2.3 一元二次方程的根与系数的关系课时作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接应用韦达定理求两根和与积|选择题1-5、填空题7-10，考查定理直接应用，夯实概念理解| |中档层|结合根的性质及代数式变形|选择题6（错误分析）、填空题12（参数与根的关系），深化定理灵活应用| |提升层|综合应用与新定义问题|解答题19（倍根方程新定义），融合实际情境（菱形对角线），培养创新思维与模型意识|

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 一、选择题 1.若关于x的一元二次方程的解为，，则原方程利用因式分解变形后可得      A. B. C. D. 2.已知，是方程的两个实数根，则  A. B. C. 20 D. 25 3.已知，是方程的两个实数根，则的值为    A. B. 1 C. D. 3 4.若方程的两个根是和，则的值为(    ) A. B. 1 C. D. 2 5.若关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则a的值为    A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0 6.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和则原来的方程可能是(    ) A. B. C. D. 二、填空题 7.已知一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为          . 8.已知方程的两根分别为，，则的值为          . 9.方程的根是与，则          . 10.设m，n是方程的两个实数根，则的值为          . 11.已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则          . 12.关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则方程的两根为          . 13.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为          . 14.方程的两个根分别是m，n，则          . 三、解答题 15.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： ； 16.已知关于x的一元二次方程的一个根为1，求另一个根和c的值． 17.已知关于x的一元二次方程为常数有两个不相等的实数根和 填空：          ，          ； 求，的值； 已知，求p的值． 18.设，是关于x的方程的两根. 当时，求及m的值; 求证： 19.新定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程是倍根方程． 若一元二次方程是“倍根方程”，则          ； 判断方程是不是倍根方程？并说明理由； 若是倍根方程，求代数式的值． 答案和解析 1.【答案】C  2.【答案】C  3.【答案】B  4.【答案】C  5.【答案】B  6.【答案】B  7.【答案】2  8.【答案】  9.【答案】28  10.【答案】5  11.【答案】  12.【答案】和2  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】【小题1】 方程的两根之和为，两根之积为 【小题2】 方程的两根之和为，两根之积为   16.【答案】另一个根为    17.【答案】【小题1】 p 1 【小题2】 ，； 解：，， ， 关于x的一元二次方程为常数有两个不相等的实数根和， ， ， ； 【小题3】 解：由根与系数的关系得，，， ， ， ， ， 解得或， 一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意；   【解析】  【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 利用根和系数的关系即可求解； 解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：p，1；   变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；   把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 18.【答案】【小题1】 解：把代入方程，得， ， 原方程为， 即， ， ， 故， 【小题2】 证明：方程可化为 ，是关于x的方程的两根， ，， ，   19.【答案】【小题1】 2 【小题2】 方程不是“倍根方程”，理由如下：，，解得，，，方程不是“倍根方程”  【小题3】 解方程，得，方程两根是2倍关系，或4，①当时，，即，代入，得；②当时，，即，代入，得综上，   【解析】  解：一元二次方程是“倍根方程”，设，为方程两根，，又，，，，解得，，故答案为：2  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $