第一章 问题解决策略：反思（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

问题解决策略：反思 【趣味情境引入】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中 隐含着一个有趣的数学问题一将军饮马.如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再 回到点B宿营，他在河岸1上哪一点处饮马才能使每天走的路程之和最短呢？利用前面所学的 知识帮他解决问题. 【一模多变】平面图形→立体图形，化曲为直解决“障碍” 1.如图，台阶阶梯每一层长50cm,宽40cm,高20cm.一只蚂蚁从点A爬到点B,最短路程是 cm. B 单位：cm 20 50 T40 ● (第1题图) (第2题图) （第3题图) (第4题图) 2.(银川唐徕中学期末)如图，一只蚂蚁从底面为边长4.5cm的正方形，高12cm的长方体纸箱 的点A沿纸箱表面爬到点B,那么它需要爬行的最短路线的长是 cm. 3.如图，一个棱长为3的正方体，把它分成3×3×3个小正方体，小正方体的棱长都是1.如果一 只蚂蚁从点A爬到点B,那么最短路程为· 4.一个圆柱形玻璃杯如图所示，该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从点A出发沿 着玻璃杯的侧面爬行到相对面的点B处，则蚂蚁爬行的最短路程为cm. 【拓展变式】两点都在外壁一内壁一外壁 如图，圆柱形玻璃杯的高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂 蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1c,且与蜂蜜相对的点B处.若蚂蚁要从B处爬 到A处吃到蜂蜜，求它爬行的最短路程.（杯壁厚度不计） 11数学I八年级上册(BS) 【反思归纳】解决立体图形的最短路径问题时，常用到下面几种基本模型： 基本模型： 阶梯： 展开 长方体：展开方式多种，一般沿最长棱展开路径最短 圆柱 ①沿外表面，从点A点B ②从外表面，点A→内壁点B 【方法运用】 1.体育运动情境化如图，某滑雪场U型池的场地可以看作是从一个长方体中挖去半个圆柱而成 的，它的横裁面中半圆的半径为只 m,其边线AB=CD=24m,点E在CD上，CE=4m.一名 滑雪爱好者从点A滑到点E,他滑行的最短路线长为 m. 5 cm 2 cm 4cm (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，长方体的长为4cm,宽为2cm,高为5cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一 圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路程为cm 3.如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有 路径中，最短路径的长是 4.数学文化新趋势我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，该圆 柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则葛藤的最短长度为 尺 （第4题图) （第5题图) 5.如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中AB=80cm,高AD=60cm,水深ED=40cm,在鱼 缸内水面上紧贴内壁点P处有一鱼饵，点P在水面线EF上，且EP=60cm.若一只小虫想从 鱼缸外的点D沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁点P处吃鱼饵，则小虫爬行的最短路程为 cm. 第一章勾股定理12参考答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 1.B2.C3.12 4.解：(1)c2=a2+6=52+122=169,所以c=13.(2)b2=c2-a2=252-72=576,所以b=24.(3)由题意，得c=a十8.因为c2=a2+ b,所以(a十8)2=a2+162,解得a=12.所以c=a+8=20. 5.解：1在R△ABC中，由勾股定理，得AB=AC+BC=15+202=625,所以AB=25.(2)因为5c=号AB·CD=7AC BC,即2×25CD=合×15×20，所以CD=12. 6.B7.B825或79.D10.C11.D12.了 13.解：因为AM是△ABC的中线，所以BM=CM.因为MN⊥AB,所以∠BNM=∠ANM=90°.所以BN2=BM-MN2,AN2= AMP-MN2.所以AN2-BN2=AMP-BMP.因为∠C=90°，所以AP=AC+CMP.所以AN2-BN=AC+CMP-BP=AC. 14.解：(1)S,=S:+S,理由如下：易得三个半圆的面积分别为S,=苓AB,S:=BC,S,=AC,在R△ABC中，由勾股定理， 得AB=BC+AC,所以gAB=gBC+8AC.所以S=S:+S.(2)17 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 1.1)a+bc(2a+b2ab×4+2(3)a+b6=2bX4+ca+6=22.C32.441500 5.解：(1)由题意可知，AB=50m,AC=30m.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB2-AC=502-302=1600,所以BC= 40m.(2)这辆轿车超速了.理由如下：这辆轿车的速度为40÷2=20(m/s)=72(km/h).因为72>70，所以这辆轿车超速了. 6.解：因为CD⊥AB,所以∠D=90°.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC-CD2=202-162=144,所以BD=12m.在 Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC-CD=342-162=900,所以AD=30m.所以AB=AD-BD=18m.答：点A,B之间的 距离为18m. 7.D8.7 9.解：连接BF.因为AC=b,所以S正方形AcDE=.由题意，得CD=DE=AC=b,EF=BC=a,D,E,F三点共线，所以BD=CD-BC =b-a,DF=DE+EF=b十a.因为∠CAE=90°，所以∠BAC+∠BAE=90°.因为∠BAC=∠EAF,所以∠EAF+∠BAE=90°.所 以△BAF为等腰直角三角形.所以Saa=5ae十Sar=合e+子(0-a)(b十a)=合c十号(-a).因为SE事 Sam,所以：=名e+2(-d).所以心+=. 10.解：(1)过点B作BC⊥AD于点C.由题意，易得BC=ED=15m,CD=BE=1.6m.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理， 得AC2=AB2-BC=172-152=64,所以AC=8m.所以AD=AC+CD=9.6m.答：风筝离地面的垂直高度AD为9.6m.(2)风 筝沿DA方向再上升12m后，AC=8+12=20(m),此时，AB2=AC心+BC=202+152=625,所以此时风筝线AB的长为25m.所 以25一17=8(m).答：小明应该再放出8m线. 2一定是直角三角形吗 1.A2.B3.C4.245.等腰直角 6.解：由勾股定理，得AB2=22+32=13,BC=4+62=52,AC=42+72=65,所以AB2+BC=AC.所以△ABC为直角三角形. 7.解：(1)△ABD是直角三角形.理由如下：因为BC=24cm,AD为中线，所以BD=CD=12cm.因为AD2+BD2=52+122=169, AB2=132=169,所以AD2+BD2=AB2.所以△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°.(2)因为∠ADB=90°，所以AD⊥BC.又因为 BD=CD,所以AC=AB=13cm. 8.D9.6和10（或15和17）10.A11.B12.45 13.解：(1)因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°.所以AC2=AB2-BC2=132-52=144.所以AC=12.(2)因为AC=12,CD=15,AD= 9,所以CD=AC+AD.所以△ADC是直角三角形，且∠CAD=S0.所以Sm=2BC·AC+AD·AC=号×5X12+ 2×9×12=84, 14.解：(1)连接CE.因为D是BC的中点，DE⊥BC,所以CE=BE.因为BE-AE2=AC,所以CE-AE=AC,即AE+AC= CE.所以△ACE是直角三角形，且∠A=90°.(2)因为D是BC的中点，所以BC=2BD=10.由(1)知∠A=90°，所以AB2=BC一 AC=64.所以AB=8.设AE=x,则CE=BE=8-x.在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE十AC=CE,即x2+62=(8-x)2,解得 x=子所以AB=名 7 15.解：(1)n2-12nn2+1(2)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.理由如下：因为a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n+2n2+ 1,c2=(n2+1)2=n+2n2+1,所以a2+62=c2.所以以a,b,c为边长的三角形是直角三角形. 3勾股定理的应用 1.C 2.解：这个零件不符合要求.理由如下：因为BC2十DC2=625,BD2=625,所以BC2+DC2=BD2.所以△BDC是直角三角形，且∠C =90°.因为AB2十AD2=593,BD2=625,所以AB2十AD2≠BD2.所以△ABD不是直角三角形.所以∠A≠90°.所以这个零件不符 合要求. 3.B4.C 5.解：(1)(x十1)(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2十AB2=AC2,即52+x2=(x+1)2,解得x=12.答：旗杆AB的高度为 12m. 6.D7.C8.2.9 9.解：设BD=xm,则AD=4+8-x=12-x(m).在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC+CD,即(12-x)2=82+(4十x)2, 解得x=2.所以BD=2m.所以CD=BC十BD=6m.答：这棵树的高度为6m 10.解：(1)海港C受台风影响.理由如下：过点C作CD⊥AB于点D.因为AC+BC=602+802=10000,AB2=1002=10000,所 以AC+BC=AB.所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90.因为SAC=合AB·CD=合AC·BC, 所以CD=AC:BC=48km.因为48<50，所以海港C受台风影响.(2)如图，设当台风中心移动到E,F处 AB 时正好影响海港C,则EC=FC=50km.因为CD⊥EF,所以EF=2ED.在Rt△ECD中，由勾股定理，得 ED2=EC-CD2=502-482=196,所以ED=14km.所以EF=2ED=28km.所以28÷4=7(h).答：台风影响该海港持续的时间 为7h. 方法技巧专题勾股定理与面积问题【宁夏热点】 1.96 2.解：连接AC.因为AE⊥BC,E是BC的中点，所以∠AEB=90°，BC=2BE,AE垂直平分BC.所以AC=AB=15m.因为AC+ CD2=152+82=289,AD2=289,所以AC+CD2=AD2.所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.在Rt△ABE中，BE=AB2- AE=81,所以BE=9m所以BC=18m所以S=SAc十Sam=合BC,AE+合AC.CD=168m. 3.644.865.6 6(2)” 7.3 思想方法专题勾股定理中的方程思想 1.解：设OA=OB=x尺.因为EC=BD=5尺，AC=1尺，所以EA=EC-AC=4尺，OE=OA-EA=(x-4)尺.在Rt△OEB中， 由勾股定理，得OB2=OE+EB,即x2=(x-4)2+102,解得x=14.5.所以OB=14.5尺.答：秋千绳索OB的长为14.5尺. 2.53.号4.45.66.号【变式题127.10 问题解决策略：反思 【趣味情境引入】解：如图，作点B关于直线1的对称点B',连接AB,与直线1交于点C,则点C就是饮马处，此时所走的路程之和 最短 1.1302.153.5 4.17 【拓展变式】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作点B关于EF的对称点B',作B'D⊥AE,交AE的延长线于点D,连接AB,则AB的长 2 即为蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程.由题意，得DE=BB'=1cm,AE=9一4=5(cm),所以AD=AE+DE一 6cm因为玻璃杯的底面周长为16cm,所以BD=号×16=8(cm).在R△ADB中，由勾股定理，得AB:=AD+BD2=6十8 =100.所以AB=10cm.答：爬行的最短路程为10cm. D B 1.252.133.54.255.100 第一章章末复习 思维导图 a2十b2=c2a2十b2=c2正整数 考点整合 1.C2.A3.34.495.106.2 7.解：(1)设AB=xdm,则BC=(16-x)dm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+BC=AB2,所以82+(16-x)2=x2,解得x= 10.所以AB=10dm.所以AB+AC=10+8=18(dm).答：绳子的总长度为18dm.(2)若物体C升高7dm,则此时AB=10+7= 17(dm).在Rt△AB'C中，由勾股定理，得B'C2=AB2-AC=172-82=225,所以B'C=15dm.由(1)，得BC=16-10=6(dm), 所以BB'=B'C一BC=9dm.答：滑块B向左滑动的距离为9dm. 8.C9.B10.A 11.解：(1)AD⊥BC.理由如下：因为AD2+CD2=122+52=169,AC=132=169,所以AD2+CD2=AC.所以△ACD是直角三角 形，且∠ADC=90°.所以AD⊥BC.(2)因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°.在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2=152-122=81,所以 BD=9m所以SaD=号BD·AD=合×9X12=54(m).所以50X54=270(元).答：需花费270元. 12.解：(1)625(2)因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC,∠ABC=90°.所以∠ABG十∠PBC=90°.因为∠AGB=90°，所以 I∠AGB=∠BPC, ∠BAG+∠ABG=90°.所以∠BAG=∠PBC.在△AGB和△BPC中， ∠BAG=∠CBP,所以△AGB≌△BPC(AAS).所以BG= AB=BC, CP.因为正方形CPQH的面积为y,所以BG=CP2=y.因为正方形AEFG的面积为x,所以AG=x.所以正方形ABCD的面积 =AB2=AG+BG=x十y.(3)a,b,c三个正方形的面积和是129.理由如下：设1号、2号、3号、4号正方形的面积分别为S,S2, S,S4.同(2)可得，a正方形的面积=S,十S2,b正方形的面积=S2十Sg,c正方形的面积=S8十S4,所以a,b,c三个正方形的面积和 =S1+S2+S2+S3+S3+S4=S1十S4+2(S2+S3)=51+2X39=129. 第二章实数 1认识实数 1.C2.D 3解：有理数有-2,0，号3.3,2090，(-2026；无理数有1一x,2.16116116111…(相邻两个6之间1的个数逐次加1D. 4.B5.C6.B7.D8.<9.D 10.解：（一2）2=4，一|一3|=一3，把数（一2）2，一2.5，π，一|一3|在数轴上表示出来如图所示，由图可知一一3<一2.5<π< (-2)2. -32 -10 L1卜3-2.5 (-2) 6内420234方6 (第10题图) (第15题图) 11.D12.D13.D14.(1)②⑧(2)④⑥⑦(3)①③⑥⑦(4)①⑤⑧(5)④⑤ 15.解：(1)5(2)如图所示. 16.解：(1)如图所示.（答案不唯一）(2)如图所示.（答案不唯一）(3)如图所示.（答案不唯一）(4)如图所示. 3