解题大招45 利用射影定理秒解三角形问题(4大题型）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

解题大招45 利用射影定理秒解三角形问题 知识点 射影定理 射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 证明：如图，记AB=c，BC=a，AC=b，作于点D, 则 即同理可证b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 题型01 判断三角形的形状 1．将题干边角等式代入射影定理，化简消去余弦项. 2．结合正、余弦定理统一为边或统一为角. 3．因式分解或三角化简，得到两边相等或内角为、相等关系. 4．根据边等判定等腰，有直角判定直角三角形，兼顾多重条件. 【典例1】（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 秒解：由射影定理得又由已知得，所以， 故为直角三角形. 【跟踪训练】 1．(2025·陕西渭南模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcos C＋ccos B＝b，且a＝ccos B，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】D 【解析】由射影定理bcos C＋ccos B＝a＝b，又a＝ccos B＝ccos B＋bcos C，故cos C＝0，因为C∈，所以C＝，故△ABC为等腰直角三角形.故选D. 2．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由，得，整理得， 在中，由射影定义得，则， 而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 故选：B 3（2026云南楚雄9月联考）记..的内角的对边分别为，且，则一定为（　　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【解析】在中， 所以， 由射影定理得 又，， 故 所以（舍去）或， 所以. 故为等腰三角形． 故选 B． 题型02 求三角形中的边或角 1．将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意正确应用. 2．将转化后的式子进一步化简，从而求得边或角的大小. 【典例2-1】 (2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A..C. D. 【答案】C 【解析】由射影定理acos B－bcos A＝c＝acos B＋bcos A，则cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. 【典例2-2】（25-26高一下·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】，， 由正弦定理，得， 即， ，，. 的周长为． 秒解：由射影定理得，又由已知得， 所以,解得c=1，的周长为． 【跟踪训练】 1．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，则c=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以由射影定理得，解得c=1. 2．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，即， 解得，又因为，故可得. 故选：B. 3．△ABC的面积为S.若bcos C＋ccos B＝asin A，S＝，则角B等于　　　　. 【答案】 【解析】根据题意知bcos C＋ccos B＝a＝asin A，则sin A＝1，所以得A＝，由S＝＝×2bacos C＝basin C，可得tan C＝1，0＜C＜，所以C＝，所以B＝π－A－C＝π－－＝. 题型03 求三角形的面积 1．明确射影定理：任意中，，同理得另外两式. 2．结合已知边角，用定理建立边长、余弦的等量关系，解出边长或角的余弦值. 3．由同角关系求出对应内角正弦值. 4．代入面积公式计算，化简得出面积. 【典例3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝acos B＋2cos A，2b＝c，若cos C＝－，则△ABC的面积为　　　　. 【答案】 【解析】由三角形中的射影定理c＝acos B＋bcos A，结合已知条件c＝acos B＋2cos A，可得b＝2，又因为2b＝c，所以c＝4，由c2＝a2＋b2－2abcos C，可得16＝a2＋4－4a×，解得a＝3(负值舍去)，所以三角形的面积为absin C＝×3×2×＝. 【跟踪训练】 1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若，则的面积为 ． 【答案】 【解析】由任意三角形的射影定理知，所以有 ①． 又因为，代入①式左边，得到． 因为，所以． 又因为，所以，可知． 2．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 . 【答案】 【解析】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得, 又∵，∴，由，可得， 解得(负值舍去)，∴三角形的面积为， 故答案为：. 3．(2026云南临沧部分学校高二联考)在中，内角所对的边分别为，已知，，且．若，则的面积为 ． 【答案】 【解析】由可得, 即， 由射影定理得， 由正弦定理得， 由于，故，由于,则， 由余弦定理可得， 故，则， 故三角形的面积为, 题型04 求最值或范围问题 1．写出△ABC 射影定理三式，结合已知条件消元，统一边或角. 2．借助正弦定理全化为角，或余弦定理转化单变量表达式. 3. 利用三角恒等变换化简，限定内角范围得到自变量区间. 4. 根据正弦、余弦函数单调性，或基本不等式求最值、取值范围. 5. 检验边界是否满足三角形三边、内角约束，得出最终结果. 【典例4】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝bcos C＋csin B，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　　) A.2 B.3 C. D. 【答案】A 【解析】由射影定理a＝bcos C＋ccos B和条件a＝bcos C＋csin B，所以sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以B＝，又S△ABC＝1＋，所以acsin B＝1＋，即ac＝4＋2.所以b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝4，当且仅当a＝c时取等号，所以b的最小值为2.故选A. 【跟踪训练】 1．在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，且，则的面积的最大值为______． 【答案】 【解析】由任意三角形的射影定理可知，因为，所以．又因为，所以，即，所以，再由基本不等式可知，因为，所以，即，当且仅当时，的面积取得最大值． 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为______． 【答案】 【解析】在中，由射影定理及得：， 由正弦定理边化角为：，于是得， 由得，，即角是钝角，， ， 当且仅当，即时取“=”， 所以tanA的最大值为. 3．在中，角，，所对的边分别为，，，且 （1）求角； （2）已知，求周长的取值范围. 【解析】(1)在中，，由射影定理得：， 于是得，而 ，则， 所以； (2)由余弦定理得：， 而，则，即，当且仅当时取等号，又，于是得， 所以的周长的取值范围为. 4．（2026陕西多校高二上期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求的值； (2)若，求面积的最大值. 【解析】（1）因为，所以 由射影定理得 所以. （2）由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立， 则. 由（1）可知，则， 则的面积， 故面积的最大值为. 5．已知函数. (1)求方程在区间的解集； (2)在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 【解析】（1）依题意，， 则方程化为：，而，即， 于是得，或，或，或， 解得，或，或，或， 所以方程在区间的解集为. （2）在中，角的对边分别是，因，即， 由三角形射影定理得：，即，而，则有， 于是得，又A>0，C>0，因此，，，则， 由(1)知，， 所以的取值范围是. 1．（25-26高一下·广东梅州·期末）记的内角、、的对边分别为、、，若，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】根据射影定理及，得 ,所以，即， 故是直角三角形. 2．（25-26高一下·北京·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由射影定理及，得, 故，又，得. 由三角形内角和为，得. 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【解析】由射影定理及，得，所以 ，解得， 在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，所以. 故选B 4．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【答案】A 【解析】解法一：由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 秒解：由射影定理得， 所以所以，即， 以下同解法一： 5．(多选)若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为直角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形 5.ABD【解析】在中，正弦定理， 对于A，，A正确； 对于B，由射影定理得，又，即， 而，则，，为直角三角形，B正确； 对于C，由正弦定理可得，即， 而，则有或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C不正确； 对于D，，由射影定理得， 即，而，则，，为直角三角形，D正确. 故选：ABD 6．（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若，，，则为钝角三角形 C．若，，，则符合条件的三角形不存在 D．若，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】对于A，锐角中，，即，而正弦函数在上单调递增， 则有，整理得，A正确； 对于B，的最大角为C，由余弦定理得，则C是锐角，B不正确； 对于C，由正弦定理得：，无解，即符合条件的三角形不存在，C正确； 对于D，在中，由射影定理及得：， 则，而，解得，即为直角三角形，D正确. 故选：ACD 7．△ABC的面积为S.若bcos C＋ccos B＝asin A，S＝，则角B等于　　　　. 【答案】 【解析】根据题意知bcos C＋ccos B＝a＝asin A，则sin A＝1，所以得A＝，由S＝＝×2bacos C＝basin C，可得tan C＝1，0＜C＜，所以C＝，所以B＝π－A－C＝π－－＝. 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为 . 【答案】 【解析】在中，由射影定理及得：， 由正弦定理边化角为：，于是得， 由得，，即角是钝角，， ， 当且仅当，即时取“=”， 所以tanA的最大值为. 9．设的内角所对的边分别为.若,且的面积为,则周长的最小值为 . 【答案】 【解析】在中，由射影定理得：，则化为：， 即，则，，即有， 的周长， 而，当且仅当时取“=”，又函数在单调递增， 于是得当时，， 所以周长的最小值为. 故答案为： 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，若△ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵，∴，即． ∵，∴，∵，∴，对两边同时点乘得： ． ，即， 由正弦定理知，∴． 11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：是等腰三角形； (2)若的面积为，且，求的周长． 【解析】（1）在中，， 由射影定理得，， 所以是等腰三角形． （2）在中，因且，则， 又，即，由(1)知，则有， 在中，由余弦定理得：，解得， 又，则a，b，c能构成三角形，符合题意，， 所以的周长为. 12．从①，②两个条件中选择一个补充到题目中，完成下列问题：在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，且 ． (1)求的面积； (2)若是线段的中点，求的长． 【详解】（1）选择①， 因为，即 在中，由余弦定理得：， ，，又，， 故的面积. 选择②， 因为，则射影定理，得， 又，，在中，由余弦定理得：， ，， 故的面积. （2）因为是线段的中点， 所以，即，则 所以，故的长为. 13．（2026山东泰安高三上期中）已知在中，内角的对边分别为，且． (1)求证：； (2)若的平分线交于，求的值． 【解析】（1）因为， 所以， 由射影定理得， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以或(舍去，此时，不符合条件)， 所以. （2）因为，所以， 所以， 因为， 所以， 且， 所以， 在中，， . 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招45 利用射影定理秒解三角形问题 知识点 射影定理 射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 证明：如图，记AB=c，BC=a，AC=b，作于点D, 则 即同理可证b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 题型01 判断三角形的形状 1．将题干边角等式代入射影定理，化简消去余弦项. 2．结合正、余弦定理统一为边或统一为角. 3．因式分解或三角化简，得到两边相等或内角为、相等关系. 4．根据边等判定等腰，有直角判定直角三角形，兼顾多重条件. 【典例1】（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 秒解：由射影定理得又由已知得，所以， 故为直角三角形. 【跟踪训练】 1．(2025·陕西渭南模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcos C＋ccos B＝b，且a＝ccos B，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 3（2026云南楚雄9月联考）记..的内角的对边分别为，且，则一定为（　　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 题型02 求三角形中的边或角 1．将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意正确应用. 2．将转化后的式子进一步化简，从而求得边或角的大小. 【典例2-1】 (2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A..C. D. 【答案】C 【解析】由射影定理acos B－bcos A＝c＝acos B＋bcos A，则cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. 【典例2-2】（25-26高一下·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】，， 由正弦定理，得， 即， ，，. 的周长为． 秒解：由射影定理得，又由已知得， 所以,解得c=1，的周长为． 【跟踪训练】 1．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，则c=（    ） A． B．1 C． D． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．△ABC的面积为S.若bcos C＋ccos B＝asin A，S＝，则角B等于　　　　. 题型03 求三角形的面积 1．明确射影定理：任意中，，同理得另外两式. 2．结合已知边角，用定理建立边长、余弦的等量关系，解出边长或角的余弦值. 3．由同角关系求出对应内角正弦值. 4．代入面积公式计算，化简得出面积. 【典例3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝acos B＋2cos A，2b＝c，若cos C＝－，则△ABC的面积为　　　　. 【答案】 【解析】由三角形中的射影定理c＝acos B＋bcos A，结合已知条件c＝acos B＋2cos A，可得b＝2，又因为2b＝c，所以c＝4，由c2＝a2＋b2－2abcos C，可得16＝a2＋4－4a×，解得a＝3(负值舍去)，所以三角形的面积为absin C＝×3×2×＝. 【跟踪训练】 1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若，则的面积为 ． 2．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 . 3．(2026云南临沧部分学校高二联考)在中，内角所对的边分别为，已知，，且．若，则的面积为 ． 题型04 求最值或范围问题 1．写出△ABC 射影定理三式，结合已知条件消元，统一边或角. 2．借助正弦定理全化为角，或余弦定理转化单变量表达式. 3. 利用三角恒等变换化简，限定内角范围得到自变量区间. 4. 根据正弦、余弦函数单调性，或基本不等式求最值、取值范围. 5. 检验边界是否满足三角形三边、内角约束，得出最终结果. 【典例4】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝bcos C＋csin B，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　　) A.2 B.3 C. D. 【答案】C 【解析】由射影定理a＝bcos C＋ccos B和条件a＝bcos C＋csin B，所以sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以B＝，又S△ABC＝1＋，所以acsin B＝1＋，即ac＝4＋2.所以b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝4，当且仅当a＝c时取等号，所以b的最小值为2.故选A. 【跟踪训练】 1．在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，且，则的面积的最大值为______． 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为______． 3．在中，角，，所对的边分别为，，，且 （1）求角； （2）已知，求周长的取值范围. 4．（2026陕西多校高二上期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求的值； (2)若，求面积的最大值. 5．已知函数. (1)求方程在区间的解集； (2)在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 1．（25-26高一下·广东梅州·期末）记的内角、、的对边分别为、、，若，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2．（25-26高一下·北京·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 4．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 5．(多选)若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为直角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形 6．（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若，，，则为钝角三角形 C．若，，，则符合条件的三角形不存在 D．若，则为直角三角形 7．△ABC的面积为S.若bcos C＋ccos B＝asin A，S＝，则角B等于　　　　. 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为 . 9．设的内角所对的边分别为.若,且的面积为,则周长的最小值为 . 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，若△ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为 ． 11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：是等腰三角形； (2)若的面积为，且，求的周长． 12．从①，②两个条件中选择一个补充到题目中，完成下列问题：在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，且 ． (1)求的面积； (2)若是线段的中点，求的长． 13．（2026山东泰安高三上期中）已知在中，内角的对边分别为，且． (1)求证：； (2)若的平分线交于，求的值． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $