第2章 平面解析几何初步 章末检测试卷(二)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

**基本信息** 高中数学直线与圆单元卷，覆盖直线方程、圆的性质及综合应用，通过基础题与创新题（如阿氏圆、售货区域建模）梯度设计，培养逻辑推理与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线倾斜角、垂直直线方程、对称直线、弦长计算|基础巩固，注重概念辨析| |多选|3/18|平行垂直判定、光线反射与圆相切|能力区分，考查综合应用| |填空|3/15|直线方程、定点问题、阿氏圆|创新应用，渗透数学文化| |解答|5/77|面积计算、轨迹方程、售货区域建模|综合探究，培养数学建模与逻辑推理|

章末检测试卷(二) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.直线y+1=(x-1)的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由直线y+1=(x-1)可得，斜率k=.设倾斜角为θ(0≤θ<π)，所以tan θ=，解得θ=. 2.过点(0，-2)且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程为(　　) A.2x-y+2=0 B.x+2y+2=0 C.2x-y-2=0 D.2x+y-2=0 答案　C 解析　设该直线方程为2x-y+m=0， 由于点(0，-2)在该直线上， 则2×0+2+m=0，即m=-2， 即该直线方程为2x-y-2=0. 3.直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为(　　) A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0 C.3x-4y+5=0 D.3x-4y-5=0 答案　A 解析　设所求直线上任意一点(x，y)， 则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)， 因为点(x，-y)在直线3x-4y+5=0上， 所以所求直线方程为3x+4y+5=0. 4.直线x+y-1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　B 解析　由题意，得圆心为(-1，0)，半径r=，弦心距d==， 所以所求的弦长为2=2. 5.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A.2 B.3 C.3 D.4 答案　C 解析　由题意，知M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l， 故其方程为x+y-6=0， 所以M到原点的距离的最小值为d==3. 6.若点P(1，1)为圆A：x2+y2-6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　) A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 答案　D 解析　由题意，知圆的标准方程为(x-3)2+y2=9，圆心A(3，0). 因为点P(1，1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN. 又AP的斜率k==-， 所以直线MN的斜率为2， 所以弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0. 7.若直线l与圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为A，B，则|AB|等于(　　) A.1 B. C. D.2 答案　C 解析　如图所示，设直线l交x轴于点M， 由于直线l与圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为A，B， 则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2， ∵|BC2|=2=2|AC1|， ∴C1为MC2的中点，A为BM的中点， ∴|MC1|=|C1C2|=2， 由勾股定理可得 |AB|=|MA|==. 8.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案　C 解析　圆的一般方程化为标准方程为(x+1)2+(y+2)2=8，则圆心为(-1，-2)，圆的半径为2，所以圆心到直线的距离为==，而<2，所以直线与圆相交.由于圆的半径为2，所以与直线x+y+1=0平行，且距离为的直线一条过圆心，另一条与圆相切，所以圆上到该直线的距离等于的点共有3个. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知两条直线l1，l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0，下列结论正确的是(　　) A.若l1∥l2，则a=6 B.若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为 C.若l1⊥l2，则a= D.若a≠6，则直线l1，l2一定相交 答案　AD 解析　若l1∥l2，则4a=3×8，∴a=6，故A正确； 由A知，l2：6x+8y-11=0，直线l1的方程可化为6x+8y+24=0， 故两条平行直线之间的距离为=，故B不正确； 若l1⊥l2，则3a+4×8=0， ∴a=-，故C不正确； 由A知，当a=6时，l1∥l2， ∴若a≠6，则直线l1，l2一定相交，故D正确. 10.由点A(-3，3)发出的光线l经x轴反射，反射光线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，则l的方程为(　　) A.4x-3y-3=0 B.4x+3y+3=0 C.3x+4y-3=0 D.3x-4y+3=0 答案　BC 解析　已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1， 它关于x轴对称的圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1， 由题意得光线l所在直线的斜率存在，故其方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定)，即kx-y+3k+3=0， 由题设知对称圆的圆心C'(2，-2)到这条直线的距离等于1，即d==1. 整理得12k2+25k+12=0， 解得k=-或k=-. 故所求的直线方程是y-3=-(x+3)或y-3=-(x+3)， 即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0. 11.已知圆C：x2+(y-2)2=2，点P是圆C上的一个动点，点A(2，0)，则(　　) A.≤|AP|≤3 B.∠PAC的最大值为 C.△PAC面积的最大值为2 D.·的最大值为12 答案　ACD 解析　对于A选项，圆C的圆心为C(0，2)，半径r=， 圆心C(0，2)到A(2，0)的距离d=2， ∴2-r≤|AP|≤2+r， 即≤|AP|≤3，故A正确； 对于B选项，根据题意，如图，当CP⊥AP时，∠PAC取得最大值， 此时△PAC为直角三角形，由于|AC|=2|CP|=2， ∴∠PAC=， 故∠PAC的最大值为，故B错误； 对于C选项，由于|AC|=2|CP|=2，∴当AC⊥CP时，△PAC的面积最大， 即△PAC面积的最大值为Smax=×2×=2，故C正确； 对于D选项，如图，当A，P，C三点共线时，与共线且同向， ||=2，||=3， ∴·=12，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知A(0，-1)，点B在直线x-y+2=0上，若直线AB平行于直线x+2y-3=0，则B点坐标为　　　　.  答案　(-2，0) 解析　因为直线AB平行于直线x+2y-3=0， 所以设直线AB的方程为x+2y+m=0(m≠-3)， 又点A(0，-1)在直线AB上， 所以0+2×(-1)+m=0，解得m=2， 所以直线AB的方程为x+2y+2=0， 联立两直线方程 解得故B点坐标为(-2，0). 13.已知l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0(m∈R)过定点A，则点A到直线n：x+y=1的距离是　　　　.  答案　2 解析　由题意得直线(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0恒经过定点A(-1，-2)，故点A到直线n：x+y=1的距离是d==2. 14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数λ(λ>0，λ≠1)，则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知A(-1，0)，B(0，1)，M是平面内一动点，且=，则点M的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　　　　.若点P在圆C：(x-2)2+y2=36上，则2|PA|+|PB|的最小值是　　　　　.  答案　x2+y2-2x-4y+1=0(或(x-1)2+(y-2)2=4)　 解析　设M(x，y)，则=， 整理得x2+y2-2x-4y+1=0(或(x-1)2+(y-2)2=4). 设P(x1，y1)，则(x1-2)2+=36， 故2|PA|=2 = = =. 令D(-10，0)，则2|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|BD|=. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)在x轴的正半轴上求一点P，使以A(1，2)，B(3，3)及点P为顶点的△ABP的面积为5. 解　设点P的坐标为(a，0)(a>0)，点P到直线AB的距离为d，由已知，得S△ABP=|AB|·d =·d=5， 解得d=2. 由已知易得，直线AB的方程为x-2y+3=0， 所以d==2， 解得a=7或a=-13(舍去)， 所以点P的坐标为(7，0). 16.(15分)已知直线l经过点P(-2，5)，且斜率为-. (1)求直线l的方程；(6分) (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.(9分) 解　(1)由直线方程的点斜式， 得y-5=-(x+2)， 整理得所求直线方程为3x+4y-14=0. (2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+C=0(C≠-14)， 由点到直线的距离公式得=3， 即=3， 解得C=1或C=-29， 故直线m的方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0. 17.(15分)有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每单位距离的运费是B地每单位距离运费的3倍.已知A，B两地相距40 km，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和商品价格的总费用较低.求A，B两地的售货区域的分界线曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点. 解　以点A，B所确定的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.易知A(-20，0)，B(20，0)， 设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/km，B地的运费为a元/km，因为P地居民购货总费用满足条件：价格+A地运费≤价格+B地运费. 所以3a≤a， 因为a>0， 所以3≤， 化简整理得(x+25)2+y2≤152， 所以以点(-25，0)为圆心，15为半径的圆是两地购货的分界线， 圆内的居民从A地购货便宜；圆外的居民从B地购货便宜；圆上的居民从A，B两地购货的总费用相等，因此可随意从A，B两地之一购货. 18.(17分)已知k∈R，圆C：x2+y2+2kx+(4k+10)y+(5k2+20k+9)=0. (1)若圆C与圆x2+y2=1外切，求实数k的值；(5分) (2)求圆心C的轨迹方程；(5分) (3)是否存在定直线l，使得动圆C截直线l所得的弦长恒为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.(7分) 解　(1)由圆C：x2+y2+2kx+(4k+10)y+(5k2+20k+9)=0， 化为标准方程为(x+k)2+(y+2k+5)2=42， ∴圆C的圆心为C(-k，-2k-5)， 半径r=4. ∵圆C与圆x2+y2=1外切， ∴=4+1=5， 解得k=0或k=-4. (2)由(1)得C(-k，-2k-5)， 即 消去k得y=2x-5， ∴圆心C的轨迹方程为y=2x-5. (3)设直线l交圆C于A，B两点， 设C(-k，-2k-5)到直线l的距离为d， 则|AB|=2， 假设存在符合题意的定直线l， 则=2， 解得d=， 即圆心C到直线l的距离恒为， 而圆心C的轨迹方程为2x-y-5=0， ∴可设直线l的方程为2x-y+t=0， 且=，|t+5|=， 解得t=-或t=-， ∴存在符合题意的定直线l， 且定直线l的方程为2x-y-=0或 2x-y-=0. 19.(17分)已知圆O：x2+y2=1及点M(1，4)和点A(2，8). (1)经过点M的直线l交圆O于C，D两点，直线CD不过圆心，过点C，D分别作圆O的切线，两切线交于点E，求证：点E恒在一条定直线上；(5分) (2)设点P为满足方程|PA|2+|PO|2=106的任意一点，过点P作圆O的一条切线，切点为B，在平面内是否存在一点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及该定值；若不存在，说明理由.(12分) (1)证明　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，E(x0，y0)， 由CE⊥CO，则x1(x1-x0)+y1(y1-y0)=0， 即-x1x0+-y1y0=0， 又+=1， 故x1x0+y1y0=1，同理x2x0+y2y0=1， ∴直线CD的方程为x0x+y0y=1， 又M在CD上， ∴x0+4y0=1，故点E恒在直线x+4y=1上. (2)解　由题设，若P(x，y)， 则(x-2)2+(y-8)2+x2+y2=106， 整理可得x2+y2=2x+8y+19， 若存在点Q(m，n)，使=k为定值， 而|PB|2=x2+y2-1， |PQ|2=(x-m)2+(y-n)2， ∴x2+y2-1=k(x-m)2+k(y-n)2， 整理得(1-k)(x2+y2)=k(m2+n2)-2mkx-2nky+1， ∴(1-k)(2x+8y+19)=k(m2+n2)-2mkx-2nky+1， 整理得(2-2k+2mk)x+(8-8k+2nk)y+18-19k-k(m2+n2)=0， 要使为定值，则 解得或 故存在点Q或Q(-1，-4)， 使为定值， 当点Q时，为； 当点Q(-1，-4)时，为. 学科网（北京）股份有限公司 $