专题07 一元一次方程应用（专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用的11类常考题型，通过分层训练构建从常规问题到重点难点的完整解题体系，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常规应用问题|6题型（配套/工程等）|基础情境问题，直接套用公式|从实际问题抽象等量关系，培养应用意识| |重点应用问题|5题型（行程/营销等）|复杂情境+变式拓展，综合应用|深化多变量关系分析，提升数学思维灵活性|

专题07 一元一次方程应用 常考题型·精准突破 考点一 常规一元一次方程应用问题 题型1 配套问题 题型2 工程问题 题型3 比赛积分问题 题型4 数字、日历问题 题型5 古代问题 题型6 收费问题 考点二 一元一次方程的应用重点题型 题型7 行程问题（重） 题型8 营销问题（高频） 题型9 方案问题（高频） 题型10 几何问题（难） 题型11 动点问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 常规一元一次方程应用问题 ◆题型1配套问题 1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）为践行垃圾分类与废旧物资回收劳动教育，手工社团收集张白铁皮制作收纳盒，用来分装小区老年驿站回收的可回收杂物．每张白铁皮可做个盒身或做个盒底，个盒身需要搭配个盒底才能组装成完整的收纳盒．设用张白铁皮制作盒身，能使盒身与盒底恰好配套，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 3．（25-26九年级下·北京·阶段检测）某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 4．（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ ◆题型2 工程问题 5．（25-26七年级下·四川乐山·期中）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需40天．甲队先单独做5天，之后两队合作恰好按期完成．设工期为天，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 7．（25-26六年级下·上海·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 8．（25-26七年级下·河南南阳·期中）【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． ◆题型3 比赛积分问题 9．（25-26七年级上·陕西安康·期末）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，每局投次，弓箭投入壶内、壶耳（如图）、落在地上会得到不同的分数，计分规则如下： 投中位置 投入壶内 投入壶耳 落在地上 一次计分 分 分 分 若在一局中，弓箭投入壶内次，则这局得到的分数不可能是（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 10．（25-26七年级上·山东日照·期末）在某次足球联赛中，A组共有6支队伍进行比赛，根据赛程，每队在小组赛中共计进行15场比赛，如表是小组赛第二轮积分榜： 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 火焰 逐梦者 未来巨人 飞人联盟 超音速 飞翔之鹰 （说明：积分胜场积分平场积分负场积分） (1)本次比赛中胜一场积_____分，平一场积_____分，负一场积_____分； (2)已知火焰队在剩余的场比赛中一共输了场，最终以场比赛总积分分获得出线资格．那么火焰队在剩余的13场比赛中一共赢了几场？ 11．（2026·北京平谷·二模）学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 12．（25-26七年级上·河南安阳·期末）2026年安阳市“甲骨文杯”中学生篮球联赛采用单循环赛制，每队均赛12场，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．下表是部分球队的参赛成绩： 队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 安阳一中 12 8 2 2 26 林州二中 12 6 m 2 22 滑县实验中学 12 n 1 3 25 根据表格信息，解答下列问题： (1)求表格中m为______，n为______． (2)某队在本次联赛中胜场数是负场数的2倍，总积分为18分，求该队的胜场、平场、负场数； (3)若某队打完12场比赛后，胜场是平场的3倍，总积分能否为32分？请说明理由． ◆题型4 数字、日历问题 13．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）观察下面三行数： ① ② ③ (1)第行第 个数是 ，第行第 个数是 ，第行第 个数是 ； (2)在第行中是否存在三个连续数，其和为？若存在求出这三个数，不存在说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和为，求的值． 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 15．（25-26七年级下·河南郑州·期末）【问题提出】 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手．从中找出解决问题的方法． [特殊化研究] 从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有几种不同的结果？ 如下表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小的结果3（即这3个整数中最小的2个整数的和），最大的结果5（即这3个整数中最大的2个整数的和），从3到5的连续整数的个数为：，所以共有3种不同的结果． 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 仿照上述过程，类比探索下列问题： (1)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，所取2个整数之和的最小值是3，最大值是 ，且这些和为连续的不同整数，所以共有 种不同的结果． (2)从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果． [问题解决] (3)从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果，请写出解答过程． [问题拓展] (4)从4，5，6，…，n（n为整数，且）这一组整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，则n的值为 ． 16．（2026·湖北荆州·二模）如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为 （用含的式子表示）： (2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为 （用含的式子表示）； (3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为 （用含的式子表示）： (4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为 ； (5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期 ． ◆题型5 古代问题 17．（25-26七年级上·江苏扬州·开学考试）中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题是“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口，算算每天行走的里数．根据题中的信息，这个人第一天走的路程与总路程的最简整数比是（     ） A． B． C． D． 18．（2026·贵州遵义·二模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第根上的一个绳结表示个，第根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了个野果，则在第根绳子上的打结数是________． 19．（2026·河南南阳·一模）创新角度  数学文化  算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，其为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是2025．若已知，则_______． 20．（25-26七年级下·吉林长春·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． ◆题型6 收费问题 21．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 22．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 23．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 24．（25-26七年级上·四川成都·期末）年月日我国正式启动海南封关，将海南岛全岛建成一个自由化便利化政策制度的特殊区域，意义重大．某商场嗅到商机搞促销活动，活动方案如下表： 一次性购物(原价) 优惠方案 不超过元 不给优惠 超过元，不超过元 超过元的部分按9折优惠 超过元 所购商品全部给予8折优惠 (1)按照商场的活动方案，小石在该超市购买原价元的商品，应付款________元；小天在该超市购买原价元的商品，应付款________元； (2)小石在该超市购买了某种商品，实际付款元，请求出该商品的原价是多少元？ (3)若小石、小天在该超市共购买原价元的商品，其中小石顾客购买商品的原价超过元且不足元，实际两人各自付款共元，请求出小石、小天购买的商品的原价各为多少元？若两人拼单购买，与各自付款相比，小石、小天两人之中谁更省钱？省多少元钱？ 考点一 常规一元一次方程应用问题 考点2 一元一次方程的应用重点题型 ◆题型7 行程问题 25．（2026·北京东城·二模）某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 26．（2026·北京·中考真题）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 27．（25-26六年级下·山东烟台·期中）在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 28．（25-26七年级下·河南周口·期中）以下是两张不同类型火车（“”表示高铁，“”表示动车）的车票（不完整）． A站B站2026年2月28日  开  06车16B号 ¥538.5元                        二等座 现乘当日当次车 B站A站2026年2月28日   开      03车7C号 ¥378.0元                            二等座 现乘当日当次车 (1)根据车票中的信息可知，高铁和动车属于________（填“相”或“同”）向而行；高铁比动车发车时间________（填“早”或“晚”）________h． (2)已知高铁和动车的平均速度分别为，．两列火车的长度不计，运行途中不停车．若高铁比动车早到达终点站，求A，B两站之间的路程． ◆题型8 营销问题 29．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 30．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 31．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以某市股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的计算； ②过户费：按成交金额的计算； ③佣金：按不高于成交金额的计算，不足5元按5元计算． 问题： (1)小王以每股元的价格买入某股票100股，以每股元的价格全部卖出，则他盈利___________元． (2)小张以每股元（）的价格买入1000股上述股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是___________元（用的代数式表示）．由此可得卖出价格与买入价格相比，至少要上涨___________才不亏（结果保留到）． (3)小张再以每股元的价格买入上述股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？（结果精确到） 32．（22-23七年级下·内蒙古乌海·开学考试）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为______； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2300元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ ◆题型9 方案问题 33．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 34．（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 35．（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）综合与实践 不同方案利润问题的探索 活动背景 某校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划推销自己的手工制品．他们以每盒25元的价格购进了6盒卡纸材料，计划全部用于制作手工制品． 活动1 手工制品制作方案 方案1：每盒卡纸可以制作10个“创意书签”，或者制作60个“创意贴纸”，每个“创意书签”需搭配3个“创意贴纸”； 方案2：每盒卡纸裁剪加工后，可以制作8个“立体贺卡”，每个“立体贺卡”需额外购买元的丝带配件． 活动2 义卖方案 方案1：每个“创意书签”售价9元，搭配的“创意贴纸”作为赠品不单独售卖； 方案2：每个“立体贺卡”售价12元． 问题解决 任务1 确定“创意书签”的数量 （1）求出方案1中制作“创意书签”的个数． 任务2 不同义卖方案利润相同的探索 （2）若分别采用活动1中的两种制作方案及对应的义卖方案进行制作和销售，当两种情况所得的总利润相同时，求 a 的值． 36．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ ◆题型10 构造一元一次方程求解 37．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 38．（25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          39．（25-26七年级下·福建厦门·期末）一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 40．学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． ◆题型11 动点问题 41．如图，将数轴在原点与点处各折一下得到“折线数轴”，点表示，点表示24，点表示16，我们称点与点在“折线数轴”上相距24长度单位．动点从点出发，以2单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒速度沿数轴负向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒． (1)直接写出点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数； (2)当两点在点相遇时，点所对应的数是多少？ (3)当两点相距3个单位长度时，直接写出的值． 42．如图，已知中，，，，点D为中点，点P的运动速度为． (1)如果点P在线段上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等． ①经过2秒后， ， ； ②经过1秒后，与是否相等，请说明理由； (2)如果点P在线段上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，求当点Q的运动速度为多少时，能使且? (3)若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P从点B同时出发，都沿三边逆时针方向运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在的 边上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 43．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为12．动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为_____，点表示的数为_____．（用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为3个单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，且线段，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，直接写出为何值时，两个正方形的重叠部分面积为3． 44．（22-23七年级上·全国·期末）在直角三角形中，若．点P从点A开始以2厘米/秒的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿的方向移动，如果点P、Q同时出发，当点P到达C点时，P、Q两点都停止运动，用t（秒）表示移动时间，，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示． ①点Q在上时， ； ②当点Q在上时， ； ③当点P在上时， ； ④当点P在上时， ． (2)如图2，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当时，试求出t的值． (3)如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，当时，试求出t的值． 综合攻坚·知能拔高 一．选择题 45．（2026·浙江杭州·二模）《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多3钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？小玲说：若设合伙人数为人，根据题意可得：；小丽说：若设羊的总价钱为钱，根据题意可得：，则（     ） A．两人都对 B．两人都错 C．小玲对，小丽错 D．小玲错，小丽对 46．（25-26六年级下·山东淄博·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（     ） A．256 B．257 C．258 D．259 47．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如今超市里每件商品的包装盒（袋）上一般都印有条形码，每个条形码表示一个13位数，其示意图如下：从左起，位是国家代码，位是厂商代码，位是产品代码，最后1位是校验码．若规定条形码的13位数，从左起偶数位上所有数的和乘3后，再加上奇数位上所有数的和，其结果是10的倍数．若某商品的条形码为，则该校验码的数值可以是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 48．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 49．（25-26七年级下·河南周口·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（     ） A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元 二．填空题 50．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知一周长为的圆形轨道上有相距的、两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点从点出发，以的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从点出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为，在、第二次相遇前，当动点、在轨道上相距时，则_________________． 51．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 52．（25-26七年级上·河南商丘·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 三．解答题 53．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图是长方体水池的示意图，该水池的底部被分隔为甲、乙两个独立区域．甲区域以立方米每小时的速度进行注水，乙区域底部的排水孔以一定的速度往下排水．图为注水过程中甲区域水面的高度（米）随时间（小时）变化的图象． (1)表示的数值是________； (2)求乙区域排水孔的排水速度； (3)求图中表示的数值． 54．（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 55．（25-26七年级下·福建泉州·期末）阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 56．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）为了表彰寒假作业完成优异的同学，学校购买了笔记本和签字笔作为奖品，每本笔记本为15元，每支签字笔的单价为5元，购买的笔记本的本数比购买的签字笔支数的2倍少6本，共计花费198元，其中8元是运费． (1)笔记本和签字笔各购买了多少？ (2)本学期开学后，学校购买文具套装A和文具套装B两种文具套装来奖励半期学习优异和进步显著的同学，其中套装A的单价比笔记本的单价少，套装B的单价比签字笔的单价增加了（k为正整数），而购买的套装A的数量比笔记本增加了，套装B的数量与签字笔一样多，最终半期表彰的总费用比之前的总费用（含运费）增加了，请求出k的值． 57．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图①，点为数轴原点，，正方形的边长为，边在数轴上．点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，回答下列问题． (1)点对应的数为________，点对应的数为________； (2)如图②，在点运动过程中，在数轴上作线段，点在点右侧，以为边向上作正方形，连结、． ①点对应的数为________；（用含的式子表示） ②当的面积为时，求的值； ③当正方形与正方形重叠面积为的面积倍，直接写出的值． 58．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）周末慧慧和小颖相约骑车到购书中心购书； (1)慧慧先到银行取钱，去年的2000元压岁钱已经存入银行9个月，若按照的年利率计算，慧慧能取到本息共_________元钱． (2)购书中心自动扶梯匀速由下向上移动．慧慧由下往上走，小颖由上往下走．结果慧慧走了60级到达楼上，小颖走了120级到达楼下，如果小颖单位时间内走的楼梯级数是慧慧的2倍．问当扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有多少级？ (3)购书中心对顾客实行优惠，若一次购书不超过200元，则不予优惠；若一次购书超过200元，但不超过500元，则按标准价给予九折优惠；若一次购书超过500元，其中500元按上述九折优惠，超过500元的部分按八折优惠．慧慧、小颖本次购书分别付款150元和423元，如果合起来一次购买她们所需的全部书籍，他们可以节约多少元？ (4)对于慧慧所骑的自行车，某品牌新轮胎安装在前轮上行驶7500千米报废；若安装在后轮上只能行驶6000千米就会报废．如果要行驶尽可能多的路程，可采用当自行车行驶到一定路程后将前后轮胎调换的方法，则安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶多少千米？（精确到个位） 59．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多元． (1)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (2)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在万元以内，只有基本工资元；当该销售人员本月成交总销售额超过万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示．1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过 所购礼盒全部按九折优惠 超过 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 万元以上的部分 奖励工资比例 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元一次方程应用 常考题型·精准突破 考点一 常规一元一次方程应用问题 题型1 配套问题 题型2 工程问题 题型3 比赛积分问题 题型4 数字、日历问题 题型5 古代问题 题型6 收费问题 考点二 一元一次方程的应用重点题型 题型7 行程问题（重） 题型8 营销问题（高频） 题型9 方案问题（高频） 题型10 几何问题（难） 题型11 动点问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 常规一元一次方程应用问题 ◆题型1配套问题 1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）为践行垃圾分类与废旧物资回收劳动教育，手工社团收集张白铁皮制作收纳盒，用来分装小区老年驿站回收的可回收杂物．每张白铁皮可做个盒身或做个盒底，个盒身需要搭配个盒底才能组装成完整的收纳盒．设用张白铁皮制作盒身，能使盒身与盒底恰好配套，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的配套问题实际应用，先分别表示出盒身和盒底的总数量，再根据配套要求列出比例方程即可． 【详解】解：∵用张白铁皮制作盒身，总共有140张白铁皮， ∴用张白铁皮制作盒底， ∵每张白铁皮可做18个盒身或20个盒底， ∴盒身总数量为，盒底总数量为， ∵1个盒身需要搭配2个盒底才能恰好配套， ∴盒身数量盒底数量， 即． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 【答案】A 【分析】根据方程的左右两边分别表示笔管和笔斗的数量，结合每根短竹的产量反推的含义即可． 【详解】解：∵每根短竹可制成笔管个， ∴表示笔管的总个数，则表示用于制作笔管的短竹数量， ∵短竹总数为根， ∴表示用于制作笔斗的短竹数量， ∵每根短竹可制成笔斗个， ∴表示笔斗的总个数， ∵个笔管搭配个笔斗，即笔管总数等于笔斗总数， ∴方程符合题意， ∴表示制成笔管的短竹数量． 3．（25-26九年级下·北京·阶段检测）某新能源电池厂有55台专用设备，用于生产两种核心零件：正极片和负极片．按照每台设备每天生产的合格的正、负极片的效率分为以下三类： 类别 正极片（片/台） 负极片（片/台） 设备数量（台） 甲类 20 200 15 乙类 12 100 20 丙类 8 70 20 每台设备每天只能生产一种零件．已知每1片正极片需要搭配4片负极片才能组装成一个完整电池． （1）若只由甲类专用设备工作，则一天最多可生产________个电池； （2）若55台专用设备都在工作，则一天最多可生产________个电池． 【答案】 200 500 【分析】（1）设甲类设备台生产正极片，剩余生产负极片，根据正极片与负极片的配套关系列式，取整数验证得到最多生产电池数； （2）先三类设备的正极片与负极片的效率比，确定乙类和丙类设备在生产正极片上具有比较优势，故可安排乙、丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配，即设台甲类设备生产正极片，其余生产负极片，通过列方程求解可得最大生产数量． 【详解】解：（1）甲类设备共台，设台生产正极片，则台生产负极片， 可得正极片数量为，负极片数量为 . 根据每片正极片搭配片负极片，得 解得， 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 可组装电池个，剩余负极片片． 当时，正极片数量为，负极片数量为 ， 仅可组装电池个，剩余正极片片． 因此只由甲类设备工作，一天最多生产个电池； （2）计算三类设备的正极片与负极片的效率比， 甲类：，乙类：，丙类： ， 根据效率比可知，乙类和丙类设备生产正极片的相对效率更高，故可安排乙类和丙类设备全部生产正极片，再用甲类设备进行调节以实现零件数量匹配， 设甲类有台生产正极片，则台生产负极片， 正极片总数量为： ， 负极片总数量为： ， 根据配套关系得： ，解得． 代入得正极片总数量为 ，负极片总数量为 ， 刚好满足 ，可组装个电池． 故55台专用设备都在工作，则一天最多可生产个电池． 4．（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． ◆题型2 工程问题 5．（25-26七年级下·四川乐山·期中）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需40天．甲队先单独做5天，之后两队合作恰好按期完成．设工期为天，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将总工作量看作单位1，根据“各部分工作量之和等于总工作量1”列方程，确定甲、乙的工作时间即可得到正确方程． 【详解】解：把总工作量看作单位1，可得甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵工期为天，甲先单独做天，之后两队合作， ∴甲先做天的工作量为，两队合作的时间为天，合作中甲的工作量为，合作中乙的工作量为， ∵总工作量为， ∴可列方程： ． 6．（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要𝑥天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 7．（25-26六年级下·上海·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1) (2)完成这项工程总共用了天． (3)分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【分析】（1）利用甲队天数是乙队的倍，直接列式计算甲单独完成工程的天数． （2）把总工程看作单位，求出甲乙工作效率，设后续合作天数为未知数，根据各阶段工作量之和等于总工作量列方程求解，再累加全部阶段得到总天数． （3）先算出甲、乙两队各自完成的工作量，按照工作量占比对总费用万元进行分配． 【详解】（1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 8．（25-26七年级下·河南南阳·期中）【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 【答案】(1)两人合作需要天完成全部广告牌 (2)师傅和徒弟应分得的报酬金额各为225元 (3)师傅与徒弟合作先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 【分析】（1）设两人合作需要x天完成，由题意得：，进一步求解即可； （2）设两人合作还需y天完成，由题意得：，再进一步求解即可； （3）设置合理问题即可. 【详解】（1）解：设两人合作需要x天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：两人合作需要天完成． （2）解：设两人合作还需y天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 师傅的工作量为，徒弟的工作量为，因为师傅和徒弟的工作量相同，所以报酬也相同，每人应得元． 答：师傅和徒弟各得225元． （3）解：（问题不唯一） 如：师傅与徒弟先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 解：设徒弟还需m天完成，由题意得：. ◆题型3 比赛积分问题 9．（25-26七年级上·陕西安康·期末）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，每局投次，弓箭投入壶内、壶耳（如图）、落在地上会得到不同的分数，计分规则如下： 投中位置 投入壶内 投入壶耳 落在地上 一次计分 分 分 分 若在一局中，弓箭投入壶内次，则这局得到的分数不可能是（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设投入壶耳次，则落在地上次，求出得分为，然后逐项分析即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设投入壶耳次，则落在地上次， 则得分为：， 、当时，解得，不符合题意； 、当时，解得，符合题意； 、当时，解得，不符合题意； 、当时，解得，不符合题意； 故选：． 10．（25-26七年级上·山东日照·期末）在某次足球联赛中，A组共有6支队伍进行比赛，根据赛程，每队在小组赛中共计进行15场比赛，如表是小组赛第二轮积分榜： 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 火焰 逐梦者 未来巨人 飞人联盟 超音速 飞翔之鹰 （说明：积分胜场积分平场积分负场积分） (1)本次比赛中胜一场积_____分，平一场积_____分，负一场积_____分； (2)已知火焰队在剩余的场比赛中一共输了场，最终以场比赛总积分分获得出线资格．那么火焰队在剩余的13场比赛中一共赢了几场？ 【答案】(1)，， (2)场 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用． （1）借助表格中各队伍的比赛场次、胜平负场数与积分的对应关系，通过计算推导胜、平、负一场的积分值； （2）根据总积分的构成，设未知数建立一元一次方程，求解火焰队剩余比赛的胜场数． 【详解】（1）解：由未来巨人队场平积分，可得平一场积分． 由火焰队胜平积分，可得胜一场积分． 由超音速队平负积分，可得负一场积分． 故答案为：，，． （2）解：设火焰队在剩余的场比赛中赢了场剩余场输了场，所以平的场次为场 已知火焰队前场积分，总积分分． 根据积分规则列方程： 解得 答：火焰队在剩余的场比赛中一共赢了场． 11．（2026·北京平谷·二模）学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 12．（25-26七年级上·河南安阳·期末）2026年安阳市“甲骨文杯”中学生篮球联赛采用单循环赛制，每队均赛12场，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．下表是部分球队的参赛成绩： 队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 安阳一中 12 8 2 2 26 林州二中 12 6 m 2 22 滑县实验中学 12 n 1 3 25 根据表格信息，解答下列问题： (1)求表格中m为______，n为______． (2)某队在本次联赛中胜场数是负场数的2倍，总积分为18分，求该队的胜场、平场、负场数； (3)若某队打完12场比赛后，胜场是平场的3倍，总积分能否为32分？请说明理由． 【答案】(1)4，8 (2)胜4场，平6场，负2场 (3) 解：总积分不能为32分．理由如下： 设平场y场，则胜场场，负场， 列方程：，解得：， 由于不是整数，不符合场数为正整数的实际情况，因此该队总积分不能为32分． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准数量关系是解题的关键．依据比赛总场次胜场数平场数负场数、总积分胜场积分平场积分负场积分，通过设未知数建立方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得 ， 解得 由， 解得，， 故答案为：； （2）解：设负场数为x场，则胜场数为场，平场为场， 列方程：，解得． 平场：（场），胜场：（场）． 答：胜4场，平6场，负2场． （3）略 ◆题型4 数字、日历问题 13．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）观察下面三行数： ① ② ③ (1)第行第 个数是 ，第行第 个数是 ，第行第 个数是 ； (2)在第行中是否存在三个连续数，其和为？若存在求出这三个数，不存在说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和为，求的值． 【答案】(1)；； (2)不存在连续的三个数 (3)不存在满足条件的 【分析】观察数据，找到数据变化规律即可求解． （2）利用（1）中公式求解即可． （3）利用（1）中公式求解即可． 【详解】（1）观察绝对值第个数的绝对值为，观察符号：负、正、负、正、负、正奇数项为负，偶数项为正，可以用来表示符号，第行的第个数可以表示为：， ∴第行的第12个数为 ： 观察第数据可以看出，第行的每一个数都是第行对应位置的数加 因此，第行的第个数可以表示为： ， ∴第行的第11个数为 ： 观察第行数据可以看出，第行的每一个数都是第行对应位置的数的倍 因此，第行的第个数可以表示为：， ∴第行的第12个数为： ： （2）假设存在三个连续数和为，这三个数为第个数，第个数，第个数，根据，这三个数分别为，，， 当奇数时，三个数分别为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵奇数时， ∴不符合题意， 当偶数时，三个数分别为，，， ∴， ∴， ∴， ∵代表第几个数，必须是正整数，所以不合题意， 综上所述，不存在这样的三个连续数． （3）由小问1可知，， ，，每行取第个数和为，先计算三个数的和， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴不存在满足条件的． 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 【答案】(1)五个数的和是15的5倍 (2) (3)有 (4)十字形框中的五个数之和不能等于2022，能等于2025 【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出其余4个数，将这5个数相加即可得解； （4）用2022除以5，得2022不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2022，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． 15．（25-26七年级下·河南郑州·期末）【问题提出】 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手．从中找出解决问题的方法． [特殊化研究] 从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有几种不同的结果？ 如下表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小的结果3（即这3个整数中最小的2个整数的和），最大的结果5（即这3个整数中最大的2个整数的和），从3到5的连续整数的个数为：，所以共有3种不同的结果． 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 仿照上述过程，类比探索下列问题： (1)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，所取2个整数之和的最小值是3，最大值是 ，且这些和为连续的不同整数，所以共有 种不同的结果． (2)从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果． [问题解决] (3)从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果，请写出解答过程． [问题拓展] (4)从4，5，6，…，n（n为整数，且）这一组整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，则n的值为 ． 【答案】(1)，． (2) (3)解：从（为整数，且）这个整数中任取5个整数， 则这5个整数之和的最小值为：， 最大值为， 则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种； (4) 【分析】（1）用最大2个数的和减去最小2个数的和再加1即可； （2）用最大2个数的和减去最小2个数的和再加1即可； （3）用最大5个数的和减去最小5个数的和再加1即可； （4）用最大5个数的和减去最小5个数的和再加1，得到共有种，再令解方程得出的值． 【详解】（1）解：从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，则这2个整数之和最大值为：， 则这2个整数之和共有种不同情况， （2）解：从（为整数，且）这个整数中任取2个整数， 则这2个整数之和最小值为：，最大值为：， 则这2个整数之和共有不同结果的种数为：种， （3）略 （4）解：从（为整数，且）这个整数中任取5个整数， 则这5个整数之和的最小值为：， 最大值为， 则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种； 解得： 16．（2026·湖北荆州·二模）如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为 （用含的式子表示）： (2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为 （用含的式子表示）； (3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为 （用含的式子表示）： (4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为 ； (5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 (5)日 【分析】（1）根据右边的数比左边的数大1求解即可； （2）根据上方的数比下方的数小7求解即可； （3）先根据左上方的数比中间的数小8，右下方的数比中间的数大8表示出各数，再求和即可； （4）设中间的数为b，表示出其余4个数，然后求和，再结合日历特点求解； （5）设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为，然后列方程求出，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵右边的数比左边的数大1， ∴中间的数为，则右边的数为； （2）解：∵上方的数比下方的数小7， ∴若中间的数为，则上方的数为； （3）解：若中间的数为，则左上方的数为，右下方的数为， ∴这3个数的和为：； （4）解：设中间的数为b，则其余4个数分别是， ∴， ∴要使这5个数的和最小，只要中间的数最小即可， 观察日历表可知，满足条件的最小中间数是8． （5）解：设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为， 五个星期一的和为：， 解得，即2号是星期一， ∴16号是星期一， ∴15号是星期日． ◆题型5 古代问题 17．（25-26七年级上·江苏扬州·开学考试）中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题是“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口，算算每天行走的里数．根据题中的信息，这个人第一天走的路程与总路程的最简整数比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“每天走的路程为前一天的一半”表示出6天的路程，结合总路程列方程求出第一天走的路程，再计算第一天路程与总路程的最简整数比即可． 【详解】解：设这个人第一天走的路程为里， ∵从第二天起每天走的路程为前一天的一半， ∴第二天到第六天走的路程分别为里，里，里，里，里， ∵6天总路程为378里， ∴列方程得：， 解得， ∴第一天路程与总路程的比为， 化简得． 18．（2026·贵州遵义·二模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第根上的一个绳结表示个，第根上的一个绳结表示个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了个野果，则在第根绳子上的打结数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题中的等量关系列方程，设在第个绳子上打结的数是，根据题意得，解得即为第根绳子上的打结数． 【详解】解：图中第2根上的一个绳结表示个，第3根上的一个绳结表示个， 设在第个绳子上打结的数是，根据题意得， 解得，即在第2根绳子上打结的数是． 19．（2026·河南南阳·一模）创新角度  数学文化  算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，其为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是2025．若已知，则_______． 【答案】3 【分析】左边表示的数是108，右边表示36与a的积，据此列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 20．（25-26七年级下·吉林长春·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 【答案】(1)， (2)5，37 【分析】（1）甲：每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为，根据竹竿总数相等列方程即可；乙：每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为，根据人数相等列方程即可； （2）解（1）中所列方程即可求解． 【详解】（1）解：甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程； （2）解：解，得， 解，得． 所以牧童有5人，竹竿有37竿． ◆题型6 收费问题 21．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）我市居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过220度的部分 a 第2档 超过220度但不超过300度的部分 0.55 第3档 超过300度的部分 已知9月份小明家用电200度，交电费100元；10月份小明家交电费132元． (1)填空：表中a的值为 ； (2)求小明家10月份的用电量； (3)若8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，求小明家8月份的用电量． 【答案】(1)0.5 (2)260度 (3)430度 【分析】（1）根据收费方法，用9月份的电费除以用电量求出a的值即可； （2）设10月份的电量为x度，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小明家8月份的用电量为y度，根据8月份小明家用电的平均电价为0.6元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：a的值为0.5． （2）解：设小明家10月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：， 答：小明家10月份的用电量为260度． （3）解：设小明家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：， 答：小明家8月份的用电量为430度． 22．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 【答案】(1) 6吨 (2) 6吨 (3) 77.4吨 【分析】（1）由2月底读数196减去1月底读数190，得二月份用水量； （2）由一月份用水量及"一月份比六月份少 ​"先求出六月份用水量为14吨，再设标准量为 吨，由六月份水费54元列方程求解； （3）先逐月计算上半年水费，再由"上半年比下半年少 "求出下半年水费，设下半年用水量 吨，标准内部分按3元/吨，超标部分按元/吨列方程求解． 【详解】（1）解：（吨）， 二月份小晶家用水6吨； （2）解：一月份用水 （吨）， 设六月份用水 吨，由一月份比六月份少 ​， ， （吨）， 若标准量 ，水费 ，故标准量小于14吨， 设标准量为 吨， ， 解得，； 答：每月用水量的最高标准为6吨； （3）解：上半年各月用水：5，6，7，7，9，14（吨）， 标准量为6吨， 1月水费：（元）， 2月水费：（元）， 3月水费：（元）， 4月水费：（元）， 5月水费：（元）， 6月水费：（元）， 上半年总水费 （元）， 设下半年总水费为 元， ， 解得，（元）， 设下半年用水量为 吨，标准内 吨， ， 解得，（吨）． 答：小晶家下半年用水量为吨． 23．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 【答案】(1)170元 (2)“分档”计算电费：，“分档+分时”计算电费： (3)倍 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意，分和两种情况“分档”计算电费分别列出代数式即可，由峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，根据“分档+分时”计算电费列出代数式即可； （3）根据电费为元，利用计费方式一确定用电量，设峰时段用电量为y，由采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，即峰时段增加的电费谷时段减少的电费，列出方程求解y的值，进而求出该月峰时段的用电量和谷时段的用电量，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得： （元）， 答：1月份应缴电费170元； （2）解： ， 当时，则“分档”计算电费：； 当时，则“分档”计算电费：， “分档”计算电费：， 峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，则峰时段用电量是，谷时段用电量是， 当时，则“分档+分时”计算电费：； 当时，则“分档+分时”计算电费：， “分档+分时”计算电费：； （3）解：（元），（元），（元），， （度）， 小阳同学家在这个月的用电量为：（度）， 设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为度， 由题意得：， 解得：， 则（度）， ， 答：该月峰时段的用电量是谷时段的倍． 24．（25-26七年级上·四川成都·期末）年月日我国正式启动海南封关，将海南岛全岛建成一个自由化便利化政策制度的特殊区域，意义重大．某商场嗅到商机搞促销活动，活动方案如下表： 一次性购物(原价) 优惠方案 不超过元 不给优惠 超过元，不超过元 超过元的部分按9折优惠 超过元 所购商品全部给予8折优惠 (1)按照商场的活动方案，小石在该超市购买原价元的商品，应付款________元；小天在该超市购买原价元的商品，应付款________元； (2)小石在该超市购买了某种商品，实际付款元，请求出该商品的原价是多少元？ (3)若小石、小天在该超市共购买原价元的商品，其中小石顾客购买商品的原价超过元且不足元，实际两人各自付款共元，请求出小石、小天购买的商品的原价各为多少元？若两人拼单购买，与各自付款相比，小石、小天两人之中谁更省钱？省多少元钱？ 【答案】(1)；； (2)元或元； (3)小石购买的商品原价为元，小天购买的商品原价为元；小石更省钱，省元． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，属于分段计费问题，核心是根据不同价格区间的优惠规则，分情况构建等式求解，关键是准确判断计费区间． （1）先判断商品原价所属的优惠区间，再代入对应公式计算应付款金额； （2）实际付款元需分两种情况讨论：原价在元之间、原价超过元，设原价为元，根据对应优惠规则列方程求解； （3）设小石的商品原价为元，根据的范围确定小天原价的区间，结合总付款金额列方程求解原价；再分别计算拼单前后两人的付款额，对比得出省钱情况． 【详解】（1）解：∵， ∴应付款(元)； ∵， ∴应付款(元)； 故答案为：；． （2）解：设该商品的原价为元． ①当时， 根据优惠方案，列方程得：， 解得，符合； ②当时，列方程得：， 解得，符合； 故该商品的原价是元或元． （3）解：设小石购买的商品原价为元，则小天购买的商品原价为元， ∵， ∴，即小天的商品原价超过元． 根据题意列方程：， 解得， 则小天的商品原价为(元)； ∵独自购买时，小石享受的优惠方案是超过元的部分按9折优惠，小天享受的优惠方案是所购商品全部给予8折优惠， 两人拼单购买，享受的优惠方案是所购商品全部给予8折优惠， ∴小石更省钱． 小石原来的付款金额：(元)， 拼单后小石的付款金额：(元)， ∴小石节省的金额为(元)； 答：小石购买的商品原价为元，小天购买的商品原价为元．小石更省钱，省元． 考点一 常规一元一次方程应用问题 考点2 一元一次方程的应用重点题型 ◆题型7 行程问题 25．（2026·北京东城·二模）某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 【答案】 【分析】（1）分别计算步行和乘车的时间，求和后换算单位即可得到结果； （2）总耗时最少时所有组同时到达，每组乘车路程和步行路程分别相等，结合巴士行驶总时间等于全体到达终点的总时间列方程求解，即可得到最少总耗时． 【详解】解：（1）（小时），（分钟）； （2）设每组乘车千米，则步行千米，全体到达终点的总时间为小时， 将人分为组，巴士送完一组需要空车返回接下一组，共空车返回次， ∵车速和步行速度比为， ∴每次空车返回路程为， 巴士行驶总路程为，行驶总时间也为， 因此， 联立等式得， 解得， 将代入得总时间（小时），（分钟）． 26．（2026·北京·中考真题）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 【答案】A类机器人的速度为，比赛起点到终点的路程为 【分析】根据赛道总路程不变，设A类机器人速度为，得出全程路程；再根据B类成绩规则，由公示成绩算出它含维护的实际总耗时，拆分出两段行驶时长与对应速度，将两段行驶路程相加，与总路程相等建立方程求解． 【详解】设这台A类机器人的速度为， 由题意可知，， 解得， 所以， 答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为． 27．（25-26六年级下·山东烟台·期中）在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 【答案】(1)乙的速度为4米/秒． (2)出发时两人相距80米 【分析】（1）设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒，根据甲追上乙时，甲比乙多走400米建立方程求解即可； （2）设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒，根据从第一次相遇开始到第二次相遇甲比乙多走400米建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 答：乙的速度为4米/秒； （2）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 所以 所以甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒， （米） 答：出发时两人相距80米． 28．（25-26七年级下·河南周口·期中）以下是两张不同类型火车（“”表示高铁，“”表示动车）的车票（不完整）． A站B站2026年2月28日  开  06车16B号 ¥538.5元                        二等座 现乘当日当次车 B站A站2026年2月28日   开      03车7C号 ¥378.0元                            二等座 现乘当日当次车 (1)根据车票中的信息可知，高铁和动车属于________（填“相”或“同”）向而行；高铁比动车发车时间________（填“早”或“晚”）________h． (2)已知高铁和动车的平均速度分别为，．两列火车的长度不计，运行途中不停车．若高铁比动车早到达终点站，求A，B两站之间的路程． 【答案】(1)相；晚， (2)A，B两地之间的距离为． 【分析】（1）根据票面信息作答即可； （2）设A，B两地之间的距离为，根据动车用的时间比高铁用的时间多3小时，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：该列动车和高铁是相向而行， 该列高铁比动车发车晚； （2）解：设A，B两地之间的距离为， 根据题意得， 解得． 答：A，B两地之间的距离为． ◆题型8 营销问题 29．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 【答案】(1)第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． (2)30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，根据第二批数量比第一批少，列方程求解． （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；第二批的数量90箱，但是出现了的损耗，即售出数量为购进数量的，则只能卖出72箱．售价下降，即售价为元．总收入减去总成本等于利润1716元，列方程求解． 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量： （箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． 30．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元． (2) 【分析】（1）设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元，根据已知总的销售额，列方程并解方程即可得到答案； （2）依题意可知紫精轩单价元，数量150个，瓷青单价80元，数量个，再依据五月份的总销售额，列方程并解方程即可得到的值． 【详解】（1）解：设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元， 依题意得 解得， 紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为元． （2）解：根据题意可知 紫精轩：单价元，销量（个）； 瓷青：单价元，销量个； 五月份总销售额为：元． 依题意得 ， 解得． 31．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以某市股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的计算； ②过户费：按成交金额的计算； ③佣金：按不高于成交金额的计算，不足5元按5元计算． 问题： (1)小王以每股元的价格买入某股票100股，以每股元的价格全部卖出，则他盈利___________元． (2)小张以每股元（）的价格买入1000股上述股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是___________元（用的代数式表示）．由此可得卖出价格与买入价格相比，至少要上涨___________才不亏（结果保留到）． (3)小张再以每股元的价格买入上述股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？（结果精确到） 【答案】(1) (2)； (3)卖出的价格是每股元 【分析】（1）先计算佣金低于5元，按5元计算，再用总收入减去每次交易的印花税，过户费，佣金即可求解； （2）设卖出的价格为每股元，根据不亏不盈时卖出，列方程解答，再求增长率即可； （3）设卖出的价格每股是元，根据盈利1000元时卖出，列方程解答． 【详解】（1）解：，, 佣金都按5元计算， （元） 即小王盈利元； （2）解：， ， 可以直接用公式计算佣金． 设卖出的价格为每股元， 由题意得： 即他卖出的价格为每股元， 增长的百分率为 ； （3）解：， 可以直接用公式计算佣金， 设卖出的价格每股是元， 依题意得： 答：卖出的价格是每股元． 32．（22-23七年级下·内蒙古乌海·开学考试）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为______； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2300元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)； (2)购进甲种商品件； (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件 【分析】（1）设甲种商品每件进价为元，根据甲的利润率为，列方程求出x的值，再结合利润率定义列式求解，即可解题； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，再由总进价是2300元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①当打折前一次性购物总金额超过450元，但不超过600元时，②当打折前一次性购物总金额超过600元时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价为元， 由题意得， 解得， 甲种商品每件进价为元， 乙种商品每件进价50元，售价80元， ， 即每件乙种商品利润率为。 （2）解：设购进甲种商品件， 根据题意得：， 解得， 答：购进甲种商品件； （3）解：设小华在该商场购买乙种商品件， ， ①当打折前一次性购物总金额超过450元，但不超过600元时， 根据题意得：， 解得； ②当打折前一次性购物总金额超过600元时， 根据题意得：， 解得； 综上所述，小华在该商场购买乙种商品7件或8件． ◆题型9 方案问题 33．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班48人，七年级（2）班56人 (2)304元 (3)购买51张票划算些 【分析】（1）设七年级（1）班人，则七年级（2）班人，  根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以； （2）先求出购团体票的费用，再用1240 元团体票的费用就是节约的钱； （3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用， 比较两个费用的大小就可以得出结论． 【详解】（1）解：设七年级（1）班人，则七年级（2）班人， 由题意可得： ， 解得， 则 ． 答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人． （2）解：（元）． （3）解：七年级（1）班按照实际人数购票的费用为： 元， 购51张票的费用为：元． ， ∴购买51张票划算些． 34．（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 35．（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）综合与实践 不同方案利润问题的探索 活动背景 某校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划推销自己的手工制品．他们以每盒25元的价格购进了6盒卡纸材料，计划全部用于制作手工制品． 活动1 手工制品制作方案 方案1：每盒卡纸可以制作10个“创意书签”，或者制作60个“创意贴纸”，每个“创意书签”需搭配3个“创意贴纸”； 方案2：每盒卡纸裁剪加工后，可以制作8个“立体贺卡”，每个“立体贺卡”需额外购买元的丝带配件． 活动2 义卖方案 方案1：每个“创意书签”售价9元，搭配的“创意贴纸”作为赠品不单独售卖； 方案2：每个“立体贺卡”售价12元． 问题解决 任务1 确定“创意书签”的数量 （1）求出方案1中制作“创意书签”的个数． 任务2 不同义卖方案利润相同的探索 （2）若分别采用活动1中的两种制作方案及对应的义卖方案进行制作和销售，当两种情况所得的总利润相同时，求 a 的值． 【答案】（1）40个；（2） 【分析】（1）根据等量关系“每个“创意书签”需搭配3个“创意贴纸”列出一元一次方程求解即可； （2）先分别求得方案一、二的利润，然后根据等量关系“方案1与方案2的利润相同”列关于a的方程求解即可． 【详解】解：（1）设用盒卡纸制作“创意书签”，每个“创意书签”需搭配3个“创意贴纸”；，解得． ． 答：制作“创意书签”的个数为40个． （2）方案1：每个“创意书签”售价9元，利润为：（元）； 方案2：每个“立体贺卡”售价12元，利润为：； 当方案1与方案2的利润相同时，，解得． 答：的值为． 【点睛】找到等量关系是正确列出方程的关键． 36．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 【答案】(1)，40 (2)购进40个A款商品，160个B款商品 (3)小张在该市场购买了14或16个A款商品 【分析】本题考查了利润率的计算，一元一次方程的应用及根据不同优惠方案进行分类讨论计算． （1）利用利润率公式和售价与进价的关系计算； （2）设未知数，根据进货款列方程求解； （3）依据不同打折规则分类计算并列出方程求购买数量． 【详解】（1）解：A款商品每个的利润率：， B款商品每个的进价：（元）， 故答案为：，40． （2）解：设购进x个A款商品，则购进个B款商品， 根据题意，得， 解得， ∴， 即购进40个A款商品，160个B款商品． （3）解：设A款商品原付款金额为y元， ∵， ∴进行如下分类： ①当时，， 解得，则（个）； ②当时，， 解得，则（个）， 即小张在该市场购买了14或16个A款商品． ◆题型10 构造一元一次方程求解 37．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度； （2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 38．（25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 39．（25-26七年级下·福建厦门·期末）一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 【答案】(1)如图，长方形即为所求．，长为6，宽为4； (2)14 【分析】（1）先画出和原图分割形式不同的3阶完美长方形，设小正方形边长为未知数，用未知数表示长方形的长、宽，结合周长20列出一元一次方程，求解得到长方形的边长． （2）设正方形④边长为未知数，根据最小正方形边长2，依次用含x的式子表示全部正方形边长，利用长方形上下对边等长建立方程，解出未知数后算出正方形①边长． 【详解】（1）解：作图：略 设， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该3阶完美长方形长为6，宽为4； （2）设正方形④边长为x，正方形⑥边长为2． 正方形⑤边长， 正方形③边长， 正方形②边长， 正方形①边长． 长方形上下两条水平对边长度相等，因此 ， ， 正方形①边长． 答：正方形①的边长为14． 40．学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． 【答案】(1)0，3 (2)裁法二的张数为；裁法三的张数： (3)解：不能，理由如下： 依题意，， 解得． 当时，， 故所购标准板材的总张数不能为张． 【分析】（1）根据标准板材的规格和型、型板材的规格即可解答； （2）设按裁法二裁张、按裁法三裁张，根据共需用型板材块、型板材块，可得，，然后整理可得结果； （3）根据三种裁剪方法共用板材张列方程求解即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材的长为，，所以无法裁出型板， 按裁法三裁剪时，块型板材的长为，， 而块型板材的长为，所以无法裁出块型板； ∴，； （2）解：设按裁法二裁张、按裁法三裁张． ∵共需用A型板材块、B型板材块， ∴，， ∴，， 即裁法二的张数为；裁法三的张数：； （3）略 ◆题型11 动点问题 41．如图，将数轴在原点与点处各折一下得到“折线数轴”，点表示，点表示24，点表示16，我们称点与点在“折线数轴”上相距24长度单位．动点从点出发，以2单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒速度沿数轴负向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒． (1)直接写出点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数； (2)当两点在点相遇时，点所对应的数是多少？ (3)当两点相距3个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)26 (2) (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离计算公式求解即可； （2）求出点P到点O和到点C的时间，求出点Q到点C和点O的时间，从而可确定点P与点Q的相遇点一定在上，据此用含t的式子分别表示出点P和点Q表示的数，进而建立方程求解即可； （3）分四种情况：、、和，用含t的式子分别表示出点P和点Q表示的数，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数为； （2）解：由题意得，秒，秒，秒，秒， ∴点P运动到点O的时间为5秒，运动到点C的时间为秒， 点Q运动到点C的时间为8秒，运动到点O的时间为秒， ∴点P与点Q的相遇点一定在上， ∴， 解得， ∴， ∴点M表示的数为； （3）解：由（2）可知，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为0，此时点P与点Q的距离为11， 当时，点Q过点O向数轴负方向运动，此时点P与点Q的距离大于11，故不满足题意； 综上所述，或． 42．如图，已知中，，，，点D为中点，点P的运动速度为． (1)如果点P在线段上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等． ①经过2秒后， ， ； ②经过1秒后，与是否相等，请说明理由； (2)如果点P在线段上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，求当点Q的运动速度为多少时，能使且? (3)若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P从点B同时出发，都沿三边逆时针方向运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在的 边上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 【答案】(1)①4，4； ②相等，理由如下： ∵点D为中点，， ∴， ∵， ∴． (2) (3)24， 【分析】（1）①利用路程速度时间，即可求解； ②由点D为中点，可得，可求得，即可判断； （2）设运动时间为，由，可得，点Q的运动速度为，由，即可求解； （3）由题意得，点Q追上点P的时间为，则可得点P的运动路程为，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点P的运动速度为，点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴，． ②略 （2）解：设运动时间为， ∵， ∴， 解得， 设点Q的运动速度为， ∵，由（1）可知，， ∴， 解得， ∴点Q的运动速度为． （3）解：设点Q追上点P的时间为， 由题意得，， 解得， ∴点Q追上点P的时间为， ∴点P的运动路程为， ∵， ， ∴经过24秒后，点P与点Q第一次在的边上相遇． 43．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为12．动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为_____，点表示的数为_____．（用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为3个单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，且线段，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，直接写出为何值时，两个正方形的重叠部分面积为3． 【答案】(1)； (2)3或5 (3)当为秒或秒或秒时重叠部分面积为3 【分析】（1）根据数轴和运动情况即可作答； （2）根据、两点的距离为3单位长度，列出方程，即可求解； （3）分情况讨论，当时，有两种情况，当时，有两种情况，分类讨论即可，根据动点的运动轨迹，得到线段的表达式及等量关系是解答的关键． 【详解】（1）解：由题意得，动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动， ∴当时，表示的数为：； ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴当时，表示的数为：； （2）解：由（1）可得，当时，表示的数为：，表示的数为：， ∴、两点的距离为3单位长度时，， ∴或， 即满足条件的t值为3或5． （3）解：∵动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动； ∴点表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴点在数轴上表示的数为：， 由题意，，， 当点还没有折返时，存在两种情况： 如图①，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图②，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点折返后，存在两种情况： 如图③，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图④，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为3，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴舍去， 综上所述，当为秒或秒或秒时重叠部分面积为3． 44．（22-23七年级上·全国·期末）在直角三角形中，若．点P从点A开始以2厘米/秒的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿的方向移动，如果点P、Q同时出发，当点P到达C点时，P、Q两点都停止运动，用t（秒）表示移动时间，，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示． ①点Q在上时， ； ②当点Q在上时， ； ③当点P在上时， ； ④当点P在上时， ． (2)如图2，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当时，试求出t的值． (3)如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，当时，试求出t的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)或 【分析】（1）根据三角形的边长、点的运动速度解答； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分当点P在线段上运动，点Q在线段上运动时、点P在线段上运动，点Q在线段上运动时、当点P在线段上运动，点Q在线段上运动时三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①点Q在上时，； ②当点Q在上时，； ③当点P在上时，； ④当点P在上时， （2）解：由题意得，， 解得，； （3）解：秒，秒，秒， ∵ ∴当点P在线段上运动，点Q在线段上运动时，， 解得， 当点P在线段上运动，点Q在线段上运动时，， 解得， 当点P在线段上运动，点Q在线段上运动时，， 解得（不合题意） 则当或时，． 综合攻坚·知能拔高 一．选择题 45．（2026·浙江杭州·二模）《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多3钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？小玲说：若设合伙人数为人，根据题意可得：；小丽说：若设羊的总价钱为钱，根据题意可得：，则（     ） A．两人都对 B．两人都错 C．小玲对，小丽错 D．小玲错，小丽对 【答案】D 【分析】根据两种不同设未知数方式，分别利用羊价不变、人数不变的等量关系推导方程，即可判断两人说法的正误． 【详解】解：若设合伙人数为人， 每人出钱，还差钱， 羊的总价钱为， 每人出钱，多钱， 羊的总价钱为， 根据羊价相等，可得方程：， 与小玲所列方程不符， 因此小玲错误， 若设羊的总价钱为钱， 每人出钱，还差钱， 合伙人数为， 每人出钱，多钱， 合伙人数为， 根据人数相等，可得方程：， 与小丽所列方程一致， 因此，小丽正确， 综上所述，小玲错，小丽对． 46．（25-26六年级下·山东淄博·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（     ） A．256 B．257 C．258 D．259 【答案】A 【分析】 设中间正方形另外两个顶点数字分别为，根据每个三角形三个顶点数字之和等于正方形四个顶点数字之和，分别表示出，进而求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：设中间正方形右上顶点数字为，左下顶点数字为 ∵正方形四个顶点数字之和为 ∴根据题意可得：上方三角形：， 解得 右方三角形：， 解得 下方三角形：， 解得 左方三角形：， 解得 ∴ ， ∴ ． 47．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如今超市里每件商品的包装盒（袋）上一般都印有条形码，每个条形码表示一个13位数，其示意图如下：从左起，位是国家代码，位是厂商代码，位是产品代码，最后1位是校验码．若规定条形码的13位数，从左起偶数位上所有数的和乘3后，再加上奇数位上所有数的和，其结果是10的倍数．若某商品的条形码为，则该校验码的数值可以是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，， 又 是10的倍数， 结合题意可知，， 解得，． 48．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可推出，据此分两种情况：和，分别建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线把长方形面积分成相等的两部分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为或5． 49．（25-26七年级下·河南周口·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购物超过300元一律八折．王波两次购物分别付款80元、252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（     ） A．288元 B．332元 C．288元或316元 D．332元或363元 【答案】C 【分析】第一次付款80元，未超过100元，不享受优惠，因此第一次商品原价为80元；第二次付款252元，存在两种优惠情况，需分情况计算第二次商品原价，再计算两次商品总原价后，按优惠方案算出一次性购买的应付款即可. 【详解】解：∵ 第一次购物付款元，不超过元，不享受优惠， ∴ 第一次购买商品的原价为元， 分两种情况讨论第二次购物： 情况1：若第二次购物原价超过元但不超过元，按九折付款， 设第二次商品原价为元， 根据题意，得，解得， 两次商品总原价为元，，可享受八折优惠， ∴ 应付款为元； 情况2：若第二次购物原价超过元，按八折付款， 设第二次商品原价为元， 根据题意，解得， 两次商品总原价为元，可享受八折优惠 ∴ 应付款为元 综上，应付款为288元或316元. 二．填空题 50．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知一周长为的圆形轨道上有相距的、两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点从点出发，以的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从点出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为，在、第二次相遇前，当动点、在轨道上相距时，则_________________． 【答案】0.5或2或8或9.5 【分析】根据题意确定动点、的相对速度及初始位置关系，可知初始在前方处，计算第一次和第二次相遇的时间以确定的取值范围，根据两点间距离为分情况列出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，动点的速度为，动点的速度为，则、的相对速度为， 根据圆形轨道两点间距离定义，初始时刻在逆时针方向前方处， 、第一次相遇时，比多运动，所需时间， 、第二次相遇时，比多运动，所需时间， 因为在、第二次相遇前， 所以分以下情况： 当在前方时（含多圈情况）， 比多运动的总距离为或， 即或， 解得或； 当在前方时，即在前方时（含多圈情况）， 比多运动的总距离为或， 即或， 解得或， 综上所述，的值为或或或， 故答案为：或或或． 51．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 【答案】(1)540件 (2)21天 (3)选方案三 【分析】（1）设这批智能手表共有x件，根据“A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天”列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列一元一次方程，解方程即可求解； （3）应分为三种情况讨论：①由A厂单独完成；②由B厂单独完成；③按（2）问方式完成，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出既省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：设这批智能手表共有x件，根据题意列方程得， ， 解得：． 答：这批智能手表共有540件； （2）解：设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列方程得， ， 解得：． 所以，（天）． 答：B厂共生产智能手表21天； （3）解：方案一：A厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案二：B厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案三：A厂工作9天，B厂工作21天，时间为21天，费用为元． 比较时间：；比较费用：． 所以，方案三既省时又省钱． 52．（25-26七年级上·河南商丘·期末）下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1 (2)2；9 (3) 解：可能实现 理由如下：设接下来的5场比赛D队胜场，则负场． 依题意，得， 解得， ，符合题意， 可能实现． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）观察C队和D队积分，即可解答； （2）设E队胜场，利用E队的积分是13分，得到等量关系，再列出方程求出的值，即可解答； （3）根据D队当前积分和目标积分，计算出剩余比赛需要获得的分数，然后设剩余比赛的胜场数为未知数，根据胜负积分规则列出方程，检验方程的解是否符合实际情况，从而做出判断． 【详解】（1）解：对比C队和D队数据，C队比D队多胜1场，负场数相同，积分多分，故胜一场积2分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1； （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了的11场比赛中胜2场，负9场； 故答案为：2；9； （3）略 三．解答题 53．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图是长方体水池的示意图，该水池的底部被分隔为甲、乙两个独立区域．甲区域以立方米每小时的速度进行注水，乙区域底部的排水孔以一定的速度往下排水．图为注水过程中甲区域水面的高度（米）随时间（小时）变化的图象． (1)表示的数值是________； (2)求乙区域排水孔的排水速度； (3)求图中表示的数值． 【答案】(1)2米 (2)立方米每小时 (3)小时 【分析】（1）根据体积相同，得到，求解即可； （2）设乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时，根据题意，得，求解即可； （3）设20小时后再经过小时，水位上升了米，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得（米）； （2）解：设乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时，根据题意，得， 解得， 故乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时 （3）解：设20小时后再经过小时，水位上升了米，根据题意，得， 解得， 故（小时）． 54．（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车            ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 【答案】(1)①；理由见解析 (2)A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①； 理由如下： ∵（万元），1.92万元2万元， （万元），1.6万元1.5万元， ∴售价16万元的新能源乘用车补贴后实际花费为（万元）, 售价16万元的2.0L排量燃油乘用车补贴后实际花费为（万元）， ∵14.08万元14.5万元， ∴购买①车价格更低； （2）设A车的售价为x万元，则B车的售价为万元． 根据题意可列方程为， 解得， ∴（万元）， 答：A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元． 55．（25-26七年级下·福建泉州·期末）阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 【答案】(1)①36；②3； (2)“灵动数”b为79 【分析】（1）①先明确“灵动数”判定条件：两位数的个位数字大于十位数字，用该条件逐个判断给出的数即可． ②计算时，先写出原“灵动数”的十位、个位数字，得到对调后的新两位数，计算两数差后除以9即可． （2）先将“灵动数”和对调后的新数用含的代数式表示，再根据的定义列出关于的方程，求解后代入即可得到． 【详解】（1）解：①三个数11，21，36中，“灵动数”为36；             ②； （2）解：依题意得：原两位数为，         新两位数为，             ，             ， ； ，             十位数字：，个位数字：， ∴“灵动数”b为79． 56．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）为了表彰寒假作业完成优异的同学，学校购买了笔记本和签字笔作为奖品，每本笔记本为15元，每支签字笔的单价为5元，购买的笔记本的本数比购买的签字笔支数的2倍少6本，共计花费198元，其中8元是运费． (1)笔记本和签字笔各购买了多少？ (2)本学期开学后，学校购买文具套装A和文具套装B两种文具套装来奖励半期学习优异和进步显著的同学，其中套装A的单价比笔记本的单价少，套装B的单价比签字笔的单价增加了（k为正整数），而购买的套装A的数量比笔记本增加了，套装B的数量与签字笔一样多，最终半期表彰的总费用比之前的总费用（含运费）增加了，请求出k的值． 【答案】(1)笔记本购买了10本，签字笔购买了8支 (2)k的值为4 【分析】（1）设签字笔数量为未知数，根据数量关系表示笔记本数量，结合奖品总费用列方程求解即可； （2）分别表示出两种套装的单价与数量，根据总费用的增长关系列方程，求解正整数k． 【详解】（1）解：设购买签字笔x支，则购买笔记本本，根据题意得： ， 解得：， 则笔记本数量为 （本）， 答：笔记本购买了10本，签字笔购买了8支； （2）解：由题意得： 套装A的单价为 元， 套装A的数量为： ， 套装B的单价为 元， 套装B的数量为8， ∵半期表彰总费用比之前的总费用（含运费）增加了，之前的总费用为198元， ∴半期总费用为 ， 列方程：， 解得： ， 答：k的值为4． 57．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图①，点为数轴原点，，正方形的边长为，边在数轴上．点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，回答下列问题． (1)点对应的数为________，点对应的数为________； (2)如图②，在点运动过程中，在数轴上作线段，点在点右侧，以为边向上作正方形，连结、． ①点对应的数为________；（用含的式子表示） ②当的面积为时，求的值； ③当正方形与正方形重叠面积为的面积倍，直接写出的值． 【答案】(1)2，8 (2)①②或③或 【分析】（1）根据题意可知点对应的数，结合正方形的边长即可知，由即可求得点对应的数； （2）①根据题意知，结合即可； ②由正方形得知，那么，解得，分当点在点左侧时，，当点在点右侧时，，分别求得即可； ③由正方形得，分当点在点左侧和右侧，分别求得，进一步求得，再次求得重叠部分的宽度，则有正方形与正方形重叠面积，结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点对应的数为2， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， 则点对应的数为8； （2）解：①根据题意知，， ∵， ∴， ②∵正方形的边长为， ∴， ∵的面积为， ∴，解得， 当点在点左侧时，，解得； 当点在点右侧时，，解得； ③∵正方形， ∴， 当点在点左侧时，，则， 重叠部分的宽度为， 则正方形与正方形重叠面积为， ∵正方形与正方形重叠面积为的面积倍， ∴，解得； 当点在点右侧时，，则， 重叠部分的宽度为， 则正方形与正方形重叠面积为， ∵正方形与正方形重叠面积为的面积倍， ∴，解得． 58．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）周末慧慧和小颖相约骑车到购书中心购书； (1)慧慧先到银行取钱，去年的2000元压岁钱已经存入银行9个月，若按照的年利率计算，慧慧能取到本息共_________元钱． (2)购书中心自动扶梯匀速由下向上移动．慧慧由下往上走，小颖由上往下走．结果慧慧走了60级到达楼上，小颖走了120级到达楼下，如果小颖单位时间内走的楼梯级数是慧慧的2倍．问当扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有多少级？ (3)购书中心对顾客实行优惠，若一次购书不超过200元，则不予优惠；若一次购书超过200元，但不超过500元，则按标准价给予九折优惠；若一次购书超过500元，其中500元按上述九折优惠，超过500元的部分按八折优惠．慧慧、小颖本次购书分别付款150元和423元，如果合起来一次购买她们所需的全部书籍，他们可以节约多少元？ (4)对于慧慧所骑的自行车，某品牌新轮胎安装在前轮上行驶7500千米报废；若安装在后轮上只能行驶6000千米就会报废．如果要行驶尽可能多的路程，可采用当自行车行驶到一定路程后将前后轮胎调换的方法，则安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶多少千米？（精确到个位） 【答案】(1) (2) 当扶梯静止时，可看到的梯级共有级． (3) 他们可以节约元． (4) 安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶约千米． 【分析】（1）根据本息和计算公式，将存期转换为年，代入计算即可； （2）由两人的速度比与走的级数比，得出行走时间相同，结合顺逆行的梯级等量关系求解； （3）先反推两人购书原价，再计算合买的优惠后总价，与原付款和作差得节约金额； （4）将轮胎总磨损量看作单位1，利用总磨损量除以每千米总磨损量得最大路程． 【详解】（1） 解： ∵ 本金为2000元，年利率为，存期9个月即年， ∴ 利息为（元）， ∴ 本息和为（元）； （2）解：设扶梯静止时可见梯级共有级，两人行走时间内扶梯上升的级数为级， ∵ 小颖单位时间走的级数是慧慧的2倍，慧慧走了60级，小颖走了120级， ∴ 两人行走时间相同， ∴扶梯上升级数均为级， ∵ 慧慧顺扶梯向上走，总梯级数等于人走的级数加扶梯上升的级数， ∴ ① ， ∵ 小颖逆扶梯向下走，总梯级数等于人走的级数减扶梯上升的级数， ∴ ② ， 联立①②，解得， 则， 答：当扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有90级； （3）解：∵ 购书超过200元时，最低付款为（元），， ∴ 慧慧购书原价为150元， ∵ 购书超过500元时，最低付款为（元），， ∴ 小颖购书原价为（元），两人购书原价总和为（元）， 合买时，500元部分优惠后付款（元），超过500元的部分为（元），优惠后付款（元）， 合买总付款为（元），原付款总和为（元）， 节约金额为（元）， 答：他们可以节约27元； （4）解：将单个新轮胎的总磨损量看作单位1，则前轮每千米磨损，后轮每千米磨损， 设最多可行驶千米，两个轮胎同时报废时路程最多，总磨损量为2， ∵ 每千米两个轮胎的总磨损量为， ∴ ， 解得 ， 答：安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶约6667千米． 59．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多元． (1)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (2)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在万元以内，只有基本工资元；当该销售人员本月成交总销售额超过万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示．1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过 所购礼盒全部按九折优惠 超过 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 万元以上的部分 奖励工资比例 【答案】(1)每盒糖果的进价为元． (2)商场可获利元或元． 【分析】（1）根据题意，先计算出月份1盒饼干的售价，继而得出月份1盒饼干的售价和1盒糖果的售价，根据饼干销售量为盒，糖果的销售量为盒，据总销售额总成本，建立一元一次方程，求解即可． （2）由于销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元，可计算出月成交销售额，设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒，根据成交销售额建立一元一次方程，求解出的值，即可计算商场可获利多少元． 【详解】（1）解：设1盒饼干售价为元，则1盒糖果的售价为元， 由题意得： 解得：， 所以月1盒饼干的售价为元， 由此得出月份1盒饼干的售价为（元）， 1盒糖果的售价为（元）， 饼干的销售量为盒，糖果的销售量为： （盒）， 设每盒饼干的进价为元，则每盒糖果的进价为元，由题意得： ， 解得：， 则每盒糖果的进价为（元）， 答：每盒糖果的进价为元． （2）解：由题意得： = =76000（元）， 则总销售额为：（元）， 设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒， 当饼干的数量大于盒，糖果的数量小于盒时， 此时饼干的总进价为： （元）， 糖果的总进价为： （元） 解得：， （盒） 当饼干的数量大于盒小于盒，糖果的数量大于盒小于盒时， 此时饼干的总进价为： （元）， 糖果的总进价为： ， 解得：． （盒）， 综上，购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒； 或购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒； 当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时， 商场可获利： （元） 当购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒时， 商场可获利： （元） 答：当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时，商场可获利元， 当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时，商场可获利元． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $