1.2.1有理数讲义 2026-2027学年人教新版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦有理数核心知识点，系统梳理整数与分数的概念及有理数的组成，明确按定义和正负两种分类方式，解析小数与有理数的关系，构建从概念理解到分类应用的递进式学习支架。 资料以教材例题为基础改编，典题涵盖多地期中期末及中考真题，通过定义辨析和分类训练培养抽象能力与推理意识，集合表示练习提升数学语言表达，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

答案： 1．D　解析：π、-π、0.1010010001…（无限不循环）都不是有理数； 是分数，属于有理数．故选 D． 2．D　解析：0、－5、 都是有理数，π 不是有理数．故选 D． 3．B　解析：整数有 ，，，共 3 个．故选 B． 4．B　解析：整数和分数统称为有理数；0 本身就是整数，也是有理数．故选 B． 5．C　解析：－3、0、8 是整数， 是正分数，属于分数．故选 C． 6．B　解析：负有理数有 ，，，共 3 个（ 是正有理数， 不是有理数）．故选 B． 7．C　解析：0 是整数，也是有理数，但既不是正数也不是负数．故选 C． 8．C　解析：0.333…（3 循环）是无限循环小数，可化为 ，是有理数；其余都不是有理数．故选 C． 9．B　解析：最小的正整数是 1．故选 B． 10．B　解析：有理数按定义分为整数和分数；A 漏了 0 且分类混乱，C 是按正负分类且漏了 0，D 把 0 单列造成重复．故选 B． 11．B　解析：既是分数又是负有理数的数是 （－2 是整数， 非正非负， 是正分数）．故选 B． 12．D　解析：A、B、C 都正确；D 错， 是无限不循环小数，不是分数，也不是有理数．故选 D． 13．正整数集合｛｝；负整数集合｛｝；正分数集合｛，｝；负分数集合｛，｝．解析： 是正分数， 是整数但既不是正整数也不是负整数，单列． 14．答案不唯一，如：－1，－2，－3．解析：小于 0 的整数是负整数． 15．；．解析：有限小数和分数可以互化． 16．正有理数有 ①④⑥；负有理数有 ③⑤．解析：① 正整数、④ 正分数、⑥ 正分数，均是正有理数；③ 、⑤ 是负有理数；② 非正非负． 17．整数；有理数；正；负．解析：0 是整数，也是有理数，但既不是正数也不是负数． 18．整数；分数；正有理数；负有理数．解析：按定义分整数、分数；按正负分正有理数、负有理数和 0． 19．4；3．解析：整数有 ，，， 共 4 个；分数有 ，， 共 3 个． 20．答案不唯一，如：－2（负整数，也是负有理数）；（正分数，也是正有理数）．解析：整数中的负数既是整数又是负有理数；分数中的正数既是分数又是正有理数． 21．解：（1）有理数集合｛，，，，，，｝（π 不是有理数，不填入）；整数集合｛，，｝；分数集合｛，，，｝．（2）分类依据：整数和分数统称为有理数；有限小数（如 、）和分数都属于分数；π 是无限不循环小数，不是有理数． 22．解：整数集合填 ，，；分数集合填 ，，，；它们都属于有理数（落在外层大圈）．解析：整数和分数都是有理数的子集，把每个数对号入座到“整数”或“分数”区域即可． 23．解：（1）错误．整数包括正整数、0、负整数，不只是正整数和负整数；（2）正确．分数都是有理数；（3）错误．无限循环小数是有理数（如 0.333…（3 循环）可化为 ），只有无限不循环小数不是有理数；（4）正确．0 既不是正整数也不是负整数，但 0 是整数． 24．解：① 一个数是整数不一定是分数，例如 是整数但不是分数（整数与分数是有理数中并列的两类，不互相包含）；② 一个数是分数也不一定是整数，例如 是分数但不是整数；③ 有理数都能写成分数形式（整数可写成 ，分数本就是分数形式）；④ 整数集与分数集是互不相交的两个集合，它们的并集是有理数集． 25．解：给出的数都是有理数．按“正整数、0、负整数”分类：正整数：＋120，＋50；0：0；负整数：－80，－30．0 在这里表示“没有进出库”（即该次既没运进也没运出，是基准）． 26．解：（1）正有理数集合｛，｝；负有理数集合｛，，｝；0 单独列出（既不是正有理数也不是负有理数）；（2）既是整数又是负有理数的是 （－2.5 是负分数不是负整数）；（3）既是分数又是正有理数的是 （4 是正整数）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1　有理数 精讲精练含答案 要点同步精讲 要点一　有理数的概念 1. 整数：正整数、0、负整数统称为整数．如 1，2，3，…，0，－1，－2，－3，… 都是整数． 2. 分数：正分数和负分数统称为分数．如 ，，，（即 ）等都是分数． 3. 有理数：整数和分数统称为有理数．也就是说，凡是能写成整数或分数形式的数，都是有理数． 注意：① 0 是整数，也是有理数，但 0 既不是正数也不是负数；② 小数中的有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此它们也是有理数（如 ，循环小数 0.333…（3 循环）可化为 ）；③ 无限不循环小数（如 π、√2）不是有理数． 【例1】（人教版教材·1.2 例改编）把下列各数分别填入相应的括号中，并指出哪些是整数，哪些是分数，哪些是有理数： ，，，，，，，π． 【分析】先判断每个数是整数还是分数，再看能否归入有理数．注意 π 是无限不循环小数，不是有理数． 【解答】解：整数有 ，，；分数有 ，，，；有理数有 ，，，，，，．π 不是有理数（它是无限不循环小数）． 【总结】判断一个数是否为有理数，关键看它能否写成整数或分数；有限小数、无限循环小数可化为分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数． 要点二　有理数的分类 1. 按定义分类（二分法）：有理数分为整数和分数；整数又分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数． 2. 按正负分类（三分法）：有理数分为正有理数、0、负有理数；正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数． 注意：① 分数包括有限小数和无限循环小数；② 0 既不是正数也不是负数，它独立成类，不能归入正有理数或负有理数；③ 分类要“不重不漏”． 【例2】（人教版教材·1.2 例改编）把下列各数填入相应的集合圈中： 正整数集合｛　　　｝，负整数集合｛　　　｝，正分数集合｛　　　｝，负分数集合｛　　　｝． 所给数：，，，，，，，． 【分析】先按“整数/分数”区分，再按“正/负”区分；0 是整数但不是正整数也不是负整数，不要漏掉也不要错放． 【解答】解：正整数集合｛｝，负整数集合｛，｝，正分数集合｛，｝，负分数集合｛，｝； 是整数，但不属于正整数集合也不属于负整数集合，应单独列出． 【总结】分类时要先明确分类标准（按定义还是按正负），再把每个数对号入座，做到不重不漏；0 是整数，但既不是正整数也不是负整数． 要点三　有理数的有关概念与小数 1. 非负整数：正整数和 0 统称为非负整数（也叫自然数集）．最小的非负整数是 0，最小的正整数是 1，最大的负整数是 －1． 2. 小数与有理数：有限小数和无限循环小数都能化成分数，所以它们都是有理数；无限不循环小数（如 π）不是有理数． 3. 集合表示：把若干个数填入集合时，通常用大括号 ｛　｝ 表示，元素之间用逗号隔开；集合中的元素具有确定性、互异性、无序性． 注意：① “最小的正整数”是 1，“最大的负整数”是 －1，没有最小的负整数，也没有最大的正整数；② 不要把“非负整数”说成“正整数”，0 也是非负整数；③ 判断小数是否为有理数，看它是有限还是无限循环，二者皆可化分数． 【例3】（人教版教材·1.2 例改编）判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）有理数包括整数、分数和 0；（2） 是分数，因而是有理数；（3）无限小数都是有理数；（4）－3 既是负整数，也是负有理数． 【分析】逐一对照有理数概念和分类进行判断；特别注意 π 不是有理数，含 π 的式子一般也不是有理数，且“无限小数”要区分循环与不循环． 【解答】解：（1）错误．有理数包括整数和分数，而 0 本身就是整数，不应与整数、分数并列；（2）错误． 中含有 π，π 是无限不循环小数，不能化成分数，所以 不是有理数，也不是分数；（3）错误．只有有限小数和无限循环小数才是有理数，无限不循环小数（如 π）不是；（4）正确．－3 是负整数，自然也是负有理数． 【总结】判断正误题要“回归定义”：紧扣“整数和分数统称有理数”“有限小数、无限循环小数可化分数”等基本结论；遇到 π、√2 等无限不循环小数要警惕． 典题精练 1． （2025·河南郑州·期中）下列数中，是有理数的是（　　） A．π　B．-π　C．0.1010010001…（每两个 1 之间 0 的个数依次加 1）　D． 2．（2025·山东济南·期末）下列各数中，不是有理数的是（　　） A．0　B．－5　C．　D．π 3． （2025·安徽合肥·期中）在 ，，，， 中，整数的个数是（　　） 4． A．2　B．3　C．4　D．5 5． （2025·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（　　） A． 正数和负数统称为有理数　B．整数和分数统称为有理数　 C．有理数就是正有理数和负有理数　D．0 不是有理数 5．（2025·江西赣州·期中）在下列各数中，属于分数的是（　　） A．－3　B．0　C．　D．8 6．（2025·湖北武汉·期末）在 ，，，， 中，负有理数的个数是（　　）A．2　B．3　C．4　D．5 7．（2025·湖南长沙·期中）关于 0，下列说法正确的是（　　） A．0 是正数　B．0 是负数　C．0 是整数　D．0 不是有理数 8． （2025·江苏苏州·中考）下列小数中，是有理数的是（　　） A．0.1010010001…（不循环）　B．π　C．0.333…（3 循环）　D． 9．（2025·山西太原·期中）最小的正整数是（　　）A．0　B．1　C．－1　D．2 10．（2025·河南·中考）把有理数按定义分类，正确的一组是（　　） A．有理数分为正整数、负整数、分数　B．有理数分为整数和分数　C．有理数分为正有理数、负有理数　D．有理数分为整数、分数、0 11．（2025·四川成都·期中）下列各数中，既是分数又是负有理数的是（　　） A．－2　B．　C．0　D． 12．（2025·贵州贵阳·期末）下列说法错误的是（　　） A．整数和分数统称有理数　B．0 是整数　 C．有限小数都是有理数　 D． 是分数，因而是有理数 13．（2025·云南昆明·期中）把下列各数填入相应的集合：正整数集合｛　　｝；负整数集合｛　　｝；正分数集合｛　　｝；负分数集合｛　　｝．所给数：，，，，，，． 14．（2025·甘肃兰州·期末）写出三个负整数：_______、_______、_______． 15．（2025·河南洛阳·期中）把 写成分数的形式是 _______；把 写成小数的形式是 _______． 16．（2025·山东青岛·期末）把下列各数按“正有理数、0、负有理数”分类，正有理数有 _______，负有理数有 _______（填序号）．所给：① 　② 　③ 　④ 　⑤ 　⑥ ． 17．（2025·安徽芜湖·期中）0 是 _______ 数，也是 _______ 数，但不是 _______ 数也不是 _______ 数．（从“整数”“分数”“正”“负”中选填） 18．（2025·河北保定·期末）有理数按定义可分为 _______ 和 _______ 两大类；按正负可分为 _______、_______ 和 0 三大类． 19．（2025·江西九江·期中）在 ，，，，，， 中，整数有 _______ 个，分数有 _______ 个． 20．（2026·河南郑州·模拟）一个数既是整数又是负有理数，这个数可能是 _______（写出一个即可）；一个数既是分数又是正有理数，这个数可能是 _______（写出一个即可）． 21．（2025·山西大同·期中）把下列各数分别填入相应的集合，并说明分类的依据：有理数集合｛　　　　　｝；整数集合｛　　　　　｝；分数集合｛　　　　　｝．所给数：，，，，，，，π． 22．（2025·陕西汉中·期末）如图，把给出的数填入有理数及其子集的包含关系图中（每个数填一次）：数：，，，，，，． 23． （2025·四川绵阳·期中）判断下列各说法是否正确，并说明理由：（1）整数就是正整数和负整数的统称；（2）分数都是有理数；（3）无限循环小数不是有理数；（4）0 既不是正整数，也不是负整数，但 0 是整数． 24．（2025·湖南衡阳·期末）探究：一个数是整数就一定是分数吗？一个数是分数就一定是整数吗？有理数都能写成分数的形式吗？请举例说明，并说明整数集与分数集的关系． 25．（2025·福建厦门·期中）某粮站记录的粮食进出库情况如下（运进为正，运出为负，单位：t）：＋120，－80，0，＋50，－30．把其中的有理数按“正整数、0、负整数”分类，并说明 0 在这里表示的实际意义． 26．（2025·贵州遵义·期末）给出一组数：，，，，，．请完成下面的问题：（1）把它们填入“正有理数集合”和“负有理数集合”（0 单独列出）；（2）指出其中既是整数又是负有理数的数；（3）指出其中既是分数又是正有理数的数． 学科网（北京）股份有限公司 $