第二章 平面解析几何初步 单元卷-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修一

2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修一 第二章 平面解析几何初步测试卷 （本试卷共4页19小题，满分150分.考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1.若直线l的方程为x＝－3，则直线l的倾斜角是(　　) A. B. C.π D.0 2.直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0的交点坐标为(　　) A.(0，1) B.(0，－1) C.(1，0) D.(－1，0) 3.经过两直线l1:2x－y＋3＝0与l2:x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　) A.2x－3y＋5＝0 B.2x＋3y－1＝0 C.3x＋2y－2＝0 D.3x＋2y＋1＝0 4.若直线2x＋y－1＝0是圆＋＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A. B.－ C.1 D.－1 5.若圆＋＝(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　) A.(0，1)　B.(1，3)　C.(3，＋∞)　D.(0，＋∞) 6.圆M:＋＝1与圆N关于直线x－y＝0对称，则圆N的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 7.设点P(x，y)是曲线y＝－上的任意一点，则的最小值是(　　) A.2 B. C. D.0 8..过点E(a，－1)向圆M:＋＝2作两条切线，切点分别为A，B，若∠AEB＝，则(　　) A.a＝2或a＝－1 B.a＝－2或a＝1 C.a＝－3或a＝1 D.a＝3或a＝－1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.已知曲线C:A＋B＋＋＋F＝0，则(　　) A.若A＝B＝1，则C表示一个圆 B.若A＝B≠0，＋－4AF>0，则C表示一个圆 C.若A＝B＝0，＋>0，则C表示一条直线 D.若A≠0，B＝0，则C表示一条直线 10.点P(x，y)到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的轨迹方程可能是(　　) A.32x－56y＋65＝0 B.4x－8y＋9＝0 C.7x＋4y＝0 D.x－4y＋4＝0 11.已知点P在圆＋＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 D.当∠PBA最大时，|PB|＝3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12..在x轴与y轴上截距分别为－2，2的直线的倾斜角为　　　　.  13.已知圆C:＋－4y－m＝0的面积为π，则m＝　　　　.  14.已知点A(4，0)，B(2，2)，若直线l过O(0，0)且平分△OAB的面积，则l被△OAB外接圆截得的弦长为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知直线l1:ax＋2y＋6＝0和直线l2:x＋(a－1)y＋－1＝0. (1)试判断l1与l2是否平行; (2)当l1⊥l2时，求a的值. 16.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 17..已知两圆C1:＋＋2x－6y＋1＝0和C2:＋－6x－12y＋m＝0. (1)当m取何值时两圆外切? (2)当m＝－9时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 18．已知直线l:2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求: (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标; (2)直线m:3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点A对称的直线l'的方程. 19.已知圆C:＋＝4. (1)若直线l:(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明:无论m为何值，直线l都与圆C相交; (2)若过点P(1，0)的直线m与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线m的方程. 2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修一 第二章 平面解析几何初步测试卷答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 【1题答案】A【2题答案】C【3题答案】D【4题答案】A【5题答案】B【6题答案】D【7题答案】B【8题答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 【9题答案】BC 【10题答案】AC 【11题答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【13题答案】-3 【14题答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [解]　(1)法一　由－＝0， 得a(a－1)－1×2＝0， 由－1≠0，得(－1)－1×6≠0， 所以l1∥l2，得 得可得a＝－1， 故当a＝－1时，l1∥l2;当a≠－1时，l1与l2不平行. 法二　当a＝1时，l1:x＋2y＋6＝0，l2:x＝0，l1不平行于l2; 当a＝0时，l1:y＝－3，l2:x－y－1＝0， l1不平行于l2; 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1: y＝－x－3，l2:y＝x－(a＋1)， l1∥l2⇔ 解得a＝－1， 综上，当a＝－1时，l1∥l2;当a≠－1时，l1与l2不平行. (2)法一　由＋＝0， 得a＋2(a－1)＝0，可得a＝. 法二　当a＝1时，l1:x＋2y＋6＝0，l2:x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立; 当a＝0时，l1:y＝－3，l2:x－y－1＝0， l1不垂直于l2，故a＝0不成立; 当a≠1且a≠0时，l1:y＝－x－3， l2:y＝x－(a＋1)， 由·＝－1，得a＝. 16. [解]　(1)法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1. 又kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 法二　设AB的中点为D， 由中点坐标公式得D(1，0)， 由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)， 所以直角顶点C的轨迹方程为 (x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3，0)，M是线段BC的中点， 由中点坐标公式得x＝，y＝， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知点C的轨迹方程为 (x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为 (x－2)2＋y2＝1(y≠0). 17[解]　(1)由已知可得两个圆的标准方程分别为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，(x－3)2＋(y－6)2＝45－m，两圆的圆心距d＝＝5，两圆的半径之和为3＋，由两圆的半径之和为3＋＝5，可得m＝41. (2)当m＝－9时，两圆的方程分别为x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，x2＋y2－6x－12y－9＝0，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x＋3y＋5＝0.第一个圆的圆心(－1，3)到公共弦所在直线的距离为d＝＝2，可得公共弦的长为2＝2. 18. 解：　(1)设A'(x，y)， 则 解得即A'. (2)在直线m上取一点，如M(2，0)， 则M(2，0)关于直线l的对称点必在m'上. 设对称点为M'(a，b)， 则 解得即M'. 设m与l的交点为N， 则由 得N(4，3).又m'经过点N(4，3)， ∴由两点式得直线m'的方程为 9x－46y＋102＝0. (3)法一　在l:2x－3y＋1＝0上任取两点， 如P(1，1)，N(4，3)， 则P，N关于点A的对称点P'，N'均在直线l'上. 易知P'(－3，－5)，N'(－6，－7)， 由两点式可得l'的方程为2x－3y－9＝0. 法二　设Q(x，y)为l'上任意一点， 则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为 Q'(－2－x，－4－y). ∵Q'在直线l上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即直线l'的方程为2x－3y－9＝0. 19. 解：(1)证明　转化l的方程 (m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0， 可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0， 由 所以直线l恒过点(2，3)， 由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4， 得点(2，3)在圆内，即直线l恒过圆内一点， 所以无论m为何值，直线l都与圆C相交. (2)解　由C的圆心为(3，4)，半径r＝2， 易知此时直线m的斜率存在且不为0， 故设直线m的方程为x＝ny＋1(n≠0)， 直线m的一般方程为ny－x＋1＝0， 圆心到直线m的距离 d＝， 所以|AB|＝2＝2， 所以S2＝ ＝·， 令t＝，可得S2＝4t－t2， 当t＝2时，＝4， 所以△ABC面积的最大值为2， 此时由2＝，得7n2－8n＋1＝0， 得n＝1或n＝，符合题意， 此时直线m的方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 第12页/共12页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $