3.1相似多边形新课预习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 该同步练习针对“相似多边形”新授课，采用基础-中档-提高三层设计，覆盖概念辨析、性质应用到综合问题解决，强化数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|成比例线段、相似多边形判定与性质|选择填空直接考查概念，如选择题1-4、填空题11-13| |中档|相似比计算、图形折叠与相似应用|结合具体图形，如选择题5-8、解答题20-22| |提高|综合图形分析与实际问题解决|多知识点融合，如选择题9-10、解答题23题纠错与探究|

· 3.1 相似多边形 新课预习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 2．若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 3．如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（　　） A．2：3 B．4：9 C．： D．16：81 4．下列多边形一定相似的是 （     ） A．两个菱形 B．两个平行四边形 C．两个矩形 D．两个正方形 5．如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 6．如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（　　） A． B． C． D． 7．如图，正方形，点在对角线上，，分别交、于点、，若随机向正方形内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 9．如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．矩形的面积 B．矩形的面积 C．矩形的面积 D．矩形的面积 10．如图，矩形中，是上一点，连接，将矩形沿翻折，使点落在边处，连接，在上取点，以为圆心，长为半径作⊙O与相切于点．若，，则下列结论：①是的中点；②⊙O的半径是2；③；④S阴影．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的_____．（从平移、轴对称、相似、旋转中选） 12．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______． 13．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 14．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________． 15．为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16．已知，，求的值． 17．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 18．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 19．如图，作出与四边形的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1． 20．如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求的长． 21．如图，在中，点D，E分别是边上的点． (1)若，且，求的长； (2)若，且的周长为，求的周长． 22．阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． (1)求黄金矩形中边的长； (2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 23．框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 试卷第4页（共6页） 试卷第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D B C B B C C 11．相似 12． 13．甲和丙 14． 15． 16． 【分析】本题考查了比例的性质，设．则根据比例的性质，得，，，代入到求出即可． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 17．136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． 18．(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 19． 如图，四边形EFGH即为所求， 【分析】根据相似图形的性质，分别将四边形的四条边扩大2倍即可． 【详解】略 【点睛】此题主要考查作图（相似变换），解题关键是熟练掌握相似的性质． 20．(1) 证明：∵的平分线交于点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； (2)． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到，设，根据相似多边形的性质可得，列方程求出的值，从而可解答本题． 【详解】（1） 略 （2）解：由（1）知，四边形是菱形， 又四边形是平行四边形， ， 设， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ，即， 整理得， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出与的数量关系是解答本题的关键 21．(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）利用比例式的性质可求解； （2）通过证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的周长． 22．(1) (2) 矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴CD=，EC=BC-AB==， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 【分析】（1）根据黄金矩形的定义，列出比例式计算即可． （2）求得CD，EC=BC-AB=，计算即可． 【详解】（1）∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． （2）略 【点睛】本题考查了黄金矩形，二次根式的分母有理化，熟练掌握有理化的方法，理解定义是解题的关键． 23．(1)小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， (2)． 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可； （2）由使矩形矩形，利用相似多边形的性质，可得＝ ，然后利用比例的性质． 【详解】（1）解：小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， 解：设温室的宽为xm，则长为，则矩形蔬菜种植区域的宽为m，长为m． ∵， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以温室的长为， 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． （2）解：要使矩形矩形， 就要＝，即， 即， 即， ∴， ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，与图形有关的一元二次方程的应用；如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 答案第4页（共5页） 答案第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $