第一章勾股定理同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学北师大版八年级上册第一章勾股定理同步练，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合创新的知识进阶，培养几何直观、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理概念、简单判断与计算|选择题1-5直接考查三角形类型判断、勾股数识别，夯实核心概念| |中档|性质应用与情境问题|填空题11-13结合折叠、矩形桌面检验，提升运算能力与几何直观| |提升|综合探究与创新应用|解答题22-23涉及勾股分割点分类讨论、蚂蚁爬行最短路径，培养推理意识与应用能力|

2026-2027北师大版数学八年级上册练习 第一章勾股定理 一、选择题：本题共10小题，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则是(    ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 2.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.如图，在中，，分别以这个三角形的三边长为边长作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 4.如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 5.若要将一块不能弯曲的正方形厚度忽略不计搬进室内，需要通过一扇如图所示的高为，宽为的门，以下边长的木块中哪块可以通过此门(    ) A. B. C. D. 以上答案都不对 6.如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径为，内壁高为，则这支铅笔的长度可能是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，，是边上的一个动点，线段的最小值是。 A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧交于点；以点为圆心，为半径画弧交于点，则的长为  (    ) A. B. C. D. 9.如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点出发到点，其爬行的最短线路的长度是(    ) A. B. C. D. 10.在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形直角边长分别为，，斜边长为构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形甲、乙两位同学给出的构图方案中，可以证明勾股定理的是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙都可以 D. 甲、乙都不可以 二、填空题：本题共5小题。 11.已知直角三角形的三边长分别为，，，则           ． 12.如图，正方形由个边长为的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接，，则            13.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面          。填“合格”或“不合格” 14.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是点的对应点，顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为          ． 15.如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为米，则船向岸边移动了          米。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，顶点都在格点上， 求证：是直角三角形． 17.如图，在的方格纸中，每一个小正方形的边长都为． 是不是直角？请说明理由；求四边形的面积． 18.如图，在某一景观河的一侧有一最佳观景点，河边有两个入口，，通过道路，可前往观景点，。因景区改造，需要关闭通道，为了方便游客观景，分散人流，决定新修道路点在河边，，，在同一直线上。经测量：，，。 判断是否为从到河边的最近道路，并说明理由。 求原道路的长度。 19.如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． 的长为           求的长． 20.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”又到了放风筝的最佳时节，某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度如图，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米牵线放风筝的小明的身高为米。求风筝的垂直高度。 21.如图，一架长为米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的长为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米到点处，那么梯子底端将外移到，则的长为多少米 22.定义：如图，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点。 已知，把线段分割成，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗请说明理由 【分类讨论思想】已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长。 23.勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一． 【阅读理解】 直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方．设两条直角边长分别为和，斜边长为，则有我国古代称直角边中较短者为“勾”，较长者为“股”，斜边为“弦”，故定理得名“勾股定理”三千多年前，周朝数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”的特例． 【应用探索】 下列每组中的三条线段能否构成直角三角形？若能，在括号里画“”；若否，画“”．                         公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯通过几何拼图证明了勾股定理西方称其为毕达哥拉斯定理我们也一起来试试 动手操作：用个完全相同的直角三角形直角边长分别为、，斜边长为和个正方形边长分别为、、，拼成如图所示的两个大正方形． 观察分析：图的面积个直角三角形的面积边长为的正方形的面积           图的面积个直角三角形的面积边长为的正方形的面积边长为的正方形的面积                               因为图、图都是边长为的正方形，面积相等，整理可得：                                         ，即          ． 如图，圆柱的高是，底面半径是，在圆柱底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对的点处的食物． 画一画：将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形如图，请在图中标出点的位置并连接算一算：蚂蚁需要爬行的最短路程是多少厘米？取 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.  11.或  12.  13.合格  14.  15.  16.（1） 解：证明：根据勾股定理，得，，，则． 是直角三角形．   17.解：是直角． 理由：连接， ， ， 是直角； 四边形的面积为： ． 四边形的面积为．  18.（1） 解：是从到河边的最近道路。 理由：在中，已知，，。 因为， 所以是直角三角形，且，即。 根据垂线段最短的性质，是从点到河边的最近道路。 （2）因为，， 所以， 在中，，， 根据勾股定理，得， 所以。 答：原道路的长度为。  19.（1） （2） 20.解：根据题意知，所以米。 易知米，所以米，即风筝的垂直高度为米。  21.解：在中，由勾股定理，可得，所以。 在中，由勾股定理，可得，所以。 则米。即的长为米。 22.（1） 点，是线段的勾股分割点，理由：因为，，所以。所以以，，为边的三角形是一个直角三角形。所以点，是线段的勾股分割点。 （2）因为点，是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况：为斜边时，有，设，则，所以为斜边时，有，设，则，所以。综上所述，的长为或。  23.（1） （2）  （3）解：点的位置如图； 由图可知，， 因为，且， 所以， 所以蚂蚁需要爬行的最短路程是厘米．   学科网（北京）股份有限公司 $