精品解析：江西鹰潭市贵溪市第一中学2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

江西鹰潭市贵溪市第一中学2025-2026学年高二上学期 2月期末数学试题 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线的方程为，则它的离心率和渐近线的方程分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 向量，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 5. 已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，A为曲线在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. 16 C. 7 D. 8 8. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6 B. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X，Y独立 C. 已知A，B为随机事件，，若A，B相互独立，则 D. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 10. 在棱长为2的正方体中，是棱AD上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 点到平面的距离的取值范围为 C. 若为棱AD的中点，直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为棱AD的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第10行所有数字之和为 C. 第2026行的第1013个数最大 D. 第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为________． 13. 离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则 ______. 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________． 四、解答题（本题共77分，解答要写出必要的步骤） 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 16. 云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． （1）求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； （2）设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 17. 如图1，是以为底边的等腰三角形，为正三角形.把沿翻折至的位置，得空间四边形，连接，如图2. （1）求证：； （2）当，且二面角的平面角为60°时，求二面角的正弦值. 18. 某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： （1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； （2）由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 19. 在直角坐标系xOy中，，点P到l：的距离为，记P的轨迹为E. （1）求E的方程； （2）已知l与x轴交于点T，过点F的直线与E交于A，B两点，点M，N满足，，直线MN与E交于C，D两点. （ⅰ）证明：直线CD过定点； （ⅱ）若直线AB斜率存在且不为0，记AT，BT，AB的斜率分别为，，k，证明：是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西鹰潭市贵溪市第一中学2025-2026学年高二上学期 2月期末数学试题 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义先求，再求复数的模，最后即可求解. 【详解】由题意有：，， 所以， 故选：A. 2. 若双曲线的方程为，则它的离心率和渐近线的方程分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程求，再求离心率和渐近线方程. 【详解】由双曲线方程可知，焦点在轴上，其中，，， 所以离心率，渐近线方程. 故选：D 3. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据对数函数的定义域求出集合，然后根据交集的定义求出结果. 【详解】要使有意义，则，， 即，则. 故选：D 4. 向量，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量的平行可得，再由向量的垂直可得，再根据向量的模的计算公式可得. 【详解】因为，所以，得，所以， 因为，所以，得，所以， 所以，故. 故选：B. 5. 已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据切线的性质求出点的轨迹，然后根据直线与圆的位置关系求出的范围. 【详解】因为过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，， 所以，因为， 所以，那么. 所以是以为圆心，4为半径的圆. 因为直线上存在点满足条件，所以直线与点的轨迹圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为. 解得. 故选：C. 6. 已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质可知，再由二项展开式的通项求出有理项的个数，即可求解. 【详解】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则， 可得的二项展开式的通项， 当为整数时，该项为有理项，因为且， 所以当时，分别为是整数，即有理项有3项，可得. 故选：A. 7. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，A为曲线在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. 16 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先分别设出椭圆和双曲线的基本量，再分别由椭圆和双曲线的定义及焦点三角形的面积综合可得进而再由基本不等式可得所求和式的最小值. 【详解】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，因为，所以. 双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为，如图： 设，则由椭圆和双曲线定义可得——①，——②， 两式分别取平方再相减整理得， 记，则由余弦定理得——③， ③得——④，由面积公式可得， 即，代入④整理得，即，所以， 即，因为，所以， 所以，得，所以， 即，所以， 即， 当且仅当时等号成立，即，再代入 解得，故的最小值为. 故选：A 8. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6 B. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X，Y独立 C. 已知A，B为随机事件，，若A，B相互独立，则 D. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据古典概型求概率判断A；根据独立性检验零假设为：与相互独立，由卡方值大于得到不成立，即可判断B；根据相互独立事件概率乘法求，再根据和事件的概率公式求，判断C；利用残差的计算可得D. 【详解】对于A，从6件产品中任取2件，即， “至少取到1件次品”的对立事件是“取到2件正品”为， 因此，至少取到件次品件正品，A正确. 对于B，由可得出“零假设与独立”不成立， 所以有的把握说X，Y有关，故B错误； 对于C，若A，B相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D，由题意可得样本点与的残差分别为和， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 在棱长为2的正方体中，是棱AD上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 点到平面的距离的取值范围为 C. 若为棱AD的中点，直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为棱AD的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出相关点坐标和相关向量，计算即可判断A；利用空间向量法的线面角、线线角和距离求法即可判断BCD. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，设点，其中， 对于，因为，所以，故A正确； 对于B，设平面的法向量为，则， 得平面的法向量为，因为. 所以点到平面的距离，故B错误； 对于C，当为AD的中点时，，故，，故C正确； 对于，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 第10行所有数字之和为 C. 第2026行的第1013个数最大 D. 第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 【答案】AB 【解析】 【分析】由组合数的性质计算可判断A；由杨辉三角的每行系数和性质可判断B；由杨辉三角图可知，第行有个数字，每行最中间项的系数最大可判断C；根据可判断D. 【详解】对于，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第15行，第4个数为， 倒数第4个数为，即，故D错误. 故选：AB. 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为________． 【答案】30 【解析】 【分析】由题意，可得正态分布的均值，根据正态分布曲线的对称性，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，所以均值， 由，根据正态分布曲线的对称性可得， 所以， 所以学生数学成绩在130分以上的总人数为. 故答案为：30 13. 离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则 ______. 【答案】1.6## 【解析】 【分析】由题意得到，从而得到，计算方差得到，再根据方差的性质计算即可. 【详解】由题意知：. 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】由椭圆及双曲线的定义可得，，设，从而可得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦的定义可得，从而得，求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义知，①，， 由双曲线的定义知，②， 由①②解得，， 设， 因为点与右焦点的连线交轴于点， 且平分， 所以， 在中，由余弦定理知， ③， 设， 则， 由角平分线定理知，， 即， 解得， 在中，④， 由③④得，， 解得或（舍）， 所以双曲线的离心率为． 故答案为： 四、解答题（本题共77分，解答要写出必要的步骤） 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆经过点，，代入圆的方程，建立关于和的方程组，求得和，即可得圆的方程； （2）由直线被圆截得的弦长，求出到的距离，对直线的斜率分是否存在两种情况讨论，由弦心距列方程即可得答案. 【小问1详解】 因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（）， 因为圆经过，两点， 所以，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 16. 云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． （1）求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； （2）设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲单场获胜分为直接获胜和常规时间战平后点球获胜，分别求得其概率，结合互斥事件概率的加法公式，求得单场获胜的概率，再利用重复试验的概率公式，即可求解； （2）先求得甲单场比赛积分分别为3分，2分和0分的概率，根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况： ①直接获胜，其概率为； ②常规时间战平后点球获胜，其概率为， 所以甲单场获胜的概率为， 则三场比赛恰有两场获胜的概率为. 【小问2详解】 解：甲单场比赛的积分有3种情况： 单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为； 单场比赛积0分，其概率为， 设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为， 可得，， ，， ，， 所以随机变量分布列为： 0 2 3 4 5 6 则期望为. 17. 如图1，是以为底边的等腰三角形，为正三角形.把沿翻折至的位置，得空间四边形，连接，如图2. （1）求证：； （2）当，且二面角的平面角为60°时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】1）通过证明平面，来证得. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得其正弦值. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 由得， 由得， 又平面， 所以平面， 由平面得. 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 所以为二面角的平面角，故， 因为平面，平面， 所以平面平面，且交线为， 过作于， 因为平面，则平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，不妨设，则， ，， 所以， 所以， 设平面的法向量为，由，得， 令得平面的一个法向量， 同理得平面的一个法向量， ， 设二面角的平面角为，则， 因为，所以， 所以二面角的正弦值为. 18. 某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： （1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； （2）由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率； （2）两边取对数，再根据公式求出，，从而，故. 【小问1详解】 由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. 【小问2详解】 ， 由题知，， ， ， ，故. 19. 在直角坐标系xOy中，，点P到l：的距离为，记P的轨迹为E. （1）求E的方程； （2）已知l与x轴交于点T，过点F的直线与E交于A，B两点，点M，N满足，，直线MN与E交于C，D两点. （ⅰ）证明：直线CD过定点； （ⅱ）若直线AB斜率存在且不为0，记AT，BT，AB的斜率分别为，，k，证明：是定值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据距离公式列等量关系，即可化简求解， （2）根据平行关系可得直线过定点，求解（ⅰ），根据两点斜率公式以及弦长公式，即可代入韦达定理化简求解（ⅱ）. 【小问1详解】 不妨设，由题可得， 化简得. 【小问2详解】 （ⅰ）由题可知，AB斜率为0时CD过x轴上点， 不妨设：， 由，，知AB//CD， , 故记：， 由条件知，得， 故：，其过定点. （ⅱ）设，，注意到在椭圆上，不妨设， 联立，有， 可得C的纵坐标为， 于是， 联立，得， 于是，， 于是， 可得， 而， 而，于是，为定值，故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $