专题5 全等三角形的九大模型与构造方法（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形的九大模型（平移、翻折、手拉手等）与两大构造方法（截长补短、倍长中线），衔接全等三角形判定与性质，构建从模型识别到辅助线添加的学习支架，系统梳理各模型特征、解题思路及对应训练。 资料以模型分类为特色，每个模型含解读、图形及解题策略，典例精析结合变式训练，分层习题（A组基础至C组拓展）适配不同学情。通过手拉手模型抽象几何结构培养数学眼光，截长补短法推理过程发展数学思维，实际应用题（如测量内径）强化数学语言表达，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

专题5 全等三角形的九大模型与构造方法 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 平移模型 题型2 翻折(轴对称)模型 题型3 手拉手模型 题型4 半角模型 题型5 一线三等角模型 题型6 雨伞模型 题型7 角平分线模型 题型8 平行线中点模型 题型9 婆罗摩笈多模型 题型10 构造方法1 截长补短法 题型11 构造方法2 倍长中线法 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 全等三角形的主要常用模型 模型一：平移模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 【针对训练】 1．如图，△ABC≌△DEF，B，E，C，F四个点在同一直线上，若EF＝7，EC＝4，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在一次军事演习中，蓝方军队的军营在河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，红方军队的气炮枪很难瞄准蓝方军队的军营．聪明的红方指挥员站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面蓝方军队的军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处（即AO∥PQ），让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离BO，并下令按照BO的距离在点O处炮轰蓝方军队的军营Q处．AB＝PO，点B、O、Q在同一水平线上，AB⊥BQ，PO⊥BQ．试问：红方军队能命中目标吗？请说明理由． 3．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，AB＝DE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF． 模型二：翻折(轴对称)模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 【针对训练】 1．如图，在△AFC与△AEB中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，CF分别交AB，EB于点N，D，AC交EB于点M，则下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③CD＝DN；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．已知：如图，点E、F在BC上，AF与DE交于点G，AB＝DC，GE＝GF，∠B＝∠C．求证：AF＝DE． 3．如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠D＝51°，AC＝DF，BC与EF交于点O． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）求∠BOF的度数． 模型三：手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 【针对训练】 1．如图，AB＝ED，BC＝DC，CA＝CE，∠ACB＝80°，∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．20° B．30° C．50° D．80° 2．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD． （1）求证：△EBD≌△ABC； （2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBD的度数． 模型四：一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 【针对训练】 1．已知：如图，△ABC和△DBE均为等边三角形，点A、B、E在一条直线上，AD交CE于点O，交BC于点M，CE交BD于点N．下列结论： ①△ABD≌△CBE；②△ABM≌△CBN；③△BNE≌△BMD；④∠AOC＝60°；⑤∠CBD＝60°．正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2． （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由； （2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 模型五：平行线中点模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF 【针对训练】 1．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．其数学原理是利用△AOB≌△DOC，判断△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 2．如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板AB的中点，支柱OE与地面垂直，且OE的长度为50cm，当小明到水平线CD的距离AM为40cm时，小颖（点B）到地面的距离为（　　） A．40cm B．70m C．80cm D．90cm 3．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF． 知识点2 全等三角形构造方法 构造方法一：截长补短法 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 截长补短法 截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知线段 截长法： 补短法： 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题 【针对训练】 1. 如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 2. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 构造方法二：倍长中线法 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 倍长中线法 给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的 通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD 【针对训练】 1. 在中，，则的中线取值范围是 ． 2. 如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A．1 B．3 C．5 D．7 典例精析 【题型1 平移模型】 【例1】（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【变式1-1】将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′． （1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；①　 　；②　 　； （2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明． 【题型2 翻折(轴对称)模型】 【例2】如图，中，，将沿着翻折，使顶点的对应点刚好落在边上，平分交于点，连接．若，则 ． 【变式2-1】如图，中，于点，将沿翻折至，连接并延长，在射线上取点，使得，若，求的面积． 【题型3 手拉手模型】 【例3】如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 【题型4 半角模型】 【例4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式4-1】如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【题型5 一线三等角模型】 【例5】如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【变式5-1】如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ． 【题型6 雨伞模型】 【例6】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【变式6-1】如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：． 【题型7 角平分线模型】 【例7】如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【变式7-1】如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ．    【题型8 平行线中点模型】 【例8】如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【变式8-1】已知：如图，，，点E、F在AD上，且满足． (1)求证； (2)若，直接写出面积为面积一半的所有三角形． 【题型9 婆罗摩笈多模型】 【例9】如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值 ． 【变式9-1】如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 【题型10 构造方法1 截长补短法】 【例10】在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【变式10-1】如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 【题型11 构造方法2 倍长中线法】 【例11】如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【变式11-1】在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 1．如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点，，，在同一条直线上，，，要根据“”判定，还需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（    ） A．B． C． D． 4．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．与全等 B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 5．如图，已知，，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，点，在上，，，请添加一个条件_____，使． 8．如图，，若，，则的度数为______． 9．如图，是的角平分线，为上一点，于，，，在射线上有一动点，则在运动过程中，点到点的最短距离是_____． 10．如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若，试求的长． 11．如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)连接，，求证：． 12．如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 14．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 15．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 16．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 17．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 18．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 19．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 20．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 21．如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 22．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 23．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 24．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 25．如图，已知，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作交于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 26．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 28．如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 29．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 _______ ． 30．如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为______． 31．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 32．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，连接，m为不等式组的整数解． (1)点A的坐标为______；点B的坐标为______； (2)点在x轴负半轴上，连接，用含t的代数式表示的面积S； (3)在（2）的条件下，若，垂足为点D，平分，求的面积． 33． “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5 全等三角形的九大模型与构造方法 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 平移模型 题型2 翻折(轴对称)模型 题型3 手拉手模型 题型4 半角模型 题型5 一线三等角模型 题型6 雨伞模型 题型7 角平分线模型 题型8 平行线中点模型 题型9 婆罗摩笈多模型 题型10 构造方法1 截长补短法 题型11 构造方法2 倍长中线法 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 全等三角形的主要常用模型 模型一：平移模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 【针对训练】 1．如图，△ABC≌△DEF，B，E，C，F四个点在同一直线上，若EF＝7，EC＝4，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BE＝CF， ∵CF＝EF﹣EC＝7﹣4＝3， ∴BE＝3． 故选：C． 2．在一次军事演习中，蓝方军队的军营在河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，红方军队的气炮枪很难瞄准蓝方军队的军营．聪明的红方指挥员站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面蓝方军队的军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处（即AO∥PQ），让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离BO，并下令按照BO的距离在点O处炮轰蓝方军队的军营Q处．AB＝PO，点B、O、Q在同一水平线上，AB⊥BQ，PO⊥BQ．试问：红方军队能命中目标吗？请说明理由． 【答案】红方军队能命中目标，理由见解析． 【解答】解：红方能命中目标．理由如下： 由题意可知AO∥PQ， 所以∠AOB＝∠PQO， 又因为AB⊥BQ，PO⊥BQ， 所以∠ABO＝∠POQ＝90°， 在△ABO和△POQ中， ∠AOB＝∠PQO，∠ABO＝∠POQ＝90°，AB＝PO， 所以△ABO≌△POQ（AAS）， 所以BO＝OQ， 故红方军队能命中目标． 3．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，AB＝DE，AB∥DE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 模型二：翻折(轴对称)模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 【针对训练】 1．如图，在△AFC与△AEB中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，CF分别交AB，EB于点N，D，AC交EB于点M，则下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③CD＝DN；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C， ∴∠EAB＝∠FAC， ∴∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN， ∴∠1＝∠2， 故①符合题意； ∵AE＝AF，∠E＝∠F，∠B＝∠C， ∴△EAB≌△FAC（AAS）， ∴BE＝CF， 故②符合题意； 由条件得不到CD＝DN， 故③不符合题意； ∵△EAB≌△FAC（AAS）， ∴AC＝AB， ∵∠C＝∠B，∠CAN＝∠BAM， ∴△ACN≌△ABM（ASA）． ∴其中正确的有3个． 故选：B． 2．已知：如图，点E、F在BC上，AF与DE交于点G，AB＝DC，GE＝GF，∠B＝∠C．求证：AF＝DE． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：∵GE＝GF， ∴∠AFB＝∠DEC， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AF＝DE． 3．如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠D＝51°，AC＝DF，BC与EF交于点O． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）求∠BOF的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）∠BOF的度数为78°． 【解答】（1）证明：∵∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠D＝51°，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（ASA）； （2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣51°＝39°， 由（1）知：△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF＝39°， ∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°． 模型三：手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 【针对训练】 1．如图，AB＝ED，BC＝DC，CA＝CE，∠ACB＝80°，∠1＝50°，则∠2＝（　　） A．20° B．30° C．50° D．80° 【答案】B 【解答】解：在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SSS）， ∴∠ACB＝∠ECD＝80°， ∵∠1＝50°， ∴∠2＝∠ECD﹣∠1＝80°﹣50°＝30°， 故选：B． 2．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，本选项正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确； ③∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE，本选项正确； ④∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确， 故选：D． 3．如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD． （1）求证：△EBD≌△ABC； （2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠CBD， ∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD， 即∠EBD＝∠ABC． 在△EBD和△ABC中， ， ∴△EBD≌△ABC（ASA）； （2）解：∵△EBD≌△ABC， ∴BD＝BC，∠BDE＝∠C， ∵∠BDE＝65°， ∴∠BDC＝∠BDE＝65°， ∵∠CBD＝50°， ∵O点为CD中点， ∴∠OBDCBD＝25°． 模型四：一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 【针对训练】 1．已知：如图，△ABC和△DBE均为等边三角形，点A、B、E在一条直线上，AD交CE于点O，交BC于点M，CE交BD于点N．下列结论： ①△ABD≌△CBE；②△ABM≌△CBN；③△BNE≌△BMD；④∠AOC＝60°；⑤∠CBD＝60°．正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解答】解：∵△ABC和△DBE均为等边三角形， ∴∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC＝AC，BD＝DE＝BE， ∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，所以结论⑤正确， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS），所以结论①正确； ∴∠BAD＝∠BCE，即∠BAM＝∠BCN， ∵∠AMB＝∠CMO，∠AMB+∠BAD+∠ABC＝∠BCE+∠CMO+∠AOC， ∴∠CBD＝∠ABC＝60°，所以结论④正确， 在△ABM，△CBN中， ， ∴△ABM≌△CBN（ASA），所以结论②正确； ∴BM＝BN， 在△BNE和△BMD中， ， ∴△BNE≌△BMD（SAS），所以结论③正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共5个，所以只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA， 故①正确； ②∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， 由①知：∠DEC＝∠BDA， ∵AB＝DC， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴AD＝DE， 故②正确； ③∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°， ∵∠C＝40°， ∴∠CDE＝50°， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∴D为BC中点， 故③正确； ④∵∠C＝40°， ∴∠AED＞40°， ∴∠ADE≠∠AED， ∵△ADE为等腰三角形， ∴AE＝DE或AD＝DE， 当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°， ∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝60°， 当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°， ∴∠BAD＝30°， 故④不正确． ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 3．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2． （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由； （2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）全等，理由是： ∵∠1＝∠2， ∴DE＝CE， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）； （2）是直角三角形，理由是： ∵Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴∠3＝∠4， ∵∠3+∠5＝90°， ∴∠4+∠5＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∴△CDE是直角三角形． 模型五：平行线中点模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF 【针对训练】 1．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．其数学原理是利用△AOB≌△DOC，判断△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：∵O是AD，BC的中点， ∴AO＝OD，BO＝OC， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴AB＝CD， 故选：A． 2．如图所示，是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板AB的中点，支柱OE与地面垂直，且OE的长度为50cm，当小明到水平线CD的距离AM为40cm时，小颖（点B）到地面的距离为（　　） A．40cm B．70m C．80cm D．90cm 【答案】D 【解答】解：在△OAM与△OBN中， ， ∴△OAM≌△OBN（AAS）， ∴BN＝AM＝40cm， ∴小颖到地面的距离为50+40＝90（cm）， 故选：D． 3．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF． 【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：∵CF∥AB， ∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE与△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）． 知识点2 全等三角形构造方法 构造方法一：截长补短法 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 截长补短法 截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知线段 截长法： 补短法： 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题 【针对训练】 1. 如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【解答】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 2. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【解答】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 构造方法二：倍长中线法 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 倍长中线法 给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的 通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD 【针对训练】 1. 在中，，则的中线取值范围是 ． 【答案】 【解答】解：如图，延长到F，使，连接， 则； ∵为的中线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边不等关系得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 2. 如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解答】解：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，即， ， ， 只有选项B符合要求， 故选：B. 典例精析 【题型1 平移模型】 【例1】（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）由可得，于是；由平行线的性质可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）如图3，由可得，于是；由两直线平行内错角相等可得，于是可得两角的补角，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：仍成立． 理由如下（如题图3）： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定条件是解题关键． 【变式1-1】将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′． （1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；①　 　；②　 　； （2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明． 【答案】（1）△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；（2）见解析. 【分析】（1）依据图形即可得到2组全等三角形：①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE； （2）依据平移的性质以及矩形的性质，即可得到判定全等三角形的条件． 【详解】解：（1）由图可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE； 故答案为△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE； （2）选△AA′E≌△C′CF，证明如下： 由平移性质，得AA′＝C′C， 由矩形性质，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°， ∴△AA′E≌△C′CF（ASA）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定以及矩形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了平移的性质． 【题型2 翻折(轴对称)模型】 【例2】如图，中，，将沿着翻折，使顶点的对应点刚好落在边上，平分交于点，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，根据等边对等角，求出，折叠性质，得到，证明，得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-1】如图，中，于点，将沿翻折至，连接并延长，在射线上取点，使得，若，求的面积． 【答案】49 【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，理解折叠的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据折叠的性质可得，得到，，，由三角形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴． 由翻折的性质，得， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由翻折的性质可得， ∴， ∴． 【题型3 手拉手模型】 【例3】如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，    是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形． 【变式3-1】两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 【题型4 半角模型】 【例4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【变式4-1】如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【答案】详见解析 【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 【详解】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线求解． 【题型5 一线三等角模型】 【例5】如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)见解析，． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： 关系：， 作交的延长线于，则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式5-1】如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据三角形外角的性质结合题意可证，得出．根据可求出，，最后根据，求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：9． 【题型6 雨伞模型】 【例6】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD； （2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键． 【变式6-1】如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：． 【答案】证明见解析 【分析】延长、相交于点，根据角平分线性质得到，证明，得到，再证明，得到，即可证明； 【详解】解：延长、相交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【题型7 角平分线模型】 【例7】如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】在上截取，连接，由可证得，于是可得，由可证得，于是可得，进而可求得的长． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 周长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式7-1】如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ．    【答案】3 【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角平分线全等模型，熟练掌握各性质并准确确定是解题的关键． 在上取一点，使，连接， 过点作于，易得，根据垂线段最短可知，利用三角形的面积求出，从而得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接， 过点作于，    是的平分线， ， ， ， ， ∴， ，， ， 解得， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【题型8 平行线中点模型】 【例8】如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）证明得到，进而由即可求证； （）证明得到，进而由平行线的性质得到，即可由三角形内角和定理得到，即可求证； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵ 是边上的高， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】已知：如图，，，点E、F在AD上，且满足． (1)求证； (2)若，直接写出面积为面积一半的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)、、、 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，中线与面积．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，中线与面积是解题的关键． （1）由，可得，，证明，则，证明，则； （2）由线段的数量关系可得，即是的中线，是的中线，然后根据中线的性质进行求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴是的中线，是的中线， ∴， ∴、、、的面积为面积一半． 【题型9 婆罗摩笈多模型】 【例9】如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 过点E作交延长线于点G，首先证明出，得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点E作交延长线于点G ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式9-1】如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H．先证≌，推出，，再证≌，推出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交的延长线于点H． 则， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ． 在和中， ∵， ≌ , ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 在和中，   ∵， ≌ , ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【题型10 构造方法1 截长补短法】 【例10】在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 【变式10-1】如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．证明，，推出，推出即可解决问题． 【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 【题型11 构造方法2 倍长中线法】 【例11】如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式11-1】在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键． 1．如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，根据对顶角相等可得一组对应角相等，利用即可判定三角形全等． 【详解】解：点是两根细木条的中点， ，． 与是对顶角， ． 在和中， ， ． 2．如图，点，，，在同一条直线上，，，要根据“”判定，还需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了利用“”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“”的方法判定，故只能添上斜边这一条件，即可解答． 【详解】解：∵， ∴添加条件，根据“”即可判定； 或添加条件，也可得出，根据“”即可判定，故A正确． 故选：A． 3．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 4．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．与全等 B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法即可判断； 【详解】解：由题意可知：，满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是与不全等， 故选：D． 5．如图，已知，，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了角的和差、尺规作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题关键．先根据角的和差可得，再根据尺规作一个角等于已知角可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知，， 故选：C． 6．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边,然后根据角之间的关系即可解答． 【详解】解：在△ABC与△AEF中， AB=AE ∠ABC=∠AEF BC=EF ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴AF=AC，∠EAF=∠BAC； ∴②正确, ∠EAB=∠FAC= 40° ； ∴①正确 ∵∠ABC=∠AEF，∠ADE=∠FDB， ∴∠EFB=∠EAB= 40° ， ∴⑤正确 ∵AF=AC，∠FAC= 40° ； ∴∠AFC=∠C= 70° ； ∵∠EFB = 40° ， ∴∠EFC= 140° ∴∠EFA=∠AFC= 70° ∵∠BAF不一定等于 40° ， ∴∠ADF不一定等于 70° ∴∠ADF不一定等于∠EFA ∴AD不一定等于AF ∴④不正确 连接BE　∵AE=AB, ∠EAB=40° ∴∠AEB=∠ABE= 70° ∵ ∠ABC=∠AEF 不一定等于 40° ， ∴∠EBC不一定等于 110° ∴③不正确 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 7．如图，点，在上，，，请添加一个条件_____，使． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】此题考查了直角三角形的判定，根据直角三角形的判定方法解答即可，关键是根据证明解答． 【详解】解：添加， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 8．如图，，若，，则的度数为______． 【答案】/100度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 9．如图，是的角平分线，为上一点，于，，，在射线上有一动点，则在运动过程中，点到点的最短距离是_____． 【答案】 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，过点作于，连接， 平分，，，， ， 动点在射线上运动， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 10．如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若，试求的长． 【答案】(1) 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (2)3 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)连接，，求证：． 【答案】(1)解：是等边三角形． 理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形． (2)证明：∵，是两个全等的等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由和都是等边三角形，可得，即可得结论； （2）由和都是等边三角形，可得，，可证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【详解】解：∵，， ∴． 13．如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据尺规作图的痕迹判断是的角平分线，最后计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知：平分， ∴． 14．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， 充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 15．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过点作，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积. 16．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点到直线的距离、两直线平行同旁内角互补、角平分线的性质定理 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得出，，从而得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 17．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先求出，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 18．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 19．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题需要先读懂尺规作图的痕迹，得到三组对应相等的条件，再根据全等三角形的判定定理得到作图依据． 【详解】解：由作图痕迹可知，，，， 在和中， ， ， 因此作图的依据为． 20．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 21．如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】利用证明，得到，据此计算即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 22．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 23．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可； （2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，， ， ， （2）解：， ，， 与的周长和为． 24．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角度的四则运算、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算．根据作图可知，结合图形，根据角度的和差关系逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，符合题意； B、，即，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 25．如图，已知，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作交于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，进而可知，由得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 26．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】如图，过点作轴于，根据旋转的性质可得，，根据互余的性质可得，利用可证明，可得，，根据、坐标可得、的长，即可求出、的长，可得答案． 【详解】如图，过点作轴于， ，， 把线段绕点逆时针旋转后得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， 点坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 27．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短、垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 在上截取，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后根据直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，如图，当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 28．如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②④；根据和判断③即可． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴；故④正确； ，， ， ， ， ，故③错误； 故选：C． 29．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 _______ ． 【答案】12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线定义，证明是解题的关键．证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，是中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 30．如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为______． 【答案】6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 过点作，垂足分别为点，连接，根据角平分线的性质得出，利用直角三角形全等得出相等边，然后根据三角形的周长得出，最后利用作差法求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足分别为点，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的面积为， 五边形的面积为， ∴的面积为， 故答案为：6． 31．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或4 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，    ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 32．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，连接，m为不等式组的整数解． (1)点A的坐标为______；点B的坐标为______； (2)点在x轴负半轴上，连接，用含t的代数式表示的面积S； (3)在（2）的条件下，若，垂足为点D，平分，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)60 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】（1）求出不等式组的解集，可得m的值，即可求解； （2）根据三角形的面积公式计算，即可求解； （3）过点D作于点M，作于点N，根据角平分线性质定理可得，再由，可得，再证明，可得，进而得到，然后代入（2）中所求计算即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵m为整数， ∴m的值为6， ∵点，， ∴，； 故答案为：， （2）解：∵在x轴负半轴上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作于点M，作于点N， ∵平分，于点M，于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵x轴轴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 由（2）得，， 综上所述，的面积为60． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了解不等式组，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，角平分线的性质，坐标与图形，正确地作出辅助线是解题的关键． 33． “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求证是解题的关键． （1）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）， 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：结论仍然成立； 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $