1.2二次函数的图象同步训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上二次函数图象同步练，分层设计清晰，从基础概念到综合应用，通过描点画图、特征分析、实际问题解决，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识点|y=ax²、y=a(x-m)²+k、y=ax²+bx+c的图象画法及特征|基础题（描点、填空）巩固概念，如画出y=(1/3)x²图象，直接考查几何直观| |能力提升|图象平移、性质综合应用|中档题（选择、计算）提升推理能力，如判断函数图象对称性，培养运算能力| |学以致用|实际情境问题（拱桥、隧道等）|情境题（面积、距离计算）培养模型意识，如隧道截面抛物线应用，体现数学与现实联系|

数学 · 九年级上 1.2 二次函数的图象(1)　同步训练 知识点一：二次函数 y=ax2(a≠0)的图象画法及特征 1．用描点法在下图中画出函数 y=(1/3)x2 的图象。 (1)列表。 (2)描点。 (3)连线。 2．观察第1题图中二次函数 y=(1/3)x2 与 y=−(1/3)x2 的图象，填空： (1)二次函数 y=(1/3)x2 的图象是一条＿＿＿＿＿＿，开口向＿＿＿＿＿＿，对称轴为＿＿＿＿＿＿，顶点坐标为＿＿＿＿＿＿，图象上的点(除顶点外)都在 x 轴的＿＿＿＿＿＿方。 (2)二次函数 y=(1/3)x2 与 y=−(1/3)x2 的图象关于＿＿＿＿＿＿对称，二次函数 y=(1/3)x2 的图象可以由 y=−(1/3)x2 的图象作＿＿＿＿＿＿变换得到。 3．若点 A(−3,m) 在二次函数 y=2x2 的图象上，则 m 的值是＿＿＿＿＿＿。 4．若抛物线 y=ax2 与 y=2x2 形状相同，则 a 的值为＿＿＿＿＿＿。 5．已知点 A(−2,−8) 在二次函数 y=ax2(a≠0) 的图象上。 (1)求 a 的值和这个二次函数的表达式。 (2)说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置。 (3)点 B(−1,−4)，点 C(2,−8) 是否在题(1)中的图象上？说明理由。 知识点二：二次函数 y=ax2(a≠0)的图象特征应用 6．在同一坐标系中画出 y1=2x2，y2=−2x2，y3=(1/2)x2 的图象，正确的是（ ） 7．(2025·宁津月考)关于二次函数 y=3x2 的图象，下列说法错误的是（ ） A. 它是一条抛物线 B. 它的开口向上，且关于 y 轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与 y=−3x2 的图象关于 x 轴对称 8．若正方形的边长为 x，则它的面积 y 与边长 x 的函数关系可表示为（ ） 9．小球从离地面 h(m) 的高处自由下落，落到地面所用的时间为 t(s)。经过实验，发现 h 与 t2 成正比例关系，而且当 h=20 时，t=2。试用 h 表示 t，并求当 h=25 时，小球落地所用的时间。 能力提升 10．(2025·西湖月考)若二次函数 y=(2−a)x2 的图象开口向下，则 a 的取值情况是（ ） A. a>2 B. a≠2 C. a<2 D. a=2 11．若 a≠0，b<0，则一次函数 y=ax+b 和二次函数 y=ax2 的图象可能是（ ） 12．如图，正方形的边长为 4，以正方形的对称中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数 y=(1/3)x2 与 y=−(1/3)x2 的图象，则涂色部分的面积是＿＿＿＿＿＿。 13．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为 y=−(1/16)x2，当水面离桥拱顶的高度 OC 是 4 m 时，水面的宽度 AB 为＿＿＿＿＿＿m。 学以致用 14．如图，A，B 两点在 y=(1/4)x2 的图象上。已知 A，B 两点的横坐标分别为 −2，4，直线 AB 交 y 轴于点 C，连结 OA，OB。 (1)求直线 AB 的函数表达式。 (2)求△AOB 的面积。 (3)若函数 y=(1/4)x2 的图象上存在点 P，使△PAB 的面积等于△AOB 的面积的一半，则这样的点 P 共有＿＿＿＿＿＿个。 参考答案 知识点一：二次函数 y=ax2(a≠0)的图象画法及特征 1．(1)3，4/3，1/3，0，1/3，4/3，3 (2)(3)略 2．(1)抛物线 上 y轴(或直线x=0) (0,0) 上 (2)x轴 关于x轴的轴对称 3．18 4．±2 5．(1)把点 A(−2,−8) 代入 y=ax2，解得 a=−2。所以 a 的值为 −2，二次函数的表达式为 y=−2x2。(2)这个二次函数的顶点坐标为(0,0)，对称轴为 y 轴，开口方向向下，除顶点外，图象位于 x 轴的下方。(3)当 x=−1 时，y=−2≠−4；当 x=2 时，y=−8。所以点 B 不在该图象上，点 C 在该图象上。 知识点二：二次函数 y=ax2(a≠0)的图象特征应用 6．D 7．C 8．D 9．因为 h 与 t2 成正比例关系，所以设 h=kt2。因为当 h=20 时，t=2，所以 20=22k，解得 k=5。所以函数的表达式为 h=5t2。所以当 h=25 时，t2=5，解得 t=±√5。因为 t≥0，所以 t=√5。所以当 h=25 时，小球落地所用的时间为 √5 s。 能力提升 10．A 11．C 12．8 13．16 学以致用 14．(1)因为 A，B 两点在 y=(1/4)x2 的图象上，A，B 两点的横坐标分别为 −2，4，所以 A(−2,1)，B(4,4)。设直线 AB 的函数表达式为 y=kx+b。由题意，得 {−2k+b=1, 4k+b=4}，解得 {k=1/2, b=2}。所以直线 AB 的函数表达式为 y=(1/2)x+2。(2)在 y=(1/2)x+2 中，令 x=0，则 y=2，所以点 C 的坐标为(0,2)。所以 OC=2。所以 S△AOB=S△AOC+S△BOC=(1/2)×2×2+(1/2)×2×4=6。(3)4 解析：如图，过 OC 的中点，作 AB 的平行线交抛物线于点 P1，P2，此时△P1AB 的面积和△P2AB 的面积等于△AOB 的面积的一半；作直线 P1P2 关于直线 AB 的对称直线，交抛物线于点 P3，P4，此时△P3AB 的面积和△P4AB 的面积等于△AOB 的面积的一半，所以这样的点 P 共有 4 个。 数学 · 九年级上 1.2二次函数的图象（2）　同步训练 知识点一 二次函数 y=a(x-m)2+k 的图象及特征 1．二次函数 y=a(x+m)2+k 的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是 ( ) A. m<0,k<0 B. m<0,k>0 C. m>0,k<0 D. m>0,k>0 2．关于二次函数 y=-2(x-1)2+6，下列说法正确的是 ( ) A. 图象的对称轴是直线x=-1 B. 顶点坐标为(-1,6) C. 当x=1时，y取得最大值，且最大值是6 D. 图象开口向上 3．若二次函数 y=2(x-1)2-1 的图象如图所示，则坐标原点可能是 ( ) A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 4．请写出一个开口向上，顶点坐标为(2,1)的抛物线的表达式：＿＿＿＿＿＿。 5．写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y=x2-7。(2)y=-5(x+1)2。(3)y=1-(-x)2。 知识点二 抛物线的平移 6．(2025·嘉兴月考)将抛物线 y=x2+2 先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是 ( ) A. y=(x+3)2+8 B. y=(x+3)2-3 C. y=(x-3)2+8 D. y=(x-3)2-3 7．函数 y=-3(x-1)2+1 的图象是由y=-3x2向＿＿＿＿＿＿平移＿＿＿＿＿＿个单位长度，再向＿＿＿＿＿＿平移＿＿＿＿＿＿个单位长度得到的。它的对称轴为直线＿＿＿＿＿＿，顶点坐标为＿＿＿＿＿＿。 8．若抛物线 y=ax2+b 经过点(1,2)与点(,0)。(1)求a,b的值。(2)若把此抛物线向右平移3个单位长度，求此时抛物线的顶点坐标。 知识点三 根据二次函数图象的顶点坐标求函数表达式 9．顶点是M(-2,1)，且图象经过原点的二次函数表达式是 ( ) A. y=(x-2)2+1 B. y=-(x+2)2+1 C. y=(x+2)2+1 D. y=(x-2)2+1 10．若抛物线 y=a(x-h)2 的形状与抛物线 y=-2x2 的形状相同，且顶点坐标为(-2,0)，则a+h=＿＿＿＿＿＿。 11．已知抛物线的顶点坐标是(-1,2)，且经过点(-2,4)，求该抛物线的函数表达式。 能力提升 12．二次函数 y=a(x-2)2+c 与一次函数 y=cx+a 在同一坐标系中的大致图象是 ( ) 13．如图，将抛物线 y1=-x2+2 向右平移1个单位长度得到抛物线 y2。解答下列问题： (1)抛物线 y2 的表达式为＿＿＿＿＿＿。 (2)涂色部分的面积为＿＿＿＿＿＿。 (3)若抛物线 y3 与抛物线 y2 关于原点O成中心对称，则抛物线 y3 的开口方向＿＿＿＿＿＿，顶点坐标为＿＿＿＿＿＿。抛物线 y3 的表达式为＿＿＿＿＿＿。 14．某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB(单位:米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O。已知AB=8米，设抛物线的表达式为 y=ax2-4。 (1)求a的值。 (2)C(-1,m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为D，连结CD,BC,BD，求△BCD的面积。 学以致用 15．数学活动课上，小书在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究。图①是二次函数 y=(x-a)2+(a为常数)在a=-1,0,1,2时的图象。当a取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”。小书发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上! (1)小书在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为＿＿＿＿＿＿。 (2)如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P(2,4)。将此二次函数图象沿着题(1)中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1,P1。若点P1到x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式。 参考答案 1．A 2．C 3．A 4．y=2(x-2)2+1(答案不唯一) 5．(1)开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,-7)。(2)开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1,0)。(3)开口向下，对称轴为直线x=，顶点坐标为(,1)。 6．B 7．右 1 上 1；对称轴为直线x=1；顶点坐标为(1,1)。 8．(1)把(1,2),(,0)代入y=ax2+b，得{a+b=2,3a+b=0}，解得{a=-1,b=3}。(2)抛物线表达式为y=-x2+3，向右平移3个单位长度后得y=-(x-3)2+3，此时顶点坐标为(3,3)。 9．B 10．0或-4 11．设y=a(x+1)2+2，把(-2,4)代入得4=a(-2+1)2+2，解得a=2，所以y=2(x+1)2+2。 12．B 13．(1)y2=-(x-1)2+2。(2)2。(3)开口向上，顶点坐标为(-1,-2)，y3=(x+1)2-2。 14．(1)由AB=8得OB=4，B(4,0)，代入y=ax2-4得16a-4=0，解得a=。(2)y= x2-4，令x=-1得m=-，C(-1,-)，D(1,)，S△BCD=×4×+×4×=15(平方米)。 15．(1)y= x。(2)点P1到x轴距离为5，抛物线沿直线向上平移1个单位或向下平移9个单位，顶点O1为(3,1)或(-27,-9)，所以表达式为y=(x-3)2+1或y=(x+27)2-9。 数学 · 九年级上 1.2 二次函数的图象(3)　同步训练 知识点一：二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及其特征 1．(2025·普陀期中)将二次函数 y=x2−6x+5 化成 y=a(x−m)2+k 的形式，结果正确的是（ ） A. y=(x−3)2+4 B. y=(x−6)2−3 C. y=(x−6)2+5 D. y=(x−3)2−4 2．二次函数 y=−x2+6x−8 的图象的顶点坐标是（ ） A. (−3,1) B. (3,1) C. (3,−1) D. (−3,−1) 3．若抛物线 y=(1−k)x2+3x 的开口向下，则 k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 4．若抛物线 y=x2+bx+3 的对称轴为直线 x=2，则 b=＿＿＿＿＿＿。 5．若二次函数 y=mx2+(m−1)x+m−1 的图象有最低点，且最低点的纵坐标是 0，则 m=＿＿＿＿＿＿。 6．已知二次函数 y=x2−4x+3。 (1)用配方法将其化为 y=a(x−h)2+k 的形式。 (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象。 知识点二：抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的平移 7．二次函数 y=2x2−8x+9 的图象可由 y=2x2 的图象怎样平移得到（ ） A. 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B. 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C. 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D. 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 8．把抛物线 y=−2x2−4x−1 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度，所得的新抛物线的函数表达式为＿＿＿＿＿＿。 9．若将抛物线 y=x2−9 平移得到抛物线 y=x2−6x，则平移的方向和距离为＿＿＿＿＿＿。 知识点三：求二次函数的表达式 10．若抛物线的顶点坐标是(2,1)，且抛物线经过点(3,0)，则这条抛物线的表达式是（ ） A. y=−x2−4x−3 B. y=−x2−4x+3 C. y=x2−4x−3 D. y=−x2+4x−3 11．二次函数 y=−x2+bx+c 的图象如图所示，则该二次函数的表达式为＿＿＿＿＿＿。 12．已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A(−1,0)，B(3,0)，求： (1)抛物线的函数表达式。 (2)抛物线的顶点坐标。 能力提升 13．下列关于二次函数的说法错误的是（ ） A. 抛物线 y=−2x2+3x+1 的对称轴为直线 x=3/4 B. 二次函数 y=x2−2x−3，点 A(3,0) 不在它的图象上 C. 抛物线 y=(x+2)2−2 的顶点坐标为 (−2,−2) D. 函数 y=2x2+4x−3 的图象的最低点为 (−1,−5) 14．(2025·临泉期末)关于 x 的二次函数 y=x2−2mx+m2−1(m>1) 的图象可能是（ ） 15．若 A(0,3)，B(−2,3) 是抛物线 y=x2+bx+c 上的两点，则该抛物线的对称轴是直线＿＿＿＿＿＿。 16．若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 的对称轴为直线 x=2，且过点 P(3,0)，则 a+b+c=＿＿＿＿＿＿。 17．已知二次函数 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0) 的 y 与 x 的部分对应值如下表： 当 x=2 时，函数值为＿＿＿＿＿＿。 学以致用 18．如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和矩形构成，OA=12 m，OB=4 m，以 OA 所在直线为 x 轴，以 OB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，已知抛物线的表达式为 y=−(1/6)x2+bx+c。 (1)求抛物线的函数表达式。 (2)由于隧道较长，需要在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过 8 m，那么两排灯的水平距离最小为多少米？ (3)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为 4 m，最高处与地面距离为 6 m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为 0.5 m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于 0.5 m，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？ 参考答案 知识点一：二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及其特征 1．D 2．B 3．k>1 4．−4 5．1 6．(1)y=x2−4x+3=x2−4x+22−22+3=(x−2)2−1。(2)其图象如图所示。 知识点二：抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的平移 7．A 8．y=−2x2+12x−14 9．向右平移 3 个单位长度 知识点三：求二次函数的表达式 10．D 11．y=−x2+2x+3 12．(1)将 A(−1,0)，B(3,0) 代入 y=x2+bx+c，得 {1−b+c=0, 9+3b+c=0}，解得 {b=−2, c=−3}。所以抛物线的函数表达式为 y=x2−2x−3。(2)因为 y=x2−2x−3=(x−1)2−4，所以抛物线的顶点坐标为(1,−4)。 能力提升 13．B 14．C 15．x=−1 16．0 17．−3 学以致用 18．(1)根据题意，抛物线的对称轴为直线 x=6，点 B 的坐标为(0,4)，设抛物线的函数表达式为 y=−(1/6)(x−6)2+h。把点 B(0,4) 代入，得 −6+h=4，解得 h=10，即所求抛物线的函数表达式为 y=−(1/6)(x−6)2+10。(2)由图象可知高度越高，两排灯的距离越近。把 y=8 代入 y=−(1/6)(x−6)2+10，得 −(1/6)(x−6)2+10=8，解得 x1=6+2√3，x2=6−2√3。所求最小距离为 x1−x2=4√3 米。答：两排灯的水平距离最小为 4√3 m。(3)根据题意，当 x=6.25+4=10.25 时，y=−(1/6)(10.25−6)2+10=671/96>6.5，所以能安全通过隧道。答：这辆特殊货车能安全通过隧道。 学科网（北京）股份有限公司 $