3.1 相似多边形 同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以“概念理解-技能应用-探究拓展”分层设计，覆盖相似多边形核心知识点，通过梯度化题型培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|成比例线段判断、相似多边形定义与性质|单选1-5直接考查概念，填空9-10强化基础术语，匹配新授课概念认知目标| |中档层|相似比计算、图形相似判定|单选6-8结合图形辨析，解答13-14综合比例运算，培养推理意识与几何直观| |提升层|相似多边形性质的实际应用|解答15-16通过中位线证明、矩形分割探究，发展应用意识与创新思维|

3.1 相似多边形 同步练习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列线段、、、不是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．两个相似多边形的相似比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（   ） A． B． C． D． 5．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 6．下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   7．如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值为（   ） A． B． C． D． 8．某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．的度数 C．六边形的面积 D．六边形的周长 二、填空题 9．在的地图上，若两地图上的距离为，则两地的实际距离为_______． 10．各角分别相等，各边_________的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做____________． 11．如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 12．数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 三、解答题 13．（1）如图①，把左边的图形放大到原来的2倍，在右边的格点图中画出这个图形． （2）如图②，请你在左边的格点图中画出一个图形，然后在右边的格点图中画出一个与它相似的图形． 14．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 15．如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 16．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） (1)求的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B D B B C B 1．【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，四条线段成比例需满足最长线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此逐一验证各选项即可． 【详解】解：成比例线段的判定规则：对于四条线段、、、，若，则四条线段成比例． ∵选项A中，，∴是成比例线段 ∵选项B中，，∴是成比例线段 ∵选项C中，，∴是成比例线段 ∵选项D中，，，，∴不是成比例线段 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于多边形的相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方． 根据相似多边形的性质“相似多边形的面积比等于相似比的平方”即可直接得出答案． 【详解】解：两个相似多边形的相似比为， 它们的面积比为：， 故选：． 3．【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据成比例线段的性质列出比例式，再分别代入数值计算即可求出d的长． 【详解】，，，是成比例线段， ，即， ， 代入，，得： ． 故选：B． 4．【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得：． 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查相似图形的判定，需依据相似图形“对应角相等、对应边成比例”的定义逐项分析判断． 【详解】解： ∵相似图形的定义为对应角相等且对应边成比例． A选项：两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． B选项：两个正方形的每个内角均为，对应角相等，且各边都相等，对应边的比为定值， ∴一定相似． C选项：两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴不一定相似． D选项：两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． 故选：B． 6．【答案】B 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可． 本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴， 解得a＝或−（舍去）， ∴a＝， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 8．【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形，利用相似图形的性质判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：用放大镜观察该分子结构，由相似图形的性质可得，保持不变的是的度数， 故选：． 9．【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】解：由题意得，两地的实际距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 10．【答案】 对应成比例 相似比 【知识点】相似多边形 【解析】略 11．【答案】/120度 【知识点】等边三角形的性质、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和等边三角形的性质，解决此题的关键是熟练运用外角的性质；先根据相似三角形的性质得到角相等，再根据等边三角形的性质和外角的性质即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． 13．【答案】（1） （2）（答案不唯一） 【知识点】相似图形 【分析】（1）将原图形的每个顶点沿格点方向，使得到对应顶点的距离变为原来的2倍，然后依次连接这些新顶点，即可得到放大2倍后的图形． （2）在左边格点图中画一个直角梯形，然后在右边格点图中画出一个边长比例不同但形状相同的直角梯形，使其与左边图形相似． 【详解】（1）解：如图所示，图①是把左边的图形放大到原来的2倍的图形． （2）解：可画出两个相似梯形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查图形的放大与相似图形的绘制，掌握图形放大时各边按比例扩大，相似图形形状相同、大小可不同是解题的关键． 14．【答案】(1)， (2) 【知识点】比例的性质、成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 15．【答案】相似， 理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴，即， 同理可得：，，，， ∴四边形与四边形相似． 【知识点】与三角形中位线有关的证明、相似多边形 【分析】本题考查了相似多边形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，根据平行线的性质可得，同样的方法可得，，则，再根据同样的方法可得，，，，然后根据相似多边形的判定即可得． 【详解】略 16．【答案】(1)4或9 (2) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质、分式方程的其它实际问题 【分析】（1）根据矩形矩形得到，然后代数求解即可； （2）设，，，根据矩形矩形得到，得到，，然后根据一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴厘米，厘米， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4或9； （2）解：设，， ∵矩形矩形 ∴ ∴ 整理得， 根据题意得， ∴ ∴（负值舍去） 原矩形的长与宽的比值k的取值范围为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质，一元二次方程的判别式，解分式方程，根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $