综合实践 有趣的密铺 思维培优自测卷2026-2027学年五年级数学上册（人教版·新教材）

**基本信息** 聚焦“密铺”主题，通过填空、分析、设计等题型，融合正多边形内角计算、图形分割、面积推理等知识，培养几何直观、空间观念与推理意识，适配小学数学单元复习的思维培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|23空/23分|密铺定义、正多边形内角、面积计算|基础概念与计算结合，如正六边形内角120°推导| |选择题|4题/8分|图形密铺判断、圆不能密铺原因|辨析核心原理，如正八边形与正方形搭配密铺| |密铺分析题|6题/38分|三角形密铺推理、正五边形密铺条件|分层探究，如通过内角和论证任意三角形可密铺| |图案设计题|4题/31分|密铺图案创作、图形分割|实践应用，如用三角形设计密铺并标注拼接点| |附加题|2题/20分|棋盘染色、地砖方案优化|拓展创新，如用黑白染色法判断图形覆盖可行性|

综合实践 有趣的密铺 思维培优自测卷 一、填空题（共23空，每空1分，共23分） 1．像这样，图形之间既没有( )、也没有( )地铺满整个平面的现象，叫做密铺。教室地面上地砖的铺设( )（填"是"或"不是"）密铺现象。 2．正方形的每个角都是 90°。用正方形密铺时，每个拼接点处有( )个角拼在一起，度数之和是 90°×( )=( )°，正好是一个( )角。 3．蜂巢的每个房孔都是正六边形。正六边形的每个角是 180∘×(6−2)÷6=( )度，每个拼接点处拼( )个正六边形，因为( )°×3=360°，所以蜂巢能自然形成密铺。 4．正五边形的每个角是 180∘×(5−2)÷5=( )度。在每个拼接点处拼 3 个，角度之和是( )度，比 360° 还差( )度，留下空隙；拼 4 个又会( )，所以正五边形不能单独密铺。 5．任意一个三角形的三个内角加起来是 180°。用完全相同的三角形密铺时，每个拼接点处有( )个角拼在一起，其中 3 种角各出现( )次，度数之和是 180°×( )=( )°，所以三角形可以密铺。 6．用边长 2 分米的正方形地砖，铺满长 8 分米、宽 5 分米的长方形地面（可以切割地砖，但不许留空隙、不许重叠），一共需要( )块地砖。 7．一个边长 3 厘米的正方形，被横、竖各两条线平均分成 3×3 的方格图。这个图中一共有( )个正方形，其中边长是 2 厘米的正方形有( )个。 8．用边长 1 厘米的小正方形拼成阶梯形：最下层 3 个，中间层 2 个，最上层 1 个（每层左端对齐）。这个图形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 二、选择题（共4题，每题2分，共8分） 9．下面各组图形中，不能单独密铺的是( )。 A. 三角形 B. 平行四边形 C. 圆 D. 正六边形 10．圆不能单独密铺，最主要的原因是( )。 A. 圆没有角，所以不好拼 B. 圆与圆之间必然会留下空隙，做不到"不留空隙" C. 圆的边是曲线，不美观 D. 圆太小，铺不满地面 11．正八边形的每个角是 135∘，正方形的每个角是 90∘。下面说法正确的是( )。 A. 2 个正八边形和 1 个正方形拼在同一拼接点处，角度之和是 ，它们可以一起密铺 B. 3 个正八边形拼在一起是 ，所以正八边形能单独密铺 C. 正八边形的角比 120° 大，所以任何图形都不能和它一起密铺 D. 1 个正八边形和 3 个正方形拼在一起是 ，正好能密铺 12．一张 4×4 的方格纸（16 格），把 4 个角上的小方格各剪去，剩下 12 格。用 1×2 的长方形纸片去盖，每片正好盖住两个有公共边的方格。下面说法正确的是( )。 A. 一定盖不满，因为剪去了 4 个角 B. 正好能盖满，需要 6 片 C. 最多盖满 5 片，还剩 2 格没盖上 D. 最多盖满 4 片，还剩 4 格没盖上 三、密铺分析题（共6题，共38分） 13．（6分）有同学说："只有特殊的三角形（比如直角三角形）才能密铺，很歪、很钝的三角形是不能密铺的。"你同意这个说法吗？请按要求说明理由。 （1）三角形的三个内角的度数之和是多少度？ （2）在一个拼接点处，如果把这个三角形的 3 种角每种都放 2 个，角度之和是多少度？这说明什么？ 14．（6分）请你按下面的步骤，说明正五边形为什么不能单独密铺。 （1）算一算：正五边形的每个角是多少度？（） （2）试一试：在同一个拼接点处分别拼 2 个、3 个、4 个正五边形，各留下多大空隙或重叠多少度？ （3）结论：正五边形能不能单独密铺？为什么？ 15．（6分）广场上要用地砖铺地，供货只有正八边形（每个角 135°）和正方形（每个角 90°）两种。 （1）在同一个拼接点处，需要几个正八边形和几个正方形，角度之和才恰好是 360°？请把你的搭配想法按"正八边形个数从多到少"逐个算一算。 （2）这样搭配能不能密铺？说明理由。 16．（6分）用正三角形（每个角 60°）和正方形（每个角 90°）搭配密铺。 （1）如果一个拼接点处放了 2 个正方形，还要放几个正三角形，才能凑成 360°？ （2）如果一个拼接点处只放 1 个正方形，能不能只靠正三角形凑成 360°？请算一算 4 个和 5 个的情况再回答。 17．（7分）一张长 10 厘米、宽 6 厘米的长方形纸板，用边长 4 厘米的正方形纸片去盖。要求纸片必须平平地盖在纸板上、彼此不重叠、不能超出纸板外面。 （1）最多能放下几片完整的正方形纸片？ （2）盖住的面积一共是多少平方厘米？ （3）有的同学说："纸板面积 60 平方厘米，每片 16 平方厘米，……余 12，所以能放 3 片。"他的想法错在哪里？ 18．（7分）在一张长方形纸上画直线切割。 （1）画 1 条直线，最多分成 2 块；画 2 条直线，最多分成 4 块。画 3 条直线，最多分成（　）块？画 4 条呢？ （2）把发现的规律填表，并说一说：每多画 1 条直线，最多比上一次多几块？ （3）照这样的规律，画 5 条直线最多能分成几块？ 四、图案设计题（共4题，共31分） 19．（7分）请你设计一个密铺图案。 （1）自选一种三角形 或一种四边形 （如梯形、平行四边形），在方格纸上画出它的密铺图案，至少铺满 格。 （2）在图案中标出一个拼接点（几个图形的公共顶点），说一说这个点处拼在一起的是哪几个角。 （3）用一句话说明你的图案为什么是密铺（不许只写"好看"）。 20．（8分）给你一个正方形，请你用两条直线 把它分成 4 块完全一样 的图形。 （1）画出两种不同 的分法，并写出每块图形是什么形状。 （2）想一想：分出的 4 块图形能不能单独密铺？请分别说明理由。 21．（8分）学校要用 16 米长的篱笆，靠着一面墙围一块长方形 菜地（靠墙的那一边不用篱笆）。要求长和宽都取整米数。 （1）把不同的围法尽量完整地列成表（宽取 1 米、2 米……），算出对应的长和面积。 （2）哪种围法面积最大？最大是多少平方米？ （3）观察你的表，说一说面积的变化有什么规律。 22．（8分）一块长方形菜地，长 10 米、宽 8 米（可画成 10×8 的方格图，每格 1 米）。菜地里有一个边长 4 米的正方形水池：水池的上、下都离菜地边 2 米（上下正好在中间），水池的左边离菜地左边 2 米、右边离菜地右边 4 米。现要沿一条直线 把菜地（不含水池）分成面积相同的两块，分别种两种菜。 （1）菜地（去掉水池后）一共能种多少平方米？每块应是多少平方米？ （2）小明的方案：沿"把长正好分成 5 米和 5 米"的竖直线分。分别算出左、右两块种菜的面积，这样分行吗？ （3）小华的方案：沿"把宽正好分成 4 米和 4 米"的水平线分。分别算出上、下两块的面积，这样分行吗？ （4）比较（2）（3），说一说：这条直线要满足什么条件，才能保证分成的两块种菜面积一定相等？ 五、附加题（共2题，每题10分，共20分）（不计入总分） 23．一张 8×8 的国际象棋棋盘共 64 个方格，相间染成黑、白两色（左上角是黑格）。 （1）棋盘上黑格与白格各有多少个？ （2）把棋盘左上角 和右下角 的两个角格剪去，剩下 62 格。用 的长方形纸片去盖，每片正好盖住两个有公共边的方格。能不能正好盖满 31 片？请说明理由。 （3）如果改成剪去左上角 与它右边相邻 的那一格，剩下的 62 格能不能盖满？把你的判断和理由写清楚。 24．装修队要铺一块长 12 分米、宽 8 分米的长方形地面，有三种地砖可选：①边长 4 分米的正方形；②长 4 分米、宽 2 分米的长方形；③边长 4 分米的正八边形（每个角 135∘）。三种砖单价都是每块 20 元，允许切割，切割处不产生废料。 （1）只选一种砖，并且不切割 恰好铺满，可以选择哪几种？请分别算出需要多少块和多少钱。 （2）正八边形砖为什么不能单独铺满地面？请用角度说明。 （3）请你设计一种"花钱最少又一定能铺满"的方案，算出需要多少块、共花多少钱，并说明拼接点处怎么做到不留空隙。 综合实践 有趣的密铺 思维培优自测卷 参考答案 1. 【答案】重叠；空隙；是 解题步骤： ① 密铺三条件：用形状、大小完全相同的图形拼接；拼接处不留空隙、不重叠；能连续铺成一片。 ② 教室地砖每块同样大，砖与砖之间既没有叠起来，也没有露出地面的缝。 ③ 还能一直铺满整个房间，所以教室地面铺设是密铺现象。 【知识点睛】密铺三要素：完全相同的图形、不留空隙不重叠、能连续铺满。只看"铺满"不够，关键是空隙和重叠。 2. 【答案】4；4；360；周 解题步骤： ① 正方形每个角90°。用正方形密铺时，每个拼接点处有4个角拼在一起。 ② 度数之和是90°×4=360°。 ③ 360°正好是一个周角——绕拼接点转一圈刚好被填满，既不多重叠也不留空隙，所以正方形能密铺。 【知识点睛】判断图形能否单独密铺，关键看"几个它的角加起来是否恰好360°"。正方形4个90°正好凑成周角。 3. 【答案】120；3；120 解题步骤： ① 正六边形每个角=180°×(6-2)÷6=120°。 ② 每个拼接点处放3个正六边形：120°×3=360°，恰好凑成周角。 ③ 验证：拼2个=240°差120°有空隙；拼4个=480°超过360°会重叠；只有3个正好。 【知识点睛】正六边形能密铺是因为360°÷120°=3，正好整除。蜜蜂选正六边形筑巢既密铺又最省材料。 4. 【答案】108；324；36；重叠 解题步骤： ① 正五边形每个角=180°×(5-2)÷5=108°。拼2个=216°，差360°-216°=144°，空隙太大。 ② 拼3个=324°，差360°-324°=36°仍有空隙；拼4个=432°>360°会重叠。 ③ 既不能有空隙也不能重叠，那36°的缝塞不进下一个也补不齐，所以正五边形不能单独密铺。 【知识点睛】判断能否密铺，依次算"拼2个、3个、4个……够不够360°"。差一点的空隙永远补不齐。 5. 【答案】6；2；2；360 解题步骤： ① 任意三角形三个内角和是180°，把三种角记作①②③。 ② 在拼接点处每种角各出现2次，共6个角：(①+②+③)×2=180°×2=360°。 ③ 正好是周角，所以任意三角形（包括很钝、很狭长的）都能单独密铺。 【知识点睛】三角形内角和180°，两个180°就是360°。任意三角形都能密铺，不只限于特殊三角形。 6. 【答案】10 解题步骤： ① 地面面积8×5=40（平方分米），每块地砖2×2=4（平方分米）。 ② 因可切割且不浪费（碎块可补到别处），所以40÷4=10（块）。 ③ 验证：前2排铺4×2=8块；剩1分米宽长条由2块砖切出补齐，合计8+2=10块。 【知识点睛】面积法最直接：不浪费时总面积÷每块面积=块数。但要注意形状是否放得下。 7. 【答案】14；4 解题步骤： ① 按边长分类数：边长1cm的有3×3=9个，边长2cm的有2×2=4个，边长3cm的有1个。 ② 合计9+4+1=14个，其中边长2cm的有4个。 ③ 规律：n×n方格中正方形总数=n²+(n-1)²+...+1²，每种边长的个数正好是平方数。 【知识点睛】数图形要按边长分类计数，不重不漏。n×n方格中正方形个数是平方数之和。 8. 【答案】12；6 解题步骤： ① 面积：共3+2+1=6个小正方形，每个1cm²，面积=6cm²。 ② 周长用平移法：把"向上的短横边"上移、"向右的短竖边"右移，补成边长3cm的大正方形。 ③ 周长不变=3×4=12（厘米）。直接数边验证：下边3+左边3+右侧3段+顶部3段=12。 【知识点睛】平移法求周长：把不规则图形的边平移补成规则图形，周长不变。这是巧求周长的常用方法。 9. 【答案】C 解题步骤： ① A：任意三角形都能密铺（6个角凑成180°×2=360°）；B：平行四边形内角和360°，能密铺。 ② C：圆是曲线围成的，圆与圆之间必然留下空隙，不能密铺。 ③ D：正六边形每个角120°，3个凑成360°，能密铺。故选C。 【知识点睛】正五边形、正八边形也不能单独密铺，但可与别的图形搭配密铺。圆因曲线无法消除空隙。 10. 【答案】B 解题步骤： ① 密铺要求不留空隙、不重叠。把圆排在一起，相邻两圆之间总会夹出弯弯的空隙。 ② 无论怎么排都消不掉这些空隙，所以选B。 ③ A错："没有角"不是理由；C错：美观与密铺无关；D错：放大缩小不影响结论。 【知识点睛】圆不能密铺的根本原因是曲线图形之间必然留空隙。密铺核心是拼接点角度和恰好360°。 11. 【答案】A 解题步骤： ① A：2个正八边形+1个正方形=135°×2+90°=360°，恰好周角，可以一起密铺。 ② B：3个正八边形=405°>360°会重叠，2个=270°又差90°，不能单独密铺，B错。 ③ C：正八边形"差90°满360°"恰好可用正方形补，C错；D：135°+3×90°=405°≠360°，D错。故选A。 【知识点睛】单独不能密铺的图形，找"补角"合适的图形搭配就能密铺。正八边形缺的90°正好用正方形补。 12. 【答案】B 解题步骤： ① 4×4去四角剩12格，每片盖2格，若盖满需6片。 ② 黑白染色检验：原图黑8白8；4个角中2黑2白，剪去后剩黑6白6。 ③ 每片1×2纸片必盖"1黑1白"，黑6白6正好6片盖满。故选B。 【知识点睛】黑白染色法判断覆盖：每片纸片盖固定颜色组合，颜色数匹配才可能盖满。 13. 【答案】不同意。（1）180°。（2）360°正好是周角，说明任意三角形都能单独密铺。 解题步骤： ① 任意三角形三个内角和都是180°（把三个角剪下拼一起正好成平角）。 ② 3种角各放2个共6个角：(①+②+③)×2=180°×2=360°。 ③ 正好凑成周角——拼接点周围被填满，既无空隙也不重叠。所以任何三角形都能密铺，与形状无关。 【知识点睛】任意三角形都能密铺，不只限于特殊三角形。关键是内角和180°，两个拼起来就是360°。 14. 【答案】（1）108°。（2）2个216°空隙144°；3个324°空隙36°；4个432°重叠72°。（3）不能。 解题步骤： ① 正五边形每个角=(5-2)×180°÷5=108°。 ② 枚举：2个=216°差144°；3个=324°差36°；4个=432°重叠72°。 ③ 3个太少剩36°缝，4个太多叠72°；那36°缝塞不进下一个也补不齐，空隙永远消不掉。 【知识点睛】判断能否密铺，依次算"拼2个、3个、4个……"，找恰好等于360°的情况。 15. 【答案】（1）2个正八边形和1个正方形。（2）能密铺。 解题步骤： ① 按正八边形个数枚举：2个=270°，还差90°，正好1个正方形90°→270°+90°=360°。 ② 3个=405°>360°重叠；1个=135°差225°无法用整数个正方形凑出。 ③ 所以只有一种搭配：2个正八边形+1个正方形。每个拼接点处都是360°，重复下去就能密铺。 【知识点睛】凑角问题本质是整除：360°减去已知角后，剩余度数必须能被新角的度数正好分完。 16. 【答案】（1）3个正三角形。（2）不能。 解题步骤： ① 2个正方形=90°×2=180°，还差180°。正三角形每个60°，需180÷60=3个。 ② 1个正方形后差270°：放4个正三角形=240°还差30°有空隙；放5个=300°超出30°重叠。 ③ 270不能被60正好分完（总差30°），所以不能只靠正三角形配1个正方形。 【知识点睛】凑角问题就是整除问题：看剩下的度数能否被目标角的度数正好分完，分不完就留空隙或重叠。 17. 【答案】（1）2片。（2）32平方厘米。（3）错在只看面积够不够，不看形状放不放得下。 解题步骤： ① 关键看宽：纸板宽6cm，两片4×4上下排开要4+4=8cm>6cm，上下方向放不下。 ② 只能左右排：10÷4=2（片）……余2cm，最多放2片。盖住面积=2×16=32cm²。 ③ 错在只看60÷16=3……12就以为能放3片，没考虑形状放不放得下——第3片无处安放。 【知识点睛】图形覆盖不能只看面积，还要看形状放不放得下。关键先看短边方向能排几个。 18. 【答案】（1）7块；11块。（2）每多画1条直线，最多比上一次多"这条线是第几条"那么多块。（3）16块。 解题步骤： ① 要块数最多，每条新直线都要与前面每条直线相交且交点不重合。第3条线与前2条交于2点，多3块：4+3=7。 ② 第4条线与前3条交于3点，多4块：7+4=11。规律：每多画1条，最多多"第几条"那么多块。 ③ 画5条：11+5=16块。按+1、+2、+3、+4、+5逐个加，再对照1+1+2+3+4+5=16检查。 【知识点睛】数"增加了多少"比直接数总数更可靠。n条直线最多分n(n+1)÷2+1块，每次增加n块。 19. 【答案】示例：用完全相同的直角三角形密铺。（2）每个拼接点处6个角，3种角各2个。（3）角度之和是360°。 解题步骤： ① 评分要点：图形必须全等（形状大小完全相同）；相邻图形不留空隙不重叠。 ② 最简单：用直角三角形每两个拼成3×2的长方形，一行行平移铺满方格纸。 ③ 每个拼接点处有6个角，3种角各2个，角度和=180°×2=360°，正好凑成周角。 【知识点睛】设计密铺图案三要素：全等图形、无缝拼接、拼接点角度和360°。直角三角形拼长方形最易画。 20. 【答案】（1）分法一：两条对角线分4个等腰直角三角形；分法二：连对边中点分4个小正方形。（2）都能密铺。 解题步骤： ① 对角线法：两条对角线交于中心，得4个等腰直角三角形（顶角90°，底角各45°）。 ② 中点法：一横一竖连对边中点，得4个小正方形。 ③ 三角形内角和180°，6个角凑360°能密铺；小正方形每个角90°，4个凑360°也能密铺。 【知识点睛】同一正方形可分割成不同形状的4块，而这些新图形都能密铺——分割与密铺互相联系。 21. 【答案】（1）宽1~4米分别列举。（2）宽4米、长8米时面积最大，32平方米。（3）面积先变大后变小。 解题步骤： ① 靠墙一边不用篱笆，长+2×宽=16米。宽1→长14面积14；宽2→长12面积24；宽3→长10面积30。 ② 宽4→长8面积32；宽5→长6面积30。比较各面积，32最大。 ③ 宽从1逐渐变大时面积先升后降，在长=2×宽处最大。检验：4+4+8=16米。 【知识点睛】靠墙围长方形：长=2×宽时面积最大。枚举列表最可靠，观察对称规律找最值。 22. 【答案】（1）64平方米，每块32平方米。（2）不行。（3）行。（4）直线要同时把菜地和水池都平分成两块。 解题步骤： ① 菜地10×8=80m²，水池4×4=16m²。种菜面积=80-16=64m²，每块必须32m²。 ② 竖直线分：左右各40m²。水池在x=2到x=6，竖线在x=5穿过水池→左水池12m²右水池4m²。左种菜40-12=28，右种菜40-4=36，不等→不行。 ③ 水平线分：上下各40m²。水池上下各离边2m，水平线在y=4从中间切开水池→上下各8m²。上种菜40-8=32，下种菜40-8=32，相等→行。 ④ 条件：直线要同时经过菜地中心和水池中心，把大长方形和正方形水池都正好平分。 【知识点睛】方案优化两步法：先算清目标值，再检验。直线要同时平分大图形和挖去的小图形，两块才相等。 23. 【答案】（1）黑32个，白32个。（2）不能。（3）能，正好31片。 解题步骤： ① 棋盘8×8=64格黑白相间各半：黑32白32。每片1×2纸片必盖"1黑1白"，所以盖住的黑数=白数。 ② 剪去左上角(黑)和右下角：从左上到右下走7+7=14步（偶数），同色也是黑。剩黑30白32不相等→不能盖满。 ③ 剪去左上角(黑)和它右边相邻格(白)：剩黑31白31相等→能正好盖满31片。 【知识点睛】黑白染色法：颜色数必须匹配才能盖满。剪去两格同色→不匹配；异色→匹配。 24. 【答案】（1）选①：6块120元；选②：12块240元；③不能单独铺。（2）凑不出360°。（3）选①号6块，120元。 解题步骤： ① 总面积12×8=96dm²。①边长4dm正方形：12÷4=3，8÷4=2→6块，花6×20=120元。 ② ②长4宽2长方形：12÷4=3，8÷2=4→12块，花240元。③正八边形不能单独铺。 ③ 正八边形135°：2个=270°留90°缝，3个=405°重叠45°，凑不出360°。最省选①：每块面积最大块数最少，每拼接点4×90°=360°。 【知识点睛】方案优化：算清总面积→比较每块砖盖多大与需几块→选每块面积最大的最省钱。 ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $