江西省鹰潭市余江区某校2026-2027学年高二上学期第2周数学周考

江西省高二数学上学期立体几何初步&直线〖周考260911〗 一、单选题 1．若直线过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．下列说法正确的是（    ） A．经过三点确定一个平面 B．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥 C．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形 3．Rt△ABC的三个顶点都在一个球面上，两直角边的长分别为6和8，且球心O到平面ABC的距离为12，则球的半径为（　　　　） A．13 B．12 C．5 D．10 4．如图，△ABO在平面直角坐标系中的斜二测直观图是， 其中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 5．给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．其中正确的命题个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．在正方体中，为棱的中点， 则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 7．已知点，的坐标分别为，，直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．点到直线距离的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题 9．（多选）已知正四棱台中，， 则关于该正四棱台，下列说法正确的是（    ） A． B．高为 C．体积为 D．表面积为 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线的倾斜角为120° B．过点，斜率为2的直线的方程可写为 C．过两点，的直线都可用方程表示 D．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 11．（多选）如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱平面， 且，、分别是、的中点，是线段上的一个动点（不含端点）， 过、、的平面记为，在上且，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积是定值 B．当直线时， C．当时，平面截棱柱所得多边形的周长为 D．存在平面使得点到平面距离是到平面距离的两倍 三、填空题 12．如图，矩形ABCD，有下列结论： ①，②，③BD，④． 其中正确的是_____________（填序号）． 13．已知直线：，：（），以下四个 结论：①过点且垂直于直线的直线方程为 ②直线过定点 ③当时， ④当时，两直线之间的距离为1 则其中正确的结论_______． 14． 如图，四面体中，，．若平行于直线和的 平面分别和棱AB，AC，CD，BD交于点E，F，G，H．有以下四个结论： ①四边形的周长为定值； ②四边形的面积为定值； ③四边形为矩形； ④四边形的面积有最大值1． 则其中正确的结论_______． 四、解答题 15．如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱． （1）试用x表示圆柱的侧面积； （2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大． 16． （1）求经过直线：，：的交点，且过点的直线的方程； （2）已知直线：和：，且直线，求直线的方程； ⑶已知直线：和：，且直线， 求直线的方程． 17．如图所示，已知平面，平面，为等边三角形，，F为CD的中点．求证： (1)平面； (2)． 18．在中， AB边上的中线CM所在直线的方程为，的平分线BH所在直线的方程为，若顶点． (1)求直线BC的方程和点C的坐标； (2)求边的中垂线的方程； (3)证明：的三条高线交于一点． 19．如图，三棱锥中，平面平面，，，. (1)已知为线段上一点，，求证：； (2)求三棱锥外接球体积； (3)若为线段的中点，与平面所成角为，求的最大值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《立体几何初步章节测试（基础）》参考答案： 1．A【详解】解析  因为直线过，两点， 所以直线的斜率，故直线的倾斜角为30°．故选：A． 2．D【详解】A.错误，经过不共线的三点确定一个平面； B.错误，正八面体的八个面也都是正三角形； C.错误，侧面都是正方形，但底面如果不是正多边形，也不是正棱柱，比如侧面是正方形，但底面是菱形的柱体不是正四棱柱； D.正确，底面是直角三角形，一条侧棱和底面垂直，并且垂直落在非直角顶点处的三棱锥，即可满足条件. 故选：D 3．A【详解】的斜边长为，所以外接圆的半径为， 所以球的半径为. 故选：A 4．B【详解】由斜二测画法，可得直观图是对应的平面图形，如图所示， 因为，，可得，且， 所以. 故选：B. 5．C【分析】根据直线方程及函数图象关系判断各个选项即可. 【详解】 在①中，一条直线有可能是常数函数的图象， 比如的图象是一条直线，但不是一次函数，故①错误； 在②中，一次函数中， 故一次函数的图象必是一条不过原点的直线，故②正确； 在③中，如直线上所有的点都是方程的解， 但是方程还有别的解，该方程就不能叫做的方程，故③错误； 在④中，一个二元一次方程的解构成一条直线，故④正确． 故选：C． 6．B【详解】如图所示，连接.在正方体中，， 则为异面直线与所成的角. 不妨设该正方体的棱长为2，在中， .故选：B 7．A【详解】解析  如下图，点，的坐标分别为，，则， 直线过点． 当时，直线化为，一定与相交，所以， 当时，，考虑直线的两个极限位置． ①与直线平行，即直线，则， ②经过，即直线，则； 因为直线与的延长线相交，所以，即．故选：A． 8．B【详解】解析  记，直线恒过定点， 如图，设点到直线的距离为，所以， 故当直线与垂直时，点到直线的距离最大，为．故选：B． 9．BC【分析】根据正四棱台的结构特征逐项分析判断. 【详解】过分别作底面、的垂线，垂足分别为、， 则， 可得. 对于A：在Rt中，可得， 且为锐角，则，故A错误； 对于B：正四棱台的高即为，故B正确； 对于C：正四棱台的体积，故C正确； 对于D：四棱台的表面积，故D错误； 故选：BC. 10．AC【详解】  对于A，直线斜率为，进而可得倾斜角为120°，故A正确；对于B，表示过点斜率为2的直线，且包含点，表示过点斜率为2的直线，但不含点，故B错误； 对于C，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两点，的直线，故C正确； 对于D，当截距都为0时，方程为； 当截距都不为0时，可设方程为，将代入得．则方程为． 11．AC【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；确定截面与棱的交点，求出线段的长，可判断B选项的正误；作出截面，求出截面周长，可判断C选项的正误；设截面交棱于点，根据三角形相似求出的长，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，因为，平面，平面，平面， 因为，所以，点到平面的距离为定值，而的面积为定值， 故三棱锥的体积是定值，A对； 对于B选项，延长交的延长线于点， 设平面交棱于点，连接并延长交于点， 因为，平面，平面平面，， 为的中点，则为的中点， ，则，，， 所以，，则， ，则，则，B错； 对于C选项，设直线分别交直线、于点、， 连接、分别交、于点、，连接、， 由B选项可知，，同B选项可知， 因为，，则为等腰直角三角形，则， 同理可知，也为等腰直角三角形， 同理可知，，，同理， 由勾股定理可得， 因此，截面的周长为，C对； 对于D选项，设截面交棱于点， 假设存在平面使得点到平面距离是到平面距离的两倍， 则，可得， 因为，则，则，不合乎题意. 因此，不存在平面使得点到平面距离是到平面距离的两倍，D错. 故选：AC. 12．①②④【详解】矩形，平面，， 在矩形矩形中，, 所以,且面，面, 所以面,因为面，所以，所以①正确. 同理可证平面，则，所以②正确. 由题意可知， 当时，在中有， 即，化简得,所以③错误. 矩形，平面，，所以④正确. 故答案为：①②④． 13．①④.【详解】 对于①，垂直于直线的直线方程为， 将点代入得，故所求直线方程为，①正确； 对于②，直线化为：， 由，求得直线过定点，故②错误； 对于③，时有：，解得，故③错误； 对于④，当时，，解得， 此时直线：，：， 两平行线间的距离为，故④正确．故选：①④． 14．①③④【分析】根据线面平行的性质定理判断③选项；由相似三角形性质判断①选项； 借助三角形面积公式及基本不等式判断②、④选项. 【详解】因为平面，平面平面，平面， 所以，同理可证，所以； 又平面，平面平面，平面， 所以，同理可证，所以； 所以四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形，所以③正确； 由相似三角形的性质得， 所以，，所以， 所以四边形的周长为定值，所以①正确； 因为，当且仅当时取等号， 所以四边形的面积有最大值，所以②错误，④正确. 故答案为：①③④. 15．（1）；（2）圆柱的高为时，它的侧面积最大为． 【解】（1）如图：中，，即     ， ， 圆柱的侧面积 （）             ┄┄6分 （2） 时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积为   ┄┄7分 16．（1）； （2）； （3）． 【解】 （1）由题意：经过直线：，：的交点的 直线系方程为：，过点，代入得， 故直线为，   ┄┄5分 （2）设经过直线：和：的交点的直线系方程 为， 则，，， 解得；所以所求直线方程为．   ┄┄5分 （3）设平行直线系方程；求两直线交点坐标；   ┄┄5分 17．(1)取CE的中点G，连接FG，BG， 因为F为CD的中点，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以，又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面 (2)因为平面，平面，所以， 因为为等边三角形，F为CD的中点，所以， 因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以   ┄┄7分 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）应用线面垂直的判定定理证明线线垂直. 【详解】（1）略 （2）略  ┄┄8分 18．(1) ，； (2)； (3)垂心的坐标； 【解】（1）由题意设，则的中点在直线上， 又所在直线的方程为， 所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 显然在上，则直线的斜率为， 则直线的方程为，整理得   ┄┄5分 （2）由（1）知，的中点， 所以所在的直线方程为，即．   ┄┄4分 （3）求两边的高线所在直线方程并求交点；证明交点在第三边的高线所在直线上；   ┄┄8分 19．(1)证明：连接，在中，因为，， 由余弦定理知， 故，所以. 在中，，由余弦定理知 ， 由勾股定理有，. 又平面平面，平面平面，平面， 平面. 平面， .   ┄┄5分 (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，，，由勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，进而证明出结论； （2）推出三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心，由正弦定理求出的外接圆半径，从而求出外接球半径，得到外接球体积； （3）作出辅助线，得到为与平面所成的角，分在线段上和在线段上，表达出，换元后，结合函数单调性和基本不等式求出最值，得到结论. 【解】（2）为直角三角形，平面平面， 三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心. 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）， 所以，即三棱锥外接球半径为4. 外接球体积为.   ┄┄3分 （3）取中点，作，连接，，.   ，平面平面， 平面平面，平面， 平面. 为与平面所成的角. ①在线段上，如图.设，则有， ，， ，，则， 在中，由余弦定理得. ， 令，，，， ∵，， 当且仅当，即时取“=”. 的最大值为. ②在线段上，如图2. 同①设，，. ，， ， 令，，， . 其中在上单调递增，理由如下： 任取， 则， 因为，所以，， 故，即， 所以在上单调递增，所以， 综上，的最大值为.   ┄┄9分 答案第4页，共9页 答案第5页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $