2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，以韦达定理为核心，从单一公式应用到跨知识综合，培养运算能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|韦达定理直接应用|单选1-5、填空8-11直接计算两根和与积，解答13-14基础公式变形，强化概念理解| |综合应用|跨知识结合|单选6-7、填空12结合几何（矩形）、新定义（倒数方程），解答15①综合判别式与配方，培养推理能力| |拓展探究|参数与实际应用|解答15②、16-17含参数方程、等腰三角形边长问题，发展模型观念与创新意识|

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 小节整合练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的两个根为、，则这个一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 4．在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（   ） A． B． C． D． 5．关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 6．对于代数式、，定义新运算♣，则下列说法正确的个数为（    ） ①若♣，则或1； ②若♣，则的值为3或； ③若方程的解为、，则♣的值为； ④若关于的方程♣有两个不相等的实数解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 7．若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 8．已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为________． 9．一元二次方程的二个根分别是和，这个方程的一般形式可以是______． 10．已知满足，则正数的最小值是__________． 11．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 12．定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 三、解答题 13．设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 14．甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． （1）求a，b的值； （2）若关于x的一元二次方程a﹣bx+m＝0两实数根为，，且满足7﹣＝6，求实数m的值． 15．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个实数根分别为， ①求代数式的最大值； ②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长． 16．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，，求的值； (3)已知满足，，求正整数的最小值． 17．【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B C B C B D 1．【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 2．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若、是一元二次方程的两个实数根，则，． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为、， 设关于的一元二次方程的两个根为，， ∴，， A．，该方程没有实数根，故此选项不符合题意； B．，，故此选项符合题意； C．其中，故此选项不符合题意； D．，该方程没有实数根，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 4．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，若、是方程的两根，则有，．先设这个一元二次方程的两根是、，甲看错常数项，解得两根为8和2，说明，即，乙看错一次项系数，解得两根为和，说明，即，两式联合，可求关于、的方程． 【详解】解：设这个一元二次方程的两根是、，根据题意得 ，， 那么以、，为两根的一元二次方程就是， 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题． 【详解】解： ， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、解一元二次方程——配方法、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据新定义的运算法则，将♣1化为一个关于x的一元二次方程求解，即可判断①；根据新定义得♣，则得出或，代入，即可判断②；根据一元二次方程根与系数的关系得出，则，求出，即可判断③；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断④． 【详解】解：①♣，解得：或1； 故①正确，符合题意； ②♣，整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 故②正确，符合题意； ③♣， ∵方程的解为、， ∴， ∴，则 当时，♣， 当时，♣， ∴♣的值为或， 故③不正确，不符合题意； ④∵♣， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②，共2个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程根与系数关系：；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 7．【答案】D 【知识点】判断点所在的象限、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的两个正根推导出，，即可确定点所在的象限． 【详解】解：设一元二次方程的两个正实数根为，，且，， 可得， ∵，， ∴，， ∴，，即， ∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点位于第四象限． 8．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，两根之和为．设方程的另一个根为，利用根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得： ， 解得， 即方程的另一个根为． 9．【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系分析求解即可． 【详解】解：设该方程为， ∵该方程的两根分别为和， ∴ ， ， ∴，． 当时，该一元二次方程为． 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记两根之和为，两根之积为是解题的关键． 10．【答案】4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式；由已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，可把a、b看作方程的两根，再利用判别式的意义得到，然后解此不等式即可． 【详解】解：， ， 是方程的解， ， 是正数， ， 正数的最小值是4． 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为和． 根据根与系数的关系可得：． 长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， 这个长方形的面积为． 12．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，得到方程两根之和与两根之积，代入倒数方程的条件，得到关于的方程，求解并验证判别式即可． 【详解】解：设方程的两个根为和， 根据根与系数的关系，有： 由倒数方程的定义， 代入得： 解得：， 经检验是原方程的解，且当时，原方程为，，原方程有两个实数根 故答案为：． 13．【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ； （2）∵， ∴ ． 14．【答案】1）a=7，b=-2；（2）-5． 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）根据题意，-12-b=-10是正确的，5a-20=15是正确的，求解即可； （2）代入a，b的值得到7+2x+m＝0，运用根与系数关系定理，综合计算即可． 【详解】（1）∵甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为， ∴-12-b=-10是正确的，5a-20=15是正确的， 解得a=7，b=-2； （2）把a=7，b=-2代入一元二次方程a﹣bx+m＝0得到7+2x+m＝0， ∵一元二次方程a﹣bx+m＝0两实数根为，， ∴+=即7+7=-2， =即m=7×， ∵7﹣＝6， ∴7＝6+， ∴6++7=-2， 解得= -1，7＝5， ∴m= -5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一元二次方程根与系数关系定理，正确理解方程组的解，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键． 15．【答案】 （1）证明：△=（2m+4）2-4（m2+4m）=16，16＞0， ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）①24；②14或22或26 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、等腰三角形的定义 【分析】（1）通过判别式△求解． （2）①通过两根之积与两根之和的关系将x12+x22-4x1x2配方求解． ②把x=6代入方程求出m，再将m代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和大于第三边确定x的值． 【详解】解：（1）略 （2）①x12+x22-4x1x2=（x1+x2）2-6x1x2， ∵x1+x2==2m+4，x1x2=m2+4m， ∴（x1+x2）2-6x1x2=（2m+4）2-6（m2+4m）=-2m2-8m+16=-2（m+2）2+24， ∴当m=-2时x12+x22-4x1x2的最大值为24． ②把x=6代入原方程可得m2-8m+12=0， 解得m=2或m=6， 当m=2时，原方程化简为x2-8x+12=0， 解得x=2或x=6， 三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14， 三角形边长为2，2，6时不存在． 当m=6时，原方程化简为x2-16x+60， 解得x=6或x=10． 三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22， 三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26． ∴等腰三角形周长为14或22或26． 【点睛】本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式与根与系数的关系． 16．【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（）根据题意解答即可； （）分和两种情况解答即可； （）由已知可，，可得为一元二次方程的两个根，进而由解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，； （2）解：∵满足，， 当时，原式； 当时，可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； 综上，的值为或； （3）解：∵，， ∴，， ∴为一元二次方程的两个根， ∵，且， ∴， ∴， ∴正整数的最小值为． 17．【答案】材料理解：，； 类比运用： ①证明：∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； ② 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 材料理解：根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可； 类比运用：①证明即可；②通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【详解】材料理解： 解，∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故答案为：，； 类比运用： ①略 ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵， ∴， 解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $