解题大招51 三角形四心的向量表示与奔驰定理的对决（8大题型）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以“四心”向量表示为基础，通过奔驰定理实现统一，构建“概念-表示-定理-应用”的系统性方法体系，培养逻辑推导与符号表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |“四心”向量表示|4题型/4典例|概念辨析→向量式转化→几何性质应用|从“四心”几何定义生成向量表示，明确各心向量特征| |奔驰定理|2题型/3典例|标准形式识别→面积比计算→变形转化|以奔驰定理为核心，统一“四心”向量关系，实现从具体到抽象| |综合应用|2题型/2典例|四心性质联动→定理统一证明|结合“四心”位置特征与奔驰定理，解决跨心综合问题|

解题大招51 三角形“四心”的向量表示 与奔驰定理的对决 知识点01 三角形“四心”的概念 1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成2∶1. 2.内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等. 3.外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等. 4.垂心：高线的交点，高线与对应边垂直. 知识点02 重心的向量表示 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论： 1.＋＋＝0. 2.＝＋＋). 3.若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 4.若＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 知识点03 内心的向量表示 设P是△ABC的内心，则有以下结论： 1.｜｜＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长. 2.＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的内心. 知识点04 外心的向量表示 设O是△ABC的外心，则有以下结论： 1.｜｜＝｜｜＝｜｜⇔＝＝. 2.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 3.动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的外心. 知识点05 垂心的向量表示 设O是△ABC的垂心，则有以下结论： 1.·＝·＝·. 2.｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2. 3.若动点P满足＝λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的垂心. 知识点06 奔驰定理 1．奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 2．奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 3．奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1）； （2）. 知识点07 奔驰定理与“四心”的联系（“四心”在三角形的内部） 奔驰定理是三角形“四心”向量式的完美统一，借助奔驰定理可以推导及证明三角形“四心”与向量的关系. (1)是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 (2)是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得. (3)是的外心 ； 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 （4）是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 . 题型1 重心的向量表示 先确定某点是三角形的重心，再利用重心的向量表示转化求解. 【典例1】（2026·山东滨州·二模）在中，为的重心，为上一点，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，画出几何图形如下图所示： 根据向量加法运算可得 , 因为G为的重心，所以. 又M满足，即. 所以 . 故选：D. 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·浙江温州·期末）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过△ABC的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 2．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知D是的重心，，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 题型2 内心的向量表示 先确定某点是三角形的内心，再利用角平分线的性质求解，或者利用内心的向量表示转化求解. 【典例2】（25-26高三下·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【解析】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·上海·期末）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______. 题型3 外心的向量表示 若三角形内的某点O与三角形ABC各顶点构成的向量的模长相等，则该点为三角形的外心，此时常用以下点积为0转化求解问题：.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 【典例3】（2026·浙江·三模）已知为的外心，且满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为外心，（外心为三角形各边垂直平分线的交点，所以外心在各边的投影为各边中点）， 即在上的投影为，在上的投影为， 所以 ，， 又， 两边点乘得： ， 即， 整理得：，（1） 两边点乘得： , 即， 整理得：，（2） 联立（1）（2），消去得： ， 化简得： ，即. 【跟踪训练】 1．（2026·重庆·一模）边长为2的等边三角形的外心为，则（    ） A． B．2 C． D． 2．（2026·浙江·三模）已知为的外心，且满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型4 垂心的向量表示 1．·＝·＝·O是△ABC的垂心. 2.若点O为△ABC的垂心，则以下结论也成立：｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2. 【典例4】（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】设交于，交于，可求得，进而得到，然后利用向量的运算和平面向量基本定理即可求解． 【解析】如图所示，设交于，交于， 由于， 故，又，故， 同理可得，故， 而，故，， 根据三点共线，三点共线，可得，， 解得． 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2.（25-26高三下·甘肃·期末）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 3．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 题型5 四心的综合问题 1．熟记三角形四心对应向量结论，区分重心、外心、内心、垂心的向量特征.将几何条件转化为向量等式、数量积或模长关系，结合线性运算化简.联动正余弦定理、三角公式解题，利用三角形边角范围约束取值，结合几何性质验证结果. 2．三角形内心和重心永远在三角形内部；外心和垂心：当三角形为锐角三角形，这两心在三角形的内部，当三角形为直角三角形，这两心在某边上；当三角形为钝角三角形时，这两心在三角形的外部. 【典例5】（25-26高一下·河北衡水·期末）已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④（其中a，b，c为中，角A，B，C所对的边）．则O依次是的（   ） A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心 C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心 【答案】B 【解析】对于①，因为①， 所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心； 对于②，因为，所以， 所以，即，同理，， 即点O为的垂心； 对于③，因为，所以， 设D为BC的中点，则，即点O为的重心； 对于④，因为， 故，整理得． 又， 所以． 因为，分别为，方向的单位向量，故AO与的角平分线共线． 同理与的角平分线共线，与的角平分线共线， 故点为的内心． 故选：B. 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·安徽合肥·期末）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 2．（25-26高一下·四川凉山·期末）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（    ） ①若，则点为的重心； ②若，，，则； ③若，则点为的垂心； ④若，，且为边中点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 3.（多选）（25-26高一下·云南昆明·期末）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 题型6奔驰定理的直接应用 直接运用奔驰定理,若是内一点,满足,则 ,重点在于准确识别向量系数与对应三角形面积的关系. 解题步骤：先整理已知条件,明确向量等式中的、、值；再根据定理直接得出面积比,若求两个三角形面积比,如,则为. 注意事项：确保向量等式是标准形式,注意系数正负,严格按对应关系计算,避免粗心导致比例错误. 【典例6】（25-26高三上·江西南昌·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，延长交于点，延长交于点，根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【解析】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，又， 则，，所以， 设，，则,即，， 所以，即，则， 所以， 则. 【跟踪训练】 1．设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为_______ 2．已知点O为△ABC内一点，且，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于 . 3.点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为____ 4．点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则_______ 题型7 变形使用奔驰定理求面积比 对非标准形式的向量等式,通过移项、系数化为1等操作,转化为奔驰定理标准形式,进而求解面积比. 解题步骤：首先针对不同变形类型,运用向量运算法则将等式转化为标准形式；然后按直接使用奔驰定理的方法得出面积比；最后对复杂的面积比表达式进行化简. 注意事项：熟练掌握向量运算规则,转化过程要严谨,化简时仔细检查,确保结果准确. 【典例2-1】已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______． 【答案】5:4:3 【解析】因为， 所以，所以． 【典例2-2】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为________ 【答案】1:3 【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得. 【解析】如图，D为BC边的中点， 则 因为－－＝ 所以， 所以 所以. 【跟踪训练】 1.已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是_______ 2．已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是 3．已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为_____ 题型8 奔驰定理与四心的综合 奔驰定理将三角形内一点与三顶点构成的向量关系转化为面积比，是破解四心综合问题的利器. 核心策略：先明确四心对应的特殊点——重心满足面积比1:1:1，外心满足到顶点距离相等，内心满足到三边距离相等，垂心则结合垂直关系. 解题时，先用奔驰定理建立向量等式，再根据四心性质将面积比与边长、角度挂钩.常见思路是将几何条件转化为面积比，再套用定理反推点的位置，从而快速求解向量系数或比例问题. 【典例8】（多选）（25-26高三下·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即. 若是的重心，则，与，所以不是的重心. 当为的外心时，， 所以，即. 当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形. 【跟踪训练】 1．已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 2．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则____ 3．设锐角的外心为，满足，，则_____ 1.（25-26高一下·上海·期末）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（25-26高三上·湖北·期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）设的外心为，若，，则（     ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知为的垂心，且，，，，则（    ） A． B． C． D．1 7．（2025高三·全国·专题练习）为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 8（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 9．（多选）（25-26高三下·山东·阶段检测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 10．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角 D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 11．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的重心，则 B．若点为的外心，则 C．若点为的垂心，则 D．若点为的内心，则 12．（多选）（25-26高一下·安徽芜湖·期中）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则动点的轨迹一定通过的重心 B．若，，分别表示，的面积，则 C．若，则点是的内心 D．若点满足，，，则 13.设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为______ 14．设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为 ． 15.若为的垂心，，则＝ ， ． 16．G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角_______ 17.点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是_____ 18．若是的垂心，，则的值为______ 19．奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 20.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心； ②； ③； ④ 【答案】②③④ 【分析】由确定出点是三角形的垂心，判断①；结合与三角形内角和等于可证明②；结合②选项结论证明即可证明③，利用奔驰定理证明可证明④． 【解析】对①，因为 同理,故为的垂心，故①错误； 对②，因为，所以， 又因为，所以, 又因为，所以，故②正确； 对③，延长交于点， 如图， 则, 同理可得,所以，故③正确； 对④， , 同理可得,所以, 又因为，所以，故④正确， 故答案为：②③④ 21.（25-26高三下·江苏南通·期中）某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. (1)求； (2)若点T为劣弧上一动点，求的最小值； (3)若，求的值. 【解析】（1）在锐角中，∵，其外接圆O的半径为， ∴由正弦定理可得：，解得. . 由题可知，. （2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知. 故要使取得最小值，只需最小. 在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时. ∴， 即的最小值为. （3）由（1）可知：，. ，. 又， ∴由圆的性质可知. 又， ∴，解得. ∴在锐角中，，， ，. ∴由正弦定理可得：， ∴，. 在中，由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可得，. 同理可得， ， ∴. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招51 三角形“四心”的向量表示 与奔驰定理的对决 知识点01 三角形“四心”的概念 1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成2∶1. 2.内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等. 3.外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等. 4.垂心：高线的交点，高线与对应边垂直. 知识点02 重心的向量表示 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论： 1.＋＋＝0. 2.＝＋＋). 3.若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 4.若＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 知识点03 内心的向量表示 设P是△ABC的内心，则有以下结论： 1.｜｜＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长. 2.＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的内心. 知识点04 外心的向量表示 设O是△ABC的外心，则有以下结论： 1.｜｜＝｜｜＝｜｜⇔＝＝. 2.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 3.动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的外心. 知识点05 垂心的向量表示 设O是△ABC的垂心，则有以下结论： 1.·＝·＝·. 2.｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2. 3.若动点P满足＝λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的垂心. 知识点06 奔驰定理 1．奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 2．奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 3．奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1）； （2）. 知识点07 奔驰定理与“四心”的联系（“四心”在三角形的内部） 奔驰定理是三角形“四心”向量式的完美统一，借助奔驰定理可以推导及证明三角形“四心”与向量的关系. (1)是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 (2)是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得. (3)是的外心 ； 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 （4）是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 . 题型1 重心的向量表示 先确定某点是三角形的重心，再利用重心的向量表示转化求解. 【典例1】（2026·山东滨州·二模）在中，为的重心，为上一点，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，画出几何图形如下图所示： 根据向量加法运算可得 , 因为G为的重心，所以. 又M满足，即. 所以 . 故选：D. 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·浙江温州·期末）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过△ABC的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【解析】如图，设为边的中点，， ，共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 2．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知D是的重心，，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为D是的重心，所以， 又，，，所以， 则在上的投影向量为． 3．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设点根据数量积得出，再根据重心得出，再应用两点间距离公式得出，最后平方化简得出的最大值即可求解. 【解析】以中点为坐标原点，以为轴，以过中点垂直为轴，建立直角坐标系， 所以，设，因为， 又因为， 所以，所以， G为的重心，， 所以， 令，则， 当且仅当时，取得的最大值，即得的最大值. 故选：D. 题型2 内心的向量表示 先确定某点是三角形的内心，再利用角平分线的性质求解，或者利用内心的向量表示转化求解. 【典例2】（25-26高三下·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【解析】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·上海·期末）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【解析】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 2．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______. 【答案】 【解析】插入分点，得， 即， 又，从而有，得， 所以， 题型3 外心的向量表示 若三角形内的某点O与三角形ABC各顶点构成的向量的模长相等，则该点为三角形的外心，此时常用以下点积为0转化求解问题：.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 【典例3】（2026·浙江·三模）已知为的外心，且满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为外心，（外心为三角形各边垂直平分线的交点，所以外心在各边的投影为各边中点）， 即在上的投影为，在上的投影为， 所以 ，， 又， 两边点乘得： ， 即， 整理得：，（1） 两边点乘得： , 即， 整理得：，（2） 联立（1）（2），消去得： ， 化简得： ，即. 【跟踪训练】 1．（2026·重庆·一模）边长为2的等边三角形的外心为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】取BC边的中点D，连接AD， 因为O为边长为2的等边三角形的外心， 所以，所以， 所以 . 故选：A.    2．（2026·浙江·三模）已知为的外心，且满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为外心，（外心为三角形各边垂直平分线的交点，所以外心在各边的投影为各边中点）， 即在上的投影为，在上的投影为， 所以 ，， 又， 两边点乘得：， 即， 整理得：，（1） 两边点乘得：， 即， 整理得：，（2） 联立（1）（2），消去得：， 化简得：，即. 故选：C. 3．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 即，所以在上，故的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上的投影向量为， 故, 由于为锐角，所以 故选：B． 题型4 垂心的向量表示 1．·＝·＝·O是△ABC的垂心. 2.若点O为△ABC的垂心，则以下结论也成立：｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2. 【典例4】（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】设交于，交于，可求得，进而得到，然后利用向量的运算和平面向量基本定理即可求解． 【解析】如图所示，设交于，交于， 由于， 故，又，故， 同理可得，故， 而，故，， 根据三点共线，三点共线，可得，， 解得． 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】由，所以， 则，同理可证， 所以为三角形的垂心. 故选：D. 2.（25-26高三下·甘肃·期末）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【解析】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 3．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【解析】由 ， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：B 题型5 四心的综合问题 1．熟记三角形四心对应向量结论，区分重心、外心、内心、垂心的向量特征.将几何条件转化为向量等式、数量积或模长关系，结合线性运算化简.联动正余弦定理、三角公式解题，利用三角形边角范围约束取值，结合几何性质验证结果. 2．三角形内心和重心永远在三角形内部；外心和垂心：当三角形为锐角三角形，这两心在三角形的内部，当三角形为直角三角形，这两心在某边上；当三角形为钝角三角形时，这两心在三角形的外部. 【典例5】（25-26高一下·河北衡水·期末）已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④（其中a，b，c为中，角A，B，C所对的边）．则O依次是的（   ） A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心 C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心 【答案】B 【解析】对于①，因为①， 所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心； 对于②，因为，所以， 所以，即，同理，， 即点O为的垂心； 对于③，因为，所以， 设D为BC的中点，则，即点O为的重心； 对于④，因为， 故，整理得． 又， 所以． 因为，分别为，方向的单位向量，故AO与的角平分线共线． 同理与的角平分线共线，与的角平分线共线， 故点为的内心． 故选：B. 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·安徽合肥·期末）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【答案】B 【分析】由已知判断点P在直线上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可. 【解析】记的中点为D，则， 所以，点P在直线上. A选项：若点是的垂心，则， 所以，所以为等腰三角形，A正确； B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误； C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上， 所以，所以为等腰三角形，C正确； D选项：若点是的内心，则为的角平分线， 所以， 又，即, 故，D正确. 故选：B 2．（25-26高一下·四川凉山·期末）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（    ） ①若，则点为的重心； ②若，，，则； ③若，则点为的垂心； ④若，，且为边中点，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】设中点为，由已知等式可得，由重心性质可知①正确；取中点，中点，由已知等式可得，则可得与到直线距离之比，由此可知②正确；由可得，即，同理得，，由垂心定义知③正确；由已知等式可得，由此知④正确. 【解析】对于①，当时，； 设中点为，则，即， 为的重心，①正确； 对于②，当，，时，，， 取中点，中点， ，，，即， 到直线距离与到直线距离之比为：，即； 又为中点，点到直线距离，， ，即，②正确； 对于③，由得：， ，同理可得：，， 为的垂心，③正确； 对于④，当，，时，，， 又为边中点，， 又，，，④正确. 故选：D. 3.（多选）（25-26高一下·云南昆明·期末）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【解析】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 题型6奔驰定理的直接应用 直接运用奔驰定理,若是内一点,满足,则 ,重点在于准确识别向量系数与对应三角形面积的关系. 解题步骤：先整理已知条件,明确向量等式中的、、值；再根据定理直接得出面积比,若求两个三角形面积比,如,则为. 注意事项：确保向量等式是标准形式,注意系数正负,严格按对应关系计算,避免粗心导致比例错误. 【典例6】（25-26高三上·江西南昌·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，延长交于点，延长交于点，根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【解析】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，又， 则，，所以， 设，，则,即，， 所以，即，则， 所以， 则. 【跟踪训练】 1．设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为_______ 【答案】2:1 【解析】解：延长至，使；延长至，使，则 是△的重心， ， ，， ， 2．已知点O为△ABC内一点，且，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于 . 【答案】3:2:1 【解析】由奔驰定理得，则 3.点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为____ 【答案】6:1 【解析】如图，设中点为，中点为， 因为，即，则， 即， 则， 所以的面积与的面积的比值是6:1. 4．点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则_______ 【答案】 【解析】 由可得，即， 设，因为三点共线，则存在实数，使得， 将代入可得 ，即， 由于不共线，则，解得， 即，， 同理，设，则， 因为三点共线，所以，即， 又由三角函数的诱导公式可得， 所以 题型7 变形使用奔驰定理求面积比 对非标准形式的向量等式,通过移项、系数化为1等操作,转化为奔驰定理标准形式,进而求解面积比. 解题步骤：首先针对不同变形类型,运用向量运算法则将等式转化为标准形式；然后按直接使用奔驰定理的方法得出面积比；最后对复杂的面积比表达式进行化简. 注意事项：熟练掌握向量运算规则,转化过程要严谨,化简时仔细检查,确保结果准确. 【典例2-1】已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______． 【答案】5:4:3 【解析】因为， 所以，所以． 【典例2-2】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为________ 【答案】1:3 【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得. 【解析】如图，D为BC边的中点， 则 因为－－＝ 所以， 所以 所以. 【跟踪训练】 1.已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是_______ 【解析】由 可得，即点P在线段BC上，且 则与的面积之比等于 2．已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是 【答案】 【解析】（法1）：由得，，即，由结论推广得 （法2）：由得，，即，化简得，由，得，设AB中点为D，则，所以点P在的中位线上，所以 3．已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为_____ 【答案】 【分析】结合平面向量的线性运算得到，进而根据等底等高的三角形面积相等即可求出结果. 【解析】 取的中点，因为，所以，故，所以，因为，因此, 题型8 奔驰定理与四心的综合 奔驰定理将三角形内一点与三顶点构成的向量关系转化为面积比，是破解四心综合问题的利器. 核心策略：先明确四心对应的特殊点——重心满足面积比1:1:1，外心满足到顶点距离相等，内心满足到三边距离相等，垂心则结合垂直关系. 解题时，先用奔驰定理建立向量等式，再根据四心性质将面积比与边长、角度挂钩.常见思路是将几何条件转化为面积比，再套用定理反推点的位置，从而快速求解向量系数或比例问题. 【典例8】（多选）（25-26高三下·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即. 若是的重心，则，与，所以不是的重心. 当为的外心时，， 所以，即. 当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形. 【跟踪训练】 1．已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 【答案】 【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以. 设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为. 2．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则____ 【答案】 【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可. 【解析】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 3．设锐角的外心为，满足，，则_____ 【答案】 【分析】结合图形，利用向量数量积的定义和二倍角公式将题设等式化成①式，再利用同角的三角函数关系将另一式化成②式，联立求出三角函数值，借助于和角公式即可求得答案. 【解析】    如图，圆是锐角的外接圆，设其半径为， 则， 由可得，即， 也即①. 又由两边平方可得，即， 也即② 联立①和②，解得，因为锐角三角形，故有，， 从而，， 于是，. 1.（25-26高一下·上海·期末）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【解析】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据已知结合数量积运算律计算数量积为0即可判断选项. 【解析】，， 由正弦定理得，则 令， 因为， 所以 所以， 等式两边点乘得， 所以点的轨迹一定过的垂心， 故选：D． 3．（25-26高三上·湖北·期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为三角形内一点，且满足， ， ， ， 故选：D． 4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为的重心， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以， 因为在线段上，所以与同向且， 于是，同理， 结合得. 目标函数为， 记，， 求导，得：， 所以在上单调递增， 故选：C 5．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）设的外心为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的内角所对的边分别为， 对于的外心，有性质，. ∵ ， ∴ ， 同理可得，. 将上述结果代入， 得 ， 化简得 . ∵ ，由正弦定理，得 ，即. 将代入，得 ，即，故. 由余弦定理，，代入，， 得 . 6．（2025高三·全国·专题练习）已知为的垂心，且，，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先由已知向量和垂心得，，，，再由已知的向量和对应边的向量垂直得三边的关系，进而算出余弦及正弦. 【解析】设的三角对应的三边分别为， ， 整理得，， 因为，不共线，因此， 又因为，， 解得，，，． 因为为的垂心，所以 ， ， ， ， ， ， 则， 所以. 故选：B． 7．（2025高三·全国·专题练习）为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】A 【解析】   中，根据正弦定理， ，即. 设，， 所以， ， ， 设D为中点，则，故， 所以共线， 点的轨迹为射线（不含端点）. 的重心一定属于集合. 故选：A. 8（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【解析】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 9．（多选）（25-26高三下·山东·阶段检测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，进而求出余弦值. 【解析】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 10．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角 D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 【答案】AB 【解析】对于A，设外接圆半径为，因为， 所以，则， 也即，所以，则，故选项A正确； 对于B，取的中点，连接，作，垂足为， 因为，所以为的角平分线，所以， 又，，所以，则； 因为的周长，面积， 所以内切圆半径，所以， 又，所以， 因为，所以， 则，，所以，故选项B正确； 对于C，因为点为的重心，所以， 又因为，令，则， 在中，由余弦定理可得，， 因为，则，故选项C错误； 对于D，设外接圆半径为， 因为，， 所以，从而得到， 同理可得， 所以，故选项D错误. 11．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的重心，则 B．若点为的外心，则 C．若点为的垂心，则 D．若点为的内心，则 【答案】ABD 【解析】设BC边的中点为D，则， 因为，所以，且的重心、外心、垂心、内心均在线段AD上， 选项A：因为点为的重心，所以， 则，所以，故A正确； 选项B：若点为的外心，且， 则，故B正确； 选项C：若点为的垂心，则，即， 在，由余弦定理得， 设，则， 所以 ， 解得，则，所以，故C错误； 选项D：若点为的内心，则DP为内切圆的半径，且设为r， 则， 又， 所以，解得， 所以，即 则，即，所以，故D正确. 12．（多选）（25-26高一下·安徽芜湖·期中）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则动点的轨迹一定通过的重心 B．若，，分别表示，的面积，则 C．若，则点是的内心 D．若点满足，，，则 【答案】ACD 【解析】A选项，过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，A正确； B选项，如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，B错误； C选项，分别表示方向上的单位向量（如下图所示）， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，C正确. D选项，设的中点为，若点满足，则点为外心， 于是有，又，， 则 ，D正确. 13.设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为______ 【答案】9 【解析】方法一：已知点在内部，若， 则 即：根据奔驰定理画图可知：2、3、4只是比例关系， 则， 又的面积是27，则 方法二：延长到，使得， 因为，所以， 以，为边作平行四边形OAED， 对角线交点为，交于， 因为，所以， 因为，所以， 所以，∴ 所以， 所以的面积是面积的，所以的面积为9. 14．设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为 ． 【答案】 【分析】令，，则为△的重心，利用重心的性质：即可求比值. 【解析】若，， ∴，即为△的重心， 令，，则，， ∴，由， 故答案为： 15.若为的垂心，，则＝ ， ． 【答案】 / 【解析】因为，所以， 设为的中点，为的中点，则，， 所以， 所以为的中位线，且，所以为的中点，所以， 又，，所以，所以， 所以， 同理可得， 所以，， 又为的垂心，， 设，，则，， 所以，即，所以，则 所以，所以， 故答案为：； 16．G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角_______ 【答案】 【分析】根据三角形的重心求得，再利用余弦定理来求得正确答案. 【解析】因为G是的重心，所以有． 又，所以． 设，则有．由余弦定理，可得，所以. 17．（24-25高三上·宁夏银川·阶段检测）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值________________ 【答案】 【解析】设为重心，则由欧拉线定理可知在上， 连接交于点， 所以为的中线，所以， 点在直线上，设， 所以， 所以，所以， 所以，当时取最大值. 17．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是_____ 【答案】 【解析】如图，延长交于点， 设，则， 因为共线， 所以，解得， 所以，， 则， 由， 得，即， 所以， 所以， 所以. 18．若是的垂心，，则的值为______ 【答案】 【分析】取的中点，连接，利用中点向量公式结合给定等式推得，再利用垂心的性质，垂直关系的向量表示，二倍角的正切公式计算得解. 【解析】在中，取的中点，连接，则，如图，    由，得，于是， ， 由是的垂心，得，则 因此，即， 显然，，令直线交于，交于， 在中，，即， 则， 所以的值为. 19．奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用为的内心，再结合奔驰定理可得，再由已知条件转化可得，利用平面向量基本定理可知，从而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得. 【解析】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则， 由可得，所以， 又， 则，所以， 两式相加可得，化简可得， 又，由余弦定理可得， 由基本不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到，再结合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值. 20.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心； ②； ③； ④ 【答案】②③④ 【分析】由确定出点是三角形的垂心，判断①；结合与三角形内角和等于可证明②；结合②选项结论证明即可证明③，利用奔驰定理证明可证明④． 【解析】对①，因为 同理,故为的垂心，故①错误； 对②，因为，所以， 又因为，所以, 又因为，所以，故②正确； 对③，延长交于点， 如图， 则, 同理可得,所以，故③正确； 对④， , 同理可得,所以, 又因为，所以，故④正确， 故答案为：②③④ 21.（25-26高三下·江苏南通·期中）某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. (1)求； (2)若点T为劣弧上一动点，求的最小值； (3)若，求的值. 【解析】（1）在锐角中，∵，其外接圆O的半径为， ∴由正弦定理可得：，解得. . 由题可知，. （2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知. 故要使取得最小值，只需最小. 在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时. ∴， 即的最小值为. （3）由（1）可知：，. ，. 又， ∴由圆的性质可知. 又， ∴，解得. ∴在锐角中，，， ，. ∴由正弦定理可得：， ∴，. 在中，由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可得，. 同理可得， ， ∴. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $