普通高等学校招生全国统一考试·数学精华仿真12套(六)-【金卷1号】2027年高考数学模拟精华仿真12套

普通高等学校招生全国统一考试·数学 精华仿真12套（六） (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知抛物线的标准方程是y2=4x,则它的准线方程是 () A.x=-1 B.x=1 C.y=-1 D.y=1 2.已知集合A-{zx=sin受，n∈Z,B={0,1,则下列命题正确的是 ( A.A=B B.BCA C.A∩B={0,-1} D.CAB=(1) 知曲线C:+多=1(m≠0)，则“m∈(0,6)”是“曲线C的焦点在x轴上”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知圆O1:x2+y2=5与圆O2:x2+y2-2x-4y=0交于A,B两点，则|AB|=() A号 B.√5 C.√15 D.5 2 5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1十x)=f(1一x),当-1≤x<0时，f(x)= 1og:(-6x+2),则f()的值为 () A.-1 B.-2 C.2 D.1 6.设x>0,函数y=x2十x-7,y=2r十x-7,y=log2x十x-7的零点分别为a,b,c,则 A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<a<b 7.已知角a(0°<α<360°)的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边上A点坐标 为(sin310°，cos310),则a= () A.130° B.140 C.220° D.230° 8.设x1,x2是函数f(x)=x3十ax2十x十1的两个极值点，若x1十3x2=-2,则a=（) A.0 B.1 C.2 D.3 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知复数1=a十i,z2=1十bi(其中i是虚数单位，a,b∈R),若x1·z2为纯虚数，则 () A.a-b=0 B.a+b-0 C.ab≠-1 D.ab≠1 10.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的 调查数据整理得到如下频率分布直方图： 频率 「组距 0.20 0.14- 0.10 0.04----- 0.02-工工☐年收入W历元 0 2.53.54.55.56.57.58.59.510.511.512.513.514.5 根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是 A.该地农户家庭年收入的极差为12 B.估计该地农户家庭年收入的75%分位数为9 C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D.估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元 11.已知点A(-1,0),B(1,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之和是2.设动点 M(x,y)的轨迹为曲线C,则 () A.曲线C关于原点对称 B.x的范围是{xx≠O},y的范围是R C.曲线C与直线y=x无限接近，但永不相交 D.曲线C上两动点P(a,b),Q(c,d),其中a<0,c>0,则|PQ|min=2√2√2-2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12,已知双曲线后-苦-1(。>0，b>0》的断近线方程为y=士子，则其离心率为 13.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，内壁是光滑的镜面.一束光线从A点射出，在正 方体内壁经平面BCCB1反射，又经平面ADDA1反射后到达C点，则从A点射出的 入射光线与平面BCC1B1的夹角的正切值为 14.若实数x,y,≥0，且x+y+之=4,2x一y+之=5，则M=4x十3y+5之的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知椭圆C:若+芳-1(a>6>0)的左，右焦点分别为F,F,上顶点为A,且 A市1·A市2=0. (1)求C的离心率； (2)射线AR与C交于点B,且|AB-号，求△ABF,的周长. 2 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(2sinA,w3sinA+ V5cosA),n=(cosA,0sA--sin A)(A)=m·n,A∈[吾，] (1)求函数f(A)的最大值； (2②)若fA)=0,a=5,snB十sinC-5,求△ABC的面积. 2- 17.(15分)某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为4：1. (1)若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均质量为240克，方差为300， 小果的单果平均质量为190克，方差为320，试估计果园苹果的单果平均质量、方差； (2)现用一台分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为10%，把小 果筛选为大果的概率为5%，经过分选机筛选后，现从筛选出来的“大果”里随机抽取一 个，求这个“大果”是真的大果的概率. 2 18.(17分)已知函数f)=lnx-2 (1)讨论f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； (2)函数g()=兰x若方程f()=f(g)在x∈(0，）上存在实根，试比较fa) 与n的大小 3 19.(17分)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算 法中的应用.设p,q是两个正整数，若p,q的最大公约数是1，则称p,q互素.对于任意 的正整数n,欧拉函数o()的函数值等于所有不超过n,且与n互素的正整数的个数， (1)试求p(3),p(9),p(7),p(21)的值； (2)设n是一个正整数，p,q是两个不同的素数，试求(3”)，并求p(pq)与p(p)和p(q) 的关系； -24 (3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体 而言： ①准备两个不同的、足够大的素数力，q; ②计算n=pq,欧拉函数p(n); ③求正整数k,使得q除以p(n)的余数是1； ④其中(n,q)称为公钥，(n,k)称为私钥， 已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17).若满足题意的正整数 k从小到大排列得到一列数记为数列{bn},数列{cm}满足80cm=bn十47，求数列{tan cn· tan c+1}的前n项和Tm.竖h）=(-巨，)po0,) 2.B因为x=sim受的周期T=2红=4，且n∈Z,当m=1 D币-=(E,wW巨，号)，设直线DP与平面AMC所成的 时，x=1,当n=2时，x=0,当n=3时，x=一1，当n=4 角为0， 时，x=0,所以A={-1,0,1},又B={0,1},所以B二 则sin0=|cos(Di,m)l= A,A≠B,A∩B={0,1},CaB={-1},故A,C,D不正 8+4+4 确，B正确，故选B. V2+2+晋×V2+8+ 24W13 91 9 3.A因为南线C:若+品-1(m≠0)，所以言m∈(0,6) m 19.解：(1)由题知，数列A经过1~5次“T变换”得到的数 时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；若曲线C的焦点 列依次为3,1,2：2,1,1；1,0,1：1,1,0：0,1,1 在x轴上，则当曲线C表示椭圆时，m∈(0,6)，当曲线C 所以数列A:3,6,5经过5次“T变换”后得到的数列为 表示双曲线时，则m∈（一∞，0），综上，“m∈(0,6)”是 0,1,1. “曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件，故选A (2)数列A经过不断的“T变换”不会结束 4.C因为圆0：x2+y2=5,所以0(0,0)，半径n=√5， 设数列D:d1,d2,d3,数列E:e1,e2,e3,数列F:0,0,0, 又圆O2:x2+y2一2x一4y=0,圆O1与圆O2交于A,B 且E=T(D),F=T(E), 两，点，所以直线AB的方程为2x十4y一5=0，所以点 由题可知，e2一e1|=0,|e3一e2|=0,|e3一e1=0,所以 O(0,0)到直线AB的距离d= 5 e1=e2=e3, 即非零常数列才能经过一次“T变换”结束。 AB1=2斤-d-2V5--5,故选C 设e1=e2=e3=e(e为非零常数)， 5.B因为f(1+x)=f(1一x),所以函数f(x)的图象关 则为变换得到数列E的前两项，数列D只有四种可能， 于直线x=1对称.因为函数f(x)是定义在R上的奇函 D:d1,d1+e,d1+2e; 数，所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数 D:d,dte,d; f(x)是以4为周期的周期函数，又当一1≤x<0时， D:d1,d1-e,d1-2e; f(x)=log2(-6x+2), D:d1,d1-e,d1. 而以上四种情况，数列E的第三项只能是0或2， 所以f()=f(8+号)=（号）=-f(-号) 即不存在数列D,使得其经过“T变换”变成非零常数 -1og[-6×(-3)+2]=-1og:4=-2,故选B 列，故数列A经过不断的“T变换”不会结束 (3)数列A经过一次“T变换”后得到数列B:2018, 6.A令y=0,得x2=7-x,2=7-x,l0g2x=7-x,在同 2022,4,其结构为a,a十4,4，其中a远大于4. 一平面直角坐标系中画出x>0时，=x2,y归=2， 数列B经过1一6次“T变换”得到的数列依次为4，a, y3=1og2x和y4=7一x的图象，如图，结合图象知，yh a-4;a-4,4,a-8;a-8,a-12,4;4,a-16,a-12; x2与y2=2的图象相交于两点(2,4)，(4,16)，当2< a-20,4,a-16;a-24,a-20,4. x<4时，y1=x2的图象在2=2图象的上方，所以a< 所以数列B经过6次“T变换”后得到的数列也是形如 b,又c最大，所以a<b<c,故选A. “a,a十4,4”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减 y ⅓2=2y=x2 小24， 16 因为2018=24×84+2，所以数列B经过6×84=504 (次)“T变换”后得到的数列为2,6,4， 接下来经过“T变换”后得到的数列依次为4,2,2；2,0， 2;2,2,0;0,2,2;2,0,2;… 93=1og2x 至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数 、y4=7-x 列各项之和不会变得更小， 所以最快经过1十6×84十2=507（次）“T变换”得到的 数列各项之和最小，即k的最小值为507. 7.B根据诱导公式有sin310°=cos(90°-310)=cos(一220)， 普通高等学校招生全国统一考试·数学 cos310°=sin(90°-310)=sin(-220),所以a=-220°+k· 精华仿真12套（六） 360°，k∈Z,又因为0°<a<360°，所以a=-220°+360°= 1.A因为抛物线的标准方程为y2=4x,所以其准线方程 140°，故选B. 为x=一1，故选A. 8.C令f(x)=3x2+2ax+1=0,则有△=4a2-12>0, 58 五十=-号，西=专①，又五十3=-2@，结合 √1+()-+()- ①②可得=-号西=-1，所以-号=，即a 13.32 D C 2 易知光线的轨迹全部在平 2,故选C. 面ABCD1内，如图，设光线与平 9.ACz2=(a+iD(1+bi)=a-b+(ab+1)i,因为z1· 面BCC1B1的第一个交，点为点P, x2为纯虚数，所以a一b=0,且ab十1≠0，故选AC. 则点P为线段BC1的三等分点 10.BCD设极差为t,由题中频率分布直方图可知，组距 (靠近点B);设光线与平面 为1，共有12组，所以t≤1×12=12，且不是一定取等 ADD1A1的交点为点Q,则点Q为线段AD1的三等分 号，所以A不正确； 点（靠近，点D),在正方体中易知从A点射出的入射光 前6组频率之和为0.02+0.04+0.1十0.14十0.2+ 线与平面BCC1B1的夹角为∠APB,则 0.2=0.7,前7组频率之和为0.7十0.1=0.8，所以 75%分位数应位于[8.5,9.5)内，由8.5+1X ，2=32 tan∠APB=PB-1BC,子X2E2 0.75-0.=9,可以估计75%分位数为9，所以B 0.8-0.7 14.[15,19]因为x+y+z=4,2x-y十z=5,所以x+ 正确； 家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为 y=4-,2x-y=5-,所以x=922,y=33 3 3 0.1+0.14十0.2+0.2=0.64>0.5，所以C正确； 由题中频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的 9-2≥0， 3 平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7× 图为工，y,≥0，所以3。≥0， 解得0≤≤3. 0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+(12+ x≥0， 13+14)×0.02=7.68(万元)，又7.68>6.5，所以D正 确.综上，选BCD. 国为M=4红+30十5x=4×92+3×3写+5g 3 1.ACD由题知十m=2,所以齐+产兴 3+15,所以M∈[15,19]. 2,xy=x2一1，易知x≠0，且x≠士1，所以曲线C的轨迹 15.解：(1)因为A·AF=0,所以A⊥A, 方程为)x-（0,且≠士10. 即AF1⊥AF2,所以△AF1F2是等腰直角三角形， 对于A,因为（一）马三=-（红-）：所以y=x 所以RR1=AF1,即20=，所以e=日-号 上红≠0，且≠士1)为专画致，因象关于原点对格，故 (2)设直线AF1的方程为y=x十b①， A正确； 由c=后-号，得a=20=26, 2 对于B,由上述分析知x≠0，且x≠士1，故B错误； 对千C+时，0y-g- 所以指圆C的方程为元+芳=1(6>0)@， →x,x→一 联立①②，化简得3x2+4bx=0,解得x=0或x= 时，子0-2-子，所以南线C与直线y= 46 3, 无限接近，永不相交，故C正确； 对于D,易知|PQ|取最小值时，P,Q两点一定关于原 所以1AB1=-Ex号-号，所以6=a=2, 点对称，所以Q(c,c-),P(-c,-c), 所以△ABF2的周长为4a=8. 16.解：(1)由题知，f(A)=m·n 则1PQ1=√2+(2c-)=√e+是-8≥ =(2 sin A3sinA+√3cosA)·(cosA,cosA-sinA) =2sin Acos A+3cosA-/3sin2A √2√c·亭-8=V2v2-8=2V2g-2,当且仅 =sin2A+√3cos2A 当8-告，即=子时学号成立，故D正确.综上， =2sin(2A+号）， 选ACD. 因为晋<A<行，所以5≤2A+吾<， 12.是双自线号-芳-1。>0,6>0)的*近线方粒为 所以-1≤n(2A+号)≤9，所以f(A)∈[-2， a+6 √3， 所以函数f(A)的最大值为√3. (2)因为f(A)=2sin(2A+号）=0，所以2A+号 当a≥0时，f(x)>0,此时，函数f(x)在(0，十o)上单 kπ，k∈Z, 调递增，函数f(x)无极值； 所以A=经-吾∈乙 当a<0时，f(x)>0→x>-a,f(x)<0→0<x< 一a， 因为A∈[吾，]，所以A=吾 此时，函数f(x)在(0，一a)上单调递减，在（一a,十o∞） 上单调递增， 在△ABC中，由正孩定理得品AF品B二品C b C f(x)的极小值为f(一a)=ln(一a)十1，无极大值 3=2, (2)由(1)知，①当a≥0时，函数f(x)在(0，十∞)上单 sin 调递增，于是f(x)=f(g(x)》在x∈(0,2）上存在实 所以6+c=nA(sinB十sinC)=6, 根>=在x∈(0，号)上存在实根，解得x=司 所以(b+c)2=+c2+2bc=6①， 或x=0,不满足题意 由余弦定理得+c2一2 bccos A=a2,即+c2-bc=3②， 由①②解得bc=1, ②当a<0时，设方程fx)=f(g(x)》在x∈(0，)上 所以△MBC的面积为宁besin-号XIx9-点 的实根为，由题意知1n一号=血 x6 241 17.解：(1)抽出的100个苹果中，大果的个数为 4×100 a1-4 80,小果的个教为日×100=20， 化简整理得1（品-l)=a(层-言） 设大果的单果平均质量为x1,方差为好，小果的单果平 设-1=m,由于x∈(0，号)，国此m>1,期上式变 均质量为x2,方差为， 形为lnm+a(m2一1)=0， 则1=240,57=300，x2=190,53=320, 则10个幸菜的率均质量为而×(80×240十20× 令g(m=lhm+a(m-1D(m>1),则有g'm=2at+1 m 190)=230(克)， 100个*果的方差为-0×(80×[300+(240 情形-：当a≤-合时，g(m）=2am+1<0,e(m)在 m 230)2]+20×[320+(190-230)2]}=704. (1,十∞)上单调递减， 故估计果园苹果的单果平均质量为230克、方差 此时p(m)<ln1十a(12-1)=0,不满足题意； 为704. 情形二：当-号<a<0时，g(m)>0>1<m< (2)记事件A1:放入分选机的苹果为大果， 01 /1 事件A2:放入分选机的苹果为小果， √-2a9(m)<0→m>√-a, 事件B:分选机筛选出的苹果为“大果”， 则“大果是真大果”为A1B, 则m)在(1√厂品)上单润递增， 则PA)=告，PA)=日P(B1A)=1-0=0, 在（厂石十）上单调造减 P(B引A2)=20' 并且注意到1n1+a(12-1)=0,(）-ln是十 由全概率公式可得 P(B)=P(A)·P(BIA)+P(A)·P(BA)=号× a(合-<-1+是-a=-a- 品+日×动=品， 1-a3)(a+1<0, 故3m∈(1，十∞)，使得p(m)=0,满足题意. PAB)=PA,)PBA,)=青×-器， 圆克，PCA1B-P-是×罗-器 于是-合<a<0.设Aa)=fa)=21n(-a）-日 P(B) 则K(a)=1+2a>0,所以h(a)在(-号，0）上单调 a2 18.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十∞)，f(x)=】+ 递增， 5 所以a>2h[-（←号)门-上=2-h4, 0.005+0.002)×20=1,故a=0.01,由(0.001+ 0.004+0.01)×20=0.3<0.5,0.3+0.016×20= 所以fa)>2-lh4=n号. 0.62>0.5,得样本的中位数为140+0.50.3×20= 0.32 152.5.故选B. 19.解：(1)p(3)=2,(9)=6,(7)=6,(21)=12. (2)在不大于3”的正整数中，只有3的倍数不与3”互 4.B因为a=C20·2+C20·22+…+C28·220=C20十 素，而3的倍数有3-1个， C20·2十C30·22十…十C8·220-1=(1十2)20-1= 故(3")=3m一3"-1=2·3"1. 320-1,所以a=320-1=(32)10-1=910-1=(10- 1)10-1=C901010-C10109+C7108-…-Co10+C8 因为p,q是两个不同的素数，所以p()=p一1,9(q)= 1=C901010-C10109+C0108-…-C010,所以a能被 9-1, 10整除，从选项可以看出，只有2020能被10整除，即b 在不超过pq一1的正整数中，p的倍数有(q一1)个，q 的值可以为2020，故选B. 的倍数有(p一1)个， 1 所以p(pq)=q-1-(p-1)-(q-1)=pg-p-q十 5.D因为f(x)=sinx+zsin2.x,所以f(x+元)= 1=(p-1)(q-1), 所以p(pq)=p(p)·p(q). sin(x+x)+2sin[2(x+x)]=-sinx+分sin2z≠ (3)计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是 f(),所以选项A错误；若函数f()的最大值为号，则 (187,17), 所以n=187,9=17,从而p=11. sinx,sin2x同时取最大值，即有sinx=1且sin2x= p(n)=p(187)=p(11×17)=p(11)p(17)=10× 1,又sin2x=2 sin xcos x,所以若sinx=1,则cosx= 16=160, 0,sin2x=0,即sinx=1与sin2x=1不可能同时成 所以正整数k满足的条件为17k=160x十1，x∈N, 立，所以选项B错误；因为f(x)十f(π一x)=sinx十 =9x+7(7x+1),令y=立(7x+1),则17y=7x+ 号sin2x+sin(x-z)+合sin2(x-x)]=2sinx≠0，所 1,x=2+号(3y-10, 以函教f()的图象不关于点（受，0）对称，所以选项C 令z=7(3y-1),则72=3y-1y=2z+3(2+1), 错误；令f(x)=sinx+2sin2x=sinx十sin acos= 取x=3n-1,则y=7n-2,x=17n-5,k=160n-47, sinx·(1+cosx)=0,得sinx=0或1+cosx=0,又 所以80cn=bn十47=160n,所以cn=2n. 因为x∈[0，π]，所以x=0或x=π，所以函数f(x)在区 tan cn·tan cn+1=tan2n·tan（2n+2)= 间[0，π]上有2个零点，所以选项D正确.综上，选D. tan(2n+2)-tan 2n-1, 6.C设事件A=“甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优 tan 2 秀等级”，事件B=“乙达到优秀等级”，所以P(A)= Tn=tan·tan ca+tanc·tan cs+…+tan ca· 0.5×(1-0.6)×(1-0.7)+(1-0.5)×0.6×(1- tan cx+1=tan 2X tan 4+tan 4X tan 6+..+tan 2nX 0.7)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.7=0.29,P(AB)= tan(2n+2) (1-0.5)×0.6×(1-0.7)=0.09,所以P(BA)= tan 4-tan 2+tan 6-tan 4++-tan(2n+2)-tan 2nn tan 2 40-88-0减速C _tan(2n+2)tan 2n 7.D设P(x,y),则P才·Pi=(-a-x,-y)·(a-x, tan 2 -y)=x2-a2十y2=3a2,所以x2+y2=4a2,即点P在 =an(2m+2)-m-1. 以原点为圆心，2a为半径的圆上，又因为点P在以点 tan 2 (a一1，a十2)为圆心，a为半径的圆上，所以，点P为两圆 普通高等学校招生全国统一考试·数学 的公共点，因此2a-a≤√/(a-1)2+(a十2)7≤2a十a, 精华仿真12套（七） 1.A周为法3十D2+D=1十i所以接复数的实部 解得a≥1，故选D. 8.C由题知ay≥xny-x-zlnx,即a≥号lny号 与虚部之和为1十1=2，故选A. 2.B将x=-1,0,1,2,3依次代入sin(受x-否），发现 hx=n兰-号令1=兰，e0,十m),则 满足sin(受x-若)≥2的只有x=1,2,因此AnB= t-1=血1，设g(x)=血1，则g(x)= {1,2},则集合A∩B的子集个数为2=4，故选B. n中2，念8)<0，期 3.B由题图可得(0.001+0.004+a+0.016+0.012+