第一章 特殊平行四边形 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第一章“特殊平行四边形”基础同步练习，以“概念理解-性质应用-综合推理”分层设计，覆盖菱形、矩形、正方形核心知识点，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|判定定理、基本性质|选择形式巩固定义（如1.1菱形判定），培养抽象能力| |性质应用|边长、面积、角度计算|填空强化性质应用（如1.5最小值问题），发展运算能力| |综合拓展|多性质结合、折叠问题|解答题提升推理能力（如2.4矩形证明），体现模型意识|

北师大版（新课标）九年级上册同步练习（基础） 第一章 特殊平行四边形 练习一．菱形的性质与判定 1.1.下列命题中，真命题是（　　） A．一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形 B．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 〖答案〗C 解析： A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不是邻边相等，错误。 B选项，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，中心对称图形旋转180∘之后与原图重合，错误。 C选项，正确。 D选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，错误。O 综上所述，选C。 1.2.如右图，在菱形ABCD中，，AC=，则BD=（　　）O A．4 B．3 C．6 D． 〖答案〗C 解析： 已知，且菱形的邻边相等，所以三角形ABC是等边三角形，AB=BC=AC= 因为菱形的对角线互相垂直且平分，令AC与BD的交点为O点，AO=AC= 根据勾股定理，BO===3 所以BD=6，选C 1.3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若S菱形ABCD＝24，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 〖答案〗B 解析： 因为S菱形ABCD＝AC×BD÷2=24，BD＝6 得出AC=8 BO=BD=，CO=AC= 根据勾股定理，BC===5 C菱形ABCD＝4BC=20，选B。 1.4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝________° 〖答案〗115 解析： 已知在菱形ABCD中，∠B＝50°，所以∠D＝50° ∵AD=DC ∴=65° ∵AE＝AC ∴ ∴ ∵在菱形ABCD中，AB∥CD ∴ ∠BAE＝+=115 1.5.如图，菱形ABCD的边长为6 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________. 〖答案〗 解析： 已知四边形ABCD是菱形，对角线BD是菱形ABCD的对称轴，连接AP 得出AP=PC 所以PE+PC=PE+AP 当A,P,E三点共线时，PE+AP最小，此时AE=PE+AP，只需要求线段AE的长度 已知∠ABC＝60°，菱形中AB=BC，所以三角形ABC是等边三角形 又∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为6 cm ∴AB=BC=2BE=6 ①根据勾股定理，AE=== ②AE是等边三角形ABC中BC边上的中线，也是∠BAC的角平分线 ∴∠BAE=，在直角三角形ABE中，BE：AE：AB=1： ：2 代入得：AE= 综上所述，PE+PC的最小值为 1.6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝10，BD＝12，求OE的长． 〖答案〗（1）详见证明过程，（2）8 解析： （1）∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∵AC平分∠BAD ∴ ∴ ∴三角形ADC是等腰三角形，AD=DC ∴平行四边形ABCD是菱形 （2）由（1）可知，平行四边形ABCD是菱形 ∵AB＝10，BD＝12 ∴BO=6 根据勾股定理，AO===8 ∴AC=2AO=16 ∵CE⊥AB，O是AC的中点 在直角三角形AEC中，OE是斜边AC的中线 ∴OE=AC=8（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） 练习二．矩形的性质与判定 2.1.如下图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=4cm，，则BC的长为（　　）A B C D O A．3 B． C．2 D． 〖答案〗CH 解析： 在矩形ABCD中，已知AC=4cm， 得出BD=4，BO=OC=2，， 作OH垂直BC于点H，在直角三角形OBH中 OH：BH：OB=1： ：2 所以BH= ，BC=2，选C。 2.2.如右图，已知P为矩形ABCD内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD的长为（　　）E A．4.5 B．2 C． D．H F 〖答案〗D 解析：G 过P点作平行于AB与AD的线段，交AD，DC，BC，AB于点E，F，G，H 设PE=a，PF=b，PG=c，PH=d AP2=a2+d2，PD2=a2+b2，PC2=b2+c2，BP2=c2+d2 所以AP2+PC2=PD2+BP2 代入得：PD2=AP2+PC2-BP2=32+52-42=18 PD=，选D。 2.3.如右图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：；；；；；． 则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．④⑤⑥ 〖答案〗C 解析： A选项，①②得出平行四边形，加上③对角线相等，得出矩形，正确。 B选项，①②得出平行四边形，加上④一个角是直角，得出矩形，正确。 C选项，①②得出平行四边形，加上⑤对角线AB被平分，还是平行四边形，错误。 D选项，⑤⑥得出平行四边形，加上④一个角是直角，得出矩形，正确。 综上所述，选C。 2.4.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）若AE=2，求AB的长． 〖答案〗（1）详见证明过程，（2）4 解析： （1）在△ABC中 ∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线 ∴△ABC是等腰三角形，AD还是BC边上的高和中线 △ABC的外角∠CAM=∠B+∠ACB=2∠B ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线 ∴∠MAN=∠NAC=∠CAM=∠B ∴AN∥BC ∵CE⊥AN ∴CE⊥BC 又∵AD⊥BC ∴CE∥AD 在四边形ADCE中 ∴四边形ADCE为矩形 （2）∵ ∴△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=2DC 由（1）可知四边形ADCE为矩形 ∵AE=2 ∴DC=AE=2 ∴AB=4 2.5.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△BFE； （2）若CD=2，∠ADB=30°，求CE的长． 〖答案〗（1）详见证明过程，（2） 解析： （1）由题意可知：△ABD≌△FBD，四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠F=∠C=90°，AB=BF=DC，∠ADB=∠BDF 在△DCE与△BFE中 ∴△DCE≌△BFE（AAS） （2）∵∠ADB=30°，∠ADB=∠BDF ∴∠ADB=∠BDF=∠EDC=30° 在RT△DEC中，2EC=DE 设CE=x，DE=2x ∵CD=2 根据勾股定理，CE2+CD2=DE2 x2+22=（2x）2 解得：x= ∴CE= 练习三．正方形的性质与判定 3.1.已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，则下列说法准确的是（　　） A．当OA＝OC时，平行四边形ABCD为矩形 B．当AB＝AD时，平行四边形ABCD为正方形 C．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD为菱形 D．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形 〖答案〗D 解析： A选项，对角线AC被平分，还是平行四边形，错误。 B选项，平行四边形邻边相等，是棱形，错误。 C选项，平行四边形有一个角是直角，是矩形，错误。 D选项，平行四边形对角线互相垂直，是棱形，正确。 综上所述，选D。 3.2.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm.现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．2.5cm 〖答案〗B 解析： 由题意可知：△ABE≌△AB1E，四边形ABCD是矩形 所以AB=AB1，∠B=∠AB1E=90°，AB∥B1E，AB1∥BE 得出四边形ABEB1是正方形 BE=AB=6 CE=BC-BE=8-6=2，选B。 3.3.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形的边AB，BC于点M，N．记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S2＝9，则S1的大小为________． 〖答案〗16 解析： 在正方形ABCD与正方形OEGF中 ∠ABC=∠FOE=90°，OB=OC，∠ABO=∠ACB=45° 在四边形MONB中∠OMB+∠ONB=∠ABC+∠FOE=180° 另外∠ONC+∠ONB=180° ∴∠OMB=∠ONC 在△OMB与△ONC中 ∴△OMB≌△ONC（AAS） ∴S2=S△OMB S1+S2=S1+S△OMB=S四边形ABCD=×102=25 ∴S1=16 3.4.如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的任意一点，BF⊥AE，垂足为G，交CD于点F． （1）求证：AE=BF．A B C D E F G （2）若，求． 〖答案〗（1）详见证明过程，（2）125° 解析： （1）∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC， ∠ABC=∠BCD=90° ∵BF⊥AE ∴∠EGF=90° 在四边形EGFC中∠EGF+∠BCD=∠GEC+∠GFC=180° 又∵∠GEC+∠AEB=180° ∴∠AEB=∠GFC 在△AEB与△BFC中 ∴△AEB≌△BFC（AAS） ∴AE=BF （2）∵BF⊥AE ∴∠AGF=90° ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠D=90° 在四边形AGFD中 ∵ ∴=360°-∠AGF-∠D-∠=125° 3.5.已知：在正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．求证：MD=MN． 〖答案〗详见证明过程 解析： 取AD的中点G，连接GMG A B C D M E N 在正方形ABCD中 ∵M为AB的中点 ∴DG=GA=AM=MB=AD=AB ∵ ∴△AGM是等腰直角三角形 ∴ ∵BN平分∠CBE ∴ ∴ ∴ ∵MN⊥MD， ∴∠DMA+∠NMB=∠DMA+∠MDG=90° ∴∠NMB=∠MDG 在△NMB与△MDG中 ∴△NMB≌△MDG（ASA） ∴MD=MN 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版（新课标）九年级上册同步练习（基础） 第一章 特殊平行四边形 练习一．菱形的性质与判定 1.1.下列命题中，真命题是（　　） A．一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形 B．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 1.2.如右图，在菱形ABCD中，，AC=，则BD=（　　） A．4 B．3 C．6 D． 1.3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若S菱形ABCD＝24，BD＝6，则菱形ABCD的周长是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 1.4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝________° 1.5.如图，菱形ABCD的边长为6 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________. 1.6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝10，BD＝12，求OE的长． 练习二．矩形的性质与判定 2.1.如下图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=4cm，，则BC的长为（　　）A B C D O A．3 B． C．2 D． 2.2.如右图，已知P为矩形ABCD内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD的长为（　　） A．4.5 B．2 C． D． 2.3.如右图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：；；；；；． 则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．④⑤⑥ 2.4.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）若AE=2，求AB的长． 2.5.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△BFE； （2）若CD=2，∠ADB=30°，求CE的长． 练习三．正方形的性质与判定 3.1.已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，则下列说法准确的是（　　） A．当OA＝OC时，平行四边形ABCD为矩形 B．当AB＝AD时，平行四边形ABCD为正方形 C．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD为菱形 D．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形 3.2.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm.现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．2.5cm 3.3.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形的边AB，BC于点M，N．记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S2＝9，则S1的大小为________． 3.4.如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的任意一点，BF⊥AE，垂足为G，交CD于点F． （1）求证：AE=BF．A B C D E F G （2）若，求． 3.5.已知：在正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．求证：MD=MN． A B C D E M N G 学科网（北京）股份有限公司 $