专题03 一元二次方程的概念 专项练习-2026-2027学年苏科版上册九年级上册数学

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念的系统性建构，通过六大题型18道题实现从定义理解到参数计算、解的应用的逻辑递进，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义|3道|概念辨析与构造|概念生成基础，明确“一元二次”核心要素| |一般式|3道|形式转化与系数识别|定义的形式化表达，为后续应用奠基| |求参数|3道|条件限制下的参数求解|深化定义理解，强化推理意识| |判断解|3道|解的验证与性质应用|连接方程与解的关系，培养应用意识| |由解求参数|3道|代入法求参数及化简求值|解的性质的逆向应用，提升运算能力| |解的估算|3道|数值分析与范围确定|实际问题中方程解的探索，发展模型意识|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题03 一元二次方程的概念（六大题型18道题） 目录 知识点一一元二次方程的定义 1 知识点二化成一元二次方程的一般式 2 知识点三由一元二次方程的定义求参数 5 知识点四判断是否是一元二次方程的解 5 知识点五由一元二次方程的解求参数 7 知识点六一元二次方程的解的估算 9 知识点一一元二次方程的定义 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【解答】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 2．已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【解答】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式为正数，且二次项系数不为零，二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，据此解答即可 【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 则且， 故答案为：且． 知识点二化成一元二次方程的一般式 4．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【解答】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 5．把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【解答】解： ， 原方程化为一般形式为． 6．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2），二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3），二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4），二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【解答】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 知识点三由一元二次方程的定义求参数 7．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【解答】解：由题意得：，且， 解得：． 8．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是________ 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义得出，再求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程未知数的最高次数为2且二次项系数不为零是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列关于m的方程求解即可． 【解答】解：根据一元二次方程的定义可得： ，解得：． 所以当时，该方程是一元二次方程． 知识点四判断是否是一元二次方程的解 10．若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【解答】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 11．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【解答】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 12．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； （2）已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】（1） （2）， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【解答】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 知识点五由一元二次方程的解求参数 13．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 【解答】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 14．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【答案】 【分析】把代入方程得到，再整体代入求值即可． 【解答】解：根据题意，把代入方程得， ， 整理得，， ． 15．先化简，再求值； （1），其中是方程的根． （2），其中，． 【答案】（1） 化简结果为，值为 （2） 化简结果为，值为 【分析】（1）利用方程的解的定义得到，整体代入化简式即可； （2）约分后得到最简式，再代入的值计算即可； 【解答】（1）解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴原式． 知识点六一元二次方程的解的估算 16．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【解答】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 17．设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【解答】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 18．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． （1）请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． （2）通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】（1）见解析 （2）矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【解答】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题03 一元二次方程的概念（六大题型18道题） 目录 知识点一一元二次方程的定义 1 知识点二化成一元二次方程的一般式 1 知识点三由一元二次方程的定义求参数 2 知识点四判断是否是一元二次方程的解 2 知识点五由一元二次方程的解求参数 3 知识点六一元二次方程的解的估算 4 知识点一一元二次方程的定义 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 知识点二化成一元二次方程的一般式 4．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．把方程化为一般形式是__________． 6．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点三由一元二次方程的定义求参数 7．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 8．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是________ 9．方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 知识点四判断是否是一元二次方程的解 10．若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 11．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 12．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； （2）已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 知识点五由一元二次方程的解求参数 13．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 14．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 15．先化简，再求值； （1），其中是方程的根． （2），其中，． 知识点六一元二次方程的解的估算 16．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 17．设方程的正根介于整数与之间，则____________． 18．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． （1）请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． （2）通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 学科网（北京）股份有限公司 $