5.3 实际问题与一元一次方程（方案选择问题）同步练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程方案选择问题，通过基础计算、分类讨论到综合设计的三层递进，强化模型观念与应用意识，适配单元复习巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一方案计算（如降价、购票数量）|单选题1-6、填空题9-11，通过具体情境巩固方程建模，培养抽象能力| |中档层|分类讨论方案（如分段优惠、多种情况）|填空题7-8、12，需分情况列方程，发展推理意识| |提高层|综合方案设计与优化（如运输、购买方案比较）|解答题13-18，结合多变量分析最优解，强化模型观念与应用意识|

5.3实际问题与一元一次方程（方案选择问题）同步练习 一、单选题 1．某店对单价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案．方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．若降价最多的方案降了37元，则a的值为（    ） A．100 B．32 C．115 D．37 2．今年开学，由于疫情防控的需要，某学校统一购置口罩，其中给七年级（1）班全体学生配备了一定数量的口罩，若给每个学生发3个口罩，则多30个口罩，若给每个学生发5个口罩，则少50个口罩，请问该班有多少名学生？设该班有为x名学生，可列方程（    ） A． B． C． D． 3．王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘，李丽平均每小时采摘．采摘结束后，王芳从她采摘的樱桃中取出给了李丽，这时两人的樱桃一样多．她们采摘用了多长时间？设她们采摘所用时间为小时，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某班同学一起去看电影，票价每张50元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了1000元，则共买了（　）张电影票． A．20 B．25 C．20或25 D．25或30 5．一家三口准备外出旅游，甲乙两家的旅行社的报价相同，为了竞争，甲旅行社说：“父亲买全票，其它人可享受6折优惠”．乙旅行社说：“家庭旅行可按团体票计价，按原价的优惠”，由此可以判断(　　) A．甲比乙优惠 B．乙比甲优惠 C．甲乙收费相同 D．以上都有可能 6．七年级学生计划乘客车去春游，如果减少一辆客车，每辆车正好坐60人．如果增加一辆客车，每辆正好坐45人，则七年级共有学生（　　） A．240人 B．300人 C．360人 D．420人 二、填空题 7．在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案： （1）购物款不超过500元，不享受优惠； （2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠； （3）购物款超过1000元，享受8折优惠． 某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠_____元． 8．购买某原料有如下优惠方案：①一次性购买金额不超过1万元不享受优惠；②一次性购买金额超过1万元但不超过3万元给予9折优惠；③一次性购买金额超过3万元，其中3万元给予9折优惠，超过部分给予7折优惠． （1）若某人购该原料付款9900元，则他购买的原料原价是________元； （2）某人分两次购买该原料，第1次付款8000元，第2次付款25200元，若他一次性购买同样数量的原料，可比分两次购买少付________元． 9．小明去文具店购买2B铅笔，店主说：“如果多买一些，给你打8.5折”．小明测算了一下，如果买100支，比按原价购买可以便宜27元，每支铅笔的原价是________． 10．张老师带学生乘车外出郊游，甲车主说：”不论师生，每人8折，＂乙车主说：“学生9折，老师免费，“张老师算了一下，不论坐谁的车，费用一样，则张老师带的学生人数是________. 11．某中学学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，那么正好送完．则敬老院有_____位老人． 12．现在秋菜大量上市，一种大葱售价2元/千克，如果买10千克以上全部按九折销售，买10千克及以下不打折，坤叔买这种大葱花了19.8元，那么他买了______千克的这种大葱． 三、解答题 13．某运输公司有A，B两种货车，2辆A货车与3辆B货车一次可以运货吨，5辆A货车与2辆B货车一次可以运货吨． (1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有吨货物需要运输，该运输公司计划安排A，B两种货车将全部货物一次运完（A，B两种车型至少1辆，均需满载），其中每辆A货车一次运货花费元，每辆B货车一次运货花费元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少？ 14．某校两名教师带若干名学生去旅游，原价为每人60元，联系两家标价相同的旅行社，经洽谈后，甲旅行社的优惠条件是：教师全额收费，学生按7.5折收费；乙旅行社的优惠条件是：全部师生8折优惠． (1)当学生人数等于多少人时，甲旅行社与乙旅行社收费价格一样？若有学生50人，那么他们选择哪一家旅行社旅游费用少些呢？ (2)现有学生238人，若选择甲旅行社，计划租用30座和45座的客车共6辆，求：租用30座车多少辆，才能使得师生都有车坐？ 15．某校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自制，除租用刻录机需120元外，每张还需成本费4元（包括空白光盘费）． (1)分别写出电脑公司刻录费用、学校自刻费用与刻录的光盘张数的关系式； (2)什么情况下到电脑公司刻录费用省？ (3)什么情况下学校自己刻录费用省？什么情况下两种费用相同？ 16．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 17．某学校计划订购一种图书．现有甲、乙两家书店，图书标价均为每本元．甲书店促销方案为：凡在本店购书，一律享受九折优惠；乙书店促销方案为：若购书数量超过80本，则超出部分享受八折优惠． (1)若该校准备订购本图书，请分别求在甲、乙两家书店购买图书需支付的金额，并用含x的代数式表示（结果需化简）． (2)当该校订购多少本图书时，在甲、乙两家书店图书需支付的金额相同？ 18．某家具厂生产一种办公桌和办公椅，办公桌每张定价为200元，办公椅每把定价为80元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张办公桌就赠送一把办公椅； 方案二：办公桌和办公椅都按定价的付款． 某学校计划添置100张办公桌和x把办公椅（x超过100）． (1)当时，求两种方案各自的费用； (2)当x等于多少时，两种方案的费用一样多； (3)如果只能单独享受其中一种优惠方案，请设计一种省钱的方案（直接写出方案）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B D C A C 1．A 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，正确计算出降价最多的方案是解题的关键． 根据题意分别表示出降价后的售价，再用原售价-降价后的售价，再比较大小即可得到降价最多的方案，再根据降价最多的方案降了37元，列出方程求解即可． 【详解】解：方案一：， 方案二：， 方案三：， ∵， ∴， ∴方案一降价最多． 由题意得：， 解得：． 故选：A． 2．B 【分析】由题意可知无论怎样发口罩，口罩的总数量是不变的，由此即可列出方程． 【详解】设该班有x名学生， 根据题意可列方程：， 故选B． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解答本题的关键． 3．D 【分析】根据王芳从她采摘的樱桃中取出0.25kg给了李丽，这时两人的樱桃一样多得出方程求出答案． 【详解】设她们采摘用了小时， 根据题意可得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据采摘的质量间的数量关系得出等式是解题关键． 4．C 【分析】本题分票价每张50元和票价每张50元的八折两种情况讨论，根据数量＝总价÷单价，列式计算即可求解． 【详解】①1000÷50＝20(张)； ②1000÷(50×0.8) ＝1000÷40＝25(张). 故选C. 【点睛】本题考查的是分情况讨论．正确理解题意是解题的关键. 5．A 【分析】可以设每人的原票价为a元，然后按照旅行社的要求代入数据进行计算即可． 【详解】设每人的原票价为a元， 如果选择甲，则所需要费用为a+0.6a×2=2.2a(元)， 如果选择乙，则所需费用为：×3×a=2.4a(元)， ∵2.2a<2.4a， ∴甲比乙优惠. 故选A. 【点睛】本题考查列代数式. 6．C 【分析】学生数为未知量，每辆车的载重学生数是已知的，应根据等量关系：每辆车坐60人所需车辆数+1=每辆车坐45人所需车辆数-1列方程解答即可． 【详解】设七年级共有x名学生 则根据题意有： ， 解得x=360． 答：七年级共有360名学生． 故选C． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找到关键描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 7．128 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物可能有两种情况，需要分类讨论清楚． 根据优惠方案，爸爸购物款220元不超过500元，无优惠；妈妈付款756元，设妈妈原购物款为元，根据不同优惠方案分类讨论，列出方程，求出原购物款，然后求得爸爸和妈妈的总购物款，判断出优惠方案，求出一次性购买的付款总额，再与分开付款总额相比，即可求得答案． 【详解】解：爸爸购买物品220元，由于不超过500元，不享受优惠，实际付款220元； 妈妈付款756元，享受优惠，设妈妈原购物款为元， 当时，享受8折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴舍去； 当时，享受9折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴妈妈原购物款为840元， ∴爸爸妈妈总购物款为（元）， ∵， ∴享受8折优惠， 则需付款（元）， 分开付款总额为（元）， ∴一次购买可优惠元． 故答案为：128． 8． 9900或11000 2000． 【分析】（1）分两种情况讨论，可求解； （2）设第2次原料款为x元，列出方程可求x的值，可求两次原料款总额，由③方案可求一次性购买同样数量的原料的付款金额，即可求解． 【详解】（1）9900或11000 若购买金额不超过1万元，则购买的原料原价为9900元；若购买金额超过1万元但不超过3万元，则(元)． 故答案为：9900或11000． （2）2000 设第2次原料原价为x元．根据题意，可得，解得．所以两次原料总价为(元)， 按照方案③，一次性购买同样数量的原料付款为(元)，所以一次性购买同样数量的原料可比分两次购买少付(元) 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．1.8元 【分析】设每支铅笔的原价是元，按原件买100支总价为，打8.5折的总价为， 两者之差为27元，列出方程求解即可. 【详解】设每支铅笔的原价是元， 根据题意得：， 解得 答：每支铅笔的原价是1.8元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，掌握单价×数量=总价的等量关系是解题的关键. 10．8人 【分析】设张老师带的学生数为x人，车费原价为a元/人，则在甲车主处需要费用为0.8a（1+x）元，在乙车主处需要0.9ax元，根据两车的费用一样建立方程求出其解即可． 【详解】设张老师带的学生数为x人，车费原价为a元/人，由题意，得 0.8a（1+x）=0.9ax， 解得：x=8， 故答案为8人. 【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据当两车主的费用一样建立方程是关键． 11．16 【分析】设敬老院有x位老人，根据牛奶的盒数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设敬老院有x位老人， 依题意，得：2x+16＝3x， 解得：x＝16． 经检验符合题意. 故答案为16． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 12．9.9或11 【分析】设他买了x千克的大葱，根据题意列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】设他买了x千克的大葱，根据题意得， 若，则，解得； 若，则，解得； 故答案为：9.9或11． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际运用，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13．(1)1辆A货车一次可以运货吨，1辆B货车一次可以运货吨 (2)共有3种运输方案：方案1：安排A货车7辆，B货车4辆；方案2：安排A货车4辆，B货车8辆；方案3：安排A货车1辆，B货车辆．方案3费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨．根据题意，得，解之得：； （2）设安排A货车m辆，B货车n辆．依题意得，又因为m，n均为正整数，所以有，或，或三种情况，分别计算每种情况所需费用并比较，即可找出最少费用方案． 【详解】（1）解：设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨． 根据题意，得， 得，， 得，， 得，，解得， 把代入①得，， 解得：， 答：1辆A货车一次可以运货吨，1辆B货车一次可以运货吨． （2）解：设安排A货车m辆，B货车n辆． 依题意得，又因为m，n均为正整数， 所以，或，或， 所以共有3种运输方案： 方案1：安排A货车7辆，B货车4辆，所需费用 （元）； 方案2：安排A货车4辆，B货车8辆，所需费用为 （元）； 方案3：安排A货车1辆，B货车辆，所需费用为 （元）． 因为 ， 所以安排A货车1辆，B货车辆费用最少，最少费用为元． 14．(1)当学生人数为8人时，两家旅行社收费价格一样；若学生有50人，选择甲旅行社旅游费用更少； (2)租用30座车0辆或1辆或2辆，都能使全体师生都有车坐 【分析】（1）设学生人数为x人，则总人数为人，根据两个旅行社不同的收费方式列出方程求解即可； （2）设租用30座车y辆，则租用45座车辆，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设学生人数为x人，则总人数为人． 甲旅行社费用：； 乙旅行社费用：； 由题意得， 解得， 当时， 甲旅行社费用：（元）； 乙旅行社费用：（元）； ， 答：当学生人数为8人时，两家旅行社收费价格一样；若学生有50人，选择甲旅行社旅游费用更少； （2）解：设租用30座车y辆，则租用45座车辆， 由题意得， 解得， 又∵y为非负整数，且，， ∴y可取0，1，2， 当时，，可行； 当时，，可行； 当时，，可行； 答：租用30座车0辆或1辆或2辆，都能使全体师生都有车坐． 15．(1)电脑公司刻录费用关系式为（，且x为整数）；学校自刻费用关系式为（，且x为整数） (2)当刻录光盘张数少于30张时，到电脑公司刻录费用省 (3)当刻录光盘张数多于30张时，学校自己刻录费用省；当刻录30张时，两种费用相同 【分析】（1）根据题意列出两种刻录方式的费用表达式； （2）根据题意列出不等式求解即可； （3）根据题意分别列出不等式和方程求解即可． 【详解】（1）解：设刻录张光盘， 根据题意得，电脑公司刻录费用关系式为（，且x为整数）；学校自刻费用关系式为（，且x为整数）； （2）解：根据题意得， ∴ 解得 ∴当刻录光盘张数少于30张时，到电脑公司刻录费用省； （3）解：当学校自己刻录费用省时， 解得 ∴当刻录光盘张数多于30张时，学校自己刻录费用省； 当两种费用相同时， 解得 ∴当刻录30张时，两种费用相同． 16．(1)；（，为正整数） (2)当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠，当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以，当人数在 20人以上时，选择方案二优惠 【分析】本题考查了函数的表达式，方程或不等式的应用． （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）分三种情况：当时， 当 时， 当 时，再建立方程或不等式求解可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；（，为正整数）； （2）解：当时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 所以，当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠， 当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以， 当人数在 20人以上时，选择方案二优惠． 17．(1)甲书店：元；乙书店：（）元 (2)本 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程和解方程是解题的关键． （1）根据收费方式，列出代数式即可求解； （2）根据“在甲、乙两家书店图书需支付的金额相同”，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：该校准备订购本图书， 则在甲书店购买需支付的金额为：元； 在乙书店购买需支付的金额为：元； （2）根据题意，得，， 解得， 则当该校订购本图书时，在甲、乙两家书店图书需支付的金额相同． 18．(1)方案一的费用为24000元，方案二的费用为25600元 (2) (3)当时，选择方案一省钱；当时，选择方案一和方案二均可；当时，选择方案二省钱 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、一元一次方程的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意分别用代数式表示方案一和方案二的费用，然后将代入计算即可； （2）根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （3）结合（2），分析省钱的方案即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知方案一的费用为：， 方案二的费用为：， 当时， 可知方案一的费用为（元）， 方案二的费用为（元）； （2）根据题意，可得， 解得， 即当时，两种方案的费用一样多； （3）如果只能单独享受其中一种优惠方案， 当时，选择方案一省钱； 当时，选择方案一和方案二均可； 当时，选择方案二省钱． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $