普通高等学校招生全国统一考试·数学精华仿真12套(一)-【金卷1号】2027年高考数学模拟精华仿真12套

普通高等学校招生全国统一考试·数学 精华仿真12套（一） (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知集合A={-1,1,2,3},B=|x∈Z1<|x-2≤3}，则A∩B= A.{-1} B.{-1,1,3} C.[-1,5] D.{-1,0,1,2,3,4,5} 2.命题“Vx∈Z,x2≥0”的否定是 A.]x∈Z,x2≥0 B.3xtZ,x2≤0 C.3x∈Z,x2<0 D.3xZ,x2<0 3.已知随机变量X服从正态分布N(2,o2),且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X≥1.5)等于 () A.0.14 B.0.62 C.0.72 D.0.86 4.双曲线C:2-芳-1(6>0)的焦距为4，则C的浙近线方程为 ( A.y=±√15x B.y=土√3x C.y=±5， 15 ny=±g: 5.已知m,n,k∈N*,数列{an}中，a1=2,am+m=am十an,Sm为数列{an}的前n项和，Sk+2 S6=26,则k= () A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知函数f(x)=3x-2一32-x,则满足f(x)+f(8-3x)>0的x的取值范围是() A.(-∞，4) B.（-∞，2) C.(2,+∞) D.（-2,2) 7.在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°.将该菱形沿对角线AC折起，得到大小为 30°的二面角B'-ACD,如图所示.若点E为B'C的中点，F为三棱锥B'-ACD表面上的 动点，且总满足AC⊥EF,则点F的轨迹的长度为 () B D A.4十6-2 B.4十6+2 2 2 C.4+6-√2 D.4十√6+√2 8.设max{x,y,z}为，y,之中最大的数.已知正实数a,b,记M=max8a,2b,1 ,则M ab 的最小值为 A.1 B.√2 C.2 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设a,b是两个非零向量，下列命题正确的是 () A.若a·b=0,则a∥b B.若a·b=a·|bl,则a∥b C.若a⊥b,则a·b=(a·b)2 D.若|a十b|=|a-b,则a⊥b 10.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F且斜率为√3的直 线1与抛物线C交于A,B两点（点A在第一象限），若AF=8,则以下结论正确的是 () A.p=4 B.AF=2BF cAa+B丽号 11 D.SA0B=163 3 11.已知直线y=a与函数f(x)=e一x的图象相交于A,B两点，与函数g(x)=x一lnx 的图象相交于B,C两点，A,B,C的横坐标分别为x1,x2,x3,则 () A.e:-In x2=2a B.x1=ea C.x2=In x3 D.x1十x3=2x2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12,名复数：，则豆 13.已知函数f(x)=2sin(3x+p)(-x<p<0)图象的一条对称轴为x=平，当x∈[0，]时， f(x)的最小值为一√2，则t的最大值为 14.记max{x1,x2,x3}表示x1,x2,x3这3个数中最大的数.已知a,b,c都是正实数，M= mxa,日+约，后则M的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（13分)有2个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6 个白球，这些球除颜色外完全相同. (1)先等可能地选择1个盒子，再从此盒中摸出2个球，若摸出球的结果是1红1白，求 这2个球出自1号盒子的概率； (2)如果从2个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子中摸出1个球，从2号盒子中摸出2 个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用X表示这3个球的得分之和，求X的 分布列及数学期望. 2 16.(15分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1,BCC1B1均为正方形，D,E分别 是棱AB,A1B1的中点，N为C1E上一点. (1)证明：BN∥平面A1DC; (2)若AB=AC,C1它=3C1N,求直线DN与平面A1DC所成角的正弦值. C 17.(15分)已知函数.f(x)=e,g(x)=lnx. (1)若直线1与函数f(x)和g(x)的图象均相切，试讨论直线L的条数； (2)设a,b>0,f(日)+g6)=1,求证：a+6>ab. 18,(1?分)已知椭网T层+岁=1(a>6>0)的左，右焦点分别是F,F,左，右质点分别是 A,B,离心率为号直线y=x(k≠0)与椭圆交于M,N两点，四边形MF,NP,的周长 为8，直线（不经过点A,B)与T交于C,D两点， (1)若以CD为直径的圆过点B,证明：l经过定点； (2)若O为坐标原点，C,D关于x轴对称，且O心=2O庀，BC=2BG,直线AE与T交于 另一点K,证明：D,G,K三点共线. 一3 19.(17分)对于给定的正整数k,若对任意的正整数n(n>),数列{an}均满足am-k· am-k+1·…·am-1·a+1·…·an+k-1·am+k=a,且an>0,则称数列{an}是“Ⅱ() 数列” (1)证明：各项均为正数的等比数列{an}是“Ⅱ(k)数列”； -4 (2)已知数列{am}既是“Ⅱ(2)数列”，又是“Ⅱ(3)数列”. ①证明：数列{an}是等比数列； ②设数列{an}的前n项和为Sn,若a1十a2=3,a3一a2=2,问：是否存在正整数n,p,m, 使得Sn十2=pm+1?若存在，求出所有的n,p,m;若不存在，请说明理由.参考答案与详解 普通高等学校招生全国统一考试·数学 精华仿真12套（一） 合(BT+DT+BD)-+百区，故选A 2 1.A由1<1x-21<3,得{x-220 1<x-2≤3， 1<2-≤3解 x一2<0， 得3<x≤5或一1≤x<1,又x∈Z,所以B={一1,0,4， 5},又A={一1,1,2,3}，所以A∩B={-1},故选A. 2.C全称量词命题的否定是存在量词命题，故“Hx∈Z, x≥0”的否定是“]x∈Z,x2<0” 8.C由M=max8a,2b, Va6得M8a,MS2b,M 3.D因为随机变量X服从正态分布N(2,d2),所以P(1.5≤ 而，所以M+M≥8a+2b,即M>4a+i,周为M≥ 1 X<2)=P(2<X≤2.5)=0.36，且P(X≥2)=0.5，所以 P(X≥1.5)=P(1.5≤X<2)+P(X≥2)=0.36+0.5= 0.86,故选D. 品所以M≥0密因为a+6≥2a=4v瓜，所 1 Vab 4.B由题意可知，a=1,c=2,所以由a2十b2=c2,得b2= 以4a+>4,所以M≥4，MC2,当M=8a,M=2b,M= 。-d=41=3,中63，所以渐近线方程为y厂士台x= Vab ,即a=,b=1时，M取得最小值2.故选C, 士√3x,故选B. 5.C在am+n=am十an中，令m=1,可得an+1=a1十au,所 9.BCD对于A,因为a·b=0,a,b是两个非零向量，所以 以am+1一an=2,又a1=2,所以数列{an}是以2为首项，2 a⊥b,故A错误.对于B,a·b=a·|b|cos(a,b〉= 为公差的等差数列，则an=2n,所以S+2一S=a+1十 |a·|b,所以cos(a,b》=1,所以(a,b〉=0，所以a∥b, @+2=2(k+1)+2(k+2)=4k+6=26,所以k=5.故 故B正确.对于C,因为a⊥b,所以a·b=0,所以a·b= 选C. (a·b)2=0,故C正确.对于D,因为|a十b|=|a一b|,所 6.B设g(x)=3x一3x,则g(-x)=3x一3x=一g(x), 以a十b|2=|a一b|2,从而a·b=0,所以a⊥b,故D正 所以g(x)为奇函数.f(x)=3r-2一32-x=g(x一2)，则 确.综上，选BCD. f(x)的图象是由g(x)的图象向右平移2个单位长度得 10.ACD对于A,因为经过，点F且斜率为√3的直线1与 到的，所以f(x)图象的对称中心为(2,0)，所以f(x)十 抛物线C交于A,B两点(，点A在第一象限)，|AF|= f(4一x)=0.易知f(x)在R上单调递增，因为f(x)十 8,所以A(之+4,4)，因为点A在抛物线上，所以 f(8-3x)>0=f(x)+f(4-x),所以f(8-3x)> f(4一x),所以8一3x>4一x,解得x<2,故满足f(x)+ (4V3)=2p(2+4),解得力=4或力=-12（舍去）， f(8-3x)>0的x的取值范围是(-∞，2). 故A正确.对于B,由A得抛物线C的方程为y2=8x, 7.A如图，取AC的中点T,连接BT,DT,因为菱形 F(2,0),直线AB的方程为y=√3(x一2)，将其与抛物 ABCD的边长为4，∠ABC=120°，所以B'C=AB= 线C的方程联立并化简，得3x2一20x十12=0，得x=6 CD=AD=4,故DT⊥AC,B'T⊥AC,且DT=B'T= 2AD=2,所以∠B'TD为二面角B'ACD的平面角， 或x=号，所以m=号，故BF1=号十2=号，故 |AF=3BF,故B错误.对于C,由AF|=8,|BF| 则∠B'TD=30°.在△BTD中，由余弦定理得BD= 1 /DT+BT2-2DT·B'Tcos30°= 号得十丽一合放C正角对于D,由 V2+2-2×2×2x5-6-反.取CT的中点M 号得%=-g,故Sm=合10FO-）=45 CD的中点N,连接EM,EN,MN,又E为B'C的中，点， 所以EM∥BT,MN∥DT,因为EMC平面EMN, (-4y）=16,故D正确特上，连ACD B'T中平面EMN,所以BT∥平面EMN,同理得DT∥ 11.ACD由题，f(x)=e2-1,当x>0时，f(x)>0, 平面EMN,又B'T∩DT=T,BT,DTC平面B'TD,故 f(x)单调递增；当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减 平面EMN∥平面B'TD.因为DT⊥AC,B'T⊥AC, gx)=1-子，当0<x<1时，g(x)<0,ga)单洞道 B'T∩DT=T,BT,DTC平面BTD,所以AC⊥平面 减；当x>1时，g(x)>0,g(x)单调递增.如图，画出函 B'TD,所以AC⊥平面EMN,故点F的轨迹为△EMN 数f(x)=e-x与g(x)=x一lnx的图象，由题意可 (除点E外)，故点F的轨迹的长度为EM十MN十EN= 4 知，e1一x1=e2-x2=x2-lnx2=x3一lnx3=a,其中 PCAIB) 9 x1<0<x2<1<x3. 合PA1B,)+PAB) 17 ly=f(x) (2)由题意得X的可能取值为3,4,5,6， v=g(x) y=d P(X=3)=名×Cg=2×15=30=2 5C%5×45-225=15: pX--号×怒+是×-号×器+号× 对于A,所以e2一lnx2=2a,故A正确.对于B,因为 是-器-别 e-x1=e2-lnx2,且x1<0,lnx2<0,f(x)在 (一∞，0)上单调递减，所以x1=lnx2,故B错误.对于 C2。 5 C,因为e-x2=eg-lnx3,且x2>0,lnx3>0,f(x) 器器-器， 在(0，十∞)上单调递增，所以x2=lnx3,故C正确.对 于D,由B,C选项知x1=lnx2,x2=lnx,即x3=e2, 5C0 5 因为e2-x2=x2-lnx2,所以十x=lnx2+e2= 所以X的分布列为 2x2,故D正确.综上，选ACD. X3 456 12.5 g=+3i=1+3i-q+3D1+2 231282 1-i 1-i (1-i)(1+i) 15757525 1+i计3i+3￥=-一2+4i=-1十2i,所以2·元=(-1+ 1- 2 所以X)=3×器+4×器+5×器+6×器= 2i)(-1-2i)=5. 990_22 22551 13.受因为函数f(x)=2sin(3x十p)图象的对称轴为 16.解：(1)连接BE,BC1,DE,如图 x=至，所以3X于十p=r十5(k∈Z),所以p=r 平(k∈2)，因为一<<0，所以=0,9=-牙，所以 函数f(x)=2sin(3x-年），当x∈[0，]时，3x-平∈ [-音-子]因为面教()的最小值为-区，所 以-至<3-<，解得0<≤受，所以的最大值 因为AB∥A1B1,且AB=A1B1, D,E分别是棱AB,A1B1的中点， 为受 所以BD∥A1E,且BD=A1E, 所以四边形BDA1E为平行四边形，所以A1D∥EB, 145周为M=mx{a,启+，台}所以a≤M,后≤ a 又A1DC平面A1DC,EB庄平面A1DC,所以EB∥平面 M,又a,6c事是正实数，所以十后≤日十的≤M, ADC. 因为DE∥BB∥CC1,且DE=BB1=CC1, 所以是≤M,即M≥尽，当且仅当a=云=5时取等 所以四边形DCCE为平行四边形，所以CE∥CD, 又CDC平面A1DC,C1E￠平面A1DC 号，所以M的最小值为√3. 所以C1E∥平面A1DC. 15.解：(1)记事件A表示摸球结果是1红1白，事件B1表 因为C1E∩EB=E,C1E,EBC平面BEC1, 示选择1号盒子，事件B2表示选择2号盒子，则 所以平面BEC1∥平面A1DC. P(B)=P(B,)=2, 1 因为BNC平面BEC1,所以BN∥平面A1DC. (2)因为四边形ACC1A1,BCC1B1均为正方形， PAB)-晋=号PAIR)-e=是 所以CC1⊥AC,CC1⊥BC, 由贝叶斯公式，若摸球的结果是1红1白，出自1号盒 所以CC⊥平面ABC. 子的概率 因为DE∥CC1, 所以DE⊥平面ABC P(B A)= P(BA) P(BA) P(A) P(BA)+P(B:A) 从而DE⊥DB,DE⊥DC 因为AB=AC=BC, 所以△ABC为等边三角形. 则)=+e-1+-D, k一1 因为D是AB的中点， 令g(k)=1+e(k-1),k<0, 所以CD⊥DB, 则g'(k)=ke<0,故q(k)在（一∞，0）上单调递减，故 即DB,DC,DE两两垂直， q(k)>1+e°(0-1)=0， 以D为原，点，DB,DC,DE所在直线分别为x,y,之轴， 故p(6)=1+C-1D<0,故p)在(-0,0)上单调 k一1 建立如图所示的空间直角坐标系D-xy2, 递减，故p(k)>ln(1-0)十e°=1， 设AB=2√5，则D(0,0,0),E(0,0,2√3)，C(0,3,0), 故m+心1，即日+合>1，故a+6>ab, a C1(0,3,2√3)，A1(-√5,0,2√3)， 所以D式=(0,3,0)，DA=(-√5,0,2√3). 18.解：1)因为四边形MFNF:的周长为8，离心率为 2 设n=(x,y,z)为平面A1DC的法向量， 则/n·D心-0， 13y=0, 所以a=8,-。 即 可取n=(2,0,1). n·DA=0,-√3.x+23z=0, 又a2=b2+c2,所以a=2,b=1, 因为C龙-3C1衣，所以N(0,2,25),D亦=(0,2， 故椭国T的标准方程为号十=1. 23). 由题意可知1的斜率不为0， 设直线DN与平面A1DC所成角为0， 故可设1的方程为x=my十n,C(x1,y1),D(x2,y2), 到血0-1oaD成1-n:赢-2g (x=my+n √5×4 联立，得立+=1问中y十2叶T一4=0， , 则△=(2mn)2-4(m2+4)(n2-4)>0,即m2+4>n2, 即直线DN与平面A1DC所成角的正孩值为西 y十y2= m2+42=n2-4 2mn 10 m2+4 17.解：(1)设直线1与函数f(x)的图象相切于点A(x1, 易知B(2,0), e1),与函数g(x)=lnx的图象相切于点B(x2, 因为以CD为直径的圆过点B,所以B武·B市=O, In z2), BC.Bd=(1-2,h)·(x2-2,2)=(my+n-2, 因为f(x)=e,g(x)=1,所以e的=1 y)·(my+n-2,y2)=(my1+n-2)(m2十n-2)+ y1y2=(m2+1)yy2十m(n-2)(y+2)+(n-2)2,则 直线l的方程为y-e1=e(x-x1),则lnx2-e= (m2+1)(n2-4)+m(n-2)(-2mn)+(n-2)2(m2+ e(x2一x1),消元可得x1+1+(1-x1)e1=0. 4)=0, 令h(x)=x+1+(1-x)e,则h'(x)=1-xe, 化满得(n-6)(a一2)=0，解得a=号或a=2。 令t(x)=h'(x),则t(x)=-(x十1)e. 当n=2时，l:x=my+2过点B(2,0),不符合题意； 当x∈（一∞，一1)时，t(x)>0,t(x)在（一∞，一1）上 单调递增；当x∈（一1，十∞)时，t(x)<0,t(x)在 当=号时，4：x=m叶号垃定点（号0），满足道意。 5 (一1，十∞)上单调递减. 又x<-1时，h'(x)=1-xe>0,h'(0)=1>0,h'(1)= 综上所述，直线1过定点（号，0）】 1一e<0,故存在xo∈(0,1)，使得h'(x0)=0, （2②)不坊Cs0s≠士2，则Ds,-0,号+r=1,即 故在(-∞，xo)上，h'(x)>0,h(x)单调递增，在(zx0, 42=4-s2 十o∞)上，h'(x)<0,h(x)单调递减， 因为O心=2Oi,BC=2BG, 又h(xo)=xo+1+(1-x0)eo>0,h(-2)=-1+ 所以E,G分别为线段OC,BC的中点， 3e2<0,h(2)=3-e2<0, 所以h(x)存在2个零，点，故直线1的条数为2. 所以E(）,c(生，号)》 (2)令m=1 1=名则加，>0 易知直线AE的斜率存在且不为0，所以直线AE的方 由f(日)+g(方)=1，得e+nn=1,又e>1,故 程为y= (x+2),即y,千红+2》. 2+2 In n<0. 令k=lnn,k<0,则n=e,em=1-k,即m=ln(1-k)， 4+y2-1, 4t27 得1++ 162 故m+n=ln(1-k)+e, 由 令p(k)=ln(1-k)+e,k<0, y= ,千4(x+2) (s+4)x十 50 16t2 (G+4)2-4=0, ②由0及a十a,=3,a-a=2知a十a1g=3, a1q'2-a1q=2, 设K的坐标为(xK,yK), 所以3g2-5g-2=0.易知g>0,所以g=2,a1=1. 162 所以一2K=G十4)一4 16-4(s+4)2 所以an=2"-1,Sn=2r-1. 4t2 1+5十4) 4t2+(s+4)2, 假设存在正整数n,p,m,使得Sn十2=pm+1,即2m十 1=力m+1,即m+1一1=2m. 所以xK=二8十2(s+4)2 4+(s+4)2, 当m为奇数时，p+1一1=(p安-1)(p生+1)， 则x-,千+2)=千4[二士2 +2= 设p型+1=23，p-1=2,则s>t, s+4L4+(s+4)2 所以2一2=2(2-‘一1)=2， 4t(s+4) 4+(s+4)21 可得2=2,2-t-1=1,所以31+1t=1,s=2, 中K(+) 所以n=3,Sg+2=9=31+1, 所以存在n=3,p=3,m=1,使得Sn十2=p+1. 连接DG,DK,易知直线DG,DK的斜率均存在且均不 当m为偶数时，pm+1一1=(p-1)(p”十p"-1十…十 为0， p+1), t 3t 若力为偶数，则p”-1一1为奇数，所以pm+1一1≠2. 3t 5+2 2-1- 2-5’ 若力为奇数，则p>1, 2 p-1为偶数，pm十m-1十…十p十1为m十1个奇数之 4t(s+4) 和，也为奇数，所以p+1一1≠2. kDK- 4+(s+4)2+t -8t+2(s+4)2 所以当m为偶数时，不存在正整数n,p,m,使得Sn十 42+(s+4)2 2=p+1. 4t(s+4)+t(s+4)2+4t3 =-82+2(s+4)2-s(s+4)2-4ts 综上所述，存在n=3,=3,m=1,使得Sn十2=m+1 普通高等学校招生全国统一考试·数学 4t(s+4)+t(s+4)2+4 (2-s)(s+4)2-42(2+s) 精华仿真12套（二） =4t(s+4)十(s十4)2+(4-s2) 1.C.1og2(2x-1)≤2=log24,y=log2x在(0，+∞)上 (2-s)(s+4)2-(4-s2)(2+s) 12t(s+3) 3t 单调递增，0<2x-1<4,合<≤号，N= =42=(s+3)2=5 故k心=kDK, (✉合<x≤号}又M=1,2MnN=1,2,故 所以D,G,K三点共线 选C 19.解：(1)因为{an}是等比数列， 2.A2i=1-i,2=1=Di=2=-1-i, i·i 所以an-最·an+最=a员， 则之=一1十i,故选A. 所以an-是·a元-k+1·…·an-1·am+1·…·an+k-1· 3.C设等比数列{an}的公比为q,由ags=2a2a4,得a1d· am十k=a, 因此各项均为正数的等比数列{an}是“Ⅱ(k)数列”. a-2aga,又≠0，g0,所以f-2,所以毫 (2)①数列{an}既是“Ⅱ(2)数列”，又是“Ⅱ(3)数列”，因 a(1-g) 此当n>2时，an-2a-1a+1am+2=a(1), 1-9 当n>3时，aa-3an-2am-1aa+1am+2a+3=a(i), a1(1-g2) =1十q=3,故选C. 1-9 10加，当3时产（， 4.B如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形为正四棱 锥P-ABCD,记O1,O分别为正四棱台上、下底面的中 aa=aw 心，连接BD,BD,PO,由题意，得△PBD,△PB1D1 将(m)(iV)代入(i),得an-1aa+1=a2,其中n>3, 均为等腰直角三角形，PO⊥BD,PO⊥BD1,PO,= 所以ag,a4,a5,…是等比数列，设其公比为q, 在(1)中，取n=4,则aaa:a,=a,所以a:=号。 所以00=P0-0-号所以三四棱台AICD-A,ACD 在(1)中，取=3，则aaaa=ad,所以a一号， 所以数列{an》是等比数列. 的体积V=号×1+Xg+公)×号-7，故选B