第五单元 用字母表示数和数量关系 思维培优自测卷2026-2027学年五年级数学上册（人教版·新教材）

**基本信息** 聚焦用字母表示数与数量关系，通过填空、选择、化简求值及解决问题四大题型，融合行程、经济、规律探究等真实情境，培养抽象能力、符号意识与模型意识的思维培优卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|25空/25分|数列规律（第n个数4n-1）、方阵问题（最外层4n-4）等|以规律探究与代数式表示为主，渗透推理意识| |解决问题|5题/36分|相遇问题（S=(v1+v2)t）、阶梯水费（ma+b(x-m)）等|立足实际情境构建模型，强化应用意识|

第五单元 用字母表示数和数量关系 思维培优自测卷 一、填空题（共25空，每空1分，共25分） 1．李叔叔驾车从 A 地出发开往 B 地。前 t 小时每小时行驶 a 千米，后 2 小时每小时行驶 b 千米。用含有字母的式子表示李叔叔行驶的全程是（______）千米；当 a=60,b=80,t=3 时，A、B 两地之间的全程是（______）千米。 2．一个长方形的长是 (3x−2) 厘米，宽是 (x+1) 厘米。用含有 x 的最简式子表示这个长方形的周长是（______）厘米；若这个长方形的周长是 46 厘米，则 x=（______），此时长方形的面积是（______）平方厘米。 3．观察数列的排列规律：3,7,11,15,19,…，这列数中第 n 个数用含有 n 的式子表示为（______）；当第 n 个数是 2027 时，n=（______）。 4．用火柴棒按照规律拼搭联体正六边形：拼 1 个六边形需要 6 根火柴棒，拼 2 个联体六边形需要 11 根火柴棒，拼 3 个联体六边形需要 16 根火柴棒……照这样拼下去，拼 n 个联体正六边形一共需要（______）根火柴棒；现有 2026 根火柴棒，最多可以拼出（______）个完整的联体正六边形。 5．已知关于 x 的代数式 a(2x+5)−4(x−3) 的取值与字母 x 的具体取值完全无关，那么常数 a=（______），此时该代数式的值恒等于（______）。 6．已知字母 a,b 满足数量关系：3a+5b=54，5a+3b=58。利用整体代换思维，可求得 a+b=（______），a−b=（______）；进而可知 a=（______），b=（______）。 7．规定一种新运算“⊕”的计算法则为：m⊕n=2m+3n−4。若 x⊕4=24，则 x=（______）；若 (2⊕y)⊕3=35，则 y=（______）。 8．将数字 1,2,3,4,5,6,7 填入一个十字形数阵中，横行 4 个数，竖列 4 个数，中间公共数设为 x。若横行与竖列上 4 个数的和相等且均为 S。用含有 x 的式子表示 S=（______）；在符合条件的所有填法中，S 的最大值是（______），此时 x=（______）。 9．一个由棋子摆成的实心正方形点阵，最外层每边有 n 个棋子。用含有 n 的式子表示最外层的棋子总数是（______）个，点阵中所有棋子的总数是（______）个；如果最外层一共有 36 个棋子，那么拿掉最外层后，里面剩余的正方形点阵共有（______）个棋子。 10．有三个连续奇数，中间的一个奇数是 2k+1（k 为正整数）。用含有 k 的最简式子表示这三个连续奇数的和是（______）；这三个连续奇数的和一定是（______）的倍数（填大于 1 的确定常数）。 二、单项选择题（共5题，每题2分，共10分） 11．某文具店进了一批文具盒，进价为每只 a 元。商店先按进价加价 40% 进行标价，随后在促销活动中又按标价的“八折”售出。下列说法中正确的是( )。A． 实际售价为 1.12a 元，每只仍盈利 0.12a 元 B． 实际售价为 1.12a 元，每只亏损 0.12a 元 C． 实际售价为 0.96a 元，每只亏损 0.04a 元 D． 实际售价为 1.20a 元，每只盈利 0.20a 元 12．已知正数 a,b,c 满足等量关系：a×0.9=b÷0.9=c+0.9。则 a,b,c 的大小关系是( )。A． a>b>c B． b>a>c C． c>a>b D． a>c>b 13．一列图形按照 △◻◻◯◯◯（即 1 个三角形、2 个正方形、3 个圆形）的顺序依次循环排列。在这列图形的前 n 个图形中，若圆形的个数恰好比正方形的个数多 15 个，则 n 的值是( )。A． 88 B． 90 C． 92 D． 96 14．将数字 1∼9 填入 3×3 的九宫格中组成三阶幻方，设中心数为 x，每行、每列及两条对角线上的三个数之和均为 S。下列关于 S 与 x 的代数关系及中心数 x 的结论中，完全正确的是( )。A． S=3x 且 x=5 B． S=2x+5 且 x=4 C． S=4x−5 且 x=5 D． S=3x+3 且 x=6 15．对于不为 0 的两个数 a,b，定义新运算“∗”为：a∗b=a×b/a+b。下列关于该新运算的推断中，错误的是( )。A． 运算“∗”满足交换律，即 a∗b=b∗a B． 若 a=b，则 a∗a=a/2 C． 计算 6∗3 的结果为 2 D． 计算 2∗2∗2 的结果为 1 三、代数式化简与求值（共6题，共29分） 16．（4分）化简代数式：5(2x−3y)−3(3x−4y)+2x 17．（5分）化简含有小数系数的代数式：0.6(5a−2)−0.4(3a−5)+1.2 18．（5分）先化简，再求值：3(2a2b−ab2)−2(3a2b−2ab2)，其中 a=4,b=1.5。 19．（5分）化简带有中括号的多层代数式：7x−[3x−2(4x−5)+6] 20．（5分）化简求和：(x+1)+(x+2)+(x+3)+⋯+(x+n)（用含有 x 和 n 的式子表示）；并求当 x=5,n=20 时该式的值。 21．（5分）已知 2x−y=3，利用整体代换法求代数式 4(x−y)+2(x+y)−5 的值。 四、解决问题（共5题，共36分） 22．（6分）甲、乙两辆汽车同时从相距 S 千米的 A、B 两地出发，相向而行。甲车每小时行驶 v1 千米，乙车每小时行驶 v2 千米（v1>v2）。（1）经过 t 小时两车在途中相遇，用含有字母的式子表示全程 S 与速度、时间的关系；（2）相遇后两车继续按原速前行，再行驶 1.5 小时后，用含有字母的式子表示此时两车相距多少千米？（3）当 v1=75,v2=65,t=2.5 时，求全程 S 的值。 23．（7分）将 n 个边长为 a 厘米的小正方形紧密拼接成一个长方形。（1）如果把这 n 个小正方形一字排开拼成一个单行长方形，用含有 a,n 的式子表示这个长方形的周长和面积；（2）已知 a=3，现有 12 个这样的小正方形。把它们拼成“一字排开”的长方形与拼成“3 行 4 列”的长方形相比，周长相差多少厘米？ 24．（7分）某城市为鼓励居民节约用水，实行阶梯水费计费制度：每户每月用水量不超过 m 吨时，按基础价格每吨 a 元收费；当用水量超过 m 吨时，超过的部分按每吨 b 元收费（b>a）。（1）某家庭某月用水量为 x 吨（其中 x>m），用含有字母的式子表示该家庭这个月应缴纳的水费；（2）已知基础定额 m=15 吨，a=2.4 元/吨，b=3.6 元/吨。若小华家某月用水量为 22 吨，应缴水费多少元？若小明家某月缴纳水费 68.4 元，小明家该月实际用水多少吨？ 25．（8分）学校举行科普知识竞赛，共有 N 道必答题。竞赛规则规定：每做对一道题得 a 分，做错或不答一道题扣 b 分。（1）小明参加竞赛做对了 x 道题（x⩽N），用含有字母的式子表示小明的最终得分；（2）已知总题数 N=25 道，做对一题得 a=4 分，做错扣 b=1 分。① 如果小红的最终得分是 75 分，小红一共做对了几道题？② 小强的最终得分可能是一个奇数吗？请结合含有字母的得分算式，用数学原理解释原因。 26．（8分）一个三位数，百位上的数字是 a，十位上的数字是 b，个位上的数字是 c（其中 a≠0）。（1）用含有字母 a,b,c 的式子表示这个三位数；（2）若将这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数。用含有 a,c 的式子表示原三位数与新三位数的差（设 a>c），并说明为什么这个差一定是 99 的倍数；（3）若原三位数的十位数字 b 恰好等于百位数字与个位数字之和，即 b=a+c。证明这个三位数一定能被 11 整除，并求出它除以 11 后的商的代数式。 参考答案 1. 【答案】at+2b；340 解题步骤： ① 前段路程=速度×时间=a×t=at（千米），后段路程=b×2=2b（千米）。 ② 全程=前+后=at+2b（千米）。 ③ 代入a=60, b=80, t=3：60×3+2×80=180+160=340（千米）。 【知识点睛】用字母表示数量关系：路程=速度×时间；代入数值求值时，先写字母式再代数字计算。代数简写：数字在前、乘号省略，如at、2b。 2. 【答案】8x-2；6；112 解题步骤： ① 周长=2×(长+宽)=2[(3x-2)+(x+1)]=2(4x-1)=8x-2（厘米）。 ② 周长=46：8x-2=46，8x=48，x=6。 ③ 长=3×6-2=16，宽=6+1=7，面积=16×7=112（平方厘米）。 【知识点睛】长方形周长=2(长+宽)，面积=长×宽；含字母式子先化简再代入求值；解方程时先合并同类项。 3. 【答案】4n-1；507 解题步骤： ① 数列3,7,11,15,19是首项3、公差4的等差数列。 ② 第1项=4×1-1=3，第2项=4×2-1=7，第n项=4n-1。 ③ 令4n-1=2027，4n=2028，n=507。 【知识点睛】等差数列规律：第n项=首项+(n-1)×公差；观察前几项归纳通项公式，再解方程求n。 4. 【答案】5n+1；405 解题步骤： ① 拼1个用6根，每增加1个六边形共用1条边，只增加5根。 ② 拼n个需要6+5(n-1)=5n+1根。 ③ 5n+1≤2026，5n≤2025，n≤405，最多拼405个。 【知识点睛】找规律题：第一个图形的根数+每次增加的根数×(n-1)；列不等式求最大值，注意取整数部分。 5. 【答案】2；22 解题步骤： ① 去括号化简：a(2x+5)-4(x-3)=2ax+5a-4x+12=(2a-4)x+5a+12。 ② 与x取值无关，则x的系数为0：2a-4=0，a=2。 ③ 常数部分=5×2+12=22。 【知识点睛】代数式与字母取值无关=该字母的系数为0；先去括号合并同类项，令目标字母的系数=0解方程。 6. 【答案】14；2；8；6 解题步骤： ① 两式相加：(3a+5b)+(5a+3b)=54+58，即8a+8b=112，a+b=14。 ② 两式相减：(5a+3b)-(3a+5b)=58-54，即2a-2b=4，a-b=2。 ③ 和差问题：a=(14+2)÷2=8，b=(14-2)÷2=6。 【知识点睛】整体代换：两式相加求a+b、相减求a-b；再用和差公式：大数=(和+差)÷2，小数=(和-差)÷2。 7. 【答案】8；5 解题步骤： ① 根据定义m⊕n=2m+3n-4。x⊕4=2x+3×4-4=2x+8=24，2x=16，x=8。 ② 先算括号：2⊕y=2×2+3y-4=3y。再算外层：3y⊕3=2(3y)+3×3-4=6y+5。 ③ 6y+5=35，6y=30，y=5。 【知识点睛】定义新运算：严格按规则代入，先括号后外层；把新运算转化为熟悉的四则运算方程求解。 8. 【答案】(28+x)÷2；17；6 解题步骤： ① 横行和+竖列和=7个数之和+中心数x（中心数被算了两次），即2S=1+2+...+7+x=28+x。 ② S=(28+x)÷2=14+x÷2。S必须是整数，x必须是偶数。 ③ 1~7中最大偶数是6，S最大=14+6÷2=17，此时x=6。 【知识点睛】数阵图重数原理：中心数被两条线共用，总和=所有数之和+中心数；S必须整数决定x的奇偶性。 9. 【答案】4n-4（或4(n-1)）；n²；64 解题步骤： ① 最外层四条边各n个点，四个顶点重复2次，总数=4n-4=4(n-1)。总棋子=n×n=n²个。 ② 最外层36个：4(n-1)=36，n-1=9，n=10。 ③ 拿掉最外层后内层每边n-2=8个，剩余=8×8=64个。 【知识点睛】实心方阵最外层=4(n-1)（四个角不重复），总数=n²；拿掉最外层后每边少2个。 10. 【答案】6k+3（或3(2k+1)）；3 解题步骤： ① 中间奇数=2k+1，前一个=2k+1-2=2k-1，后一个=2k+1+2=2k+3。 ② 三数之和=(2k-1)+(2k+1)+(2k+3)=6k+3=3(2k+1)。 ③ 结果=3×(2k+1)，2k+1是整数，所以和一定是3的倍数。 【知识点睛】连续奇数相差2；三数之和=中间数×3；判断倍数时看能否写成"整数×常数"的形式。 11. 【答案】A 解题步骤： ① 进价a元，加价40%标价=a×(1+40%)=1.4a元。 ② 打八折=1.4a×0.8=1.12a元。 ③ 利润=1.12a-a=0.12a元>0，仍盈利，选A。 【知识点睛】打折问题：标价=进价×(1+利润率)，实际售价=标价×折扣；利润=售价-进价。 12. 【答案】A 解题步骤： ① 设a×0.9=b÷0.9=c+0.9=1，则a=1÷0.9≈1.11，b=1×0.9=0.9，c=1-0.9=0.1。 ② 比较：1.11>0.9>0.1。 ③ 即a>b>c，选A。 【知识点睛】设等式等于1（或其他数），分别求出a、b、c再比较大小；除以小于1的数结果变大，加0.9结果变大。 13. 【答案】B 解题步骤： ① 每组6个图形（1△+2□+3○），每组○比□多3-2=1个。 ② 多15个需要15个完整周期，15×6=90个图形。 ③ 第90个图形时圆形比正方形多15个，选B。 【知识点睛】周期问题：先找周期长度，再算多几个需要多少周期；注意不完整周期内逐个数。 14. 【答案】A 解题步骤： ① 九宫格9数之和=1+2+...+9=45，三行之和3S=45，S=15。 ② 过中心有4条线（1横1竖2对角），4S=45+3x（中心被加4次其余加1次）。 ③ 4×15=45+3x，60=45+3x，3x=15，x=5，S=3x=15，选A。 【知识点睛】三阶幻方：每行和=总和÷3=15；中心数=幻和÷3=5；过中心的线有4条，中心被多算了3次。 15. 【答案】D 解题步骤： ① A：b*a=ba/(b+a)=ab/(a+b)=a*b，交换律成立。B：a*a=a×a/(a+a)=a²/2a=a/2，正确。 ② C：6*3=6×3/(6+3)=18/9=2，正确。 ③ D：(2*2)*2=(4/4)*2=1*2=1×2/(1+2)=2/3≠1，推断错误，选D。 【知识点睛】定义新运算验证：逐个选项代入计算；注意不满足结合律，要按顺序从左到右算。 16. 【答案】3x-3y 解题步骤： ① 去括号：10x-15y-9x+12y+2x（注意负号乘进括号要变号）。 ② 合并同类项：x项=10x-9x+2x=3x，y项=-15y+12y=-3y。 ③ 结果=3x-3y。 【知识点睛】去括号时括号前是负号，括号内各项变号；合并同类项只把系数相加，字母和指数不变。 17. 【答案】1.8a+2 解题步骤： ① 展开：0.6×5a-0.6×2-(0.4×3a-0.4×5)+1.2=3a-1.2-1.2a+2+1.2。 ② 合并同类项：a项=3a-1.2a=1.8a，常数项=-1.2+2+1.2=2。 ③ 结果=1.8a+2。 【知识点睛】含小数系数的化简：用乘法分配律展开，注意去括号变号；常数项可以正负抵消。 18. 【答案】ab²；9 解题步骤： ① 去括号：6a²b-3ab²-6a²b+4ab²。 ② 合并同类项：a²b项=6a²b-6a²b=0，ab²项=-3ab²+4ab²=ab²。 ③ 代入a=4, b=1.5：4×1.5²=4×2.25=9。 【知识点睛】先化简再求值更简便；同类项才合并（字母和指数都相同）；b²=b×b=2.25。 19. 【答案】12x-16 解题步骤： ① 先去小括号：7x-[3x-(8x-10)+6]=7x-[3x-8x+10+6]。 ② 合并中括号内：3x-8x=-5x，10+6=16，得7x-[-5x+16]。 ③ 去中括号：7x+5x-16=12x-16。 【知识点睛】多层括号从内到外逐层去；负负得正，去中括号时[-5x+16]变+5x-16。 20. 【答案】nx+n(n+1)÷2；310 解题步骤： ① n个括号各含一个x，x项合并为nx；常数项=1+2+3+...+n=n(n+1)÷2。 ② 化简结果=nx+n(n+1)÷2。 ③ 代入x=5, n=20：20×5+20×21÷2=100+210=310。 【知识点睛】等差数列求和：1+2+...+n=n(n+1)÷2；含x的项和常数项分别合并。 21. 【答案】2x+1 解题步骤： ① 先去括号化简原式： 4 (x−y)+2 (x+y)−5＝4x−4y+2x+2y−5＝6x−2y−5。 ② 结合已知条件 2x−y=3 进行整体变形： 6x−2y＝3×(2x)−2y＝2×(2x−y)+2x。 ③ 代入 2x−y=3： 原式＝2×3+2x−5＝6+2x−5＝2x+1。 【知识点睛】整体代换的核心是构造出与已知条件完全一致的式子；若无法直接构造整体，可通过拆分项匹配已知条件，保留剩余字母项。 22. 【答案】（1）S=(v1+v2)t；（2）相距1.5(v1+v2)千米；（3）S=350千米。 解题步骤： ① 相遇问题：速度和×相遇时间=总路程，S=(v1+v2)t。 ② 相遇后背向而行，距离=速度和×时间=1.5(v1+v2)千米。 ③ 代入v1=75, v2=65, t=2.5：S=(75+65)×2.5=140×2.5=350千米。 【知识点睛】相遇问题核心公式：路程=速度和×时间；背向而行距离=速度和×时间。 23. 【答案】（1）周长2(n+1)a厘米，面积na²平方厘米；（2）周长相差36厘米。 解题步骤： ① 一字排开：长=na，宽=a，周长=2(na+a)=2(n+1)a，面积=na×a=na²。 ② a=3,n=12：一字排长36宽3，周长=2(36+3)=78厘米；3行4列长12宽9，周长=2(12+9)=42厘米。 ③ 周长差=78-42=36厘米。 【知识点睛】拼长方形时，一字排开周长最大；不同拼法周长不同但面积不变（都等于小正方形面积之和）。 24. 【答案】（1）ma+b(x-m)元；（2）小华61.2元，小明用水24吨。 解题步骤： ① 分段计费：不超过m吨按a元，超出(x-m)吨按b元，总水费=ma+b(x-m)。 ② 小华x=22>15：15×2.4+3.6×(22-15)=36+25.2=61.2元。 ③ 小明68.4>36，超出费=68.4-36=32.4，超出吨数=32.4÷3.6=9，总用水=15+9=24吨。 【知识点睛】阶梯计费分段算：基础段+超出段；反推用水量时先判断是否超过基础量，再分段计算。 25. 【答案】（1）(a+b)x-bN分；（2）小红做对20道；小强得分可能是奇数。 解题步骤： ① 做对x道得ax分，做错(N-x)道扣b(N-x)分，总分=ax-b(N-x)=(a+b)x-bN。 ② N=25,a=4,b=1：5x-25=75，5x=100，x=20道。 ③ 小强得分=5x-25，25是奇数；若x为偶数，5x为偶数，偶数-奇数=奇数，所以可能是奇数。 【知识点睛】竞赛得分=做对得分-做错扣分；奇偶性判断：奇数×偶数=偶数，偶数-奇数=奇数。 26. 【答案】（1）100a+10b+c；（2）99(a-c)，是99的倍数；（3）10a+c。 解题步骤： ① 位值原则：百位a个百+十位b个十+个位c个一=100a+10b+c。 ② 对调后=100c+10b+a，差=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)，是99的倍数。 ③ b=a+c代入：100a+10(a+c)+c=110a+11c=11(10a+c)，除以11商=10a+c。 【知识点睛】三位数=100×百位+10×十位+个位；位值原则是代数表示数的基础；化简时注意同类项合并。 学科网（北京）股份有限公司 $