普通高等学校招生全国统一考试·数学精华仿真12套(十)-【金卷1号】2027年高考数学模拟精华仿真12套

=2a(x-2a)2 x(x-4a）· 即△MON西积纷取值范国是(？5，号)】 当x∈(0,2a)时，F(x)<0,又F(2a)=0, (Ⅱ)假设存在椭圆C上一点Q及x抽上一点P(x0, ∴.F(x)在(0,2a]上单调递减. 0),使四边形PMQN为菱形. .0<x1<2a, 设直线1的方程为y=k(x一1)(k≠0)， ∴.F(x1)>F(2a)=0,即f(x1)>f(4a-x1) f(x)=f(x2)=0,f(x2)>f(4a-x1). 由y=(x-1), 3x2+4y2=12, 消去y并整理得(3+4k)x2 x1<2a,.4a-x>2a 8x+4k2-12=0,易知△2>0， 又x2>2a,f(x)在(2a,+oo)上单调递增， 则十一群=。 8k2 ∴.x2>4a-x1,即x1+x2>4a. 4k+3,1+=b(x1十 19,解：1)由题意知，后-合（c为精圆C的半焦矩)，B(0, x-2)=42牛3' 一6k b),F2(c,0), .P0=P应+P市=(x1十x2-2x,为十y2)= 直线BF2:y=一名x+6,即bx十cy-bc=0 /8k2-82xk2-6z2 6kY 4k2+3 :国4x+y-3=0,即国2+y少=与直线B那：相 6k 依题意得，阳·&=一1，即一82-8-6。·k 切，lbc =号培合心=8+及台=合得，6= √3 -1, √62+c2 整理得，k2=4xk2十3x0, √5，a=2, 又Oi=(x,0),·Oi=oi+P戒= 故椭圆C的标准方程为 y2 4+ =1 (心-，双华）=（限秋） 6k 4k2+3 (2)设M(x1,y),N(x2,y). (1)由题意知，直线1的斜率存在且不为0，F2(1,0), Q(4》 6k 设直线l的方程为x=my十1(m≠0)， 49k4 36k2 点Q在精圆C上，心44+3十3(4+3=1， 由a8 。消去x并整理得(3m2+4)y2+6my 整理得，5k4十16k2十12=0，此方程无解，∴.不存在椭圆 C上一点Q及x轴上一点P(xo,0),使四边形PMQN -9=0, 为菱形. △1=144(m2+1)>0, 普通高等学校招生全国统一考试·数学 6m -9 则y十%=一3m汗4n-3m4 精华仿真12套（十） 由MF=λF2衣知，-y=y2, 1.C由(2-1)i=1+i,可得z=1++1=2-,则1= 6m -6入m 故为=3m+4)以-D,y=(3m2+4Q-' √/22+（-1)2=√5.故选C. -36am2 一9 小3m+4Q-1)-3m+4 2.Am>号，4m2>1,∴a2=4m2,6=1,∴e=1 4m2 63 -1一品-子解释m=1,2m=2,故送入 又ae1,2,m2∈(o,号)： 3.C由a十b十c=0,变形得a十b=一c,等号两端同时平 方有(a+b)2=(-c)2,即a2+|b|2+2|a|b|cos(a,b》= MN=√1+mlM-边=√1+m·√M十2)2-4 V1+.2m五_12d+D c,代入数据得osa,b》=号，又0r≤a,b≤130，所以 3t+43nt+4’ 〈a,b》=60°，故选C ,点O(0,0)到直线l:x-my-1=0(m≠0)的距离 4A设有0的学生既喜欢打排球又喜欢打篮球，则 d=- m2+i (0)+忘+(0-总)=器解得x=20, Saw=·MN·d=7 所以有20%的学生既喜欢打排球又喜欢打篮球.设在该 3m2+4 校高二年级的学生中随机调查一名学生，“该学生喜欢 设=Vm∈(1，后)，则m=-1,5aw 3 打篮球”为事件A,“该学生喜欢打排球”为事件B,则 (》 6t P(A)=0.6,P(AB)=0.2.由条件概率公式有 t P(BA==弓，即在液校高二年氯的学生中随 6 机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打 2/3tana· 排球的概率为号，故选A 高。-26，所以m后侣台且级 tan a 当3ana=品。即ama=得时取等号，所以an月的 2 5.B设经过x天后甲的原子核数为y1,乙的原子核数为 y2,这两种物质的初始原子核数均为m,则有y=m。· (侵)产一m(侵)方，限题意得（侵）兴.是 最大值为故选A 9.ADa十b+c=0且a>b>c,则a>0,c<0,所以a十 (侵)罢片以兴+2=程成这B b=一c>0,A正确. a>b,c<0,所以ac<bc,B错误。 6.D作出函数f(x)的部分图象，如图.因为关于x的方 因为a>b>c,所以a一b>0,b-c>0,a-b-(b-c)= 程f(x)一f(1一a)=0至少有两个不同的实数根，所以 直线y=f(1一a)与函数f(x)的图象至少有两个不同的 a十c-2b=-3动，当b>0时，0<a-b-6,则。6> 交点，所以f(1-a)∈[-1,1]，当x≤1时，令x2-2x= 6。查60时a-6>6->0,则。。<6当6 1,解得x=1一√2，当x>3时，令1一(x一3)=一1，解得 x=5,故1-a∈[1-√2,5]，a∈[-4w2],故选D. 0时a-b=6-,则266己C错误 周为a-o6-e)-是c=a-0(-a-20)-号e2 -a2-ac-2=-(a+2c)‘≤0，当且仅当a 合c时，等号成立，此时由a十b叶c=0可得6=一号c, 不特合>b>6,所以-(a+日c)'-0不成立，故 -(a+2c)'<0,即(a-c)6-c)<号c2,D正确.综 7.B由题易得圆C与x轴交于点（一1,0），点(1,0)，不妨 设F1(一1,0)，F2(1,0),所以椭圆的焦，点在x轴上，半 上，选AD. 焦距c=1,设椭周的方程为若+苦-1(a>6>0,则 10.AB对于A,各二项式系数的和为2=64，A正确； =。-1,满圆的方程为若+六-1(。>1》.国为点 对于B.(二一-2)的辰开式的各项系数的绝对值 之和与（十2丘）°的晨开式的各项系数之和相等， P在直线x一y十4=0上，所以设P点坐标为(x,x十4)， a++4 又因为椭圆过点P,所以 =1,化简得 令(2+2园)°中的x=1可得(-2园）°的展开 a2-1 (2a2-1)x2+8a2x十17a2-a4=0,△=(8a2)2-4(2a2 式的各项系数的绝对值之和为35=729，B正确； 1)(17a2-a4)≥0，化简得2a4-19a2+17≥0，解得a2≤ 对于C.T1=G(侵)(-2r=Gc(-2rz 1会去)成心≥号，所以。≥，周为离心率e= a (=0,12,,6,令号-6∈Z得=0,24,6，辰开 室所以<得，所以新国的离心率简最大位 式中的有理项有4项，C错误； 2 对于D,令号-6=0，解得r=4,所以常数项是第5 为僵故选R 项，D错误.故选AB. 11.AC在等腰梯形ABCD中，连接AO,如图a, 8.Acos(a十gD=月-inn=2si里，两边同时 sin a 除以coS月，得cosa--sin atan B=2tan里，两边同时乘以 sin a sina,得cos asin a一sinatan B=2tanB,整理得， 图a cos asin a=(sin'a+2)tanR,所以tang=cos asin a= sin a+2 在翻折前，易知梯形ABCD是下底角为苓的等腰梯 cos asin a cos asin a tan a sin a+2(sin aFcos a)3sin aF2cos a 3tan'a+2 形，又AB=AD,所以可得∠DBC=受，∠ABD=晋， 2,因为ana>0,所以3an&十名≥ 1 OC=√7，OA=1. 3tana十tana tan a 沿BD将△ABD翻折，则A点的轨迹为以O为圆心的 圆的一部分，且圆面一直和BD垂直，如图b,连接 又点P在平面A'BD内，且点P在平面A'BD内的轨 A'0, 迹为椭圆，所以平面A'BD要与圆锥侧面相交，所以二 面角ABD-C的取值范国是（石，受）U(受，)： 当二面角AX-BD-C=吾或爱时，V:术CD=弓X 图b 当A'O⊥OC时，A'C=2√2，又A'O⊥BD,OC,BDC平 合×2X25×合=当二西角ABD-C=受时。 面BCD,OC∩BD=O,所以A'O⊥平面BCD,又A'OC V三维ABCD= 日×号×2×25×1=25，所以 平面A'BD,所以平面A'BD⊥平面BCD,又BCC平面 BCD,平面BCD∩平面A'BD=BD,BC⊥BD,所以 Vm∈（停，2），数D错民藏选AC BC⊥平面A'BD,又A'DC平面A'BD,所以A'D⊥ BC,故A正确. 12.[-1,十∞)[也可写为(-1，十∞)]求导得f(x)= 在平面BCD内，过点O作OF⊥BD,交CD于F,由以 (x十1)e,令f(x)=(x十1)e≥0，解得x≥-1，故函 上分析可知，点A'在平面BCD内的射影G在直线OF 数f(x)=xe2的单调递增区间为[一1，+o)[也可写 上.过点G作BD的平行线交直线BC于H,连接A'H, 为(-1，+∞]. A'G. 13.16645对题中数据分析可得 因为A'G⊥平面BCD,GH⊥BC,所以∠A'HG即二面 人数 均值 方差 商ABCD的平西角，an∠AHG=器易知回边形 男生 30 170 15 OGHB为矩形，所以GH=BO=√5，因为A'G≤A'O= 女生 20 160 30 1,所以1am∠AHG=部≤=g √33 ,所以二面角 则估计该校高一年级全体学生身高数据的均值元= A'BCD有最大值，且最大值为否，故B错误. 30×170+8×160=16,方差÷=8 50 因为S△CD不变，所以当三棱锥A'-BCD的高最大时， 其体积最大，易知当A'O⊥平面BCD时，三棱锥 【(170-166)2+15]+0×[160-166)2+30]=45, A'-BCD的高最大，为A'O.如图c, 14.2√3十2√2如图，构造棱长为2的正方体 ABCD-A1B1C1D1,并以D为坐标原点，DA,DC,DD 所在直线分别为x轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系 D Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),分别取A1D1和BC 图c 的中点M,N,连接MN,则M(1,0,2),N(1,2,0).在空 取A'B的中点E,连接OE,CE,则(OE∥A'D,则 间中任取一点P(x,y,x),则原式=DP十AP十MP十 ∠COE(或其补角)为异面直线A'D与CO所成的角. NP.因为y十z一2=0，所以点P在以m=(0,1,1)为 当A'O⊥平面BCD时，由对A选项的分析知，BC⊥平 法向量且过点C(0,2,0)的平面上，即P∈平面 面A'BD,又A'BC平面A'BD,所以A'B⊥BC.在 A1BCD.MP+NP≥MN=2√2，当且仅当P∈线段 △0cE中，0E=AD=1,0c=,CE- MN时等号成立；因为点D关于平面A1BCD1的对称 √BC+BE=√4+I=√5，所以cos∠COE= 点为点C,所以DP=C1P,所以DP+AP=C1P十 0C+0E2-CE2_7+1-5=3W71 AP≥AC1=2√3，当且仅当P∈线段AC1时等号成立， 2OC·OE 2√7 14>2=cos牙，所 以∠COE即异面直线A'D与CO所成的角，∠COE< 牙，故C正确。 因为PC与BC所成角为晋，所以点P在以C为顶点， 直线CB为轴的两个圆锥的侧面上，如图d, 综上可知，当P为AC1与MN的交点时，DP+AP十 MP十NP有最小值2√3十2√2，此时，P为线段AC1 MN的中点，P的坐标为(1,1,1)，所以当且仅当x y==1时，原式有最小值2√3+2√2. 图d 15.解：(1)在△ABC中， 66 由正弦定理得sin Acos B-sin Bcos2A=sinC, '.'sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 即平面ABCD与平面EGH的夹角的余孩值为写 .sin Bcos 2A=-cos Asin B. 17.解：1)=1，[2(x4-)2+(4-习2] 又sinB≠0，∴.cos2A=-cosA, m十n1 ∴.2cos2A-1=-c0sA, -0十n2x-2+-+8-+5-则 即2cos2A+cosA-1=0, A∈0,0osA=7 =nn2部x-2+-+2x-0G-3别 A=晋 +2[(y-2+6-2+20-00-0]》. (2)A范在AC方向上的投影向量为 2[2(x-0(元-0]=2（元-8(x-)=2(元-）· 1Acsi,衣心 (x1十x2十x3十…+xn-nx)=0, 同理可得2[2(y-y)(y-)]=0, IABicos A 所以子=n[对+G一门+m[号+写-]》. ACI 号中-号 b 3 (2)将该班参加考试学生成绩的平均数记为a,方差记 sA=6=， 为，则a=0×(30X100+20X90)=96, 'a2=62+c2-2bccos A, 13=8+(学)°-26·÷6之-号， 所以=0×30×[16+(100-96)r]+20×[192+ ∴b=3,c=4, (90-96)2]}=322. 又√322≈18，所以t≈18，即该班参加考试学生成绩的 六Sac=2 A-=×3X4-35 平均数为96分，标准差约为18分. 16.解：(1)如图，连接EF, (3)由(2)知μ=96，σ=18，所以全年级学生的考试成 在正四棱柱ABCD-A:B1C1D1中， 绩X服从正态分布N(96,182), 以A为坐标原点，分别以AB,AD,AA1所在直线为x 所以P(96-18≤X≤96十18)≈0.68，P(X≥96)= 轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系， 0.5, 所以P(78≤X<96)=P(96≤X<114)≈0.34，P(X≥ 114)=P(X<78)≈0.16. 故可将X≥114定为A等级，96≤X<114定为B等 级，78≤X<96定为C等级，X<78定为D等级. 18.解：(1)设A（x1,x),B(x2,x),则直线AB的斜率 k相-对二连=十， x1一x2 则E(0,0,1),F(2,0,2),G(2,2,3),H(0,2,2), 直线AB的方程为y一x=(x1十x2)(x一x1),即y= 所以FG=(0,2,1),Ei=(0,2,1), (x1十x2)x-x1x2, 所以F心-E立， 又直线AB过点E(0,2),所以-x1x2=2,即x1x2= 所以四边形FEHG为平行四边形， -2. 故F,E,H,G四点共面. 设直线PA的方程为y一x=k(x一x1),与抛物线方 (2)由(1)知，A(0,0,0),A1(0,0,4),Ei=(0,2,1), |y-x3=k(x-x1), Et=(2,2,2). 程y=x2联立，得 解得x=x1或 y=x2, 可得平面ABCD的一个法向量为AA1=(0,0,4). x=k一x1, 设平面EGH的法向量为m=（x,y,之)，则 1m·EH=0, 又直线PA与抛物线相切，所以x1=k一x1,即k=2x1, 2y+x=0, 所以〈 所以直线PA的方程为y-x=2x1(x一x1),即y m·Et=0, 2x+2y+2z=0, 2x1-x1, 令y=1,则之=一2，x=1,所以m=(1,1,一2). m·A=-8=-5 同理可得直线PB的方程为y=2xx2一x. cos(m,AA)= 1m|AA14×63 由y=2,∫x=西十2. 解得 2 记平面ABCD与平面EGH的夹角为日， y=2xx2-x吃， y=x1x2, 则cms9=osm,a1-5, 所以P(色小 啤P(色吉，-2 g(2-λ)=0， ∴.存在唯一xo∈（一λ，2一入一ln2),使g(xo)=0,即 故点P在定直线y=一2上 2eo+A-2=x十λ②， F才·F市 (2)cos∠PFA= 故关于x的方程①的解有一A,2一入，x0. 1FA1·Fp 综上，直线MN与曲线y=f(x)交于除M,N外的另一 FB.FP cOS∠PFB= 点P. 1F·F1 （i)由(1)知，xp=xo,M(-a,0),N(-A十2,4e-2), 注意到∠PFA与∠PFB都在(0，π)内，可知要证 --2 2 FA·F市FB.F巾 -入十2一x0 2-(a+o) ∠PFA=∠PFB,即证 IFAI FBI .A十x0=2- 2(t>0) i=(-)中-（色士，号） 由(1)中的②可知，2eo+A-2=x0十λ，2e是=2 所以财市=专-是（一是） 名即c=1-日 2 -64+1D,又i=√云+（云-）厂=+子， e+-1=0>0. 设=-，H)=e-u一1，u<0, 所以 + 则H'(w=2e-1,u<0,令H(w)=0,则u=-2, 2 i.F市7 同理可得 令H(m>0,则-2<u<0,令H(w)<0,则u< 2 _In 2 A.F市F范.F 21 即有 ,故∠PFA=∠PFB. FAI FBI :H(u)在(-，-2）上单调递减，在 19.解：)f()=2(x+)-（x+2_ (-,0）上单润道增 -(x十A)(x十A-2) :-1)=e>0,H(-)=日-2<0，e-0 令f(x)>0,则-λ<x<-A+2,令f(x)<0, 1=0, 则x<-A或x>-A十2， ∴.f(x)在（一A,一入十2）上单调递增，在（一∞，-A), 36∈(-1，-号），使Hw)=0,此时=- (一入十2，十∞)上单调递减. (1,2) (2)(i)由(1)知m=一入，n=-λ十2， 故存在定值t,且t∈(1,2)，使|MN=tPN,此时a=1. 且f(m)=f(-入)=0， 普通高等学校招生全国统一考试·数学 fw-。系-4， 精华仿真12套（十一） w=-择22g, 1.AM-{=,eZ, .直线MN的方程为y=2e-2(x十a). N={-告，ez).MCN. 令2e-2(x十)=x+A)2 2.C设向量b,c的夹角为0，|a=|b十c=√(b+c)= 即(x+)[2e+A-2-(x十λ)门=0①， V2+2s0=1os0=-7又0e[0,16- x=-入或2e+A-2-(x十λ)=0. 设g(x)=2e+-2-(x十)，则g'(x)=2e+A-2-1. 3.D:这组数据的平均数为1+2+2+m+6+2+8= 7 令g()=0,则x+X-2=n君x=2-X-l1h2. 21十m,中位教为2，.21十m=2X2m=7. 7 7 令g'(x)>0,则x>2-λ-ln2,令g'(x)<0,则x<2 4.A(2x-3)(x-1)5=2x(x-1)5-3(x-1)5,(x-1)5 λ-ln2, 的展开式的通项T,+1=(-1)C5x5-',由5-r=2得r= ∴.g(x)在(-o∞，2-λ一1n2)上单调递减， 3,由5一r=3得r=2,所以(2x-3)(x一1)5的展开式中 在(2-入-ln2,十o∞)上单调递增. 含x3项的系数为2(-1)3Cg-3(-1)2C号=-50，故 g(2-x)=0,g(-λ)=2e2>0,g(2-入-ln2)< 选A. 61 5.D周为6=0.38=（品）=(9）》>8=> 正确， 10.BCD设复数之=a十bi,w=c十di,a,b不同时为0，c, 3°=1，c=loga.20.3<1og.20.2=1,所以b>a>c,故 d不同时为0. 选D. 对于A,z2=(a+bi)2=a2+2abi+bi2=a2-b2+2abi, 6.C设Q(-1-2a,a)(a∈R),P(x,y),故Q=(x+1+ 而|x|=√a2+b,|z|2=a2十b2,所以z2=|x2不成 x+1+2a=1, 2a,y-a)=(1,-3),所以 整理得 立，故选项A错误； y-a=-3, (x=一2a'消去a可得x十2y十6=0，所以轨选E的方 对于B,之=a+bi_a十bi)2=2 a-bi Q2十形一之，故选项B正确； y=a-3, 对于C,x-w=(a十bi)-(c十di)=(a-c)+(b-d)i 程为x十2y十6=0，易知E为一条与直线l平行的直线， (a-c)-(b-d)i;=a-bi,w=c-di,-w=(a- 所以A,B,D都是错误的.直线x十2y十6=0与直线x十 bi)-(c-d)=(a-c)-(b-d)i=z-,故选项C正确； 20y+1=0的距离d=6-1L =√5，因此E上的，点到l √12+22 对于D,立-时-ac+a心i,所以盖- w c+di c2+d 的距离均为√5，故C正确.综上所述，选C √(ac+bd)+(bc-ad)' Va+b 7.A因为0e(3,x）,所以tan0∈(-1,0).由tan20= c2+d2 ,而 √c2+d 4a(+子)将。-4法儒号化黄叁型得 a((ac+bd)+(be-ad)- c2+d2 a2c2+bd+c2+a2d=(a2+b2)(c2+d),显然 2tan0+5tan0+2=0,解得tan0=-2(舍去)或tan0= - 合，所以2x0开20 1+sin 20 (sin 0+cos )2 -2cos 0(sin 0+cos) 吉引哥，故选项D正，综上所迷，选BCD 如叶。0_m牛1-子故适A 1.ABD令x=2y=0,由f(x+》+f(x)f()=4z 2c0s0 8.C易知函数f(x)的定义域为R,且f(一x)=3sinx+ 可知f(分)十f(3)F0=0,因为f(2)≠0，所以 (2n2-n)an·cosx-Sn=f(x),所以函数f(x)为偶 化简得f0)=-1. 函数. 因为f代)在[-至，晋]上的图象与x轴有且仅有一个 对于A令x日y-,则有f0+(2)f(-2) 公共点，所以该公共点只能为坐标原，点(0,0)，则f(0)= 4×2×(-号)，化简得f(号)f(-合)=0，因为 (2m2-n)an-Sn=0,所以Sn=(2m2-n)an①.当n≥ f(分)≠0所以(-)=0，故选项A正确 2时，Sa-1=[2(n-1)2-(n-1)]an-1②，①-②得an= (2m2-n)a-[2(n-1)2-(n-1)]an-1,整理得 对于B,由f(x-号)=-2x可得f(x) 2+.-(2-3a所以品-器 -2(x+)=-2x-1,所以f(2)=-2,故选项B 所以当n≥2时，an=a1X2X4X4X…Xa 正确. a3 an-1 ××号×…×× ×2m-1×2m+1-(2n-1)(2m+1)' 对于C,令y-?,则有f(x-3)+ff(-) 所以am=2X27品故选C 1 4红·（-2），化简得f(x-分）=-2x,故函数 9.ACD选项A,由抛物线C:x2=2py(p>0)过点M(2, f(x-分)是奇函数，故选项C错误. 1),得2p=4,所以p=2,所以A正确. 选项B,易得抛物线C的准线方程为y=一1，所以 对于D,因为f(x)=-2x-1,所以f(x+2)= |MF|=1一（一1）=2，所以B错误. 选项C,由选项A知抛物线C的方程为x2=4y,易知 -2(x+号)-1=-2x-2,所以函数f(x+2)是 v=7,所以直线1的方程为y-1=-2(x-2),即y= 减函数，故选项D正确.综上所述，选ABD, 12.-2由题意，得f(x)=x2-2ax,则f(-4)=16十 一2x十5，将其与抛物线方程联立，得x2十8x一20=0，解 8a=0,得a=一2.经检验，a=一2满足题意. 得x=一10或x=2,故xw=-10,故N(-10,25),所以 13.0.464因为随机变量X~N(4,42),所以P(X< |MN|=√(-10-2)3+(25-1)2=12W5,所以C正确. 3)=P(X>5)=0.3,所以P(3<X<5)=1-P(X< 选项D,将直线l的方程y=一2x十5与抛物线C的准线 3)-P(X>5)=0.4,由题意可得D(X)=16.因为Y= 方程y=一1联立，得到交点坐标为(3，一1)，所以D 2X+1,所以D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=64.普通高等学校招生全国统一考试·数学 精华仿真12套（十） （时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.若(x-1)i=1+i,则|之|= A.1 B.√2 C.5 D.5 2已知椭圆需+y=1m心)的离心率为号则2m () A.2 B.4 C.√2 D.2√2 3.已知a=b|=1,c|=√5，a+b+c=0,则a与b的夹角为 () A.30° B.45° C.609 D.120° 4.某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜 欢打篮球或排球.在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则 他也喜欢打排球的概率为 A号 c号 D 5.常用放射性物质原子核数衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰 期，记为T(单位：天).铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1,T2.开 始记录时，这两种物质的原子核数相等，512天后测量发现乙的原子核数为甲的原子核数 },则工，T:满足的关系式为 () A.-2+512=512 T T2 B.2+512_512 T T2 .512 C.-2+l0g2512=1ogT1 u2+os兴-g号 .512 6.已知函数f(x)= 1-x-31,心1若关于x的方程f(x)f1-a)=0至少有两个不 (x2-2x,x≤1 同的实数根，则a的取值范围是 ( 3 A.(-∞，-4]U[√2，+∞) B.[-1,1] C.(-4,W2) D.[-4,√2] 7.已知圆C:x2十y2=1与x轴交于F1,F2两点，点P在直线l:x一y十4=0上，若以F1,F2 为焦点的椭圆过点P,则该椭圆的离心率的最大值为 () A号 C.5-1 D.26-2 8 24 8.已知a,日为锐角，且cos(a十g)=2sin已，则tanB的最大值为 sin a () Ae B② 4 c n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知实数a,b,c满足a>b>c,且a十b十c=0,则下列结论中正确的是 () A.a+b>0 B.acbo D.(a-0-c)<是e 10.在（是-2V)的展开式中，下列说法正确的是 A.各二项式系数的和为64 B.各项系数的绝对值的和为729 C.有理项有3项 D.常数项是第4项 11.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,且DC=2AB=2AD=4,O为BD的中点，沿 BD将△ABD翻折，使点A到达A'的位置，构成三棱锥A'-BCD(如图2)，则下列选项 正确的是 () 图1 图2 A.在翻折过程中，A'D与BC可能垂直 B.在翻折过程中，二面角A'-BCD无最大值 C.当三棱锥A'-BCD体积最大时，直线A'D与直线CO所成角小于 D.动点P在平面A'BD内，且直线PC与直线BC所成角为石，若点P在平面A'BD内 的装迹是稀圆，则三按锥ACD的体积的取值范固是[9,2g) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.函数f(x)=xe的单调递增区间是 13.为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样 的方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本数据的均值为 170,方差为15，女生样本数据的均值为160，方差为30，则由上述数据估计该校高一年 级全体学生身高数据的均值是 ,方差是 .(第一空2分，第二空3分) 14.已知实数x,y,之，满足y+之一2=0，则√x2+y2+2十√(x-2)+y2+之2+ √(x-1)2+y2+(x-2)2+√(x-1)2+(y-2)2十z2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B-bcos2A=c. (1)求A的大小； (2)A店在C方向上的投影向量是号AC,a=VS,求△ABC的面积 3 16.(15分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2,AA1=4,点E,F,G,H分 别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，且BF=DH=2AE=2,CG=3. (1)证明：F,E,H,G四点共面； (2)求平面ABCD与平面EGH夹角的余弦值. A B -- A 8 17.(15分)树人中学高三(1)班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩/分 标准差/分 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配的分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第1层样本记为x1,x2, x3,…,xn,其平均数记为元，方差记为s;把第2层样本记为y1,y2,y3,…,ym,其平均数 记为y,方差记为s号；把总样本数据的平均数记为之，方差记为s2. 1)证明：m十n对+(G-]+m[号+(-门： (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布N(μ，o),以该班参加考试学生成绩的平均 数和标准差分别作为μ和。的估计值，如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩 从高分到低分依次划分为A,B,C,D四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）. 附：P(u-≤X≤μ十σ)≈0.68，√302≈17，√322≈18，√352≈19 3 18.(17分)已知抛物线C:x2=y,过点E(0,2)作直线交抛物线C于A,B两点，过A,B两 点分别作抛物线C的切线交于点P. (1)证明：点P在定直线上； (2)若F为抛物线C的焦点，证明：∠PFA=∠PFB. 19.(17分)已知函数f(x)=(x十) (1)讨论f(x)的单调性； 4 (2)设m,n分别是f(x)的极小值点和极大值点，记M(m,f(m)),N(n,f(n)). (ⅰ)证明：直线MN与曲线y=f(x)交于除M,N外的另一点P; (i)在(i)的结论下，判断是否存在定值t∈(a,a十1)且a∈Z,使MN=tPN|,若存 在，请求出a的值；若不存在，请说明理由. 0—