专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，北京专用）高二数学上学期

专题03 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．B 2．A 3．C 4．D 5．A 6．C 7．C 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D 13．C 14．C 15．A 16．A 17．A 18．C 19．D 20．B 21．B 22．A 23．B 24．D 25．【答案】 【分析】 利用椭圆的定义可求解. 【详解】 因为椭圆，所以可得，所以， 又因为点为椭圆上一点，所以. 故答案为：. 26．【答案】 【分析】 根据计算可得. 【详解】 因为椭圆：（）的一个焦点为， 则，，所以. 故答案为： 27．【答案】8 【详解】根据椭圆的定义可求的周长. 【详解】 的周长为， 故答案为：8. 28．【答案】 【分析】 由焦点坐标求得，即可求解. 【详解】 由题意可知，焦点在轴上， 所以，即， 所以， 故答案为： 29．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意，任意写出一个过点的椭圆标准方程即可. 【详解】 椭圆，过点，符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 30．【答案】或（二选一即可） 【分析】 由椭圆的对称性确定椭圆必经过，然后设椭圆方程，由在椭圆上或在椭圆上即可求出椭圆的标准方程. 【详解】 由椭圆的对称性可知，必在椭圆上， 设椭圆方程为， 若在椭圆上，则 ，解得 ，即椭圆方程为， 若在椭圆上，则 ，解得 ，即椭圆方程为， 故答案为：或（二选一即可） 31．【答案】3 【分析】 由椭圆方程求出，即可得到焦点，坐标，然后求出交点，坐标，由，得到的面积. 【详解】 椭圆，则，即，， 令，则，解得，即， ∵，∴. 故答案为：3. 32．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再求出，即可求出椭圆方程； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得，解方程求得的值，即可求解. (1) 小问详解： 依题意 ，所以 ，则， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组 ，整理得到， 由，解得， 设，，则，， 所以的面积 ， 平方化简得，解得，所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 34．【答案】(答案不唯一) 【分析】 根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解. 【详解】 因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，所以,解得：,则的一个取值为； 故答案为：(答案不唯一) 35．【答案】①     ② 和 【分析】 直接根据椭圆的几何性质进行求解即可. 【详解】 由椭圆，可知其焦点在轴上且，，. 即：，. 因此可得：椭圆的长轴长为；其焦点坐标为和. 故答案为：；和 36．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）利用椭圆方程求得，可求得焦点坐标； （2）利用椭圆方程求得，可求椭圆离心率； （3）把直线代入椭圆的方程，利用求解即可. (1) 小问详解： 由椭圆，得，所以， 所以，所以椭圆的左右焦点坐标为，. (2) 小问详解： 由（1）可得，所以， 所以椭圆的离心率为； (3) 小问详解： 由 ，可得，整理得. 因为直线与椭圆有且只有一个交点，所以， 解得，所以直线与椭圆有且只有一个交点，实数的值为. 37．【答案】（1）     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由即可求解. (1) 小问详解： 因为椭圆E的焦点在轴上， 所以设椭圆E的标准方程为. 由椭圆的定义可得：， ， 所以，. 所以椭圆E的标准方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，. 联立 ， 整理得. 依题意得，. 解得，或. 所以，k的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，. . 因为，所以， 即. 所以. 解得. 所以的值为. 38．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由离心率以及椭圆经过的点即可求解的值， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，结合中点坐标公式，得到，由点到直线的距离公式以及弦长公式，得三角形的面积表达式，结合二次函数的性质即可求解. (1) 小问详解：             . 又在椭圆上           . 所以，椭圆方程为. (2) 小问详解： 由已知直线的斜率存在. 设直线方程为，，， 由 ， 得． 由，得．① ，．               又中点在直线上，        即， 将之代入① 得 ，所以． ， 点到直线的距离， ． 设，． ． 时，的最大值为． 39．【答案】①     ② 【分析】 （1）根据椭圆方程，以及几何关系，分别求和，再求；（2）首先设，，结合椭圆的定义，以及几何关系，在和中，根据勾股定理，列式求解. 【详解】 （1）若，，则， ，， 由条件可知，， 所以，且， 所以，, 所以； （2）设，， 则，， 在中，， 即，解得， 即，， 在中，， 即， 解得：，所以椭圆的离心率为. 故答案为：； 40．【答案】 【分析】 由椭圆定义可得，，从而，进而的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由此能求出动点的轨迹方程． 【详解】 为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点， 延长至点，使得， ，， ， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为． 故答案为： 41．【答案】① 8    ② 3 【分析】 根据椭圆的定义以及性质，即可容易求得. 【详解】 设椭圆的右焦点为， 根据椭圆的定义可知， 当且仅当经过右焦点时，取得最大值. 此时直线，代入椭圆方程可得， 此时. 故答案为：8；3. 【点睛】 本题考查椭圆的定义以及性质，属综合中档题. 42．【答案】 【分析】 由题意可知，，，从而得，结合椭圆的定义及离心率公式求解即可. 【详解】 解：由题意可知，，， 从而，    所以， 所以. 故答案为： 43．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）结合离心率定义，椭圆性质及其所过点计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线方程后可得与交点纵坐标有的关韦达定理，再利用三角形面积公式表示出面积后计算即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得 ，解得 ， 故椭圆C的方程为； (2) 小问详解： 由题意可得直线斜率不为，则可设，设、， 联立 ，消去得， ， ，； 则， 则， 化简得，即， 则，即直线的方程为. 44．【答案】①     ② 【分析】 根据直角三角形的性质求得，由此求得，结合椭圆的定义求得离心率. 【详解】 连接，由于是圆的切线，所以. 在中，， 所以，所以，所以直线的斜率. ， 根据椭圆的定义可知. 故答案为：； 【点睛】 本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题. 45．【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 （1）根据椭圆的定义即可求解；（2）转化为0后，根据直线与椭圆联立即可求解. (1) 小问详解： 因为 , 解得2. 所以点 在椭圆 上. 将 代入 , 得 . . 从而 . . (2) 小问详解： 显然直线 的斜率存在且不为 0 , 设直线的方程为 . 设 . 假设存在点 , 因为直线 与 轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形， 0， 即 , 即 . 由 消去 并整理, 得 . 由 , 求得 , 则 . 所以 , 解得 . 于是在 轴上存在定点 , 使得直线 与 轴围成的三角形始终为底边在 轴上的等腰三角形. 46．【答案】15 【分析】 根据图形的对称性和椭圆的定义可得结果. 【详解】 设椭圆的右焦点为，连接.由题意得，. 由图形对称得，. 由椭圆定义得，，故， 所以. 故答案为：15. 47．【答案】（1）椭圆的方程为；     （2）直线恒过定点，该定点为点.      【分析】 （1）由题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）先由题意设直线的方程为，联立椭圆方程求出韦达定理，接着利用点D写出直线AD的方程为，令，求出x为定值即可得解. (1) 小问详解： 由题得 ， 所以椭圆的方程为； (2) 小问详解： 证明：由题可得直线的斜率存在，设， 联立 ， 则， 设，则，， 则直线AD斜率为， 所以直线AD的方程为， 令，则 ， 所以直线恒过定点，该定点为点. 48．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由已知可求得，进而求得，可求椭圆的方程； （2）将直线方程代入椭圆，利用弦长公式求解即可. (1) 小问详解： 因为椭圆的长轴长为，所以，解得， 又椭圆的右焦点为，所以， 又，所以，解得， 所以椭圆的方程为； (2) 小问详解： 将直线方程代入椭圆方程，得， 整理得，即， 方程的判别式 设直线与椭圆的两交点为 所以，所以. 49．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据已知列出关于的方程组求解即可； （2）设出直线方程，联立椭圆方程消去，结合弦长公式求解可得. (1) 小问详解： 由题意可得 ，解得， 所以，椭圆的方程为. (2) 小问详解： 当直线的斜率为0时，直线被椭圆所截得的弦为椭圆长轴，长为4，不满足题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为， 联立 消去整理得， ，， 因为， 所以， 即，整理得， 解得（负值已舍去），所以， 所以，直线的方程为或. 50．【答案】（1）椭圆的方程为，离心率     （2）      【分析】 （1）根据椭圆的基本性质与平面向量的坐标运算进行计算即可； （2）联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，再结合向量的坐标运算化简即可. (1) 小问详解： 因为椭圆的短轴长为，所以. 由，，得，, 因为，所以，又，所以， 则， 所以椭圆的方程为，离心率. (2) 小问详解： 由（1）知，    根据题意易知直线斜率必然存在，设为. 由 ，得， 则，即， 设，，则，， 所以. 因为， 所以，解得，符合， 所以直线的方程为. 51．【答案】（1）     （2）（i）； （ii）证明：由题可知，直线l的斜率存在.设直线l的方程为， 由 得， 由于直线l与椭圆E交于不同的两点， 所以， 则，.由题可知. 因为A，H，M三点共线，所以，化简得， 即. 所以， 所以. 化简得，即， 解得或. 当时，直线l的方程为，经过，不符合题意. 当时，直线l的方程为，经过， 其中. 综上，直线l经过定点. 【分析】 （1）根据椭圆的顶点和椭圆上的点列方程求解即可； （2）（i）设直线BP的方程为，联立方程求得H的坐标即可； （ii）设直线l的方程为，与椭圆方程联立韦达定理，根据三点共线结合两点斜率公式列式化简得或，从而求解直线恒过的定点. (1) 小问详解： 设椭圆E的方程为 由题意得 ，解得 ， 所以椭圆E的方程为 (2) 小问详解： （i）由题可知：且. 设直线BP的方程为，直线OC的方程为. 由 得 ， 所以H的坐标为. （ii）略 52．【答案】（1），4；     （2）      【分析】 （1）根据椭圆的标准方程与相关定义计算即可； （2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理与弦长公式计算参数即可. (1) 小问详解： 设E的焦点坐标， 由可知，该椭圆的长轴长，短轴长， 所以，则焦点坐标为； (2) 小问详解： 设， 联立直线与椭圆方程 ，则， 所以 ，即， 且， 所以， 则直线l的方程为. 53．【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 （1）根据题意列式解方程组即可求解； （2）利用点差法求出，联立直线与椭圆，根据韦达定理用表示出，最后再根据求出的范围即可得出的范围； （3）设，则，写出直线的方程与椭圆联立，解出点坐标，再写出直线方程，令，得到点横坐标即可求解. (1) 小问详解： 由题意 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设，则有 ，两式相减得 ， 联立直线与椭圆的方程得 ， 消去整理得， 则有，解得，. (3) 小问详解： 设，则，由题意显然知， 直线的斜率为，因为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，与椭圆联立， 消去得：， 所以， 解得，， 直线的方程为，令， 则， 所以. 54．【答案】（1）     （2） 设，其中，，. 因为，，，， 所以直线的方程为， 令，则，所以， 因为直线的方程为， 又直线的方程为， 联立 ，解得 ， 所以， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 因为直线的斜率，所以， 又因为直线与直线显然不重合，所以. 【分析】 （1）由离心率定义结合椭圆性质计算即可得； （2）求出各顶点坐标，设出点，表示出直线、、方程后，联立直线与直线求出点坐标，联立直线与直线求出点坐标，则可表示直线的斜率，再结合点坐标在椭圆上，化简后结合直线的斜率即可得证. (1) 小问详解： 依题意得， ，且，解得 ， 所以椭圆E的方程为； (2) 小问详解： 略 55．【答案】① ② ④ 【分析】 对① ：将代入计算即可得；对② ：证明时该方程无解后求出所有整点即可得；③ 令可得，结合可得趋于正无穷；对④ ：证明曲线在第一象限的部分高于曲线与、轴正半轴交点的连线即可得. 【详解】 对① ：令满足， 则对点有， 故点也在曲线上， 故曲线C关于坐标原点对称，故① 正确； 对② ：当时，， 当时，对关于的方程， 有，故该方程无解， 又当时，，当时，或，当时，或， 故曲线C恰好经过6个整点、，与，故② 正确； 对③ ：令，当时，，则， 当时，，由，无解，故， 则当时，可设，则有，即， 则， 对，由，则，故有两根， 则存在，使得无限接近于，又， 则可趋向于正无穷，故无最大值，故③ 错误； 对④ ：当时，令，则，令，则，即， 故曲线与、轴正半轴分别交于点、点， 两点所在直线方程为， 该直线与坐标轴围成的三角形面积为， 设曲线在第一象限的部分的方程为， 则要证，只需证在直线上方， 将代入中， ， 由，，则，，又， 则，，故， 即， 即对任意直线， 其与的交点横坐标都大于与的交点横坐标， 故曲线在第一象限的部分在直线左上方， 故，故④ 正确. 故答案为：① ② ④ . 56．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据焦点坐标求出c，进而根据椭圆定义求出a，然后求出b，最后求得答案； （2）设直线的方程为，，直线与轴交于点，则，将直线方程代入椭圆方程并化简，进而结合根与系数的关系求得答案. (1) 小问详解： 由题意，，所以，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设直线的方程为，，由 得：， 则即：. . 设直线与轴交于点，则 所以的面积为           ，化简得：解得：所以. 直线的方程为或. 57．【答案】 【分析】 根据椭圆方程确定椭圆焦点坐标，根据两直线方程确定两直线位置关系以及直线过的定点，求出点轨迹方程，结合重要不等式，与三角形两边之和大于第三边确定的取值范围. 【详解】    由，可知，，， 椭圆焦点，， 化为，可知直线过点， 由可知直线过点， 由可知直线，设， 由有：，，， 所以，整理得：， 所以在以为直径的圆上， 当不与重合时， 设，，，， 所以，， 又因为，所以， 所以， 又， 当与或重合时，有， 综上所述，. 故答案为： 58．【答案】①     ② 【分析】 设，计算出的中点，代入到圆中，再联立椭圆方程，解出点坐标可得① 空的答案；设，分别计算出，的中点，，代入到圆中，联立可解出，再代入到椭圆中，解方程即得答案. 【详解】 因，则 ，，， 圆 的圆心为 ，半径 . 点 在椭圆上，满足椭圆方程：① ， 的中点在圆上，则得， 整理得② . 联立① 与② ，解得： 或 ，即得或， 于是，. 因离心率 ，则 ，，圆， 点 在椭圆上，满足椭圆方程：， 因的中点在圆上，则有，（1） 又的中点也在圆上，则有， 即，（2） 联立（1）和（2）解得 ，将 代入可得， 再将其代入到圆，可得， 整理得：， 再把 代入椭圆方程得：， 化简得：，即. 解得： 或    或 . 又因为，故. 故答案为：； 59．【答案】（1）     （2） 由（1）可知， 显然当直线斜率不存在时，与无交点， 所以设直线， 联立 ，解得 ，即， 联立 ，整理得， 设， 则，， ，， ， ， ∴. 【分析】 （1）由离心率求得的关系，代点坐标到椭圆方程，然后解得，即可写出椭圆方程； （2）设直线方程，联立两直线方程解得点坐标，联立直线和椭圆方程并设交点坐标，由韦达定理得到交点纵坐标与参数的关系式，由斜率公式写出，并化简整理出，从而得证. (1) 小问详解： 椭圆离心率，即， 椭圆经过点，则，即，∴， ∴，即椭圆. (2) 小问详解： 略 60．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）借助焦点定义，椭圆性质及所过点，计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线方程后可得与交点横坐标有关的韦达定理，再分为直角或为直角进行讨论即可得. (1) 小问详解： 由题意可得，， 解得，，故； (2) 小问详解： 由题意可得直线斜率存在，则可设，设、， 联立 ，消去得， ，即， ，； 由为直角三角形，则当为直角时， 有 ， 解得； 当或为直角时，由对称性，不妨设为直角， 有，即， 又，联立 ，解得 ， 故； 由与均大于，故直线l的斜率为或. 61．【答案】（1）4，；     （2） 方法1：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 显然直线斜率存在且不为0，设直线， 代入中得，， ， 设，则，， ，即，直线斜率， 由在直线上，得，即， 于是直线的斜率，，即， 又为线段中点，所以． 方法2：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 必有，设，则，， ，即， 直线斜率，而直线斜率， 则，即，又为线段中点，所以． 方法3：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 显然，设，则，， 于是，， 点，， 又，则，即， 因此是直角三角形，又为斜边中点，所以. 方法4：设，与椭圆联立，得，， 而点在第一象限，则，， 点，直线的斜率， 直线，令，则， 与椭圆联立得，显然， 线段中点，有，， 点，于是直线斜率，， 又为中点，所以.      【分析】 （1）利用椭圆方程直接求出焦距，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，结合椭圆方程求解. （2）法1，设，直线与椭圆方程联立证明即可；法2，设，联立直线与椭圆方程证明即可；法3，设，联立直线与椭圆方程证明即可；法4，直线与椭圆方程联立证明即可. (1) 小问详解： 设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为．依题意，，， 所以椭圆焦距为； 设点，而，则， 于是，即，由点在椭圆上，得， 解得，，由点在第一象限，得，则， 所以点的坐标为. (2) 小问详解： 略 考点02 双曲线 1．【答案】C 【分析】 根据双曲线的概念，判断结果； 【详解】 因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 2．C 3．A 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．2 10．【答案】1（答案不唯一）. 【分析】 利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 【详解】 因为方程表示双曲线，所以，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：1（答案不唯一）. 11．【答案】 【分析】 根据渐近线方程可得：，进而得到. 【详解】 因为双曲线的渐近线为， 所以，则， 故答案为：. 12．【答案】（或，答案不唯一） 【分析】 联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】 联立 ，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 13．【答案】① ③ ④ 【分析】 设点，求出点的轨迹方程，根据曲线对称性的定义可判断① ；化简曲线的方程，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断② ；化简曲线的方程，根据双曲线的定义可判断③ ；对点的位置进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】 直线的方程为，直线的方程为， 设点，则，，， 所以，，化简可得. 对于① ，在曲线上任取一点，则点关于轴的对称点为， 所以，，故点在曲线上，① 对； 对于② ，设点. 当时，则曲线的方程可化为，可得， 设坐标原点为，则， 且原点坐标满足方程，此时有意义，② 错； 对于③ ，当，则曲线的方程可化为， 整理可得，取双曲线的焦点、， 根据双曲线的定义可知，曲线上有无数个点，使得，③ 对； 对于④ ，当点在抛物线上，且时， ， 当且仅当时，等号成立， 当点在双曲线的上支时，则，且且， 此时，， 因为， 所以，且， 故 ， 当且仅当时，等号成立； 当点在双曲线的下支时，同理可求得的最小值为. 综上所述，的最小值为，④ 对. 故答案为：① ③ ④. 【点睛】 关键点点睛：本题考查曲线有关几何性质的应用，解题的关键在于根据题中的几何关系求出曲线的方程，并对曲线的方程进行化简，进而通过曲线的方程对曲线的几何性质进行分析求解. 考点03 抛物线 1．【答案】D 【分析】 根据抛物线的准线方程为可求解. 【详解】 因为抛物线的准线方程为，所以，所以抛物线的标准方程为 故选：D 2．D 3．B 4．A 5． 6．【答案】①     ② 【详解】根据抛物线的定义可得为抛物线的准线，即可求出抛物线方程，从而求出、点的坐标，求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理即可得解； 【详解】 解：依题意，根据抛物线的定义可得为抛物线的准线，所以，即，所以抛物线方程为，则，当时，，所以，所以直线的方程为，设直线与抛物线的另一个交点为，联立直线与抛物线方程 ，消去得，所以，所以 故答案为：； 【点睛】 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 7．【答案】2 【分析】 分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】 ①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由抛物线的定义计算即可得； （2）联立直线与抛物线方程，计算可得两交点横坐标关系，再利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算出三角形的底与高即可得解. (1) 小问详解： 依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； (2) 小问详解： 设，， 则 ， 由 ，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 9．【答案】① ④ 【分析】 根据曲线联立求根判断① ，直线和曲线联立结合判别式判断④ ，根据点代入得出曲线的对称性判断② ③ 即可. 【详解】 因为曲线：，：， 对于① ：因为 ，所以，化简得出或，即得出或（舍）， 所以曲线与且只1个公共点，① 正确； 对于② ：把代入曲线：，：成立， 所以曲线与都是轴对称图形，② 错误； 对于③ ：把代入曲线：，：都不成立， 曲线与都不关于原点成中心对称图形，③ 错误； 对于④ ：设为上一点（异于坐标原点O），所以，， 因为过点P作直线，所以， 因为 ，所以， 所以， ， 则l与有且只有1个公共点，④ 正确． 故答案为：① ④ . 10．【答案】（1），     （2） 由题意，设直线的方程为与抛物线的交点为． 由 ，得． 当时，． ∵点的坐标为， ∴直线的方程为，点的坐标为． 直线的方程为，点的坐标为． ∵ ∴，． 故为线段的中点．      【分析】 （1）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标即可； （2）设直线的方程为），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线的方程为，联立求得点的坐标为，再证明． (1) 小问详解： 由抛物线过点，得． ∴抛物线的方程为． 抛物线的焦点坐标为； (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 椭圆方程的分母均大于0且不相等，进而解出t. 【详解】 由题意， . 故选：B. 2．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）椭圆的短轴长为 A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】A 【分析】根据椭圆标准方程中系数的意义进行判定求解可得结果． 【详解】由椭圆的标准方程可得，， 所以椭圆的短轴长为． 故选A． 【点睛】根据椭圆的标准方程判断椭圆的长（短）轴时，主要看分母的大小，长轴（或焦点）在大的分母对应的轴上．另外，解答此类问题时容易出现的错误是误认为长轴就是（或）． 3．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）椭圆的离心率为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据椭圆方程求出、，从而求出，即可求出离心率. 【详解】 椭圆，则，， 所以， 所以离心率. 故选：C 4．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（     ） A. 2 B.  C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 根据椭圆的关系、椭圆性质及图形关系计算求解即可. 【详解】 因为椭圆上顶点，所以， 因为为等腰直角三角形，所以， 因为，所以椭圆的长轴长. 故选：D 5．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知椭圆方程为：，则该椭圆的长轴长为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 把椭圆的方程化为标准方程得，即可得到长轴长. 【详解】 椭圆方程可化为，故，长轴长为4. 故选：A. 6．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设单位圆上一点为，经过题设变换后坐标为，则 ，代入圆的方程即可得曲线方程. 【详解】 由题设，单位圆上一点坐标为，经过横向均匀压缩至原来的一半，纵向均匀压缩至原来的，得到对应坐标为， ∴ ，则 ，故中，可得：. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知椭圆过点，则该椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C. 4 D.  【答案】C 【分析】 根据椭圆过一点可得椭圆方程，再根据椭圆方程中的关系可得的值，从而得椭圆的焦距. 【详解】 已知椭圆过点得，解得， 故椭圆方程为， 设椭圆的半焦距为，则，则， 所以该椭圆的焦距为. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）椭圆的一个焦点为，则椭圆的短轴长为（     ） A.  B. 2 C.  D. 4 【答案】C 【分析】 根据椭圆方程求，即可求解. 【详解】 由条件可知，椭圆的焦点在轴上，且，，所以， 所以椭圆的短轴长. 故选：C 9．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（       ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】 方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 10．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）椭圆的一个焦点是，那么等于（       ） A.  B. 3 C. 1 D. 4 【答案】C 【分析】 由题意，且焦点在轴上，再由的关系求解即可 【详解】 椭圆的一个焦点是， ∴焦点在轴上，且，，其中， ∴由得，解得， 故选：C． 11．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（     ） A. 在外 B. 的长轴长为 C. 在内 D. 的焦距为 【答案】A 【分析】 根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断. 【详解】 因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 12．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）根据椭圆的光学性质可以得到如下结论：如图，，是椭圆：的两个焦点，P为椭圆C上任意一点，为椭圆在点P处的切线，光线经过直线反射后一定经过另一个焦点.过作的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合椭圆的光学性质与椭圆定义可得为定值，即可得解. 【详解】 延长、使其交于点，连接， 由光线经过直线反射后为直线，且， 则点与关于对称，则，， 故， 为中位线，则， 即点在圆上. 故选：D. 13．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意画出图形，求出临界情况的离心率，再结合题意即可求出取值范围. 【详解】 从椭圆长轴端点向圆引两条切线，，则两条切线形成的夹角最小. 若在椭圆上存在点，过作圆的切线,，切点为,，使得， 则只需，即， ， 所以，则，所以， 所以，即，所以， 又因为，所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 14．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意得，，由此可确定，，的大小关系；或根据离心率的定义判断. 【详解】 解法1：设椭圆，，的长轴长分别为，短轴长分别为，焦距分别为， 由题意得，， 则，，， 由，得，，故. 解法2：根据椭圆的圆扁程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆， 由此可得. 故选：C. 15．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）“”是“椭圆的离心率为”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据椭圆的离心率为求出m，进而求得答案. 【详解】 椭圆的离心率为，当时，，得； 当时，，得． 即“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件． 故选：A. 16．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）设，是椭圆：长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】 当时，焦点在轴上，此时，，要使上存在点满足，则，即，得； 当时，焦点在轴上，此时，，要使上存在点满足，则，即，得， 故的取值范围为． 【点睛】 解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论． 17．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意，设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q，，P共线，可得取最大值． 【详解】 由题意，点F为椭圆的左焦点，， 点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为， 设椭圆C的右焦点为，  ， ， ，即最大值为5，此时Q，，P共线，故选A． 【点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力． 18．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，给出下列结论： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③； ④在平面内，若以点，为焦点的椭圆过点，则椭圆的离心率为定值. 其中所有正确结论的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 对于① 证明平面可判断；对于② 由到面的距离恒为正方体的棱长，的面积为定值可判断；对于③ 证明平面可判断；对于④ 取为的中点和端点即可判断. 【详解】 对于①. 在正方体中，平面,平面则平面. ，平面,平面,则平面. 又, 平面,平面 故平面平面,又平面 所以平面. 故① 正确. 对于②. 在正方体中, ,平面，平面 所以平面 故在正方体中点到面的距离恒为正方体的棱长，为1. 又, 则，故② 正确. 对于③.   , , 平面,平面 所以平面, 平面,所以 又，, 平面,平面 所以平面，平面，所以 又. 平面，平面 所以平面,又平面 所以， 故③ 正确. 对于④ ，在平面内，若以点，为焦点的椭圆，其半焦距 若点在的中点处时，椭圆的长轴 若点在的端点处时，椭圆的长轴 显然此时椭圆的长轴不相等，而焦距始终相等，故离心率不相等. 所以椭圆的离心率不为定值，故④ 不正确. 故选：C 19．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某地春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，该地的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答. 【详解】 如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞沿的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点， 设椭圆的长半轴长为，半焦距为，          由，，得，， 在中，，则， ， 由正弦定理得，，解得， 则，所以该椭圆的焦距为. 故选：D. 20．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】 如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 21．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）已知，，动点，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 列出向量，，然后得到，由条件“”得点与圆的位置关系，由条件“”得点与椭圆的位置关系，数形结合即可得到结论. 【详解】 ，，则， 当时，，表示点在圆上或圆外， ，表示点在椭圆上或椭圆外， 如图 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 22．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点，有下列结论：①存在点，，使得为等边三角形；②不存在点，，使得为等边三角形；③存在点，，使得；④不存在点，，使得.其中，所有正确结论的序号是 A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】A 【分析】利用椭圆的简单几何性质，直接可判断① 正确② 错误，分情况讨论点、的位置，利用余弦定理判断，即可确定③ 错误④ 正确. 【详解】过原点且倾斜角为的直线一定与椭圆有交点，假设轴右侧的交点 是，在长轴上取，则就是等边三角形 故① 正确，② 错误 若点和点在轴两侧，则一定是锐角 若点和点在轴同侧，不妨设为在轴右侧 设点，则，且 由椭圆性质可知，当点是长轴端点时，最大 因为，， 所以 所以 即，故③ 错误，④ 正确 故选：A 【点睛】1.本题考查的是椭圆性质的应用，椭圆关于原点、轴、轴对称. 2.可以用余弦定理判断一个角是锐角、直角还是钝角. 23．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设椭圆的左焦点为，不妨设，根据题意分析可得，，结合勾股定理可得，即可得离心率. 【详解】 设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则，， 又因为，， 即， 可得，，则， 在中，， 即，解得， 可得，则， 即，可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 24．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】 由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离，     所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 25．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用椭圆的定义可求解. 【详解】 因为椭圆，所以可得，所以， 又因为点为椭圆上一点，所以. 故答案为：. 26．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知椭圆：（）的一个焦点为，则的值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据计算可得. 【详解】 因为椭圆：（）的一个焦点为， 则，，所以. 故答案为： 27．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）已知椭圆：的两个焦点分别为，，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点，，则的周长是　　　　　　. 【答案】8 【详解】根据椭圆的定义可求的周长. 【详解】 的周长为， 故答案为：8. 28．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由焦点坐标求得，即可求解. 【详解】 由题意可知，焦点在轴上， 所以，即， 所以， 故答案为： 29．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）写出一个过点的椭圆的标准方程　　　　　　. 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意，任意写出一个过点的椭圆标准方程即可. 【详解】 椭圆，过点，符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 30．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）已知椭圆恰好经过四个点，，，中的三个点，则符合条件的一个椭圆的标准方程是　　　　　　　　　　. 【答案】或（二选一即可） 【分析】 由椭圆的对称性确定椭圆必经过，然后设椭圆方程，由在椭圆上或在椭圆上即可求出椭圆的标准方程. 【详解】 由椭圆的对称性可知，必在椭圆上， 设椭圆方程为， 若在椭圆上，则 ，解得 ，即椭圆方程为， 若在椭圆上，则 ，解得 ，即椭圆方程为， 故答案为：或（二选一即可） 31．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）椭圆的焦点为，，过作轴的垂线交椭圆于，两点，则的面积为　　　　　　　　　　. 【答案】3 【分析】 由椭圆方程求出，即可得到焦点，坐标，然后求出交点，坐标，由，得到的面积. 【详解】 椭圆，则，即，， 令，则，解得，即， ∵，∴. 故答案为：3. 32．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再求出，即可求出椭圆方程； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得，解方程求得的值，即可求解. (1) 小问详解： 依题意 ，所以 ，则， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组 ，整理得到， 由，解得， 设，，则，， 所以的面积 ， 平方化简得，解得，所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 33．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（ ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是　　　　　　　　． 【详解】依题意可得，椭圆焦点在轴上且．因为长轴长是短轴长的2倍，所以，则，所以，解得，故，所以椭圆的标准方程为 34．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的一个取值为　　　　　　　　　　. 【答案】(答案不唯一) 【分析】 根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解. 【详解】 因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，所以,解得：,则的一个取值为； 故答案为：(答案不唯一) 35．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）椭圆的长轴长为　　　　　　　　　　，焦点坐标分别为　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 和 【分析】 直接根据椭圆的几何性质进行求解即可. 【详解】 由椭圆，可知其焦点在轴上且，，. 即：，. 因此可得：椭圆的长轴长为；其焦点坐标为和. 故答案为：；和 36．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）求椭圆的离心率； （3）若直线与椭圆有且只有一个交点，求实数的值. 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）利用椭圆方程求得，可求得焦点坐标； （2）利用椭圆方程求得，可求椭圆离心率； （3）把直线代入椭圆的方程，利用求解即可. (1) 小问详解： 由椭圆，得，所以， 所以，所以椭圆的左右焦点坐标为，. (2) 小问详解： 由（1）可得，所以， 所以椭圆的离心率为； (3) 小问详解： 由 ，可得，整理得. 因为直线与椭圆有且只有一个交点，所以， 解得，所以直线与椭圆有且只有一个交点，实数的值为. 37．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 【答案】（1）     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由即可求解. (1) 小问详解： 因为椭圆E的焦点在轴上， 所以设椭圆E的标准方程为. 由椭圆的定义可得：， ， 所以，. 所以椭圆E的标准方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，. 联立 ， 整理得. 依题意得，. 解得，或. 所以，k的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，. . 因为，所以， 即. 所以. 解得. 所以的值为. 38．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由离心率以及椭圆经过的点即可求解的值， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，结合中点坐标公式，得到，由点到直线的距离公式以及弦长公式，得三角形的面积表达式，结合二次函数的性质即可求解. (1) 小问详解：             . 又在椭圆上           . 所以，椭圆方程为. (2) 小问详解： 由已知直线的斜率存在. 设直线方程为，，， 由 ， 得． 由，得．① ，．               又中点在直线上，        即， 将之代入① 得 ，所以． ， 点到直线的距离， ． 设，． ． 时，的最大值为． 39．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）如图，椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于不同两点，，其中点在第一象限.为的直角三角形. （1）若，，则　　　　　　　　　　； （2）若，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　 【答案】①     ② 【分析】 （1）根据椭圆方程，以及几何关系，分别求和，再求；（2）首先设，，结合椭圆的定义，以及几何关系，在和中，根据勾股定理，列式求解. 【详解】 （1）若，，则， ，， 由条件可知，， 所以，且， 所以，, 所以； （2）设，， 则，， 在中，， 即，解得， 即，， 在中，， 即， 解得：，所以椭圆的离心率为. 故答案为：； 40．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）设为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点，使得，则动点的轨迹方程为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由椭圆定义可得，，从而，进而的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由此能求出动点的轨迹方程． 【详解】 为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点， 延长至点，使得， ，， ， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为． 故答案为： 41．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A，B，当的周长最大为　　　　　　时，的面积是　　　　　　. 【答案】① 8    ② 3 【分析】 根据椭圆的定义以及性质，即可容易求得. 【详解】 设椭圆的右焦点为， 根据椭圆的定义可知， 当且仅当经过右焦点时，取得最大值. 此时直线，代入椭圆方程可得， 此时. 故答案为：8；3. 【点睛】 本题考查椭圆的定义以及性质，属综合中档题. 42．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可知，，，从而得，结合椭圆的定义及离心率公式求解即可. 【详解】 解：由题意可知，，， 从而，    所以， 所以. 故答案为： 43．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）结合离心率定义，椭圆性质及其所过点计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线方程后可得与交点纵坐标有的关韦达定理，再利用三角形面积公式表示出面积后计算即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得 ，解得 ， 故椭圆C的方程为； (2) 小问详解： 由题意可得直线斜率不为，则可设，设、， 联立 ，消去得， ， ，； 则， 则， 化简得，即， 则，即直线的方程为. 44．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过､的直线与圆相切，则直线的斜率　　　　　　；椭圆的离心率　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 根据直角三角形的性质求得，由此求得，结合椭圆的定义求得离心率. 【详解】 连接，由于是圆的切线，所以. 在中，， 所以，所以，所以直线的斜率. ， 根据椭圆的定义可知. 故答案为：； 【点睛】 本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题. 45．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l椭圆C交于两点，且．问：x轴上是否存在点N使得直线，直线与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 （1）根据椭圆的定义即可求解；（2）转化为0后，根据直线与椭圆联立即可求解. (1) 小问详解： 因为 , 解得2. 所以点 在椭圆 上. 将 代入 , 得 . . 从而 . . (2) 小问详解： 显然直线 的斜率存在且不为 0 , 设直线的方程为 . 设 . 假设存在点 , 因为直线 与 轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形， 0， 即 , 即 . 由 消去 并整理, 得 . 由 , 求得 , 则 . 所以 , 解得 . 于是在 轴上存在定点 , 使得直线 与 轴围成的三角形始终为底边在 轴上的等腰三角形. 46．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则　　　　　　　　　　. 【答案】15 【分析】 根据图形的对称性和椭圆的定义可得结果. 【详解】 设椭圆的右焦点为，连接.由题意得，. 由图形对称得，. 由椭圆定义得，，故， 所以. 故答案为：15. 47．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 【答案】（1）椭圆的方程为；     （2）直线恒过定点，该定点为点.      【分析】 （1）由题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）先由题意设直线的方程为，联立椭圆方程求出韦达定理，接着利用点D写出直线AD的方程为，令，求出x为定值即可得解. (1) 小问详解： 由题得 ， 所以椭圆的方程为； (2) 小问详解： 证明：由题可得直线的斜率存在，设， 联立 ， 则， 设，则，， 则直线AD斜率为， 所以直线AD的方程为， 令，则 ， 所以直线恒过定点，该定点为点. 48．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）已知是椭圆的左、右焦点，其中，长轴长为 （1）求椭圆的方程； （2）求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由已知可求得，进而求得，可求椭圆的方程； （2）将直线方程代入椭圆，利用弦长公式求解即可. (1) 小问详解： 因为椭圆的长轴长为，所以，解得， 又椭圆的右焦点为，所以， 又，所以，解得， 所以椭圆的方程为； (2) 小问详解： 将直线方程代入椭圆方程，得， 整理得，即， 方程的判别式 设直线与椭圆的两交点为 所以，所以. 49．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的四个顶点构成的四边形的面积是4，若直线过点且与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据已知列出关于的方程组求解即可； （2）设出直线方程，联立椭圆方程消去，结合弦长公式求解可得. (1) 小问详解： 由题意可得 ，解得， 所以，椭圆的方程为. (2) 小问详解： 当直线的斜率为0时，直线被椭圆所截得的弦为椭圆长轴，长为4，不满足题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为， 联立 消去整理得， ，， 因为， 所以， 即，整理得， 解得（负值已舍去），所以， 所以，直线的方程为或. 50．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知椭圆，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率     （2）      【分析】 （1）根据椭圆的基本性质与平面向量的坐标运算进行计算即可； （2）联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，再结合向量的坐标运算化简即可. (1) 小问详解： 因为椭圆的短轴长为，所以. 由，，得，, 因为，所以，又，所以， 则， 所以椭圆的方程为，离心率. (2) 小问详解： 由（1）知，    根据题意易知直线斜率必然存在，设为. 由 ，得， 则，即， 设，，则，， 所以. 因为， 所以，解得，符合， 所以直线的方程为. 51．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知椭圆E的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，且椭圆E过点. （1）求椭圆E的方程； （2）设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点，直线BP与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称. （i）求点H的坐标（用，表示）； （ii）若A，H，M三点共线，求证：直线l经过定点. 【答案】（1）     （2）（i）； （ii）证明：由题可知，直线l的斜率存在.设直线l的方程为， 由 得， 由于直线l与椭圆E交于不同的两点， 所以， 则，.由题可知. 因为A，H，M三点共线，所以，化简得， 即. 所以， 所以. 化简得，即， 解得或. 当时，直线l的方程为，经过，不符合题意. 当时，直线l的方程为，经过， 其中. 综上，直线l经过定点. 【分析】 （1）根据椭圆的顶点和椭圆上的点列方程求解即可； （2）（i）设直线BP的方程为，联立方程求得H的坐标即可； （ii）设直线l的方程为，与椭圆方程联立韦达定理，根据三点共线结合两点斜率公式列式化简得或，从而求解直线恒过的定点. (1) 小问详解： 设椭圆E的方程为 由题意得 ，解得 ， 所以椭圆E的方程为 (2) 小问详解： （i）由题可知：且. 设直线BP的方程为，直线OC的方程为. 由 得 ， 所以H的坐标为. （ii）略 52．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）椭圆E的方程为 （1）直接写出椭圆E的焦点坐标和长轴长； （2）已知直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线l的方程. 【答案】（1），4；     （2）      【分析】 （1）根据椭圆的标准方程与相关定义计算即可； （2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理与弦长公式计算参数即可. (1) 小问详解： 设E的焦点坐标， 由可知，该椭圆的长轴长，短轴长， 所以，则焦点坐标为； (2) 小问详解： 设， 联立直线与椭圆方程 ，则， 所以 ，即， 且， 所以， 则直线l的方程为. 53．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值； （3）点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值. 【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 （1）根据题意列式解方程组即可求解； （2）利用点差法求出，联立直线与椭圆，根据韦达定理用表示出，最后再根据求出的范围即可得出的范围； （3）设，则，写出直线的方程与椭圆联立，解出点坐标，再写出直线方程，令，得到点横坐标即可求解. (1) 小问详解： 由题意 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设，则有 ，两式相减得 ， 联立直线与椭圆的方程得 ， 消去整理得， 则有，解得，. (3) 小问详解： 设，则，由题意显然知， 直线的斜率为，因为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，与椭圆联立， 消去得：， 所以， 解得，， 直线的方程为，令， 则， 所以. 54．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知椭圆：的离心率为，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形的面积为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【答案】（1）     （2） 设，其中，，. 因为，，，， 所以直线的方程为， 令，则，所以， 因为直线的方程为， 又直线的方程为， 联立 ，解得 ， 所以， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 因为直线的斜率，所以， 又因为直线与直线显然不重合，所以. 【分析】 （1）由离心率定义结合椭圆性质计算即可得； （2）求出各顶点坐标，设出点，表示出直线、、方程后，联立直线与直线求出点坐标，联立直线与直线求出点坐标，则可表示直线的斜率，再结合点坐标在椭圆上，化简后结合直线的斜率即可得证. (1) 小问详解： 依题意得， ，且，解得 ， 所以椭圆E的方程为； (2) 小问详解： 略 55．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知曲线（a为常数），给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②当时，曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③设为曲线上的一个动点，则存在，使得有最大值（其中为坐标原点）； ④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，都有. 其中所有正确结论的序号为　　　　　　　. 【答案】① ② ④ 【分析】 对① ：将代入计算即可得；对② ：证明时该方程无解后求出所有整点即可得；③ 令可得，结合可得趋于正无穷；对④ ：证明曲线在第一象限的部分高于曲线与、轴正半轴交点的连线即可得. 【详解】 对① ：令满足， 则对点有， 故点也在曲线上， 故曲线C关于坐标原点对称，故① 正确； 对② ：当时，， 当时，对关于的方程， 有，故该方程无解， 又当时，，当时，或，当时，或， 故曲线C恰好经过6个整点、，与，故② 正确； 对③ ：令，当时，，则， 当时，，由，无解，故， 则当时，可设，则有，即， 则， 对，由，则，故有两根， 则存在，使得无限接近于，又， 则可趋向于正无穷，故无最大值，故③ 错误； 对④ ：当时，令，则，令，则，即， 故曲线与、轴正半轴分别交于点、点， 两点所在直线方程为， 该直线与坐标轴围成的三角形面积为， 设曲线在第一象限的部分的方程为， 则要证，只需证在直线上方， 将代入中， ， 由，，则，，又， 则，，故， 即， 即对任意直线， 其与的交点横坐标都大于与的交点横坐标， 故曲线在第一象限的部分在直线左上方， 故，故④ 正确. 故答案为：① ② ④ . 56．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，，点在椭圆上且满足. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据焦点坐标求出c，进而根据椭圆定义求出a，然后求出b，最后求得答案； （2）设直线的方程为，，直线与轴交于点，则，将直线方程代入椭圆方程并化简，进而结合根与系数的关系求得答案. (1) 小问详解： 由题意，，所以，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设直线的方程为，，由 得：， 则即：. . 设直线与轴交于点，则 所以的面积为           ，化简得：解得：所以. 直线的方程为或. 57．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据椭圆方程确定椭圆焦点坐标，根据两直线方程确定两直线位置关系以及直线过的定点，求出点轨迹方程，结合重要不等式，与三角形两边之和大于第三边确定的取值范围. 【详解】    由，可知，，， 椭圆焦点，， 化为，可知直线过点， 由可知直线过点， 由可知直线，设， 由有：，，， 所以，整理得：， 所以在以为直径的圆上， 当不与重合时， 设，，，， 所以，， 又因为，所以， 所以， 又， 当与或重合时，有， 综上所述，. 故答案为： 58．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）椭圆的左顶点为，左焦点为，以为圆心，为半径作圆，设点在椭圆上，且线段的中点在圆上. ①若，，则的面积为　　　　　　　　　　　　； ②若线段的中点也在圆上，则椭圆离心率为　　　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 设，计算出的中点，代入到圆中，再联立椭圆方程，解出点坐标可得① 空的答案；设，分别计算出，的中点，，代入到圆中，联立可解出，再代入到椭圆中，解方程即得答案. 【详解】 因，则 ，，， 圆 的圆心为 ，半径 . 点 在椭圆上，满足椭圆方程：① ， 的中点在圆上，则得， 整理得② . 联立① 与② ，解得： 或 ，即得或， 于是，. 因离心率 ，则 ，，圆， 点 在椭圆上，满足椭圆方程：， 因的中点在圆上，则有，（1） 又的中点也在圆上，则有， 即，（2） 联立（1）和（2）解得 ，将 代入可得， 再将其代入到圆，可得， 整理得：， 再把 代入椭圆方程得：， 化简得：，即. 解得： 或    或 . 又因为，故. 故答案为：； 59．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）如图，椭圆经过点，离心率.    （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线交椭圆于，（，均不与重合），直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，.求证：. 【答案】（1）     （2） 由（1）可知， 显然当直线斜率不存在时，与无交点， 所以设直线， 联立 ，解得 ，即， 联立 ，整理得， 设， 则，， ，， ， ， ∴. 【分析】 （1）由离心率求得的关系，代点坐标到椭圆方程，然后解得，即可写出椭圆方程； （2）设直线方程，联立两直线方程解得点坐标，联立直线和椭圆方程并设交点坐标，由韦达定理得到交点纵坐标与参数的关系式，由斜率公式写出，并化简整理出，从而得证. (1) 小问详解： 椭圆离心率，即， 椭圆经过点，则，即，∴， ∴，即椭圆. (2) 小问详解： 略 60．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）椭圆的一个焦点为，且过点. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线与椭圆C交于两点，，为坐标原点，若为直角三角形，求直线l的斜率. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）借助焦点定义，椭圆性质及所过点，计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线方程后可得与交点横坐标有关的韦达定理，再分为直角或为直角进行讨论即可得. (1) 小问详解： 由题意可得，， 解得，，故； (2) 小问详解： 由题意可得直线斜率存在，则可设，设、， 联立 ，消去得， ，即， ，； 由为直角三角形，则当为直角时， 有 ， 解得； 当或为直角时，由对称性，不妨设为直角， 有，即， 又，联立 ，解得 ， 故； 由与均大于，故直线l的斜率为或. 61．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． （1）求椭圆的焦距；若，求点的坐标； （2）若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 【答案】（1）4，；     （2） 方法1：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 显然直线斜率存在且不为0，设直线， 代入中得，， ， 设，则，， ，即，直线斜率， 由在直线上，得，即， 于是直线的斜率，，即， 又为线段中点，所以． 方法2：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 必有，设，则，， ，即， 直线斜率，而直线斜率， 则，即，又为线段中点，所以． 方法3：设点，，，则， 依题意，点与点关于原点对称，即， 直线斜率，直线， 联立直线与椭圆方程得：， 显然，设，则，， 于是，， 点，， 又，则，即， 因此是直角三角形，又为斜边中点，所以. 方法4：设，与椭圆联立，得，， 而点在第一象限，则，， 点，直线的斜率， 直线，令，则， 与椭圆联立得，显然， 线段中点，有，， 点，于是直线斜率，， 又为中点，所以.      【分析】 （1）利用椭圆方程直接求出焦距，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，结合椭圆方程求解. （2）法1，设，直线与椭圆方程联立证明即可；法2，设，联立直线与椭圆方程证明即可；法3，设，联立直线与椭圆方程证明即可；法4，直线与椭圆方程联立证明即可. (1) 小问详解： 设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为．依题意，，， 所以椭圆焦距为； 设点，而，则， 于是，即，由点在椭圆上，得， 解得，，由点在第一象限，得，则， 所以点的坐标为. (2) 小问详解： 略 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（       ） A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 一条射线 【答案】C 【分析】 根据双曲线的概念，判断结果； 【详解】 因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）双曲线：的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线方程得出，再应用渐近线方程代入求解. 【详解】 因为双曲线：，所以， 则的渐近线方程为. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线的渐近线方程公式直接求解即可. 【详解】 因为双曲线方程为， 则， 所以渐近线方程为， 故选： 4．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】，故，即，故渐近线方程为. 【详解】【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力. 【详解】 5．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 取双曲线的右焦点，渐近线，由点到直线距离公式得，然后利用公式可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】 取双曲线的右焦点，取双曲线的渐近线，即， 依题意得，即， 所以离心率. 故选：B 6．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 联立直线与双曲线，分及讨论即可得. 【详解】 联立 ，消去得， 当时，有，解得， 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点； 当时，令， 化简得，即； 综上所述：当或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 7．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【分析】 结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解. 【详解】 由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由离心率求得，求出渐近线方程，写出圆方程后，两方程联立求得交点坐标后，由直线的倾斜角可得结论． 【详解】 由已知，，， 所以双曲线的渐近线方程为即为， 圆方程为，即， 取渐近线方程， 由 ，解得 或 ， 不妨设，， 显然轴，又，即的倾斜角为，从而．    故选：B． 9．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则　　　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 先由题设和双曲线定义求出，接着由勾股定理求出，再由即可求解. 【详解】 由题可得 ， 又，所以， 所以. 故答案为：2 10．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为　　　　　　　　　　. 【答案】1（答案不唯一）. 【分析】 利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 【详解】 因为方程表示双曲线，所以，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：1（答案不唯一）. 11．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据渐近线方程可得：，进而得到. 【详解】 因为双曲线的渐近线为， 所以，则， 故答案为：. 12．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 　　　　　　　　． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】 联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】 联立 ，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 13．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹． 小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下： 给定条直线，，，动点到直线、和的距离分别为、和，且满足，记动点的轨迹为曲线．给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为； ③平面内存在两个定点，曲线上有无数个点到这两个定点的距离之差为； ④的最小值为． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 设点，求出点的轨迹方程，根据曲线对称性的定义可判断① ；化简曲线的方程，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断② ；化简曲线的方程，根据双曲线的定义可判断③ ；对点的位置进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】 直线的方程为，直线的方程为， 设点，则，，， 所以，，化简可得. 对于① ，在曲线上任取一点，则点关于轴的对称点为， 所以，，故点在曲线上，① 对； 对于② ，设点. 当时，则曲线的方程可化为，可得， 设坐标原点为，则， 且原点坐标满足方程，此时有意义，② 错； 对于③ ，当，则曲线的方程可化为， 整理可得，取双曲线的焦点、， 根据双曲线的定义可知，曲线上有无数个点，使得，③ 对； 对于④ ，当点在抛物线上，且时， ， 当且仅当时，等号成立， 当点在双曲线的上支时，则，且且， 此时，， 因为， 所以，且， 故 ， 当且仅当时，等号成立； 当点在双曲线的下支时，同理可求得的最小值为. 综上所述，的最小值为，④ 对. 故答案为：① ③ ④. 【点睛】 关键点点睛：本题考查曲线有关几何性质的应用，解题的关键在于根据题中的几何关系求出曲线的方程，并对曲线的方程进行化简，进而通过曲线的方程对曲线的几何性质进行分析求解. 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）准线方程为的抛物线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据抛物线的准线方程为可求解. 【详解】 因为抛物线的准线方程为，所以，所以抛物线的标准方程为 故选：D 2．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）抛物线的准线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据抛物线方程求出准线即可. 【详解】 抛物线的准线方程是. 抛物线，则，所以准线方程是. 故选：D. 3．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据焦半径公式求点的坐标，即可求解. 【详解】 设，，，得， 所以点到轴的距离为. 故选：B. 4．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是(　　) A. 直线上的所有点都是“点” B. 直线上仅有有限个点是“点” C. 直线上的所有点都不是“点” D. 直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点” 【答案】A 【分析】 作出草图，可知点是的中点，，设出 的坐标，进而的坐标可表示出，把 的坐标代入抛物线方程联立消去，求得判别式大于恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线上的所有点都符合． 【详解】 如图所示：    设， 由题意可知点是的中点，则， ∵在上，∴ ， 消去，整理得关于的方程， ∵恒成立， ∴方程恒有实数解． 即对于任意的点，都存在，使得. 故选：A． 5．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 设点P坐标，利用两点距离公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】 设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为： 6．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为　　　　　　　；设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为　　　　　　. 【答案】①     ② 【详解】根据抛物线的定义可得为抛物线的准线，即可求出抛物线方程，从而求出、点的坐标，求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理即可得解； 【详解】 解：依题意，根据抛物线的定义可得为抛物线的准线，所以，即，所以抛物线方程为，则，当时，，所以，所以直线的方程为，设直线与抛物线的另一个交点为，联立直线与抛物线方程 ，消去得，所以，所以 故答案为：； 【点睛】 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 7．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】 ①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 8．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由抛物线的定义计算即可得； （2）联立直线与抛物线方程，计算可得两交点横坐标关系，再利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算出三角形的底与高即可得解. (1) 小问详解： 依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； (2) 小问详解： 设，， 则 ， 由 ，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 9．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 【答案】① ④ 【分析】 根据曲线联立求根判断① ，直线和曲线联立结合判别式判断④ ，根据点代入得出曲线的对称性判断② ③ 即可. 【详解】 因为曲线：，：， 对于① ：因为 ，所以，化简得出或，即得出或（舍）， 所以曲线与且只1个公共点，① 正确； 对于② ：把代入曲线：，：成立， 所以曲线与都是轴对称图形，② 错误； 对于③ ：把代入曲线：，：都不成立， 曲线与都不关于原点成中心对称图形，③ 错误； 对于④ ：设为上一点（异于坐标原点O），所以，， 因为过点P作直线，所以， 因为 ，所以， 所以， ， 则l与有且只有1个公共点，④ 正确． 故答案为：① ④ . 10．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知抛物线过点，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M、N，过点M作x轴的垂线分别与直线，交于点A，B，其中O为原点． （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标； （2）求证：A为线段的中点． 【答案】（1），     （2） 由题意，设直线的方程为与抛物线的交点为． 由 ，得． 当时，． ∵点的坐标为， ∴直线的方程为，点的坐标为． 直线的方程为，点的坐标为． ∵ ∴，． 故为线段的中点．      【分析】 （1）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标即可； （2）设直线的方程为），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线的方程为，联立求得点的坐标为，再证明． (1) 小问详解： 由抛物线过点，得． ∴抛物线的方程为． 抛物线的焦点坐标为； (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）椭圆的短轴长为 A.  B.  C. 2 D. 4 3．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）椭圆的离心率为（     ） A. 2 B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点，若为等腰直角三角形，则椭圆的长轴长为（     ） A. 2 B.  C. 3 D. 4 5．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知椭圆方程为：，则该椭圆的长轴长为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  6．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为.同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为.若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知椭圆过点，则该椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C. 4 D.  8．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）椭圆的一个焦点为，则椭圆的短轴长为（     ） A.  B. 2 C.  D. 4 9．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（       ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 10．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）椭圆的一个焦点是，那么等于（       ） A.  B. 3 C. 1 D. 4 11．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（     ） A. 在外 B. 的长轴长为 C. 在内 D. 的焦距为 12．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）根据椭圆的光学性质可以得到如下结论：如图，，是椭圆：的两个焦点，P为椭圆C上任意一点，为椭圆在点P处的切线，光线经过直线反射后一定经过另一个焦点.过作的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知椭圆与圆，若上存在点，过可作的两条切线和，且，则的离心率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）“”是“椭圆的离心率为”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）设，是椭圆：长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是 A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　 A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，给出下列结论： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③； ④在平面内，若以点，为焦点的椭圆过点，则椭圆的离心率为定值. 其中所有正确结论的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 19．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某地春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，该地的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）已知，，动点，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 22．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点，有下列结论：①存在点，，使得为等边三角形；②不存在点，，使得为等边三角形；③存在点，，使得；④不存在点，，使得.其中，所有正确结论的序号是 A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 23．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知椭圆：（）的一个焦点为，则的值为　　　　　　. 27．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）已知椭圆：的两个焦点分别为，，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点，，则的周长是　　　　　　. 28．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为　　　　　　. 29．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）写出一个过点的椭圆的标准方程　　　　　　. 30．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）已知椭圆恰好经过四个点，，，中的三个点，则符合条件的一个椭圆的标准方程是　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）椭圆的焦点为，，过作轴的垂线交椭圆于，两点，则的面积为　　　　　　　　　　. 32．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 33．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（ ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是　　　　　　　　． 34．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的一个取值为　　　　　　　　　　. 35．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）椭圆的长轴长为　　　　　　　　　　，焦点坐标分别为　　　　　　　　　　. 36．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）求椭圆的离心率； （3）若直线与椭圆有且只有一个交点，求实数的值. 37．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 38．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 39．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）如图，椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于不同两点，，其中点在第一象限.为的直角三角形. （1）若，，则　　　　　　　　　　； （2）若，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　 40．（25-26学年高二上·北京第一六一中学·期中）设为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点，使得，则动点的轨迹方程为　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A，B，当的周长最大为　　　　　　时，的面积是　　　　　　. 42．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于　　　　　. 43．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，O为坐标原点. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 44．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过､的直线与圆相切，则直线的斜率　　　　　　；椭圆的离心率　　　　　　. 45．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l椭圆C交于两点，且．问：x轴上是否存在点N使得直线，直线与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由． 46．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则　　　　　　　　　　. 47．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 48．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）已知是椭圆的左、右焦点，其中，长轴长为 （1）求椭圆的方程； （2）求直线被椭圆截得的弦长. 49．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的四个顶点构成的四边形的面积是4，若直线过点且与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 50．（25-26学年高二上·北京第八十中学·期中）已知椭圆，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，点的坐标为，且. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程. 51．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知椭圆E的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，且椭圆E过点. （1）求椭圆E的方程； （2）设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点，直线BP与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称. （i）求点H的坐标（用，表示）； （ii）若A，H，M三点共线，求证：直线l经过定点. 52．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）椭圆E的方程为 （1）直接写出椭圆E的焦点坐标和长轴长； （2）已知直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线l的方程. 53．（25-26学年高二上·北京通州·期中）已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值； （3）点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值. 54．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知椭圆：的离心率为，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形的面积为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 55．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知曲线（a为常数），给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②当时，曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③设为曲线上的一个动点，则存在，使得有最大值（其中为坐标原点）； ④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，都有. 其中所有正确结论的序号为　　　　　　　. 56．（25-26学年高二上·北京第一六六中学·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，，点在椭圆上且满足. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求直线的方程. 57．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是　　　　　　. 58．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）椭圆的左顶点为，左焦点为，以为圆心，为半径作圆，设点在椭圆上，且线段的中点在圆上. ①若，，则的面积为　　　　　　　　　　　　； ②若线段的中点也在圆上，则椭圆离心率为　　　　　　　　　　　　　. 59．（25-26学年高二上·北京第四中学·期中）如图，椭圆经过点，离心率.    （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线交椭圆于，（，均不与重合），直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，.求证：. 60．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）椭圆的一个焦点为，且过点. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线与椭圆C交于两点，，为坐标原点，若为直角三角形，求直线l的斜率. 61．（25-26学年高二上·北京第十五中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． （1）求椭圆的焦距；若，求点的坐标； （2）若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（       ） A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线的一支 D. 一条射线 2．（25-26学年高二上·北京第五中学·期中）双曲线：的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·北京第八中学·期中）已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为 A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  6．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 8．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则　　　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高二上·北京第五十五中学·期中）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的值为　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 　　　　　　　　． 13．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹． 小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下： 给定条直线，，，动点到直线、和的距离分别为、和，且满足，记动点的轨迹为曲线．给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为； ③平面内存在两个定点，曲线上有无数个点到这两个定点的距离之差为； ④的最小值为． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　． 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）准线方程为的抛物线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）抛物线的准线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是(　　) A. 直线上的所有点都是“点” B. 直线上仅有有限个点是“点” C. 直线上的所有点都不是“点” D. 直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点” 5．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为　　　　　. 6．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为　　　　　　　；设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为　　　　　　. 7．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于　　　　　　　. 8．（25-26学年高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 9．（25-26学年高二上·北京第十四中学·期中）已知曲线：，：，给出下列四个结论： ①曲线与且只1个公共点； ②曲线与中，有且只有一个是轴对称图形； ③曲线与中，有且只有一个关于原点成中心对称图形； ④设P为上一点（异于坐标原点O），过点P作直线，则l与有且只有1个公共点． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 10．（25-26学年高二上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知抛物线过点，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M、N，过点M作x轴的垂线分别与直线，交于点A，B，其中O为原点． （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标； （2）求证：A为线段的中点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $