1.2.1有理数的概念＆1.2.2数轴 同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数概念与数轴两大核心知识点，系统梳理有理数的定义、两种分类方法及带“非”字的数，衔接数轴的定义、三要素、画法，以及用数轴表示数、比较大小、距离计算与点的平移，构建从数的概念到数形结合工具应用的递进学习支架。 资料以知识点为纲、题型为目，每个知识点配解题技巧与典例变式，梯度清晰。通过有理数分类培养抽象能力（数学眼光），数轴动点问题发展推理意识（数学思维），规律探究题提升模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固基础、查漏补缺。

1.2.1有理数的概念＆1.2.2数轴 目录 知识点1 有理数的定义 2 知识点2 有理数的分类（按定义分） 2 知识点3 有理数的分类（按性质符号分） 3 知识点4 带"非"字的有理数 3 知识点5 数轴的定义 3 知识点6 数轴的三要素 3 知识点7 数轴的画法 3 知识点8 用数轴上的点表示有理数 4 知识点9 利用数轴比较有理数的大小 4 知识点10 数轴上两点之间的距离 4 知识点11 数轴上点的平移 4 题型1 有理数的定义 5 题型2 有理数的分类 7 题型3 带 “非” 字的有理数 9 题型4 数轴的三要素及其画法 11 题型5 用数轴上的点表示有理数 13 题型6 利用数轴比较有理数的大小 14 题型7 数轴上两点之间的距离 16 题型8 数轴上点的平移（动点问题） 18 题型9 数轴上找原点 22 题型10 数轴上整点覆盖问题 24 题型11 数轴上的规律探究 26 1. 理解有理数的概念，掌握有理数的两种分类方法。 2. 理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，能正确画出数轴。 3. 能用数轴上的点表示有理数，能利用数轴比较有理数的大小。 4. 能解决数轴上的距离、平移、找原点、整点覆盖及规律探究等问题。 知识点1 有理数的定义 整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此都是有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。 知识点2 有理数的分类（按定义分） 按定义，有理数分为整数和分数两大类： 整数：正整数、0、负整数。 分数：正分数、负分数。 注意：0是整数，但0既不是正数也不是负数。 知识点3 有理数的分类（按性质符号分） 按性质符号，有理数分为正有理数、0、负有理数三大类： 正有理数：正整数、正分数。 0：单独一类，既不是正数也不是负数。 负有理数：负整数、负分数。 两种分类标准不能混淆，分类时要做到不重复、不遗漏。 知识点4 带"非"字的有理数 "非"字表示"不是"，包含0这个分界点： 非负数：正数和0（即≥0的数）。 非正数：负数和0（即≤0的数）。 非负整数：正整数和0（即自然数：0,1,2,3,…）。 非正整数：负整数和0（0,-1,-2,-3,…）。 知识点5 数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴是数形结合的重要工具，将数与直线上的点一一对应起来。 知识点6 数轴的三要素 数轴的三要素为原点、正方向、单位长度，三者缺一不可： 原点：表示0的点，是数轴的基准点。 正方向：通常规定向右为正方向，用箭头表示。 单位长度：选取适当的统一长度作为一个单位长度，同一数轴上单位长度必须一致。 知识点7 数轴的画法 画数轴的步骤： ① 画一条水平直线。 ② 在直线上取一点表示0，即原点。 ③ 规定向右为正方向，画上箭头。 ④ 选取适当的长度作为单位长度。 ⑤ 从原点向右依次标出1,2,3,…，向左依次标出-1,-2,-3,…。 知识点8 用数轴上的点表示有理数 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示： 正有理数用原点右侧的点表示。 负有理数用原点左侧的点表示。 0用原点表示。 注意：数轴上的点不都表示有理数（还有无理数），但有理数都可以用数轴上的点表示。 知识点9 利用数轴比较有理数的大小 数轴上右边的数总比左边的数大。由此可得： 正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。 两个正数，绝对值大的数大。 两个负数，绝对值大的数反而小（在数轴上更靠左）。 比较多个数大小时，可先将各数标在数轴上，再按从左到右的顺序用"＜"连接。 知识点10 数轴上两点之间的距离 若点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离为： AB＝|a－b|（即大数减小数，结果为非负数）。 一个数a到原点的距离为|a|。已知一点和距离求另一点时，有左右两个解，注意不要漏解。 知识点11 数轴上点的平移 数轴上点的平移规律：向右平移加，向左平移减。 点表示的数为a，向右平移m个单位后表示的数为a＋m。 点表示的数为a，向左平移n个单位后表示的数为a－n。 多次平移可按顺序依次计算，也可先求总位移（向右为正、向左为负）再一次计算。 题型1 有理数的定义 【解题技巧】 ① 判断依据：整数和分数统称为有理数。判断一个数是否为有理数，关键看它能否写成整数或分数（两个整数之比）的形式。 ② 小数的归属：有限小数和无限循环小数都能化成分数，都是有理数；无限不循环小数（如π、0.1010010001…）不是有理数。 ③ 注意0：0是整数，因此0是有理数。 ④ 易错点：π不是有理数，但π/π=1是有理数；含π的式子一般不是有理数（除非化简后不含π）。 【常见考法】从一组数中选出有理数；判断关于有理数的说法是否正确。 【典例1】．在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义逐个判断六个数即可得到结果． 【详解】解：∵整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数， 逐个判断得： 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，不是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数. 故有理数共5个，故选C． 【变式1】．在数，，，，，中，属于整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在，，，，，中：是整数，是无理数，是分数，是整数，是整数，是分数，所以整数有，，共3个． 【变式2】．在20、、、、、0、中，有理数有_________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的识别，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在20、、、、、0、中，有理数有20、、、、0、，共6个， 故答案为：6． 【变式3】．在“， ， 3.14， 0.1010010001... （每两个 1 之间多一个 0 ）， ”中，分数有_____个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义以及分数的概念，解决本题的关键是熟练掌握有理数的定义． 根据有理数的定义，判断每个数是否为分数即可． 【详解】解：是整数，不是分数； 是分数； 3.14是有限小数，可以化成分数，如，因此是分数； 0.1010010001...（每两个1之间多一个0）是无限不循环小数，不能化成分数，因此是无理数； 表示，即，是分数； 综上，分数有3个． 故答案为：3． 题型2 有理数的分类 【解题技巧】 ① 两种分类标准：按定义分为整数和分数；按性质符号分为正有理数、0、负有理数。两种分类不能混淆。 ② 分类原则：不重复、不遗漏。每个有理数只能属于同一分类标准下的某一类。 ③ 0的位置：0是整数，但0既不是正数也不是负数。按性质符号分类时，0单独一类，不能归入正有理数或负有理数。 ④ 小数归类：有限小数和无限循环小数归入分数类；注意3.0是整数（等于3），3.1是分数。 ⑤ 集合圈题技巧：先找出所有数，再逐个判断属于哪些集合，注意公共部分（如正整数既是正数又是整数）。 【常见考法】将数填入相应集合；判断分类是否正确；找出分类中的错误或遗漏。 【典例2】．下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：∵非负数是指大于等于的数， ∴在给出的数，，，，，，，中，非负数为，，，，，共个． 【变式1】．在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【答案】，，，， 【详解】解：是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 既不是正数也不是负数，所以不是正有理数； 是大于的有限小数，有限小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 是大于的分数，分数属于有理数，所以是正有理数； 是大于的无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 综上可知，正有理数有：，，，，． 【变式2】．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，，，，，，，． 负整数集合{______________…} 整数集合{______________…} 正分数集合{______________…} 非负整数集合{______________…} 有理数集合{______________…} 【答案】 见解析 【分析】根据整数，正分数，非负整数，有理数的定义进行分类，需注意是无限不循环小数，不属于有理数，解题时先化简各待分类的数，再根据定义分类． 【详解】解：先化简各数，可得 ，，， 因此按定义分类如下： 负整数集合{，……}， 整数集合{，，，，……}， 正分数集合{，……}， 非负整数集合{，，……}， 有理数集合{，，，，，，，……}． 【变式3】．把下列各数分别填在相应的集合中： ，0，，，，，，． 非负有理数集合{____________________________________…}； 负整数集合{________________________________________…}； 负分数集合{________________________________________…}． 【答案】，，，；，； 【分析】先将各数进行化简整理，再按定义进行分类处理，其中非负有理数是指所有大于等于0的有理数，即正有理数和零的统称；负整数是指小于0的整数；负分数是指小于0的分数，包括负有限小数和负无限循环小数． 【详解】解：，，， 非负有理数集合{，，，， …}；     负整数集合{，，…}；     负分数集合{，…}． 题型3 带 “非” 字的有理数 【解题技巧】 ① 核心口诀："非A"＝"不是A的"＋0（当A表示正负时）。"非"字的含义是"不是"，包含0这个分界点。 ② 非负数＝正数＋0（即≥0的数）；非正数＝负数＋0（即≤0的数）。 ③ 非负整数＝正整数＋0＝自然数（0,1,2,3,…）；非正整数＝负整数＋0（0,-1,-2,-3,…）。 ④ 注意区分："非负整数"不是"非负的整数"的字面理解，而是特指0和正整数；"非负数"范围更广，包括正小数。 ⑤ 解题步骤：先拆解"非X"的含义，明确包含哪些数，再逐一判断或列举。 【常见考法】写出所有符合条件的数（如不大于5的非负整数）；判断一个数是否属于某类；求符合条件的数的个数。 【典例3】．在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的定义，非负数包含正数和0，只需找出题干中属于正数和0的数，统计其个数即可． 【详解】解：∵非负数是指正数和0， ∴在，12，，0，5，中，非负数为12，0，5， ∴非负数的个数为3个． 故答案为：B． 【变式1】．在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 【答案】 3 2 【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数包括负整数和负分数，非负整数包括正整数和零；逐个判断每个数，即可作答． 【详解】解：是负整数，属于负有理数； 是正分数，不属于负有理数，也不是非负整数； 即，是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； π是无理数，不属于有理数； 是负循环小数，属于负有理数； 0是非负整数，不属于负有理数； 是负有限小数，属于负有理数； 6.3是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； 2022是正整数，属于非负整数，不属于负有理数； 故负有理数有、、，共3个；非负整数有0、2022，共2个； 故答案为：3，2． 【变式2】．把下列各数填入表示它所在的数集的括号内：，10，，0，，，，． 整数集合{                    …}； 非负整数集合{                …}； 正有理数集合{                …}． 【答案】，10，0；10，0；10，，，， 【分析】根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：整数集合：{，10，0…} 非负整数集合：{10，0…} 正有理数集合：{10，，，，…} 【变式3】．把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{___________}； 负分数：{___________}； 负有理数：{___________}． 【答案】0，；，，；，，， 【详解】解：非正整数：{0，}； 负分数：{，，}； 负有理数：{，，，}． 题型4 数轴的三要素及其画法 【解题技巧】 ① 三要素：原点（表示0的点）、正方向（通常向右，用箭头表示）、单位长度（统一的一段长度）。三者缺一不可。 ② 画法四步：画一条水平直线 → 取一点为原点标0 → 向右画箭头表示正方向 → 选取适当单位长度，依次标出±1,±2,±3,… ③ 判断数轴是否正确的检查点：有无原点、有无正方向箭头、单位长度是否统一、数的标注是否正确（右大左小）。 ④ 单位长度选择：根据所表示数的大小合理选取，数大则单位长度取小些，数小则取大些，但同一数轴上单位长度必须统一。 ⑤ 易错点：忘画箭头；单位长度不统一；原点标在端点（应在直线中间偏左位置）；负数标反（-1应在0左边）。 【常见考法】判断所画数轴是否正确；补全数轴（标出缺少的要素或数）；指出数轴的错误之处。 【典例4】．下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：数轴负半轴数的顺序错误，故A选项画法错误； B选项：数轴的单位长度不统一，故B选项画法错误； C选项：数轴的原点、正方向、单位长度表示正确，故C选项画法正确； D选项：数轴的正方向错误，故D选项画法错误． 【变式1】．下列关于数轴的图示，画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、单位长度不统一，故选项错误； B、正方向不符合习惯，故本选项错误； C、没有正方向，故本选项错误； D、画法正确，故本选项正确． 【变式2】．数轴：规定了原点、正方向和_____________的直线． 【答案】单位长度 【分析】根据数轴的定义，即可完成填空． 【详解】解：根据数轴的定义可知，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 【变式3】．如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，先确定1单位长度为2cm，可知原点的位置，进而得出答案． 【详解】根据题意可知1个单位长度是2cm， ∴原点的位置在3cm处， ∴1cm处所对应的数是． 故答案为：． 题型5 用数轴上的点表示有理数 【解题技巧】 ① 位置规律：正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点。离原点越远，绝对值越大。 ② 描点步骤：先判断正负确定在哪一侧 → 再看绝对值确定距离原点几个单位长度 → 在对应位置描实心点并标注数。 ③ 分数的表示：将一个单位长度平均分成若干份（分母），取其中几份（分子）。如3/4：把0到1之间4等分，取第3个分点。 ④ 读点步骤：看点在原点左侧还是右侧确定正负 → 数出到原点的单位长度确定绝对值 → 写出该数。 ⑤ 重要结论：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数（还有无理数）。 【常见考法】在数轴上描出给定的数；写出数轴上已知点表示的数；判断点与数的对应关系是否正确。 【典例5】．如图，“”所指的位置表示的数可能是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据图示，数轴上的一个小格表示2，箭头所指的位置，在10到20之间，第3个格，可知箭头表示的数是16． 【详解】解：根据图示，数轴上的一个小格表示2，则箭头表示的数是16． 【变式1】．对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 【答案】D 【分析】根据数轴上的点及题意求解即可． 【详解】解：A．点M在和之间，离0大约2点多，比3离0近，说法正确； B．从点M到之间有、、0、1、2这5个整数，说法正确； C．M在与之间，说法正确； D．M到0之间只有和两个负整数，不是3个，所以D不正确． 【变式2】．下面数轴中，A点表示的数是( )，B点表示的数是( ) 【答案】 【详解】在0左侧，从0向左边数2个大格，左侧为负数，所以点表示的数是． 在0右侧，从0向右边数，位于第13小格的位置（3个大格＋1小格），右侧为正数，计算：，所以点表示的数是． 【变式3】．如图，数轴上两点，点在点左边，若点表示的数是7，则点表示的数是____________；若点表示的数是1.2，则点表示的数是____________． 【答案】 【分析】 数轴原点右侧的数为正数，根据点C或点B表示的数得出单位长度，从而求解． 【详解】 解：点C在数轴原点右侧，距离原点7个单位长度，点B在原点右侧，距离原点11个单位长度； 点C表示的数为7时，单位长度为，则点B表示的数为； 点B表示的数为1.2时，单位长度为，则点C表示的数为． 题型6 利用数轴比较有理数的大小 【解题技巧】 ① 核心法则：数轴上右边的数总比左边的数大。这是比较有理数大小的根本依据。 ② 推导结论：正数＞0＞负数；正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小（在数轴上更靠左）。 ③ 比较步骤（多个数）：先分类（正数、0、负数）→ 负数之间比较（绝对值大的小）→ 正数之间比较（绝对值大的大）→ 用"＜"从左到右连接。 ④ 数轴法技巧：把所有数标在同一数轴上，从左到右的顺序就是从小到大的顺序，直接用"＜"连接即可，不易出错。 ⑤ 易错点：两个负数比较大小时，容易只看绝对值而忘记"反而小"；注意-3＜-1（因为-3在-1左边）。 【常见考法】用"＜"或"＞"连接一组数；判断大小关系是否正确；将数按从小到大（或从大到小）排序；比较含字母的数的大小。 【典例6】．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（     ） A．0.5 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：手掌遮挡住的点表示的数在与之间， ∵， ∴手掌遮挡住的点表示的数可能是． 【变式1】．如图，数轴上点A，B，C表示的数是分别是，，，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知： 错误． 【变式2】．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了数轴的概念和实数与数轴上点的对应关系，熟练掌握数轴上左边的数总比右边的数小这一性质是解题的关键． 先根据数轴上点的位置关系，判断出数与的大小关系，再写出一个满足该关系的数即可． 【详解】解：∵数轴上表示数的点在表示数的点的左侧， ∴． 取（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．数轴上，两点对应的数分别是和，则，之间的整数有__________个． 【答案】5 【分析】本题考查了数轴上的数，确定数轴上从到之间的所有整数，并计数即可． 【详解】解：A、B之间的整数有，，，，，共5个． 故答案为5． 题型7 数轴上两点之间的距离 【解题技巧】 ① 基本公式：若点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点间的距离AB＝|a－b|（即大数减小数）。 ② 直接求距离：确定两点表示的数 → 用右边的数减左边的数（大数减小数）→ 结果为距离，必为非负数。 ③ 已知距离求点：已知一点表示的数为a，两点距离为d，则另一点表示的数为a＋d或a－d（左右各一个，有两解，勿漏）。 ④ 到原点距离：一个数a到原点的距离为|a|。到原点距离为m（m＞0）的点有两个，表示m和-m。 ⑤ 技巧：求距离时不用考虑左右顺序，直接用绝对值；求点时要考虑左右两种情况。 【常见考法】求数轴上两点间距离；已知一点和距离求另一点；求到原点距离为某值的点；判断距离相关说法是否正确。 【典例7】．数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出对应数轴上9个单位长度，结合刻度尺上对应长度为，求出数轴1个单位长度对应刻度尺长度，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 【变式1】．若数轴上点A表示的数是2，则与点A相距5个单位长度的点所表示的数是（    ） A．7 B． C．7或 D．或3 【答案】C 【分析】分所求点在点A的左侧和右侧两种情况讨论，分别计算即可得到结果，注意不要漏解． 【详解】解：∵点A表示的数是2，所求点与点A相距5个单位长度， ∴分两种情况讨论： 当所求点在点A的左侧时，该点表示的数为； 当所求点在点A的右侧时，该点表示的数为． ∴所求点表示的数为或． 【变式2】．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， 点，之间的距离为：． 【变式3】．如图，在数轴上，点A表示2，点B表示，则点A、B之间的距离是______． 【答案】3 【分析】根据数轴上两点间的距离定义，即两点所表示的数之差的绝对值，据此列式计算即可． 【详解】解：由图可知，点 A 表示的数为 2，点 B表示的数为．则点A、B之间的距离是． 题型8 数轴上点的平移（动点问题） 【解题技巧】 ① 基本规则：向右平移→加，向左平移→减。点表示的数为a，向右移m个单位→a＋m；向左移n个单位→a－n。 ② 多次平移：按顺序依次计算，或先求总位移（向右为正、向左为负），再用原数加总位移。 ③ 相遇问题：两点相向运动，设运动时间为t，分别表示出t秒后两点的位置（含t的式子），令两式相等列方程求解。 ④ 追及问题：两点同向运动，快的追慢的，同样设时间t，表示位置后列方程。追及时间＝初始距离÷速度差。 ⑤ 解题技巧：画数轴标出动点初始位置和运动方向；用字母t表示时间，写出动点位置的代数式；列方程求解。 ⑥ 易错点：忘记考虑运动方向；相遇/追及问题漏解（如往返运动可能多次相遇）；单位不统一。 【常见考法】求平移后点表示的数；求动点相遇或追及的时间和位置；求运动过程中两点间距离；判断动点能否到达某位置。 【典例8】．如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． 【变式1】．在数轴上，点A距离原点2个单位长度，且点A在数轴的负半轴上，将点A沿数轴向左平移2个单位长度后得到点B，那么点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上点的平移，根据题目中给出的条件先求出表示的数为，再根据向左平移2个单位长度即可得出B点表示的数． 【详解】解：点A距离原点2个单位长度，且点A在数轴的负半轴上， 表示的数为， 将点A沿数轴向左平移2个单位长度后得到点B， 点B表示的数为， 故选：A． 【变式2】．如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置， ∴点表示的数为 ∵点在数轴上与点距离个单位长度， ∴点表示的数为或． 【变式3】．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 【答案】(1)，5 (2)乙的手势是布，4个单位长度 (3) (4)7或5 【分析】（1）根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为，解答即可； （2）三局后甲对应的数为，乙对应的数为．第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且，解答即可． （3）根据乙赢了n次，则乙输了次，则10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数，由他最终停留的位置对应的数为m，故，根据n是正整数，利用绝对值解答即可． （4）甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或，解答即可． 本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算，绝对值的应用，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，第一局时平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； 故甲在数轴上对应的数为，乙在数轴上对应的数为， 故答案为：，5． （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 三局后甲对应的数为，乙对应的数为． 第四局游戏结束后，乙在数轴上对应的数是2，且， 故第四局游戏的结果是乙向西移动1个单位长度， 所以第四局游戏为平局，即乙第四局的手势是布； 第四局游戏结束后甲对应的数为，乙在数轴上对应的数是2， 故， 所以此时甲与乙在数轴上相距4个单位长度． （3）解；乙赢了n次，则乙输了次 10局游戏结束后，乙停留的位置表示的数， 由他最终停留的位置对应的数为m， 故． 因为n为正整数， 当时，， 当时，， 故时，该位置距离原点O最近． （4）解：k的值为7或5． 初始位置时甲、乙两人相距12个单位长度． 若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动4个单位长度；同时乙向东移动2个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度，移动后甲、乙的距离缩小2个单位长度， 所以甲、乙每移动一次，甲、乙的距离变化（相遇前缩小，相遇后扩大）2个单位长度． 最终甲与乙的位置相距2个单位长度，则共需变化14个单位长度或10个单位长度， 或， 所以k的值为7或5． 题型9 数轴上找原点 【解题技巧】 ① 题型特征：数轴上标出了某些点和对应的数值，但原点位置未标出，要求确定原点在哪里。 ② 方法一（直接定位法）：找到一个数值明确的点，如已知点A表示3，则从A向左数3个单位长度即为原点。 ③ 方法二（单位长度法）：已知两点A、B分别表示a、b（a≠b），则A、B间有|a－b|个单位长度，据此先确定一个单位长度有多长，再从已知点向0的方向数出对应单位长度找到原点。 ④ 方法三（对称法）：若已知两点A、B关于原点对称，则A表示的数与B表示的数互为相反数（和为0），原点是线段AB的中点。 ⑤ 解题步骤：从已知条件最明确的点入手 → 确定单位长度 → 向0的方向数出对应单位 → 标出原点并验证。 【常见考法】在给定数轴上标出原点的位置；根据原点位置判断某点表示的数；已知两点数值求原点位置。 【典例9】．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 【变式1】．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 【变式2】．如图，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点中___________可能是数轴的原点． 【答案】点C或点D 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算，根据题意可分为当原点在有理数表示的点和有理数表示的点之间时，及当原点在有理数表示的点和有理数表示的点的右侧时，这两种情况分类讨论，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：当原点在有理数表示的点和有理数表示的点之间时， ∵有理数a表示的点到原点距离是有理数b表示的点到原点距离的3倍， 且点C在有理数表示的点和有理数表示的点之间，有理数表示的点到点C距离是有理数表示的点到点C距离的3倍， ∴点C可能是数轴的原点， 当原点在有理数表示的点和有理数表示的点的右侧时， ∵有理数a表示的点到原点距离是有理数b表示的点到原点距离的3倍， 且点D在有理数表示的点和有理数表示的点的右侧，有理数表示的点到点D距离是有理数表示的点到点D距离的3倍， ∴点D可能是数轴的原点， 故答案为：点C或点D ． 【变式3】．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 【答案】 4 2或6 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图，∵数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． ∴O为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）点C表示的数为或． 故答案为：2或6； 题型10 数轴上整点覆盖问题 【解题技巧】 ① 题型特征：一条线段（或尺子、纸条）覆盖在数轴上，求它覆盖了多少个整点（表示整数的点）。 ② 核心结论（长度为整数n时）：端点恰好在整点上 → 覆盖n＋1个整点；端点不在整点上 → 覆盖n个整点。 ③ 一般结论：长度为L的线段，覆盖的整点个数为[L]或[L]＋1个（[L]表示L的整数部分，即不超过L的最大整数）。 ④ 通用计算法：设线段左端点表示数a，右端点表示数b（b＞a），则覆盖的整点个数＝不超过b的最大整数－不小于a的最小整数＋1。 ⑤ 解题技巧：先确定两端点表示的数 → 判断端点是否为整数 → 套用对应结论或用通用公式计算。注意分两种情况讨论。 ⑥ 易错点：忘记考虑端点是否在整点上导致漏解；长度为小数时直接用长度加1而出错。 【常见考法】求线段覆盖的整点个数；尺子在数轴上移动覆盖整点问题；已知覆盖整点个数反推线段长度范围。 【典例10】．如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小． 【详解】解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0， 因此被遮挡的整数是． 【变式1】．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 【变式2】．如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 【变式3】．如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 题型11 数轴上的规律探究 【解题技巧】 ① 题型特征：数轴上的点按一定规律排列或运动，要求探究规律并求解第n个点的位置或某时点的数值。 ② 周期规律：点的运动或数值变化具有周期性。解题关键：找到周期T，用n÷T看余数，余数对应周期内第几个位置。整除时对应周期最后一个。 ③ 等差规律：相邻两点的数值差固定为d。第n个点表示的数＝首项＋(n－1)×d。在数轴上表现为等间距排列。 ④ 折返规律：点在某区间内往返运动（如从0到3再回到0循环）。解题关键：确定一个完整往返的周期长度，再用周期法求解。 ⑤ 跳跃规律：点每次跳跃固定或递增的步长。列举前几次跳跃后的位置，观察步长变化规律，推导通项。 ⑥ 通用解题步骤：列举前3～5个点的位置或数值 → 观察变化规律（周期/等差/折返）→ 选择对应方法 → 代入求解。画数轴标注关键点辅助分析。 【常见考法】求第n个点表示的数；求运动n次后点的位置；判断某个数是否在规律序列中；求前n个点表示的数之和。 【典例11】．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 【变式1】．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 【变式2】．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 【变式3】．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的规律，根据从与数轴上表示的点重合的数字起，每个单位长度即为一个周期，计算到数轴上表示的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字． 【详解】解：如图所示，每个单位长度即为一个周期， ∵数字的点与数轴上表示的点重合， ∴数字的点与数轴上表示的点重合， ∵， ∴为从数字0和数轴上表示的点重合起，第个周期后的第一个数， 即． 故答案为：． 1．在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 2．在下列各数中，既是分数，又是负数的是（     ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：明确定义：小于0的数是负数，有限小数属于分数范畴． A、是正整数，既不是分数，也不是负数，不符合要求； B、是正分数，不是负数，不符合要求； C、，是负数，且是有限小数，属于分数，同时满足两个条件，符合要求； D、是负整数，不是分数，不符合要求． 3．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． 4．关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 5．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在数轴上的位置即可判断． 【详解】解：由数轴可知，点在1和2之间， ∴点表示的数可能是． 6．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：根据数轴可得 故比数轴上的 小的数是 7．如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴知，点在点的左边， ∴点表示的数是． 8．如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得， 故此时该点对应的数是． 9．如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意：A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等，得出点A表示的数为，点C表示的数为3，再结合数轴，即可得出点B表示的数． 【详解】解：∵A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等， ∴点A表示的数为，点C表示的数为3， ∵点在点右侧2个单位， ∴点B表示的数为． 10．如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 11．下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 【答案】6 【分析】根据非负数的定义，找出题目中符合要求的数，统计其个数即可得到结果． 【详解】解：非负数为：，，，，，，共有个． 12．如图，在数轴上，如果点D表示的数是25，那么点A表示的数是 ______． 【答案】 【分析】观察数轴可知，原点到点之间平均分成5份，已知点表示，可求出每份的长度，再根据点在原点左侧份处，即可确定点表示的数． 【详解】解：由数轴可知，原点到点之间平均分成5份， 因为点表示的数是， 所以每份的长度为， 因为点在原点左侧，且距离原点份， 所以点表示的数为． 13．小明不慎将墨水滴在数轴上，则被墨迹盖住部分的整数的个数为______个． 【答案】 【分析】利用数轴确定整数的个数． 【详解】解：和之间的整数为共4个， 和之间的整数为共3个， ∴被墨迹盖住部分的整数的个数为（个）． 14．若数轴上点对应的数为，则点到原点的距离为___． 【答案】5 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离． 根据题意可得，点A到原点的距离即其对应数的绝对值，求解即可． 【详解】解：数轴上点A对应的数为， 则点到原点的距离为． 故答案为：5 15．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    【答案】14.5或19.5秒 【分析】本题考查了数轴动点问题，确定满足时，点P所在的位置是解题的关键．分点P在上和点P在上两种情况进行讨论求解，设P点所对应的数为x，根据，求出x的值，再根据点P的运动速度，求出相应的运动时间． 【详解】解：设P点所对应的数为， ①当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P运动从点O运动到10时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； ②当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P从点O运动到B时，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点B与点C之间时，速度为6个单位长度/秒， ∴动点P从点B运动到C时，所用时间为（秒）， ∴动点P从点C运动到26时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； 综上，满足，此时动点P运动的时间是14.5秒或19.5秒． 故答案为：14.5或19.5秒． 16．将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 【答案】 正数集合： 整数集合： 负有理数集合： 正分数集合： 【分析】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可． 【详解】略 17．下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合． (1)应填在______区域，应填入______区域，区域表示的有理数是______； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内． ，，，，，，，，， 【答案】(1)，，正整数 (2) 将各数填入适当的区域如图所示： 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握相关概念是解题的关键． （1）根据整数分为正整数和负整数和零，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数，进行作答即可； （2）根据有理数的分类逐个判断进行填写即可． 【详解】（1）解：是整数，应填在区域； 是正有理数，应填在区域； 区域表示的有理数是正整数； 故答案为：，，正整数； （2）略 18．在数轴上分别画出点A，B，C，D，并将点A，B，C，D所表示的数用“”连接．点A表示数；点B表示数；点C表示数2；点D表示数 【答案】 将点，，，按对应数值标注在数轴上，如图， 【分析】将各数表示在数轴上，根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可求解． 【详解】略 19．已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数3.5的点是 ，点A表示的有理数是 ； A、C两点之间的距离为 个单位长度； (2)在数轴上用点M，点N分别表示有理数和1，标出点M和点N的位置； (3)将这四个数用“”连接起来． 【答案】(1)B，，5 (2) 如图所示： (3) 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，利用数轴比较有理数大小，熟知数轴与有理数的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴即可得到点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解； （2）根据数轴的特征即可把和1表示出来； （3）根据数轴上右边的数大于左边的数即可比较大小． 【详解】（1）解：表示有理数3.5的点是B，点A表示的有理数是，A、C两点之间的距离为． 故答案为：B，，5； （2）略 （3）解：由数轴可知，． 20．综合与实践 综合实践 数学探究性学习单 背景材料 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离． 任务一 （1）先把下列各数在数轴上表示出来：3.5，，，，，再用“”把这些数从小到大排列起来． 特例研究 （2）数轴上的点，，，，分别表示，，，，3.5，求有理数与3.5对应的两点，之间的距离（表示为）． 任务二 （3）若数轴上，两个不同点分别表示有理数和，求，两点之间的距离． 应用拓展 （4）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【答案】 （1）在数轴上表示， ． （2）；（3）； （4）不变． 理由如下， 经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是，，，， ， ． 所以的值不会随着时间t的变化而改变． 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数轴上两点间的距离，整式的加减运算等知识点． （1）先化简各数，再用数轴上的点表示出各数，然后根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数比较出各数大小即可； （2）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （3）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （4）先表示出A，B，C三点所对应的数分别是，，，然后利用数轴上两点之间的距离公式表示，即可求解． 【详解】（1）解：略． （2）解：； （3）解：数轴上M，N两个不同点分别表示有理数m和n，则M，N两点之间的距离为； （4）解：略． 21．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1有理数的概念＆1.2.2数轴 目录 知识点1 有理数的定义 2 知识点2 有理数的分类（按定义分） 2 知识点3 有理数的分类（按性质符号分） 3 知识点4 带"非"字的有理数 3 知识点5 数轴的定义 3 知识点6 数轴的三要素 3 知识点7 数轴的画法 3 知识点8 用数轴上的点表示有理数 4 知识点9 利用数轴比较有理数的大小 4 知识点10 数轴上两点之间的距离 4 知识点11 数轴上点的平移 4 题型1 有理数的定义 5 题型2 有理数的分类 5 题型3 带 “非” 字的有理数 6 题型4 数轴的三要素及其画法 7 题型5 用数轴上的点表示有理数 8 题型6 利用数轴比较有理数的大小 9 题型7 数轴上两点之间的距离 10 题型8 数轴上点的平移（动点问题） 11 题型9 数轴上找原点 13 题型10 数轴上整点覆盖问题 14 题型11 数轴上的规律探究 15 1. 理解有理数的概念，掌握有理数的两种分类方法。 2. 理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，能正确画出数轴。 3. 能用数轴上的点表示有理数，能利用数轴比较有理数的大小。 4. 能解决数轴上的距离、平移、找原点、整点覆盖及规律探究等问题。 知识点1 有理数的定义 整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此都是有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。 知识点2 有理数的分类（按定义分） 按定义，有理数分为整数和分数两大类： 整数：正整数、0、负整数。 分数：正分数、负分数。 注意：0是整数，但0既不是正数也不是负数。 知识点3 有理数的分类（按性质符号分） 按性质符号，有理数分为正有理数、0、负有理数三大类： 正有理数：正整数、正分数。 0：单独一类，既不是正数也不是负数。 负有理数：负整数、负分数。 两种分类标准不能混淆，分类时要做到不重复、不遗漏。 知识点4 带"非"字的有理数 "非"字表示"不是"，包含0这个分界点： 非负数：正数和0（即≥0的数）。 非正数：负数和0（即≤0的数）。 非负整数：正整数和0（即自然数：0,1,2,3,…）。 非正整数：负整数和0（0,-1,-2,-3,…）。 知识点5 数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴是数形结合的重要工具，将数与直线上的点一一对应起来。 知识点6 数轴的三要素 数轴的三要素为原点、正方向、单位长度，三者缺一不可： 原点：表示0的点，是数轴的基准点。 正方向：通常规定向右为正方向，用箭头表示。 单位长度：选取适当的统一长度作为一个单位长度，同一数轴上单位长度必须一致。 知识点7 数轴的画法 画数轴的步骤： ① 画一条水平直线。 ② 在直线上取一点表示0，即原点。 ③ 规定向右为正方向，画上箭头。 ④ 选取适当的长度作为单位长度。 ⑤ 从原点向右依次标出1,2,3,…，向左依次标出-1,-2,-3,…。 知识点8 用数轴上的点表示有理数 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示： 正有理数用原点右侧的点表示。 负有理数用原点左侧的点表示。 0用原点表示。 注意：数轴上的点不都表示有理数（还有无理数），但有理数都可以用数轴上的点表示。 知识点9 利用数轴比较有理数的大小 数轴上右边的数总比左边的数大。由此可得： 正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。 两个正数，绝对值大的数大。 两个负数，绝对值大的数反而小（在数轴上更靠左）。 比较多个数大小时，可先将各数标在数轴上，再按从左到右的顺序用"＜"连接。 知识点10 数轴上两点之间的距离 若点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离为： AB＝|a－b|（即大数减小数，结果为非负数）。 一个数a到原点的距离为|a|。已知一点和距离求另一点时，有左右两个解，注意不要漏解。 知识点11 数轴上点的平移 数轴上点的平移规律：向右平移加，向左平移减。 点表示的数为a，向右平移m个单位后表示的数为a＋m。 点表示的数为a，向左平移n个单位后表示的数为a－n。 多次平移可按顺序依次计算，也可先求总位移（向右为正、向左为负）再一次计算。 题型1 有理数的定义 【解题技巧】 ① 判断依据：整数和分数统称为有理数。判断一个数是否为有理数，关键看它能否写成整数或分数（两个整数之比）的形式。 ② 小数的归属：有限小数和无限循环小数都能化成分数，都是有理数；无限不循环小数（如π、0.1010010001…）不是有理数。 ③ 注意0：0是整数，因此0是有理数。 ④ 易错点：π不是有理数，但π/π=1是有理数；含π的式子一般不是有理数（除非化简后不含π）。 【常见考法】从一组数中选出有理数；判断关于有理数的说法是否正确。 【典例1】．在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】．在数，，，，，中，属于整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．在20、、、、、0、中，有理数有_________个． 【变式3】．在“， ， 3.14， 0.1010010001... （每两个 1 之间多一个 0 ）， ”中，分数有_____个． 题型2 有理数的分类 【解题技巧】 ① 两种分类标准：按定义分为整数和分数；按性质符号分为正有理数、0、负有理数。两种分类不能混淆。 ② 分类原则：不重复、不遗漏。每个有理数只能属于同一分类标准下的某一类。 ③ 0的位置：0是整数，但0既不是正数也不是负数。按性质符号分类时，0单独一类，不能归入正有理数或负有理数。 ④ 小数归类：有限小数和无限循环小数归入分数类；注意3.0是整数（等于3），3.1是分数。 ⑤ 集合圈题技巧：先找出所有数，再逐个判断属于哪些集合，注意公共部分（如正整数既是正数又是整数）。 【常见考法】将数填入相应集合；判断分类是否正确；找出分类中的错误或遗漏。 【典例2】．下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】．在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【变式2】．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，，，，，，，． 负整数集合{______________…} 整数集合{______________…} 正分数集合{______________…} 非负整数集合{______________…} 有理数集合{______________…} 【变式3】．把下列各数分别填在相应的集合中： ，0，，，，，，． 非负有理数集合{____________________________________…}； 负整数集合{________________________________________…}； 负分数集合{________________________________________…}． 题型3 带 “非” 字的有理数 【解题技巧】 ① 核心口诀："非A"＝"不是A的"＋0（当A表示正负时）。"非"字的含义是"不是"，包含0这个分界点。 ② 非负数＝正数＋0（即≥0的数）；非正数＝负数＋0（即≤0的数）。 ③ 非负整数＝正整数＋0＝自然数（0,1,2,3,…）；非正整数＝负整数＋0（0,-1,-2,-3,…）。 ④ 注意区分："非负整数"不是"非负的整数"的字面理解，而是特指0和正整数；"非负数"范围更广，包括正小数。 ⑤ 解题步骤：先拆解"非X"的含义，明确包含哪些数，再逐一判断或列举。 【常见考法】写出所有符合条件的数（如不大于5的非负整数）；判断一个数是否属于某类；求符合条件的数的个数。 【典例3】．在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式1】．在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 【变式2】．把下列各数填入表示它所在的数集的括号内：，10，，0，，，，． 整数集合{                    …}； 非负整数集合{                …}； 正有理数集合{                …}． 【变式3】．把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{___________}； 负分数：{___________}； 负有理数：{___________}． 题型4 数轴的三要素及其画法 【解题技巧】 ① 三要素：原点（表示0的点）、正方向（通常向右，用箭头表示）、单位长度（统一的一段长度）。三者缺一不可。 ② 画法四步：画一条水平直线 → 取一点为原点标0 → 向右画箭头表示正方向 → 选取适当单位长度，依次标出±1,±2,±3,… ③ 判断数轴是否正确的检查点：有无原点、有无正方向箭头、单位长度是否统一、数的标注是否正确（右大左小）。 ④ 单位长度选择：根据所表示数的大小合理选取，数大则单位长度取小些，数小则取大些，但同一数轴上单位长度必须统一。 ⑤ 易错点：忘画箭头；单位长度不统一；原点标在端点（应在直线中间偏左位置）；负数标反（-1应在0左边）。 【常见考法】判断所画数轴是否正确；补全数轴（标出缺少的要素或数）；指出数轴的错误之处。 【典例4】．下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列关于数轴的图示，画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．数轴：规定了原点、正方向和_____________的直线． 【变式3】．如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________． 题型5 用数轴上的点表示有理数 【解题技巧】 ① 位置规律：正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点。离原点越远，绝对值越大。 ② 描点步骤：先判断正负确定在哪一侧 → 再看绝对值确定距离原点几个单位长度 → 在对应位置描实心点并标注数。 ③ 分数的表示：将一个单位长度平均分成若干份（分母），取其中几份（分子）。如3/4：把0到1之间4等分，取第3个分点。 ④ 读点步骤：看点在原点左侧还是右侧确定正负 → 数出到原点的单位长度确定绝对值 → 写出该数。 ⑤ 重要结论：所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数（还有无理数）。 【常见考法】在数轴上描出给定的数；写出数轴上已知点表示的数；判断点与数的对应关系是否正确。 【典例5】．如图，“”所指的位置表示的数可能是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1】．对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 【变式2】．下面数轴中，A点表示的数是( )，B点表示的数是( ) 【变式3】．如图，数轴上两点，点在点左边，若点表示的数是7，则点表示的数是____________；若点表示的数是1.2，则点表示的数是____________． 题型6 利用数轴比较有理数的大小 【解题技巧】 ① 核心法则：数轴上右边的数总比左边的数大。这是比较有理数大小的根本依据。 ② 推导结论：正数＞0＞负数；正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小（在数轴上更靠左）。 ③ 比较步骤（多个数）：先分类（正数、0、负数）→ 负数之间比较（绝对值大的小）→ 正数之间比较（绝对值大的大）→ 用"＜"从左到右连接。 ④ 数轴法技巧：把所有数标在同一数轴上，从左到右的顺序就是从小到大的顺序，直接用"＜"连接即可，不易出错。 ⑤ 易错点：两个负数比较大小时，容易只看绝对值而忘记"反而小"；注意-3＜-1（因为-3在-1左边）。 【常见考法】用"＜"或"＞"连接一组数；判断大小关系是否正确；将数按从小到大（或从大到小）排序；比较含字母的数的大小。 【典例6】．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（     ） A．0.5 B． C． D． 【变式1】．如图，数轴上点A，B，C表示的数是分别是，，，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 【变式3】．数轴上，两点对应的数分别是和，则，之间的整数有__________个． 题型7 数轴上两点之间的距离 【解题技巧】 ① 基本公式：若点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点间的距离AB＝|a－b|（即大数减小数）。 ② 直接求距离：确定两点表示的数 → 用右边的数减左边的数（大数减小数）→ 结果为距离，必为非负数。 ③ 已知距离求点：已知一点表示的数为a，两点距离为d，则另一点表示的数为a＋d或a－d（左右各一个，有两解，勿漏）。 ④ 到原点距离：一个数a到原点的距离为|a|。到原点距离为m（m＞0）的点有两个，表示m和-m。 ⑤ 技巧：求距离时不用考虑左右顺序，直接用绝对值；求点时要考虑左右两种情况。 【常见考法】求数轴上两点间距离；已知一点和距离求另一点；求到原点距离为某值的点；判断距离相关说法是否正确。 【典例7】．数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若数轴上点A表示的数是2，则与点A相距5个单位长度的点所表示的数是（    ） A．7 B． C．7或 D．或3 【变式2】．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【变式3】．如图，在数轴上，点A表示2，点B表示，则点A、B之间的距离是______． 题型8 数轴上点的平移（动点问题） 【解题技巧】 ① 基本规则：向右平移→加，向左平移→减。点表示的数为a，向右移m个单位→a＋m；向左移n个单位→a－n。 ② 多次平移：按顺序依次计算，或先求总位移（向右为正、向左为负），再用原数加总位移。 ③ 相遇问题：两点相向运动，设运动时间为t，分别表示出t秒后两点的位置（含t的式子），令两式相等列方程求解。 ④ 追及问题：两点同向运动，快的追慢的，同样设时间t，表示位置后列方程。追及时间＝初始距离÷速度差。 ⑤ 解题技巧：画数轴标出动点初始位置和运动方向；用字母t表示时间，写出动点位置的代数式；列方程求解。 ⑥ 易错点：忘记考虑运动方向；相遇/追及问题漏解（如往返运动可能多次相遇）；单位不统一。 【常见考法】求平移后点表示的数；求动点相遇或追及的时间和位置；求运动过程中两点间距离；判断动点能否到达某位置。 【典例8】．如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1】．在数轴上，点A距离原点2个单位长度，且点A在数轴的负半轴上，将点A沿数轴向左平移2个单位长度后得到点B，那么点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式2】．如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 【变式3】．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为______，乙在数轴上对应的数为______； (2)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？ (3)从初始位置开始，假如完成了10局游戏，且甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n（n为正整数）次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； (4)从初始位置开始，若进行了k（k为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出k的值． 题型9 数轴上找原点 【解题技巧】 ① 题型特征：数轴上标出了某些点和对应的数值，但原点位置未标出，要求确定原点在哪里。 ② 方法一（直接定位法）：找到一个数值明确的点，如已知点A表示3，则从A向左数3个单位长度即为原点。 ③ 方法二（单位长度法）：已知两点A、B分别表示a、b（a≠b），则A、B间有|a－b|个单位长度，据此先确定一个单位长度有多长，再从已知点向0的方向数出对应单位长度找到原点。 ④ 方法三（对称法）：若已知两点A、B关于原点对称，则A表示的数与B表示的数互为相反数（和为0），原点是线段AB的中点。 ⑤ 解题步骤：从已知条件最明确的点入手 → 确定单位长度 → 向0的方向数出对应单位 → 标出原点并验证。 【常见考法】在给定数轴上标出原点的位置；根据原点位置判断某点表示的数；已知两点数值求原点位置。 【典例9】．有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【变式1】．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【变式2】．如图，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点中___________可能是数轴的原点． 【变式3】．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 题型10 数轴上整点覆盖问题 【解题技巧】 ① 题型特征：一条线段（或尺子、纸条）覆盖在数轴上，求它覆盖了多少个整点（表示整数的点）。 ② 核心结论（长度为整数n时）：端点恰好在整点上 → 覆盖n＋1个整点；端点不在整点上 → 覆盖n个整点。 ③ 一般结论：长度为L的线段，覆盖的整点个数为[L]或[L]＋1个（[L]表示L的整数部分，即不超过L的最大整数）。 ④ 通用计算法：设线段左端点表示数a，右端点表示数b（b＞a），则覆盖的整点个数＝不超过b的最大整数－不小于a的最小整数＋1。 ⑤ 解题技巧：先确定两端点表示的数 → 判断端点是否为整数 → 套用对应结论或用通用公式计算。注意分两种情况讨论。 ⑥ 易错点：忘记考虑端点是否在整点上导致漏解；长度为小数时直接用长度加1而出错。 【常见考法】求线段覆盖的整点个数；尺子在数轴上移动覆盖整点问题；已知覆盖整点个数反推线段长度范围。 【典例10】．如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【变式1】．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】．如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【变式3】．如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 题型11 数轴上的规律探究 【解题技巧】 ① 题型特征：数轴上的点按一定规律排列或运动，要求探究规律并求解第n个点的位置或某时点的数值。 ② 周期规律：点的运动或数值变化具有周期性。解题关键：找到周期T，用n÷T看余数，余数对应周期内第几个位置。整除时对应周期最后一个。 ③ 等差规律：相邻两点的数值差固定为d。第n个点表示的数＝首项＋(n－1)×d。在数轴上表现为等间距排列。 ④ 折返规律：点在某区间内往返运动（如从0到3再回到0循环）。解题关键：确定一个完整往返的周期长度，再用周期法求解。 ⑤ 跳跃规律：点每次跳跃固定或递增的步长。列举前几次跳跃后的位置，观察步长变化规律，推导通项。 ⑥ 通用解题步骤：列举前3～5个点的位置或数值 → 观察变化规律（周期/等差/折返）→ 选择对应方法 → 代入求解。画数轴标注关键点辅助分析。 【常见考法】求第n个点表示的数；求运动n次后点的位置；判断某个数是否在规律序列中；求前n个点表示的数之和。 【典例11】．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【变式1】．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【变式3】．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 1．在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．在下列各数中，既是分数，又是负数的是（     ） A．8 B． C． D． 3．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 5．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 6．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 7．如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 9．如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 10．如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 11．下列有理数中：12，，，，0，，，是非负数的有______个． 12．如图，在数轴上，如果点D表示的数是25，那么点A表示的数是 ______． 13．小明不慎将墨水滴在数轴上，则被墨迹盖住部分的整数的个数为______个． 14．若数轴上点对应的数为，则点到原点的距离为___． 15．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    16．将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 17．下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合． (1)应填在______区域，应填入______区域，区域表示的有理数是______； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内． ，，，，，，，，， 18．在数轴上分别画出点A，B，C，D，并将点A，B，C，D所表示的数用“”连接．点A表示数；点B表示数；点C表示数2；点D表示数 19．已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数3.5的点是 ，点A表示的有理数是 ； A、C两点之间的距离为 个单位长度； (2)在数轴上用点M，点N分别表示有理数和1，标出点M和点N的位置； (3)将这四个数用“”连接起来． 20．综合与实践 综合实践 数学探究性学习单 背景材料 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离． 任务一 （1）先把下列各数在数轴上表示出来：3.5，，，，，再用“”把这些数从小到大排列起来． 特例研究 （2）数轴上的点，，，，分别表示，，，，3.5，求有理数与3.5对应的两点，之间的距离（表示为）． 任务二 （3）若数轴上，两个不同点分别表示有理数和，求，两点之间的距离． 应用拓展 （4）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $