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围，取其内的最小整数即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴△=32-4（-c）=9+4c＞0， 解得：c＞， c的最小整数值是-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 12． 【分析】根据一元二次方程根的判别式求得的范围，根据一元二次方程解的定义，以及题意，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设的一个根为， ∴， ∵方程①的一个根是方程②的一个根的2倍， ∴的一个根为， ∴， ∴， 解得：， ∵有实根， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，综合运用以上知识是解题的关键． 13． 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为，即或，②底边长为，即，分别结合一元二次方程根的性质求出的值，再利用三角形三边关系验证，舍去不符合条件的结果，得到的最终值． 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时， ，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根， 将代入方程得， 解得， 当时，方程为 因式分解得， 解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边， 不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式， 解得， 此时方程为， 解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，． 14．没有实数根 【分析】依题意可知，是方程的一个根，代入可求出的值，再根据根的判别式得到原方程的根的情况． 【详解】解：依题意可知，是方程的一个根， ， ， 原方程为， ， 故原方程没有实数根． 故答案为：没有实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 15．(1) (2)无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程，涉及因式分解法和判别式的意义： （1）先移项得，再提公因式，得，再进行计算，即可作答． （2）先化为一般式，得，根据，代入计算，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： 则； （2）解： 故， 则该方程无实数根． 16．(1)方程有两个不相等的实数根 (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程没有实数根 【分析】（1）求出该方程根的判别式，再判断正负，即可解答； （2）求出该方程根的判别式，再判断正负，即可解答； （3）求出该方程根的判别式，再判断正负，即可解答； 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：， ∵． ∴． ∴方程有两个相等的实数根． （3）解：， ∵． ∴． ∴方程没有实数根． 【点睛】本题主要考查了根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，解题的关键是掌握给出一个一元二次方程，不解方程，可由的值的符号来判断方程根的情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 17．证明： ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【详解】略 18．(1)见解析 (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，配方后利用完全平方的非负性证明判别式恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入原方程求出的值，再将代回方程求解即可得到另一个根． 【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 19．(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 20．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据勾股定理求出的值，再代入方程求解即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴“勾系一元二次方程”为：； （2）根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 21．(1)该方程有两个不相等的实数根 (2)①证明：∵的长是该方程的一个根， ∴．即．① ∵， ∴．② ①+②，得． ∴． ②解：在线段靠近的三等分点处，即． ∵， ∴． ∴． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，得出，即可求解； （2）①根据的长是该方程的一个根，得出，结合已知，进而得出 ②根据，，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴该方程有两个不相等的实数根． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $