平面向量专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量七大核心模块，以区域模拟题构建从概念辨析到综合应用的递进训练体系，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数量积与共线垂直|5题（选择+填空）|充要条件判断、模长计算|从数量积定义到共线垂直充要条件的推导应用| |夹角的计算|5题（选择+填空）|余弦值/正弦值求解|向量夹角公式与数量积的关联应用| |最值与取值范围|8题（选择+填空）|模长/数量积最值|代数化（函数法）与几何化（数形结合）求最值| |投影向量|10题（选择+填空）|投影向量坐标/模长|投影向量定义与数量积的几何意义| |平面图形中的基底运算|7题（选择+多选）|菱形/平行四边形向量表示|基底法解决平面图形中的向量分解与运算| |三角形中的向量与四心|7题（选择+填空+解答）|重心/外心性质应用|向量工具与三角形几何性质的融合| |旋转、圆与动点轨迹|6题（选择+多选+填空）|旋转向量坐标、圆上动点问题|向量旋转公式与解析几何轨迹思想结合|

平面向量 　①数量积与共线垂直 　　【选择题】 ★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第5题 1. 设向量，，则（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的充分条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“”的充分条件 ★★　德州市2025-2026学年高三4月学习质量综合评估 · 第3题 2. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. ★★　济南市2026届高三第二次模拟考试 · 第3题 3. 已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第6题 4. 已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. C. 0 D. 　　【填空题】 ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第12题 5. 已知均为单位向量，则______． 　②夹角的计算 　　【选择题】 ★★　安庆市2026届高三二模 · 第5题 1. 已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. ★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第5题 2. 若向量，为单位向量，且，则与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第6题 3. 已知向量，满足，，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第3题 4. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 　　【填空题】 ★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第13题 5. 在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 　③最值与取值范围 　　【选择题】 ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第6题 1. 我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量，接收端参考信号抽象为向量，定义信号匹配度函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第7题 2. 已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. ★★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第6题 3. 平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 　　【填空题】 ★★　梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第13题 4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第13题 5. 已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第14题 6. 已知向量，，，，，当向量的模长取得最小值时，________． ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第13题 7. 已知向量满足，则的取值范围为____________． ★★　台州市2026届高三第二次教学质量评估 · 第12题 8. 已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 　④投影向量 　　【选择题】 ★　南阳市2026届高三下学期一模考试 · 第4题 1. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第8题 2. 若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 ★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第4题 3. 已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. ★　菏泽市2026届高三一模 · 第3题 4. 已知向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. ★　沧州市第一中学等校2026届高三总复习质量监测 · 第4题 5. 已知向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. ★★　宣城市2026届高三第一学期期末检测 · 第3题 6. 已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第6题 7. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则实数（ ） A. B. C. D. ★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第3题 8. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 　　【填空题】 ★　淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试 · 第12题 9. 平面向量，，则在上的投影向量坐标为________. ★★　苏北四市2026届高三年级第一次调研测试 · 第13题 10. 已知平面向量在向量上的投影向量为，则______. 　⑤平面图形中的基底运算 　　【选择题】 ★★　烟台市2026届高三第一次诊断考试 · 第5题 1. 已知菱形的边长为分别是的中点，，则（ ） A. B. C. D. ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第5题 2. 在平行四边形中，、分别是、的中点．若，则（ ） A. B. C. D. ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第7题 3. 菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. ★★　湘潭市2026届高三二模 · 第5题 4. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. ★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第7题 5. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. ★★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第7题 6. 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 　　【多选题】 ★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第9题 7. 在菱形中，，点满足，，则（ ） A. B. C. D. 　⑥三角形中的向量与四心 　　【选择题】 ★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第7题 1. 在中，，点满足，若的面积为2，则BD的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 ★★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第7题 2. 已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 　　【多选题】 ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第10题 3. 已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，且三点共线，则 　　【填空题】 ★★★　淮北市2026届高三第一次质量检测 · 第14题 4. 已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则__________． ★★★　滨州市2026届高三数学一模 · 第14题 5. 已知点为所在平面内一点，，若，则的取值范围为__________． ★★★　南通市2026届高三学业质量检测（一模） · 第14题 6. 在中，，，则的最小值为_____． 　　【解答题】 ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第17题 7. 在中，分别为内角的对边，分别为边，上的动点，记为与的夹角． （1）证明：； （2）证明：． 　⑦旋转、圆与动点轨迹 　　【选择题】 ★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第5题 1. 已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（    ） A B. C. D. ★★　湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测 · 第6题 2. 如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）． A. B. C. 4 D. ★★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第7题 3. 已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 　　【多选题】 ★★　金丽衢十二校2026届高三第一次联考 · 第10题 4. 是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为原点）的面积为，设的轨迹为曲线，则（ ） A. 的方程为 B. 的方程为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 　　【填空题】 ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第13题 5. 已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为______. ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第13题 6. 在边长为3的正方形中，三点分别在上，满足，则五边形面积的最大值是___________． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量（解析版） 　①数量积与共线垂直 　　【选择题】 ★　开封市2026届高三第二次质量检测 · 第5题 1. 设向量，，则（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的充分条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“”的充分条件 策略　先分别解出 与 的充要条件，再逐一检验四个选项的充分性与必要性。 或 。 。 A 项： 时 ，，，垂直成立，充分性成立；反之垂直时 可取 ，不必要。A 对。 B 项： 时 ，不平行，B 错；C 项：垂直不蕴含 （还可取 ），必要条件不成立，C 错；D 项： 时 ，，，不平行，D 错。 答　A ★★　德州市2025-2026学年高三4月学习质量综合评估 · 第3题 2. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 策略　 说明 与 垂直，把 展开即可求 。 由 得 。 。 由 得 ，故 ，。 答　C ★★　济南市2026届高三第二次模拟考试 · 第3题 3. 已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 策略　从线性关系入手： 与 共线等价于存在实数 使 ，用独立性判断能否推出 ，再看反向。 充分性：若 ，则存在 使 。若 不共线，则由独立性 且 ，无解，矛盾；故 。 必要性：若 ，则 与 都是 的线性组合，方向都沿 （或其中之一为零向量），二者共线。 所以两条件互为充要条件。 答　C ★★　苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一） · 第6题 4. 已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. C. 0 D. 策略　设 ，分别写出垂足 、 的坐标，再算数量积。 向直线 作垂线，垂足 是 在 上的投影点：，其中 ，故 。 向 轴作垂线，垂足 。 ，，故 ，与 无关，为定值。 答　选 B。 　　【填空题】 ★★　邯郸市2026届高三第一次模拟检测 · 第12题 5. 已知均为单位向量，则______． 策略　对 平方即可。 ，即 ，得 。 答　 　②夹角的计算 　　【选择题】 ★★　安庆市2026届高三二模 · 第5题 1. 已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 策略　设 ，把 平方化简解出 ，余弦值即 。 ，。原式平方：，即 ，解得 。 由 知 ，故 。验证：，，差恰为 。 所以 。 答　C ★★　滁州市2026届高三第二次教学质量监测 · 第5题 2. 若向量，为单位向量，且，则与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 策略　 等价于 ，先算出 ，再求两向量夹角的正弦值。 。又 ，。 ，故 。 ，故 。 答　B ★★　海安高级中学等校2026届高三阶段性学情测试 · 第6题 3. 已知向量，满足，，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 策略　由垂直条件得 ，再由模长等式平方求出 与 的关系，代入夹角公式。 由 得 ，即 。 将 两边平方：，整理得 ，即 。 于是 ，。故 ，。 答　C ★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第3题 4. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 策略　对 两边平方即可解出 ，夹角随之确定。 ，即 ，得 。 ，又 ，故 。 答　C 　　【填空题】 ★★　江门市2026届高考模拟考试 · 第13题 5. 在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 策略　以 为原点建系，写出各点坐标，求 与 的夹角余弦。 ，，设 ，，。 为 中点，。 ， 分线段 为 ，。 ，，，，。 。 答　 　③最值与取值范围 　　【选择题】 ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第6题 1. 我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量，接收端参考信号抽象为向量，定义信号匹配度函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 策略　先化简 ，用降幂公式合并为单变量函数，再换元求最值。 。 设 ，则 。，得 。 ，且 ，比较知最大值为 。 答　C ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第7题 2. 已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 策略　把 写成 的二次式，用约束 消元后配方求最小值。 ，，。。 代入 ：。 当 时取最小值 ，故 。 答　D ★★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第6题 3. 平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 策略　 的几何意义：从 的终点 看 的终点 ，张角为 。用弦与张角定理求 的轨迹，再求 的取值。 ，故 ，，。 对定弦 张定角 的点 在两个圆上：圆半径 。设 为 中点，，两圆圆心在 所在直线上、距 为 ：一个恰为 ，另一个 满足 。 故 的轨迹为：圆 （半径 ）的优弧 ，或圆 （半径 ）的优弧 。前者上 ；后者上 。 综上 ，最大值为 。逐项判断： 不在集合内； 可以取到； 舍； 是最大值，可以取到。 答　选 D。 　　【填空题】 ★★　梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第13题 4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. 策略　，即求圆上点 的最小值，用直线平移（或圆心代入加减半径）处理。 设 ，。圆 的圆心为 ，半径 。 圆心处 ，而 的变化幅度为 。 故 ，最小值为 （此时直线 与圆相切）。 答　 ★★　南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试 · 第13题 5. 已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 策略　 说明 的终点 在以 （ 的终点）为直径端点的圆上， 的最大值即 到该圆的最远距离。 ：，，圆半径 。 圆心 ，：，。 。 答　 ★★　南昌市2026届高三年级四月检测 · 第14题 6. 已知向量，，，，，当向量的模长取得最小值时，________． 策略　 的模长最小值为 当且仅当 能被 线性表示；直接按分量凑系数。 观察 。 故当 ， 时 ，模长取得最小值 （模长非负， 即最小）。 此时 。 答　 ★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第13题 7. 已知向量满足，则的取值范围为____________． 策略　设 ，则 表示以 与 的终点为焦点、长轴为 的椭圆，而 恰是椭圆上点到椭圆中心的距离，由椭圆几何性质直接得范围。 ，故 。椭圆两焦点为 与 的终点，中心为 ，所以 即椭圆上点到中心的距离。 半长轴 ，半焦距 ，半短轴 。 椭圆上点到中心距离介于半短轴与半长轴之间，故 。验证端点： 在长轴端点时 （取 ），， 成立，； 在短轴端点时 ，， 成立，。两端点均可取到。 答　 ★★　台州市2026届高三第二次教学质量评估 · 第12题 8. 已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 策略　由 得坐标关系 ，代入 配方求最小。 ，即 。 ，当 时取最小值 。 答　 　④投影向量 　　【选择题】 ★　南阳市2026届高三下学期一模考试 · 第4题 1. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 策略　用 展开求出 ，再按投影向量公式 直接计算。 由 ，得 ，解得 。 又 ，所以投影向量为 。 答　A ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第8题 2. 若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 策略　三个条件逐个翻译：模长相等给出 与 的关系；投影向量给出 与 的关系；最小值条件给出 的方程。 由 平方：，得 。 由投影向量：，即 ，得 。两者比较得 ，且 。 ，当 时取最小值 ，故 。 答　C ★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第4题 3. 已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 策略　将模长等式平方求出 ，再用投影向量公式 。 由 平方：，整理得 ，即 。 代入 ：。 所以投影向量为 。 答　A ★　菏泽市2026届高三一模 · 第3题 4. 已知向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 策略 先用坐标减法求出 ，再按投影向量公式 计算。 。 ，，故投影向量为 。 答 选 D。 ★　沧州市第一中学等校2026届高三总复习质量监测 · 第4题 5. 已知向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 策略 在 上的投影向量为 ，只与 和 有关，与 的具体坐标无关。 。 答 选 A。 ★★　宣城市2026届高三第一学期期末检测 · 第3题 6. 已知非零向量的夹角为，若在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 策略 把两个条件都化为 与 的关系：由投影向量得 ，再由数量积方程解出 。 由 在 上的投影向量为 ，得 ，即 ，故 ，。 ，代入 ，得 ，即 。 ，又 ，故 。 答 选 A。 ★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第6题 7. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 策略 先写 的坐标，投影向量等于 即数量积投影系数等于 3。 。 在 上的投影向量为 ，其中 ，。 由 得 。 答 选 D。 ★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第3题 8. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 策略 先由 求 ，再套投影向量公式。 。 ，。 投影向量为 。 答 选 A。 　　【填空题】 ★　淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试 · 第12题 9. 平面向量，，则在上的投影向量坐标为________. 策略 直接套公式 。 ，。 投影向量为 。 答 填 。 ★★　苏北四市2026届高三年级第一次调研测试 · 第13题 10. 已知平面向量在向量上的投影向量为，则______. 策略 投影向量 与 共线，设 代入， 会在化简中约去，从而解出 。 由 知 与 共线，设 ，。 ，，故投影向量为 。 于是 ，解得 ，故 。 答 填 。（ 的具体坐标不影响结果，只要求它与投影向量共线） 　⑤平面图形中的基底运算 　　【选择题】 ★★　烟台市2026届高三第一次诊断考试 · 第5题 1. 已知菱形的边长为分别是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 策略　设 ，， 为 中点，用基底表示 、 后点乘。注意 与 所成角的关系。 。 是 与 的夹角，故 ，即 。 为 中点：； 为 中点：。 。 答　B ★★　九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第5题 2. 在平行四边形中，、分别是、的中点．若，则（ ） A. B. C. D. 策略　设 ，，用基底表示 与 ，对照系数求 。 A 为原点下 ，，。 为 中点，； 为 中点，。 由 ，比较系数：，，得 。 所以 。 答　C ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第7题 3. 菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 策略　设 ，，用中点条件表示 、，展开点乘。 ，，。 为 中点：； 为 中点：。 。 答　D ★★　湘潭市2026届高三二模 · 第5题 4. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 策略　在平行四边形中设基底 ，，把 、 都用基底表示后点乘，即可得 与 的关系。 ，，故 。 由 得 ，即 。 答　B ★★　宁波十校2026届高三下学期3月联考 · 第7题 5. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 策略　以 为原点设 ，，用 、 表示交点 ，再逐项验证。 为 中点：；：。设 （ 在 上），又 （ 在 上）。 比较系数：，，解得 ，，故 。 A 项系数为 ，与实际对调，错。 ，B 项给 ，错。 为 与 交点： 且系数和为 ，得 ，。由 得 ，，C 项给 ，错。 ；而 ，恰好相等，D 正确。 答　选 D。 ★★★　濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第7题 6. 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 策略　先确认 的位置与各选项含义，A、C 用线性运算验证，B 用坐标算 ，D 用「1 的代换」求最值。 A 项： 在 上且 ，，正确。 C 项：由 ，，把 改写为 。、、 三点共线，系数和为 ，得 ，即 ，正确。 D 项：，当 （即 ）时取等，正确。 B 项：建系验证，，，，则 。，，，，，，错误。 答　选 B（不正确的选项）。 　　【多选题】 ★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第9题 7. 在菱形中，，点满足，，则（ ） A. B. C. D. 策略　由数量积条件定出 ；设基底 ，，写出 的位置向量，逐项验证。 ，故 ，，A 对。 即 为 中点，； 即 。于是 ，C 对。 B 项：，而 。若平行则 ，比较系数得 且 ，矛盾，不平行，B 错。 D 项：，，D 错。 答　AC 　⑥三角形中的向量与四心 　　【选择题】 ★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第7题 1. 在中，，点满足，若的面积为2，则BD的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 策略　 说明 是 的中点。设腰长 、顶角 ，用面积条件消元，把 化为 的函数求最小值。 以 为原点，，，，。 为 中点，。 。 面积条件 给出 ，故 。 设 ，求导 （化简用了 ）。 得 ，此时 ，且 在两侧变号（先负后正），确为最小值。 。 答　选 B。 ★★★　长沙市2026届高三第一次模拟考试 · 第7题 2. 已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 策略　重心条件的向量形式：。换底到 、 后用三点共线得 ，再求 的最大值。 。 、、 三点共线，故 ，即 ，，。 ，设 ，，在 处取最大值 （此时 ， 与 重合，直线过 与 中点、顶点 ，符合题意）。 答　选 C。 　　【多选题】 ★★　石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第10题 3. 已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，且三点共线，则 策略　先算 与 （ 分 为 ，不是中点），再逐项验证。设 ，，则 ，，。 。 ，由定比分点 。 A 项：，，错。 B 项： 为 中点，，故 ，正确。 C 项：，投影向量为 ，正确。 D 项：，，则 。、、 三点共线，系数和为 ，即 ，得 ，正确。 答　BCD。 　　【填空题】 ★★★　淮北市2026届高三第一次质量检测 · 第14题 4. 已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则__________． 策略　外心线 有经典性质：，（由等腰 、 的顶角 、 各自取底角）。配合正弦定理与相交弦定理求 。 由 ，在 中用正弦定理：，得 。 由 ，在 中：，得 。 两式相等：，即 。 延长 交外接圆于 ，则 是直径。相交弦定理：；又 。 把 、 代入 ：，即 。 设 ，则 ，。对 两边平方：，约去 展开得 ，即 ，（ 舍）。 于是 ，；。 ，。 答　填 。 ★★★　滨州市2026届高三数学一模 · 第14题 5. 已知点为所在平面内一点，，若，则的取值范围为__________． 策略　 说明 是外心。，以 、 为正交基底表示 ，系数之和随 在弧上的位置变化。 ，。设 与 的夹角为 ，以 方向为 、 方向为 ，则 在圆上的角位置 满足 ，其中 分别为 方向的单位向量。 ，故 ，，。 在不含 、 的优弧上（保证 ），故 ，。 该区间上 从 递减到 （在 即 处取到），再递增回 （两端点对应 与 、 重合，取不到）。 故 的最小值为 （可取），上确界为 （取不到）。 答　填 。 ★★★　南通市2026届高三学业质量检测（一模） · 第14题 6. 在中，，，则的最小值为_____． 策略　；（ 为 中点）。条件化为 ，再用中线长公式与正弦定理。 条件即 ，。中线长公式：，整理得 。 代入 ：（均值不等式）。 由正弦定理 。 。 取等当 ，此时 合法（ 等腰三角形存在）。 答　 的最小值为 。 　　【解答题】 ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第17题 7. 在中，分别为内角的对边，分别为边，上的动点，记为与的夹角． （1）证明：； （2）证明：． 策略　第（1）问用恒等式 与正弦定理；第（2）问把右边展开成 与 的系数，分别用射影定理与正弦定理收拢。 （1），，故 。 恒等式：（和差化积展开可验证）。 于是 ，而 ，且 ，故右边 。 （2）。 射影定理：（把 、 理解为边在 方向上的投影即可直接写出）。 正弦定理：（都等于 ）。 故原式右边 ，对任意动点 、（即任意角 ）恒成立。 答　两问均得证。 　⑦旋转、圆与动点轨迹 　　【选择题】 ★★　株洲市2025-2026学年高三上学期教学质量检测 · 第5题 1. 已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法正确的是（    ） A B. C. D. 策略　，。逐项化为 的条件再判断。 A 项：。 时 ， 等价于 ，不一定成立，错。 B 项： 平方化简等价于 ，即 ，不一定成立，错。 C 项： 等价于 ，即 ，不一定成立，错。 D 项：，对任意 恒成立，垂直。 答　选 D。 ★★　湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测 · 第6题 2. 如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）． A. B. C. 4 D. 策略　拆分 ，把 分成定值与变量两部分。 圆 与直线 相切，半径等于 到直线 的距离，即正三角形的高 ，故 ， 在圆上任意动。 。 ，当 与 同向时取等（此时 在圆上，可取到）。 故最大值为 。 答　选 D。 ★★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第7题 3. 已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 策略　， 为 中点。垂径定理给出 的轨迹，再折线化 的最小值。 设圆半径 ，弦长 ，则圆心到弦的距离 ，故 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆。 。 在直线 上， 到直线的距离 ，故 。 所以 ，当 为 向直线作垂线的垂足、且 在 射线上时取等。 答　选 A。 　　【多选题】 ★★　金丽衢十二校2026届高三第一次联考 · 第10题 4. 是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为原点）的面积为，设的轨迹为曲线，则（ ） A. 的方程为 B. 的方程为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 策略　设 ，用投影点坐标写出 、，四边形面积拆成两个三角形，得轨迹方程后再逐项判断。 是 在 上的垂足：； 是 在 上的垂足：。 ，故 。 垂足位置条件： 在第一象限即 ； 在第四象限即 。两式相乘得 ，故 ，且 （此时 自动满足）。 A 项方程与限制正确；B 项开口方向不对，错。 C 项： 且 ，。设 ， 得 ，，为最大值，正确。 D 项：。设 ，由 得 ，。原式 ，在 处取最大值 ，正确。 答　ACD。 　　【填空题】 ★★　唐山市2026届高三第一次模拟演练 · 第13题 5. 已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为______. 策略　旋转公式：向量 逆时针旋转 变为 。先求 ，旋转得 ，再定 。 。逆时针旋转 ：。 。 答　 ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第13题 6. 在边长为3的正方形中，三点分别在上，满足，则五边形面积的最大值是___________． 策略　建系：，，，。（），，。垂直条件给 ，面积作差后求最值。 ，， 即 ，故 ，。由 得 。 五边形 面积 。 ，当 时取等（，此时 ，五边形合法）。 故面积最大值为 。 答　填 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $