广东珠海东方外语实验学校2026-2027学年上学期九年级数学第三周周练

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心内容，通过定义辨析、解法应用及实际问题（如贫困户收入增长、矩形篱笆设计），考查运算能力、推理意识与模型意识，适配九年级周测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5/20|一元二次方程定义、根的判别式、配方法|基础概念辨析，如第2题结合判别式与韦达定理判断根的符号| |填空题|5/20|方程参数、韦达定理、矩形面积问题|第9题通过花园小路设计考查图形转化，体现几何直观| |解答题|5/60|解方程、根的判别式证明、无盖盒子问题|第14题以贫困户收入增长为背景，考查增长率模型，具时代性| |综合与实践|1/20|矩形篱笆面积优化|分两问设置不同靠墙情境，层次递进，培养问题解决能力|

九年级数学第三周周练 班级： 姓名： 一．选择题(本大题有5小题,每小题4分，共20分) 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x+＝2 B．2x 2﹣x＝1 C．3x 3＝1 D．xy＝4 2．关于的一元二次方程的根的情况是（  ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 3．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（  ） A． B． C． D． 4．若方程的两根为，则的值为（  ） A． B．2 C． D．4 5．已知a是方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．1 B．－1 C．0 D．2 二．填空题(本大题有5小题,每小题4分，共20分) 6．若方程（m﹣1）﹣x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 ． 7．若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为 8.用一根长为40cm的细绳，围成一个面积为96 cm2的矩形，此矩形的长是 cm． 9.如图，某小区改造修建一个长32 m、宽18 m的矩形小花园，并在花园内修建一条水平、两条竖直的宽度相同的小路，余下部分进行绿化(图中阴影部分).设小路宽为x m，若绿化面积为448 m2，则可列方程为( )  A.32×18－32x－18x＝448 B.32×18－64x－18x＝448 C.(32－x)(18－2x)＝448 D.(32－2x)(18－x)＝448 10．已知m，n是方程x 2+ 3x﹣1＝0的两根，则m 2+ 4m +n的值为 . 三．解答题(本大题有8小题，共60分) 11．（20分）用适当的方法解方程： (1) ； (2) ； (3)； (4) . 12．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1x2＝10，求m的值． 13．（10分）有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长． 14．（10分）2023年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2025年，家庭年人均纯收入达到了3600元． （1）求该贫困户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2026年该户是否能脱贫？ 15.（12分）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 四、综合与实践（本题20分） 某农场准备利用长为12m的墙和一段长为24m的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为70m²时，求x的值； (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为70m²时，求x的值． 九年级数学第三周周练（解析版） 一．选择题(本大题有5小题,每小题4分，共20分) 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（） A．x+1/x=2 B．2x²-x=1 C．3x³=1 D．xy=4 答案：B 解析： 一元二次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，整式方程。 - A：分式方程； - B：满足一元二次方程定义； - C：最高次数3，一元三次方程； - D：含有两个未知数x、y。 2．关于x的一元二次方程x²-2x-3=0的根的情况是（） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 答案：D 解析： 判别式Δ=b²−4ac=(-2)²−4×1×(-3)=4+12=16>0，有两个不相等实数根； 由韦达定理，两根之积 x₁x₂=c/a =−3<0，两根异号。 3．用配方法解一元二次方程x²−4x−1=0，变形后的结果正确的是（） A．(x+2)²=5 B．(x−2)²=5 C．(x−2)²=3 D．(x+2)²=3 答案：B 解析： x²−4x−1=0 x²−4x=1 x²−4x+4=1+4 (x−2)²=5 4．若方程x²−4x-2=0的两根为x₁,x₂，则的值为（ ） A．0 B．2 C．−2 D．4 答案：C 解析：韦达定理，对于ax²+bx+c=0，=c/a； a=1,c=−2，=-2。 5．已知a是方程x²−x−1=0的一个根，则代数式a²−a的值是（） A．1 B．−1 C．0 D．2 答案：A 解析： 把x=a代入方程得 a²−a−1=0，移项：a²−a=1。 二．填空题(本大题有5小题,每小题4分，共20分) 6．若方程（m−1）x^(m²+1)−x−2＝0是一元二次方程，则m的值为 -1。 解析： 一元二次方程要求：{m²+1=2 {m−1≠0 m²=1 ⇒ m=±1，又m≠1，故m=−1。 7．若关于x的一元二次方程有一根为-1，则方程的另一个根 。 解析：韦达定理，两根之积x₁x₂=3；一根是1，另一根=3÷（−1）=-3。 8.用一根长为40cm的细绳，围成一个面积为96 cm²的矩形，此矩形的长是 12 cm。 解析： 周长40，则长+宽=20；设长x，宽20−x x(20−x)=96 x²−20x+96=0 (x−12)(x−8)=0 x₁=12，x₂=8；长大于宽，长为12cm。 9.如图，某小区改造修建一个长32 m、宽18 m的矩形小花园，并在花园内修建一条水平、两条竖直的宽度相同的小路，余下部分进行绿化(图中阴影部分).设小路宽为x m，若绿化面积为448 m²，则可列方程为( ) A.32×18－32x－18x＝448 B.32×18－64x－18x＝448 C.(32－x)(18－2x)＝448 D.(32－2x)(18－x)＝448 答案：D 解析：平移阴影绿化部分，拼成新矩形； 两条竖直小路，水平方向减去2x；一条水平小路，竖直方向减去x； 新矩形长(32−2x)，宽(18−x)，面积(32−2x)(18−x)=448。 10．已知m，n是方程x²+ 3x﹣1＝0的两根，则m²+ 4m +n的值为 -2。 解析： m是根，代入：m²+3m−1=0 ⇒ m²=−3m+1 韦达定理：m+n=−3 m²+4m+n = (−3m+1)+4m+n = m+n+1 = −3+1=−2 三．解答题(本大题有8小题，共60分) 11．（20分）用适当的方法解方程： (1) x²−6x+5=0； (2) 2x²+5x−3=0； (3) (x−3)²=2(x−3)； (4) x²−2x+1=25。 解： (1)因式分解 (x−1)(x−5)=0 x₁=1，x₂=5 (2)2x²+5x−3=0 因式分解：(2x−1)(x+3)=0 x₁=1/2，x₂=−3 (3)(x−3)²=2(x−3) 移项：(x−3)²−2(x−3)=0 (x−3)(x−3−2)=0 (x−3)(x−5)=0 x₁=3，x₂=5 (4)x²−2x+1=25 左边完全平方：(x−1)²=25 x−1=±5 x₁=6，x₂=−4 12．（8分）已知关于x的一元二次方程x²−(2m−2)x+(m²−2m)＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x₁，x₂，且x₁+x₂+x₁x₂＝10，求m的值。 (1)证明： Δ = [−(2m−2)]²−4×1×(m²−2m) =4m²−8m+4−4m²+8m =4>0 Δ>0，故方程总有两个不相等实数根。 (2)解： 韦达定理： x₁+x₂=2m−2， x₁x₂=m²−2m x₁+x₂+x₁x₂ =10 (2m−2)+(m²−2m)=10 m²−2=10 m²=12 m₁=2√3， m₂=−2√3 13．（10分）有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm²的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长。 解： 设小正方形边长为x cm，折后底面长(12−2x)，宽(8−2x) (12−2x)(8−2x)=32 96−40x+4x²=32 4x²−40x+64=0 x²−10x+16=0 (x−2)(x−8)=0 x₁=2，x₂=8； x=8时8−2x<0舍去； 答：截去小正方形边长2 cm。 14．（10分）2023年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2025年，家庭年人均纯收入达到了3600元． （1）求该贫困户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2026年该户是否能脱贫？ 解：(1) 设年平均增长率为r 2500(1+r)²=3600 (1+r)²=36/25 1+r=±6/5 增长率为正，1+r=6/5 ⇒ r=0.2=20%。 答：年平均增长率20%。 (2) 2026年收入：3600×(1+20%)=4320元 4320>4000，可以脱贫。 15.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t s。 (1) AP= t cm，BP= (6−t) cm，BQ= 2t cm（用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，△PBQ的面积为8cm²。 解(2)： S△PBQ=1/2 · BP · BQ 1/2 (6−t)·2t =8 t(6−t)=8 −t²+6t−8=0 t²−6t+8=0 (t−2)(t−4)=0 t₁=2，t₂=4； Q到C时间：8÷2=4s，t=2、4均符合题意。 答：t=2s或t=4s时面积为8cm²。 四、综合与实践（本题20分） 某农场准备利用长为12m的墙和一段长为24m的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为x m。 (1)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当菜地的面积为70m²时，求x的值； 解：平行墙边长x，篱笆总长：x+2·宽=24，宽=(24−x)/2；墙最大可用12m，故0<x≤12 x · (24−x)/2 =70 x(24−x)=140 −x²+24x−140=0 x²−24x+140=0 (x−10)(x−14)=0 x₁=10，x₂=14； 墙最长12m，x=14>12舍去； x=10。 (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜地面积为70m²时，求x的值。 解：平行墙边长x；墙最多贡献12m，多出部分需要篱笆补齐；篱笆总长24； 垂直墙的两边长度相等，设为y。 篱笆组成：(x−12)+2y=24 ⇒ 2y=36−x，y=(36−x)/2；x>12。 面积： x · (36−x)/2 =70 36x−x²=140 x²−36x+140=0 (x−2)(x−34)=0 x₁=2（小于12，舍去），x₂=34； 检验：y=(36−34)/2=1>0； x=34。 学科网（北京）股份有限公司 $