小升初奥数讲义 第5讲 行程问题综合（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数冲刺专题 ★ 第5讲 · 行程问题综合 小升初奥数冲刺专题讲义★★★★★ 第5讲 行程问题综合 讲次 第5讲 专题 行程问题综合 适用年级 小学六年级 建议课时 2课时（90分钟） 难度星级 ★★★★☆ 后续衔接 初中 · 一元一次方程应用 核心考点 相遇与追及 / 环形跑道 / 流水行船 / 火车过桥 / 比例法 / 平均速度 【学习目标】 1. 掌握行程问题三要素（路程、速度、时间）及基本公式，熟练进行单位互化； 2. 掌握相遇问题的数量关系：路程和 = 速度和 × 时间； 3. 掌握追及问题的数量关系：路程差 = 速度差 × 时间； 4. 掌握环形跑道上反向相遇与同向追及两种情形； 5. 掌握流水行船中顺水、逆水速度与船速、水速的关系； 6. 掌握火车过桥的两种模型，并能用比例法、线段图法解决较复杂的行程问题。 【前言】 行程问题一直是小升初奥数的“重头戏”，几乎每年必考。它变化万千，但万变不离其宗——只要抓住“路程、速度、时间”三要素，掌握“路程和”与“路程差”两大关系，再学会画线段图，任何行程题都能迎刃而解。 本讲把相遇、追及、环形跑道、流水行船、火车过桥、比例法六大模型集中起来，通过 9 道原创例题和 15 道分层习题，帮你把行程问题的解题体系一次建全。 一、知识导航 · 六大行程模型 图1 行程问题六大模型 · 知识地图（先读图，再读题） 考点速查表 模型 核心关系式 关键技巧 常见题型 相遇问题 路程和 = 速度和 × 时间 同时出发，时间相同 求时间/速度/路程 追及问题 路程差 = 速度差 × 时间 快的在后，慢的在前 求追上时间 环形跑道 反向：路程和 = 1圈 同向：路程差 = 1圈 一圈长度即一个单位 相遇/追上时间 流水行船 v顺 = v船+v水；v逆 = v船−v水 顺水加、逆水减 求船速/水速 火车过桥 完全通过：桥长+车长 完全在桥上：桥长−车长 别漏了车长 求时间/车长 比例法 速度比 = 路程比（时间相同） 先求一份量 求全程/路程 二、核心方法精讲 · 例题与变式 【例1】 相遇问题——基本公式 题目：如图2，A、B 两地相距 420 千米，一辆客车从 A 地出发，每小时行 60 千米；一辆货车从 B 地出发，每小时行 45 千米。两车同时出发相向而行，几小时后相遇？ 图2 相遇问题：甲、乙相向而行，时间相同 【分析】 两车相向而行，每小时共同接近 60+45=105 千米，即“速度和”。用总路程除以速度和就是相遇时间。 【解答】 第一步：速度和 = 60+45=105（千米/时）。 第二步：相遇时间 （小时）。 答：4 小时后相遇。 【方法点睛】 相遇问题核心：路程和 = 速度和 × 时间。两人同时出发，相遇时所用时间相同，这是列式的基础。 【变式1-1】 题目：甲、乙两车从相距 540 千米的两地同时出发相向而行，3 小时后相遇。已知甲车每小时行 85 千米，乙车每小时行多少千米？ 【解答】 速度和 = （千米/时）；乙车速度 = （千米/时）。 答：乙车每小时行 95 千米。 【例2】 追及问题——基本公式 题目：如图3，小明每分钟走 80 米，小红每分钟走 60 米。小红先出发 10 分钟后，小明从同一地点出发去追小红。小明需要多少分钟追上小红？ 图3 追及问题：乙先行一段，甲再追 【分析】 小红先走 10 分钟，已经领先 60×10=600 米（路程差）。小明每分钟比小红多走 80−60=20 米（速度差），用路程差除以速度差就是追上所需时间。 【解答】 第一步：路程差 = 60×10=600（米）。 第二步：追上时间 （分钟）。 答：小明需要 30 分钟追上小红。 【方法点睛】 追及问题核心：路程差 = 速度差 × 时间。先找“谁领先多少”，再算“每分钟追多少”。 【变式2-1】 题目：甲每分钟跑 100 米，乙每分钟跑 80 米。乙先出发 6 分钟后，甲从同一地点出发追乙，几分钟后甲追上乙？ 【解答】 路程差 = （米）；速度差 = （米/分）； 追上时间 = （分钟）。 答：24 分钟后甲追上乙。 【例3】 环形跑道——反向相遇与同向追及 题目：如图4，一条环形跑道长 400 米。甲、乙两人从同一地点同时出发：若反向而行，4 分钟后第一次相遇；若同向而行，20 分钟后甲第一次追上乙。求甲、乙各自的速度。 图4 环形跑道：反向相遇与同向追及 【分析】 反向而行是相遇问题：两人合跑一圈，路程和 = 400 米，速度和 = 400÷4=100（米/分）。同向而行是追及问题：甲比乙多跑一圈才追上，路程差 = 400 米，速度差 = 400÷20=20（米/分）。由速度和与速度差可求两人速度。 【解答】 第一步：速度和 = 400÷4=100（米/分）；速度差 = 400÷20=20（米/分）。 第二步：甲速 = (100+20)÷2=60（米/分）；乙速 = (100−20)÷2=40（米/分）。 答：甲每分钟跑 60 米，乙每分钟跑 40 米。 【方法点睛】 环形跑道记两句话：反向跑，合跑一圈是相遇；同向跑，多跑一圈是追上。知道“和”与“差”，用和差公式求两速。 【变式3-1】 题目：环形跑道长 500 米，甲、乙两人从同一地点同时出发。反向而行 2 分钟后第一次相遇；同向而行 25 分钟后甲第一次追上乙。求两人的速度。 【解答】 速度和 = （米/分）；速度差 = （米/分）。 甲速 = （米/分）；乙速 = （米/分）。 答：甲每分钟跑 135 米，乙每分钟跑 115 米。 【例4】 流水行船——顺水与逆水 题目：如图5，一条船在静水中每小时行 24 千米，水流速度是每小时 6 千米。船顺水行驶 120 千米需要多少小时？返回原地（逆水）需要多少小时？ 图5 流水行船：顺水加、逆水减 【分析】 顺水时水推船走，实际速度 = 船速 + 水速 = 30 千米/时；逆水时水阻碍船行，实际速度 = 船速 − 水速 = 18 千米/时。分别用路程除以实际速度。 【解答】 第一步：顺水速度 = 24+6=30（千米/时）；逆水速度 = 24−6=18（千米/时）。 第二步：顺水时间 （小时）。 第三步：逆水时间 小时 40 分。 答：顺水需要 4 小时，逆水返回需要 6 小时 40 分。 【方法点睛】 顺水速度 = 船速 + 水速，逆水速度 = 船速 − 水速；已知顺、逆速度还能反求船速、水速：船速 = (顺+逆)÷2，水速 = (顺−逆)÷2。 【变式4-1】 题目：一艘轮船顺水航行 8 小时行了 240 千米，逆水航行 12 小时行了同样的路程。求轮船在静水中的速度和水流速度。 【解答】 顺水速度 = （千米/时）；逆水速度 = （千米/时）。 船速 = （千米/时）；水速 = （千米/时）。 答：静水中船速 25 千米/时，水流速度 5 千米/时。 【例5】 火车过桥——两种模型 题目：如图6，一列火车长 200 米，以每秒 20 米的速度通过一座长 800 米的大桥。火车完全通过大桥需要多少秒？火车完全在桥上（从车头上桥到车尾离开桥）的时间又是多少秒？ 图6 火车过桥：完全通过与完全在桥上 【分析】 完全通过大桥：从车头上桥到车尾离桥，火车实际行驶的路程 = 桥长 + 车长 = 1000 米。完全在桥上：从车尾上桥到车头离桥，行驶路程 = 桥长 − 车长 = 600 米。 【解答】 第一步：完全通过的路程 = 800+200=1000（米）。 第二步：完全通过时间 （秒）。 第三步：完全在桥上的路程 = 800−200=600（米）。 第四步：完全在桥上时间 （秒）。 答：完全通过需要 50 秒，完全在桥上需要 30 秒。 【方法点睛】 火车过桥画一画：完全通过“车头上桥、车尾离桥”，路程 = 桥长+车长；完全在桥上“车尾上桥、车头离桥”，路程 = 桥长−车长。 【变式5-1】 题目：一列火车长 150 米，完全通过一条长 900 米的隧道用了 35 秒。这列火车的速度是多少米/秒？ 【解答】 完全通过的路程 = （米）；速度 = （米/秒）。 答：火车速度是 30 米/秒。 【例6】 中点相遇——路程差加倍 题目：甲、乙两车从相距 360 千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行 70 千米，乙车每小时行 50 千米。两车相遇时，相遇点距离两地的中点多少千米？ 【分析】 甲快乙慢，相遇点偏向乙的出发点一侧。甲比乙多走的路程，就是相遇点距中点距离的 2 倍。先求相遇时间，再算甲、乙各自路程，与中点比较。 【解答】 第一步：相遇时间 = 360÷(70+50)=3（小时）。 第二步：甲走 70×3=210（千米）；乙走 50×3=150（千米）。 第三步：中点距 A 地 360÷2=180（千米）；相遇点距中点 210−180=30（千米）。 答：相遇点距离两地中点 30 千米。 【方法点睛】 “距中点 X 千米相遇”时，快的比慢的多走 2X 千米，即路程差 = 2×距中点距离。用路程差 ÷ 速度差可直求相遇时间。 【变式6-1】 题目：两地相距 300 千米，甲、乙两车同时从两地相向而行，甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行 55 千米。相遇时甲车比乙车多行多少千米？相遇点距中点多少千米？ 【解答】 相遇时间 = （小时）；甲走 162.5 千米，乙走 137.5 千米，甲比乙多行 25 千米。 中点距 A 地 150 千米，相遇点距中点 （千米）。 答：甲比乙多行 25 千米，相遇点距中点 12.5 千米。 【例7】 比例法——速度比转化为路程比 题目：如图7，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，两人的速度比是 5 : 4，相遇时甲比乙多走了 18 千米。A、B 两地相距多少千米？ 图7 比例法：速度比 5 : 4，相遇点把全程分成 9 份 【分析】 时间相同，路程比等于速度比。全程被分成 5+4=9 份，甲走 5 份、乙走 4 份，甲比乙多走 1 份，正好对应 18 千米。 【解答】 第一步：相遇时甲、乙路程比 = 5 : 4，全程共 5+4=9 份。 第二步：每份 = 18÷(5−4)=18（千米）。 第三步：全程 （千米）。 答：A、B 两地相距 162 千米。 【方法点睛】 时间相同时，速度比 = 路程比。用“多的份数”对应“多走的路程”，先求一份量，再求全程，比列方程更快。 【变式7-1】 题目：甲、乙两人从两地同时出发相向而行，速度比是 7 : 5，相遇时甲比乙多走了 20 千米。两地相距多少千米？ 【解答】 全程共 7+5=12 份，每份 = （千米）；全程 = （千米）。 答：两地相距 120 千米。 【例8】 平均速度——不能简单取平均 题目：小明从家去学校，去时每分钟走 60 米，原路返回时每分钟走 90 米。小明往返一次的平均速度是多少米/分？ 【分析】 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，不能把两个速度简单平均。设单程路程为 1 份（或设具体值，如 180 米），分别算出往返时间再求平均。 【解答】 第一步：设单程路程为 180 米，去时用时 180÷60=3（分），返回用时 180÷90=2（分）。 第二步：平均速度 （米/分）。 答：往返平均速度是 72 米/分。 【方法点睛】 往返平均速度 = 2v₁v₂ ÷ (v₁+v₂)（去回路程相同）。也可设具体路程，按“总路程 ÷ 总时间”求，最不容易出错。 【变式8-1】 题目：小刚骑车上山每小时行 3 千米，沿原路下山每小时行 6 千米。他上下山往返的平均速度是多少千米/时？ 【解答】 平均速度 = （千米/时）。 答：往返平均速度是 4 千米/时。 【例9】 线段图法——分段行程 题目：小明从家出发去图书馆，先以每分钟 60 米的速度走了 10 分钟，休息 5 分钟后，又以每分钟 90 米的速度走了 10 分钟到达图书馆。小明家到图书馆有多远？全程平均速度是多少？ 【分析】 分段求路程：第一段 60×10=600 米，第二段 90×10=900 米，总路程是两段之和。平均速度用总路程除以总时间（含休息时间）。 【解答】 第一步：第一段路程 = 60×10=600（米）；第二段路程 = 90×10=900（米）。 第二步：总路程 = 600+900=1500（米）。 第三步：总时间 = 10+5+10=25（分钟）。 第四步：平均速度 （米/分）。 答：家到图书馆 1500 米，全程平均速度 60 米/分。 【方法点睛】 分段行程“一段一段算”：各段路程相加得总路程，各段时间相加得总时间（休息也算时间），再求平均速度。 【变式9-1】 题目：小丽从家到公园，先以每分钟 80 米的速度走了 5 分钟，又以每分钟 60 米的速度走了 5 分钟到达公园。小丽全程的平均速度是多少米/分？ 【解答】 总路程 = （米）；总时间 = （分钟）；平均速度 = （米/分）。 答：全程平均速度是 70 米/分。 三、直观理解 · 公式速查与两大原理 图8 行程问题公式速查表 原理一：线段图法 凡是行程问题，先画一条线段表示全程，把甲、乙（或先、后）的运动方向、速度、时间标在图上。画图之后，“路程和”与“路程差”一目了然，公式自然就列出来了。 原理二：平均速度 平均速度不是速度的平均，而是“总路程 ÷ 总时间”。往返问题中，设单程为 1（或任意方便的数），总路程为 2 份，再除以总时间，就得到往返平均速度。 四、方法总结 · 行程六大方法 方法 适用场景 核心步骤 注意事项 公式法 直接求路程/速度/时间 代入公式 S=vt 单位统一 相遇法 相向而行 路程和 = 速度和×时间 时间相同 追及法 同向而行、一快一慢 路程差 = 速度差×时间 快的在后 和差法 环形跑道两速问题 甲=(和+差)÷2，乙=(和−差)÷2 分清反向/同向 比例法 速度比已知 速度比 = 路程比，先求一份 时间相同才成立 线段图法 复杂分段行程 画图 → 分段求 → 总和 休息也算时间 五、口诀记忆 · 六句箴言 1. 行程三要素记心间，路程速度乘时间； 2. 相向而行算路程和，速度和乘时间即见； 3. 同向追及算路程差，速度差乘时间追平； 4. 环形跑道记两点，反向相遇同向追； 5. 流水行船分顺逆，顺加逆减水作陪； 6. 火车过桥看车长，完全通过桥加车。 六、易错警示 · 五道雷区 雷区一：单位不统一就计算。千米/时与米/分混用，结果必错；先换算再算。 雷区二：追及问题把“领先路程”当成“速度差”。先分清路程差和速度差。 雷区三：平均速度直接取两个速度的平均数。必须用总路程 ÷ 总时间。 雷区四：火车过桥忘了加（或减）车长。完全通过是桥长+车长，完全在桥上是桥长−车长。 雷区五：环形跑道同向追及，以为追上一次是半圈。同向追上必须多跑一整圈。 七、分层训练 · 15 关闯关 A 组 · 基础过关（每题 10 分） A1．甲、乙两地相距 420 千米，一辆客车从甲地出发每小时行 80 千米，一辆货车从乙地出发每小时行 60 千米，两车同时相向而行，几小时后相遇？ A2．小明每分钟走 90 米，小刚每分钟走 70 米。小刚先出发 8 分钟后，小明从同一地点出发追小刚，多少分钟后小明追上小刚？ A3．一条环形跑道长 400 米，甲、乙两人从同一点反向出发，4 分钟后第一次相遇。两人的速度和是多少？ A4．一条船在静水中每小时行 18 千米，水流速度是每小时 4 千米。船顺水航行 110 千米需要多少小时？ A5．一列火车长 100 米，以每秒 25 米的速度完全通过一座长 500 米的大桥，需要多少秒？ B 组 · 能力进阶（每题 15 分） B1．一辆汽车从甲地到乙地去时每小时行 40 千米，返回时每小时行 60 千米。往返的平均速度是多少千米/时？ B2．两地相距 320 千米，甲、乙两车同时从两地相向而行，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米。相遇时，相遇点距离两地中点多少千米？ B3．环形跑道长 600 米，甲、乙两人从同一点同向出发，甲 12 分钟后第一次追上乙。两人的速度差是多少米/分？ B4．一列火车完全通过一座长 450 米的桥用了 30 秒，火车完全在桥上行驶了 10 秒。求火车的速度和车长。 B5．一艘轮船顺水航行 3 小时行了 90 千米，逆水航行 5 小时行了同样的路程。求轮船在静水中的速度和水流速度。 C 组 · 挑战极限（每题 20 分） C1．甲、乙两人分别从相距 120 千米的两地同时相向而行，甲每小时行 30 千米，乙每小时行 20 千米。两人到达对方出发点后立即返回，第二次相遇时距甲出发地多少千米？ C2．甲、乙两人的速度比是 4 : 3，甲每小时比乙多行 6 千米。乙先行 1 小时后，甲从同一地点出发追乙，几小时追上？ C3．一列火车通过一座长 320 米的隧道用了 20 秒，通过一座长 520 米的大桥用了 30 秒。求火车的速度和车长。 C4．环形跑道长 800 米，甲每分钟跑 120 米，乙每分钟跑 80 米，两人同时同地同向出发。甲第一次追上乙时，两人各跑了多少米？ C5．小华从家到学校共 720 米。前半程他以每分钟 60 米的速度走，后半程以每分钟 90 米的速度走。小华走完全程的平均速度是多少米/分？ 八、详细解析 · 参考答案 A 组解析 A1：相遇时间 （小时）。 A2：路程差 = （米）；速度差 = （米/分）；追上时间 = （分钟）。 A3：速度和 = （米/分）。 A4：顺水速度 = （千米/时）；时间 = （小时）。 A5：完全通过的路程 = （米）；时间 = （秒）。 B 组解析 B1：平均速度 = （千米/时）。 B2：相遇时间 = （小时）；甲走 千米，中点距 A 地 160 千米，相遇点距中点 （千米）。 B3：速度差 = （米/分）。 B4：设速度为 v、车长为 L：，两式相加得 （米/秒）；车长 （米）。 B5：顺水速度 = （千米/时）；逆水速度 = （千米/时）；船速 = ，水速 = （千米/时）。 C 组解析 C1：第一次相遇时间 = （小时）。 第二次相遇两人共走 3 个全程，总路程 = （千米）， 时间 = （小时）。 甲走 （千米），即从 A 到 B（120 千米）后返回走了 96 千米，距甲出发地 A 地 （千米）。 C2：速度比 4 : 3，甲比乙多 1 份对应 6 千米/时：甲速 = 24 千米/时，乙速 = 18 千米/时。乙先行 1 小时走 18 千米，甲追上需 （小时）。 C3：速度 （米/秒）；车长 = 20×20−320=80（米）。 C4：追上时间 = （分钟）；甲跑 （米），乙跑 （米）。 C5：前半程用时 （分钟），后半程用时 （分钟），总时间 10 分钟；平均速度 = （米/分）。 九、本讲小结 1. 三要素：路程 = 速度 × 时间，三量知二求一，单位务必统一； 2. 相遇：路程和 = 速度和 × 时间；追及：路程差 = 速度差 × 时间； 3. 环形跑道：反向合跑一圈是相遇，同向多跑一圈是追上； 4. 流水行船：顺水加、逆水减，船速 = (顺+逆)÷2，水速 = (顺−逆)÷2； 5. 火车过桥：完全通过桥长加车长，完全在桥上桥长减车长； 6. 比例法、线段图法、平均速度公式是三大提速武器。 十、学习建议 1. 先默写公式速查表（图8），把六个模型的核心关系式记牢； 2. 每个题目先画线段图再列式，养成“图先行”的好习惯； 3. 遇到比例法题目，先写出“时间相同，速度比 = 路程比”再设份数； 4. 平均速度类题目，用“总路程 ÷ 总时间”，不要直接平均两个速度； 5. 建议限时 60 分钟完成全部 15 关，对照解析订正错因，重点突破错题。 下讲预告 · 工程与浓度问题 下一讲我们将攻克小升初应用题的两大“效率型”问题：工程问题的“总量 = 效率 × 时间”与浓度问题的“溶质 ÷ 溶液”。单位 1 思想、设份数、十字交叉法，三件利器一次配齐，敬请期待！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $