第二章平面解析几何初步单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

湘教版高中数学选择性必修第一册 第二章《平面解析几何初步》单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的方程求得直线的斜率，从而求得它的倾斜角． 【详解】直线，即，它的斜率等于1， 设其倾斜角为，则，因为，故它的倾斜角为.故选：A． 2．直线在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在直线的方程中，令可得出直线在轴上的截距. 【详解】在直线的方程中，令可得，解得，故直线在轴上的截距为.故选：B. 3．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知三角形ABC的顶点，，则三角形ABC的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求得重心与外心坐标，进而利用直线的两点式方程可求三角形ABC的欧拉线方程. 【详解】因为，所以三角形ABC的重心，即， 又因为，，所以， 所以，所以的外心为的中点，即， 所以直线的方程为，即， 又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上，所以三角形ABC的欧拉线方程为.故选：B. 4．如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得直线的方程，分别求得点关于直线及y轴的对称点，再求得的方程，即可求解. 【详解】由点和，可得直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则，解得， 点关于直线对称点为，点关于y轴对称点为， 直线即为直线，则直线的方程为，即.故选：D. 5．若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外，所以，解得，所以的取值范围.故选：D. 6．直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为.故选：C. 7．已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】将两圆方程化成标准方程，分别求出圆心和半径，由此判断两圆的位置关系，从而得到它们的公切线的条数. 【详解】由，得，所以圆心，半径为； 由，得，所以圆心，半径为. 所以.因为，所以两圆相交.所以它们有两条公切线. 故选：C. 8．已知，，点满足，点在圆：上运动，点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件确定点的轨迹，这是一个圆。然后，利用圆的对称性和点到直线的距离公式，结合两点之间线段最短的原理，求出的最小值. 【详解】已知，且，设，根据距离公式列方程：， 化简整理得：，因此，点的轨迹是以为圆心、半径的圆， 在圆上运动，根据圆上点到定点的距离性质， 到的最小距离为，当在与的连线上且靠近时取等号， 在圆上运动，同理，到的最小距离为， 当在与的连线上且靠近时取等号， 作 关于直线的对称点， 直线的斜率为，因此的斜率为，其方程为， 求与直线的交点：解方程组，得交点为， 由中点坐标公式，的坐标为， 此时，，当在与直线的交点时取等号， ， ，故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9．已知，动直线，则（   ） A．的值越大，的斜率越大 B．在轴上的截距为定值 C．在轴上的截距为定值 D．不可能经过坐标原点 【答案】BD 【分析】A选项，将一般式转化为斜截式得到斜率，然后判断即可；B选项，令得到纵截距；C选项，令得到横截距，然后判断即可；D选项，将代入直线方程验证. 【详解】对于A，直线的方程可化为，则的值越大，的斜率越小，故A错误； 对于B，令，可得，所以在轴上的截距为定值，故B正确； 对于C，令，可得，因为是变化的，所以在轴上的截距不是定值，故C错误； 对于D，将代入直线方程，可得，不成立，故D正确. 故选：BD. 10．古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、三角代换法、平面向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】设点，因为，所以，整理得， 所以圆C的方程为，故A错误．因为，所以． 因为，所以，故B正确． 设A关于直线的对称点为，则解得 因为，所以，所以当，C，M三点共线时，有最小值． 因为，所以，故C正确． 设，，因为，， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为，故D正确． 故选：BCD 11．已知圆，则（    ） A．圆关于直线对称的圆的方程为 B．若圆上恰有3个点到直线的距离为，则 C．已知直线，则被圆截得的弦长的最小值是4 D．若过点作圆的切线，则切线方程为 【答案】ABC 【分析】对于A：根据点关于直线对称求圆心，即可得方程；对于B：分析可知点到直线的距离，进而运算求解；对于C：分析可知直线过定点，结合圆的性质求弦长的最小值；对于D：分类讨论斜率是否存在，进而求切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径， 对于选项A：设点关于直线对称的点为，则，解得， 可知所求圆的圆心为，半径，所以圆关于直线对称的圆的方程为，故A正确；对于选项B：因为点到直线的距离为， 若圆上恰有3个点到直线的距离为，则，即，解得，故B正确； 对于选项C：直线，即， 令，解得，可知直线过定点， 因为，则直线与圆相交， 且当直线时，直线被圆截得的弦长取到最小值，故C正确； 对于选项D：因为切线过点， 若切线斜率不存在，则切线方程为，符合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，解得， 则切线方程为；综上所述：所求切线方程为或，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为 【答案】 【分析】根据倾斜角可得斜率，即可根据斜截式求解方程. 【详解】由于倾斜角为，故斜率为，故直线方程为，故答案为： 13．过点且与直线平行的直线方程为 【答案】 【分析】设平行线方程，代入点坐标解得参数，即可求得结果. 【详解】设与直线平行的直线方程为， ∵直线经过点，∴，∴. ∴与直线平行的直线方程为.故答案为：. 14．已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件得出圆心和半径，再利用公切线条件得出两圆相交，进而列不等式求出实数的取值范围． 【详解】圆，圆心为，半径， 圆，圆心，半径，又两圆有且仅有2条公切线， 两圆相交，即， ， ，即，由恒成立， 只需解不等式，即，解得，实数的取值范围为． 故答案为：． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15． （13分）已知直线经过点. (1)若直线在轴上的截距是在轴上的截距3倍，求直线的方程； (2)若直线与轴、轴的正半轴分别相交于两点，求当的面积取得最小值时直线的方程. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）讨论截距是否为0，设直线方程后代入点坐标，然后求得结果. （2）设直线，代入点坐标，得到，然后求出点坐标，根据题意列出不等式，求得的取值范围，利用基本不等式求得当取何值时面积取最小值，代入直线方程后得到结果. 【详解】（1）当直线l在轴上的截距和在轴上的截距均为0时， 设直线，则，即，则， 当直线l在轴上的截距和在轴上的截距均不为0时， 设直线l在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 则直线，即，则，则，即. （2）由题意可知，直线斜率一定存在， 设直线，则，即，则， 令，则，令，则，则， 则，∴，即. ∴， ∵时，，∴， 当且仅当，即时取等号， ∴，即， ∴. 16．（15分）已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 【答案】(1)； (2)圆心为，半径为. 【分析】（1）应用点线距离公式求距离； （2）将点坐标代入方程求出参数值，再把圆化为标准方程，即可得圆心和半径. 【详解】（1）由题设，点到直线的距离为； （2）由题设，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为. 17．（15分）已知直线和圆. (1)证明：直线恒过定点；判断直线与圆的位置关系； (2)是否存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析，直线与圆相交 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）直线方程整理得，列式可得直线过定点，判断与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系； （2）由题意可得圆心到直线的距离，解法一：由点到直线的距离列式根据判别式判断可得；解法二：由圆心到直线的距离的最大值为即可判断. 【详解】（1）直线的方程，整理得， 该方程对任意实数成立，于是有，解得， 因此直线恒过定点，而， 即点在圆内，所以直线与圆相交. （2）依题意，圆的圆心，半径是3， 若圆上恰有三点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离， 解法一：，两边平方整理得， 由，得该方程无实数解， 所以不存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1， 解法二：由（1）知直线恒过定点， 则圆心到直线的距离的最大值为，     所以不存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1. 18．（17分）已知直线，其中． (1)求直线所过定点． (2)当直线在轴上的截距是它在轴上的截距倍时，求实数的值． (3)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将直线的方程化为，列出相应的方程组，计算可得答案； （2）求出直线在轴上的截距，在轴上的截距，列出方程，求出的值； （3）由直线恒过定点，数形结合得即可. 【详解】（1）由直线可变为， ，解得，所以直线恒过定点. （2）由题可得，在直线的方程中，令，得，令，得， 所以，即，解得或，经检验，或均符合要求， 所以实数的值为或. （3）由直线恒过定点，如图，，， 要使直线不经过第四象限，则，解得，所以实数的取值范围为. 19．（17分）如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． (1)若轴，求四边形的面积； (2)若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明出，分析可知，求出、，即可得出，结合三角形的面积公式可得出答案； （2）设，求出直线的方程，利用直线与圆相切可得出，同理有，进而可知、是方程的两个实根，结合韦达定理可证得结论成立； （3）分析可知点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，可求出直线所过定点的坐标，分析可知，点在以为直径的圆上，又可知线段为该圆的直径，即可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）当轴时，不妨设、，如图所示： 所以，，且， 连接，由切线长定理可得，，，故， 则． （2）设，因为， 所以直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 整理得，同理有， 所以、是方程的两个实根， 所以，， 所以为定值． （3）由题知，， 所以点、在以为直径的圆上， 由、得该圆的方程为， 将与相减，得直线的方程为． 取，得，所以直线过定点， 又因为为的中点，所以，即， 所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为． 又不可能是圆的直径，所以点不可能与原点重合， 所以点的轨迹方程为，即． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第一册 第二章《平面解析几何初步》单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.直线x-y-2=0的倾斜角是() A.45 B.135 C.304 D.150 2.直线1：x+2y+6=0在y轴上的截距为() A.3 B.-3 C.6 D.-6 3.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一 条直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知三角形ABC的顶点A(9,1),B(8,2),C(5,-1),则三角形ABC 的欧拉线方程为() A.x-2y-6=0 B.2x-y-14=0 C.x+2y-26=0 D.6x+3y-46=0 4.如图，已知两点A(22,0),B(0,11),从点P(2,0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后 经直线OB上的点N反射后又回到点P,则直线N的方程为() B M A.4x-3y-6=0 B.4x+3y+8=0 C.3x-4y+6=0 D.4x-3y+8=0 5.若点P1,2W2)在圆C:x2+y2+2.x-22y+a=0外，则a的取值范围() A.(3,+∞) B.（-0,3) C.(-3,+∞) D.（-3,3) 6.直线x-2y=0被圆C:(x-4)+(0y-4)2=4截得的弦长为（) A.25 B.3V5 c.45 D.65 5 5 5 5 7.已知两圆的方程C1:x2+y2-4x+2y-4=0,C2:x2+y2+6x-4y-12=0,则它们的公切线的条数为() A.0 B.1 C.2 D.4 8.已知A(2,0),B(-1,0),点P满足PA=2PB,点2在圆C:(x+1)+(y-4)=1上运动，点M在直线x-y-2=0 上运动，则PM+QM的最小值为() A.5V2-3 B.6√2-3 C.√73-3 D.45-3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的 得6分，有选错的得0分 9.已知a≠0，动直线l:x+y-1=0,则() A.a的值越大，I的斜率越大 B.1在y轴上的截距为定值 C.1在x轴上的截距为定值 D.1不可能经过坐标原点 10.古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题， 例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知 平面内有两点A(-1,O)和B(0,1),且该平面内的点P满足PA=√2PB,记点P的轨迹为圆C,则下列结论正确的 是() A.圆C的方程为(x-1)+(y+2)2=4 B.PA4PB的最大值为8+6√互 C.M为直线x+2y+6=0上一动点，则MA+MP的最小值为2√13-2 D.若O为坐标原点，则AB.OP的最大值为3+2√5 11.已知圆0：x2+y2=9,则() A.圆O关于直线：x+y-1=0对称的圆的方程为(x-1)2+(心-1)2=9 B.若圆0上恰有3个点到直线：2x+4+6-0的面离为子则b-士35 C.己知直线：(2+1)x+(+1)y-1=0,则1被圆O截得的弦长的最小值是4 D.若过点P(3,5)作圆O的切线，则切线方程为8x-15y+51=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线经过点(0,2)，倾斜角为，则该直线的方程为 13.过点(-1,6)且与直线2x-y+2=0平行的直线方程为 14.已知圆C:(x-a+y=4(a∈R)与圆C,:(x-2)+(y-4)=9有且仅有2条公切线，则实数a的取值范围 为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知直线1经过点P(3,2) (1)若直线1在x轴上的截距是在y轴上的截距3倍，求直线1的方程： (2)若直线1与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点，求当△AOB的面积取得最小值时直线1的方程. 16.（15分)已知直线1：y=x+1与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)求点A(2,5)到直线1的距离： (2)若(0,0)，(2,0)，(1,3)三个点在圆上，求该圆的圆心和半径. 17.(15分)已知直线：x+2y-(1+2)=0和圆C:x2+y2-4y-5=0. (1)证明：直线1恒过定点；判断直线1与圆C的位置关系： (2)是否存在实数入使得圆C上恰有三点到直线的距离为1？若存在，求出入的值：若不存在，请说明理由. 18.(17分)己知直线：c+2y-a-4=0,其中a∈R. (1)求直线1所过定点. (2)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距3倍时，求实数a的值. (3)若直线1不经过第四象限，求实数α的取值范围. 19.(17分)如图，已知圆O:x2+y2=4,P是直线y=4上的动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B. (1)若PA⊥x轴，求四边形OAPB的面积； (2)若直线PA、PB与x轴分别交于点M(m,0)、N(n,0),证明：9m2+92+30mm为定值； (3)求线段AB的中点O的轨迹方程，湘教版高中数学选择性必修第一册 第二章《平面解析几何初步》单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.直线x-y-2=0的倾斜角是() A.45 B.135 C.30 D.150 【答案】A 【分析】由直线的方程求得直线的斜率，从而求得它的倾斜角. 【详解】直线x-y-2=0,即y=x-2,它的斜率等于1， 设其倾斜角为a,则taa=1,因为0°≤a<180°，故它的倾斜角为45°.故选：A. 2.直线1：x+2y+6=0在y轴上的截距为() A.3 B.-3 C.6 D.-6 【答案】B 【分析】在直线I的方程中，令x=0可得出直线1在y轴上的截距 【详解】在直线l的方程中，令x=0可得2y+6=0,解得y=-3,故直线1在y轴上的截距为-3.故选：B. 3.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一 条直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知三角形ABC的顶点A(9,1),B(8,2),C(5,-1),则三角形ABC 的欧拉线方程为() A.x-2y-6=0 B.2x-y-14=0 C.x+2y-26=0 D.6x+3y-46=0 【答案】B 【分析】由已知求得重心与外心坐标，进而利用直线的两点式方程可求三角形ABC的欧拉线方程 【详解】因为A9,),B8,2.C(5,-),所以三角形ABC的重心G9+8+5,1+2-, 3’3 函为k211,k1,所kka=1X 8-9 所以BC,所以人10c外为C的点D告号即n0, 02 所以直线DG的方程为y0,一多-7)，即2r-y-140 3 又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上，所以三角形ABC的欧拉线方程为2x-y-14=0.故选：B 4.如图，已知两点A(22,0),B(0,11),从点P(2,0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后 经直线OB上的点N反射后又回到点P,则直线N的方程为() A.4x-3y-6=0 B.4x+3y+8=0 C.3x-4y+6=0 D.4x-3y+8=0 【答案】D 【分析】根据题意，求得直线AB的方程，分别求得点P(2,O)关于直线AB及y轴的对称点A,A,再求得AA,的方 程，即可求解 【详解】由点4(2,0)和8(0,11)，可得直线AB的方程为+兰=1，即x+2y-22=0, 2211 没点P2,0关于直线4B的对称点4(a.b).则a-2×(= 2 ,解得a=10,b=16, 0+2+2x6+0=22 2 点P关于直线AB对称点为A10,16,点P关于y轴对称点为A,(-2,0), 直线W即为直线A4,则直线W的方程为y0)r+2),即4x-3y+8=0,故选：D 5.若点P1,2W2)在圆C:x2+y2+2.x-2√2y+a=0外，则a的取值范围() A.(3,+∞) B.（-∞，3) C.(-3,+∞) D.（-3,3) 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆C:x2+y2+2x-2√2y+a=0化为标准方程得(x+1)'+(y-V2)=3-a, 因为点P1,2V②)在圆c外，所以 1+1+25-2>3-a,解得-3<a<3,所以a的取值范国(-3,3).故选：D 3-a>0 6.直线x-2y=0被圆C:(x-4)+(y-4)=4截得的弦长为（) A. 2W5 B.3V5 c.45 D.6V5 5 5 5 5 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心C到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解。 【详解】由圆C:(x-4)+(y-4)=4,可得圆心为C(4,4),半径为r=2, 则圆心C到直线x-2y=0的距离为d=44x1-4 V+(←2)25， 所以直线故国C我得的弦长为2-百-之（君-1S检途：C 7.已知两圆的方程C1:x2+y2-4x+2y-4=0,C,:x2+y2+6x-4y-12=0,则它们的公切线的条数为() A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】C 【分析】将两圆方程化成标准方程，分别求出圆心和半径，由此判断两圆的位置关系，从而得到它们的公切线的条 数 【详解】由C:x2+y2-4x+2y-4=0,得(x-2)+(y+1)2=9,所以圆心C(2,-1),半径为1=3： 由C2:x2+y2+6x-4y-12=0,得(x+3)+(y-2)2=25,所以圆心C2(-3,2),半径为1=5. 所以CC.=V(-3-2)'+(2+1)2=V34.因为-=2<V34<8=5+,所以两圆相交所以它们有两条公切线 故选：C 8.已知A(2,0),B(-1,0),点P满足PA=2PB,点2在圆C:(x+1)+(y-4)2=1上运动，点M在直线x-y-2=0 上运动，则PM+QM的最小值为() A.5√2-3 B.6√2-3 C.√73-3 D.4V5-3 【答案】C 【分析】根据条件|PA=2|PB|确定点P的轨迹，这是一个圆。然后，利用圆的对称性和点到直线的距离公式，结 合两点之间线段最短的原理，求出PM+QM的最小值 【详解】已知A(2,0),B(-1,0),且PA=2|PB|,设P(x,y),根据距离公式列方程：√：-2)2+y2=2Vx+1)+y2, 化简整理得：(x+2}+y2=4,因此，点P的轨迹是以C"(-2,0)为圆心、半径r=2的圆， Q在圆C:(x+1)2+(y-4)2=1上运动，根据圆上点到定点的距离性质， Q到M的最小距离为MC|-R=MC|-1,当Q在M与C的连线上且靠近M时取等号， P在圆C上运动，同理，P到M的最小距离为MC|-r=MCL-2, 当P在M与C'的连线上且靠近M时取等号，作C(-2,0)关于直线的对称点C", 直线的斜率为1，因此C'C"的斜率为-1，其方程为y=-x-2, 求CC"与直线的交点：解方程组 x-y-2=0 y=x-2，得交点为0-2)， 由中点坐标公式，C"的坐标为(2×0-(-2)，2×(-2)-0)=(2，-4)， 此时，|MC|+|MC曰MC"|+|MC以C"C|,当M在C"C与直线的交点时取等号， 1C"℃=V(2-(-1)2+(-4-4)2=√32+(-8)2=√73， 1PM|+QM=(MC'|-2)+(MC|-1)=MC'|+|MCI-3=√73-3，故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的 得6分，有选错的得0分. 9.已知a≠0，动直线l:x+y-1=0,则() A.a的值越大，l的斜率越大 B.1在y轴上的截距为定值 C.1在x轴上的截距为定值 D.1不可能经过坐标原点 【答案】BD 【分析】A选项，将一般式转化为斜截式得到斜率，然后判断即可；B选项，令x=0得到纵截距；C选项，令y=0 得到横截距，然后判断即可；D选项，将(0,0)代入直线方程验证 【详解】对于A,直线l:ax+y-1=0的方程可化为y=-ax+1,则a的值越大，l的斜率-a越小，故A错误： 对于B,令x=0,可得y=1,所以1在y轴上的截距为定值，故B正确： ，令y0,可得x=,因为口是变化的，所以1在x轴上的截距不是定值，故C 对于D,将(0,0)代入直线方程，可得-1=0，不成立，故D正确 故选：BD 10.古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题， 例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知 平面内有两点A(-1,O)和B(0,1),且该平面内的点P满足PA=√2PB,记点P的轨迹为圆C,则下列结论正确的 是() A.圆C的方程为(x-1)+(y+2)=4 B.PA4PB的最大值为8+6√5 C.M为直线x+2y+6=0上一动点，则MA+MP的最小值为2√13-2 D.若0为坐标原点，则AB.OP的最大值为3+2√5 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、三角代换法、平面向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可 【详解】设点P(x,y),因为PA=√2PB,所以V(x+1)2+y=√22+(y-),整理得(x-1)}+(y-2)'=4, 所以圆C的方程为(x-1)'+(y-2'=4,故A错误.因为PA=V2PB到，所以P4PB=√2PBP. 因为PBL✉=BC+=V2+2,所以(PAIPBI)=V5(V2+2=8+65,故B正确. [-1+0+2x6+6=0 b 设A关于直线x+2y+6=0的对称点为4(a),则6 2 2 a=-3, =2, 解得b=-4 a+1 因为MA=MA,所以MA+MP=MA+MP,所以当A',C,M三点共线时，MA+MP有最小值. 因为CA=V1+3)}+(2+4}=23,所以(M4+M）.=23-2,故C正确. 设P(1+2cos8,2+2sinθ)，8e[0,2m,因为AB=(1,1),OP-(1+2cos8,2+2sinθ)， 所以AB.OP=3+2sim6+2cos0=3+2N2sim0+ 4 所以当0=严时，AB.OP有最大值，最大值为3+22，故D正确。 故选：BCD 11.已知圆0：x2+y2=9,则() A.圆O关于直线1：x+y-1=0对称的圆的方程为(x-1)+(-1)=9 B.若圆O上恰有3个点到直线1：2x+4+b=0的距窝为，则b-士35 C.己知直线：(2+1)x+(m+1)y-1=0,则1被圆O截得的弦长的最小值是4 D.若过点P(3,5)作圆O的切线，则切线方程为8.x-15y+51=0 【答案】ABC 对于A:根据点关于直线对称求圆心，即可得方程；对于B:分析可知点到直线的距离d= 算求解：对于C:分析可知直线I过定点P(-1,2),结合圆的性质求弦长的最小值：对于D:分类讨论斜率是否存在， 进而求切线方程 【详解】圆O:x2+y2=9的圆心为O(0,0),半径r=3, (b=1 对于选项A:设点O(0,0)关于直线1：x+y-1=0对称的点为C(a,b),则 a=1 ,解得 a b -1=0 b=1 22 可知所求圆的圆心为C(1,1),半径r=3,所以圆O关于直线：x+y-1=0对称的圆的方程为(x-1)+(心-1)=9，故 A正确；对于选项B:因为点O(0,0)到直线1：2x+4y+b=0的距离为d= V4+162V5 后国O上怡有3个点到线2x+4y+6=0的距离为则d=1,即。3 即252解得b=士35，故B正确： 对于选项C:直线1：(2m+1)x+(m+1)y-1=0,即(2x+y)+(x+y-1)=0, 2x+y=0 x=-1 x+y-1=0'解得 令 y=2,可知直线1过定点P(-1,2), 因为oP=√5<r,则直线1与圆O相交， 且当oP1直线1时，直线1被圆O截得的弦长取到最小值2VP2-OP=4,故C正确： 对于选项D:因为切线过点P(3,5), 若切线斜率不存在，则切线方程为x=3,符合题意： 若切线斜率存在，设切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0,则 5-.解利号 Vk2+1 则切线方程为8x-15y+51=0;综上所述：所求切线方程为x=3或8x-15y+51=0,故D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线经过点(0,2)，倾斜角为胥，则该直线的方程为 【答案】y=V3x+2 【分析】根据倾斜角可得斜率，即可根据斜截式求解方程. 【详解】由于倾斜角为弩，故斜率为5，故直线方程为y=V3x+2,故答案为：y=V5x+2 13.过点(-1,6)且与直线2x-y+2=0平行的直线方程为 【答案】2x-y+8=0 【分析】设平行线方程，代入点坐标解得参数，即可求得结果 【详解】设与直线2x-y+2=0平行的直线方程为2x-y+c=0, 直线经过点（-1,6)，∴.-2-6+c=0,∴.c=8 ,与直线2x-y+2=0平行的直线方程为2x-y+8=0.故答案为：2x-y+8=0. 14.已知圆C:(x-ad)+y=4(a∈R)与圆C2:(x-2)+(y-4)=9有且仅有2条公切线，则实数a的取值范围 【答案】(-1,5) 【分析】利用已知条件得出圆心和半径，再利用公切线条件得出两圆相交，进而列不等式求出实数的取值范围. 【详解】'圆C:(x-a)+y2=4(aeR),圆心为C(a,0),半径1=2， 圆C2:(x-2)+(y-4)=9,圆心C2(2,4),半径2=3，又：两圆有且仅有2条公切线， .两圆相交，即-5<CC<2+1, lC,Cl=V(2-a)2+(4-0)2=V2-a'+16, .1<V(2-a)2+16<5,即1<(2-+16<25，由(2-a+16≥16>1恒成立， 只需解不等式(2-a)+16<25,即(2-a)2<9,解得-1<a<5,∴.实数a的取值范围为(-1,5). 故答案为：(1,5). 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知直线1经过点P(3,2) (1)若直线1在x轴上的截距是在y轴上的截距3倍，求直线l的方程： (2)若直线1与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点，求当△AOB的面积取得最小值时直线1的方程. 【答案】(1)2x-3y=0或x+3y-9=0. (2)2x+3y-12=0 【分析】(1)讨论截距是否为0，设直线方程后代入点坐标，然后求得结果」 (2)设直线1：y=,x+b,代入点P坐标，得到b,然后求出点A,B坐标，根据题意列出不等式，求得k,的取值范 围，利用基本不等式求得当k,取何值时△AOB面积取最小值，代入直线方程后得到结果 【详解】(1)当直线1在x轴上的截距和在y轴上的截距均为0时， 设直线1：y=kx,则2=3k,即片子，则1：2x-3=0, 当直线1在x轴上的截距和在y轴上的截距均不为0时， 设直线1在y轴上的截距为a,则在x轴上的截距为3a, 则直线1：之+)-1，即3+2=1，则a=3,则2：+=1，即1：x+3y-9=0 '3a a 3a a 93 (2)由题意可知，直线1斜率一定存在， 设直线1：y=k2x+b,则2=3k2+b,即b=2-3k2,则：y=kx+2-3k2, 令=0，则y-2站，令，则8号则4小会0a02-业以 2-3k2>0「3k2-2<0 3-2>0:3张，-2>0'即k<0 k2 (k2 8o4oe)2(%g】 当组仅当张是即七=号时取等号， 4 8aree-.字a-f .1:2x+3y-12=0 16.(15分)已知直线1：y=x+1与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)求点A(2,5)到直线1的距离： (2)若(0,0)，(2,0)，(1,3)三个点在圆上，求该圆的圆心和半径. 【答案】(I)√2； @圆心为0学，半径为号 【分析】(1)应用点线距离公式求距离： (2)将点坐标代入方程求出参数值，再把圆化为标准方程，即可得圆心和半径 12-5+1山=2： 【详解1(1)由题设，点A(25)到直线1：x-y+1=0的距离为+) F=0 「D=-2 8 (2)由题设 {4+2D+F=0 ,可得E=- 3 10+D+3E+F=0 F=0 所以圆的方程为C+v-2-骨0.C-小40李写 8 91 所以圆心为1，)， 半径为 17.(15分)已知直线1：x+2y-(1+2)=0和圆C:x2+y2-4y-5=0. (1)证明：直线1恒过定点；判断直线1与圆C的位置关系； (2)是否存在实数入使得圆C上恰有三点到直线1的距离为1？若存在，求出入的值：若不存在，请说明理由. 【答案】①)证明见解析，直线与圆C相交 (2)不存在，理由见解析 【分析】(1)直线1方程整理得(x-1)+2(y-1)=0,列式可得直线过定点M1,1),判断MQ,1)与圆的位置关系可得 直线l与圆C的位置关系： (2)由题意可得圆心C到直线l的距离d=2,解法一：由点到直线的距离列式根据判别式判断可得：解法二：由 圆心到直线l的距离d的最大值为CM=V(0-1)+(2-1)=2<2即可判断， 【详解】(1)直线1的方程x+y-(1+)=0,整理得(x-1)+(y-1)=0, x-1=0 x=1 该方程对任意实数1成立，于是有少一10，解得少=1 因此直线1恒过定点M1,1),而12+1-4×1-5=-7<0， 即点M1,1)在圆C内，所以直线l与圆C相交. (2)依题意，圆C:x2+y2-4y-5=0的圆心C(0,2),半径是3， 若圆C上恰有三点到直线1的距离为1，则圆心C到直线1的距离d=2, 解法：d:2-=2,两边平方整理得3以+22+3=0， V1+2 由△=22-4×3×3=-32<0，得该方程无实数解， 所以不存在实数入使得圆C上恰有三点到直线I的距离为1， 解法二：由(1)知直线1恒过定点M(L,1), 则圆心到直线1的距离d的最大值为CM=√0-1)2+(2-1)2=√2<2， 所以不存在实数入使得圆C上恰有三点到直线1的距离为1. 18.(17分)已知直线1：x+2y-a-4=0,其中a∈R. (1)求直线1所过定点. (2)当直线1在x轴上的截距是它在y轴上的截距3倍时，求实数a的值. (3)若直线1不经过第四象限，求实数α的取值范围 【答案】(1)(1,2) @-4或号 (3[-4,0] 【分析】(1)将直线l的方程化为a(x-1)+2y-4=0,列出相应的方程组，计算可得答案： (2)求出直线l在x轴上的截距，在y轴上的截距，列出方程，求出a的值： (3)由直线1恒过定点A(1,2),数形结合得0≤k≤k即可 【详解】(1)由直线1：x+2y-a-4=0可变为a(x-1)+2y-4=0, 「x-1=0 (2少-4=0·解得 v=2,所以直线1恒过定点L,2). (2)由题可得a≠0，在直线的方程中，令x=0,得y=2,令y=0,得x=Q十4 a 所以a+4 3014,即3d+10a-8=0,解得a=4或}，经检验，a=4或均符合要来 a 3 所以实数a的值为-4或号 (3)由直线l恒过定点A(1,2),如图，ka=2,1:y=-Cx+a+4 2 2, 要使直线1不经过第四象限，则0≤-≤2，解得-4≤a≤0，所以实数a的取值范围为-40] 19.(17分)如图，已知圆O:x2+y2=4,P是直线y=4上的动点，过点P作圆O的两 条切线，切点分别为A、B· (1)若PA⊥x轴，求四边形OAPB的面积： (2)若直线PA、PB与x轴分别交于点M(m,0)、N(,0),证明：9m2+9n2+30wm为定 值； (3)求线段AB的中点Q的轨迹方程。 【答案】(1)8 (②)证明见解析 (3)x2+y2-y=0(y≠0) 【分析】(1)连接OP,证明出△PAO≌△PBO,分析可知OA⊥AP,求出|PA、|OA,即可得出S四边形o4阳=2SaP, 结合三角形的面积公式可得出答案： (2)设P(2t,4),求出直线PM的方程，利用直线PM与圆O相切可得出32+4mm-4t2-16=0,同理有 3m2+4tm-4t2-16=0,进而可知m、n是方程3x2+4-4t2-16=0的两个实根，结合韦达定理可证得结论成立： (3)分析可知点A、B在以OP为直径的圆上，求出该圆的方程，将该圆方程与圆O的方程作差，可得出直线AB的 方程，可求出直线AB所过定点R的坐标，分析可知OO⊥RQ,点Q在以OR为直径的圆上，又可知线段AB为该圆 的直径，即可得出点Q的轨迹方程 【详解】(1)当PA⊥x轴时，不妨设P(2,4)、A(2,0),如图所示： VA B 所以AP=4,，OA=2,且OA⊥AP, 连接OP,由切线长定理可得PA=PB,PO=PO,，OA=|OB,故△PAO≌△PBO, 则as=2ae=22a4h-2x分2x4=8. (2)设P(2t,4),因为M(m,0) 所以直线PM的方程为4(x-m)=(2t-my,即4x-(2t-my-4m=0, 4 因为直线PM与圆O相切，所以 =2, V16+(2t-m)2 整理得3m2+41-4t2-16=0,同理有3m2+4m-4t2-16=0, 所以m、n是方程3x2+4-4t2-16=0的两个实根， 所以m+n= 3，-mm=-42+16 4t 3 所以92+9m2+30mn=9(m+n)2+12m=16t2-4(4t2+16)=-64为定值. (3)由题知OA⊥AP,OB⊥BP, 所以点A、B在以OP为直径的圆上， 由O(0,0)、P(2t,4)得该圆的方程为(x-t)+(y-2)=t+4, 将(x-t)2+(y-2)2=t+4与x2+y2=4相减，得直线AB的方程为tx+2y-2=0. 湘教版高中数学选择性必修第一册 第二章《平面解析几何初步》单元测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．直线在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 3．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知三角形ABC的顶点，，则三角形ABC的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 7．已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．已知，，点满足，点在圆：上运动，点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9．已知，动直线，则（   ） A．的值越大，的斜率越大 B．在轴上的截距为定值 C．在轴上的截距为定值 D．不可能经过坐标原点 10．古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 11．已知圆，则（    ） A．圆关于直线对称的圆的方程为 B．若圆上恰有3个点到直线的距离为，则 C．已知直线，则被圆截得的弦长的最小值是4 D．若过点作圆的切线，则切线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为 13．过点且与直线平行的直线方程为 14．已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15． （13分）已知直线经过点. (1)若直线在轴上的截距是在轴上的截距3倍，求直线的方程； (2)若直线与轴、轴的正半轴分别相交于两点，求当的面积取得最小值时直线的方程. 16．（15分）已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 17．（15分）已知直线和圆. (1)证明：直线恒过定点；判断直线与圆的位置关系； (2)是否存在实数使得圆上恰有三点到直线的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分）已知直线，其中． (1)求直线所过定点． (2)当直线在轴上的截距是它在轴上的截距倍时，求实数的值． (3)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围． 19．（17分）如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． (1)若轴，求四边形的面积； (2)若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $